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1、第八章 空间解析几何与向量代数,用代数的方法来研究几何问题,7.1 向量及其线性运算,一、向量概念,二、向量的线性运算,四、利用坐标作向量的线性运算,三、空间直角坐标系,五、向量的模、方向角、投影,六、小结 思考题,向量：,既有大小又有方向的量。如位移、速度、加速度、力等。,向量表示：,模长为1的向量.,模长为0 的向量.,向量的模：,向量的大小.,或,或,或,一、向量概念,1、概念,单位向量：,零向量,自由向量：,不考虑起点位置的向量.,相等向量：,大小相等且方向相同的向量.,负向量：,大小相等但方向相反的向量.,向径：,空间直角坐标系中任一点M与原点构成的向量.,一、向量的概念,2、两非零
2、向量的关系,相等：,大小相等且方向相同的向量.,平行或共线：,方向相同或相反的两个非零向量.,垂直：,方向成90夹角的两个非零向量.,【注意】,由于零向量的方向可以看成任意的，故可以认为零向量与任何向量都平行或垂直。,共面：,把若干个向量的起点放到一起，若它们的终点和公共起点在同一平面上，则称这些向量共面.,向量的夹角,1、向量的加减法,二、向量的线性运算,加法：,（平行四边形法则）,特殊地：若,分为同向和反向,（平行四边形法则有时也称为三角形法则）,向量的加法符合下列运算规律：,交换律：,结合律：,加负律：,减法,二、向量的线性运算,2、向量与数的乘法,二、向量的线性运算,定义：,数与向量的
3、乘积符合下列运算规律：,结合律：,分配律：,线性运算：,向量的加法及数乘统称为向量的线性运算。,【例1】化简,【解】,二、向量的线性运算,【例2】试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.,【证】,结论得证.,课本【例1】,按照向量与数的乘积的规定，,上式表明一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.,二、向量的线性运算,单位向量的表示,【注意】与三个坐标轴同向的单位向量的记法.,两个向量的平行关系,二、向量的线性运算,【证】,充分性显然；,下面证明必要性,两式相减，得,【注】此定理是建立数轴的理论依据.,横轴,纵轴,竖轴,定点,空间直角坐标系Oxyz坐标系或O
4、;i,j,k坐标系,三个坐标轴的正方向符合右手系.,三、空间直角坐标系,1、坐标系的构成,坐标轴：横轴、纵轴、竖轴,坐标面：xOy面、yOz面、zOx面,卦限：、,面,面,面,空间直角坐标系共有八个卦限,三、空间直角坐标系,空间的点M,有序数组,特殊点的表示:,坐标轴上的点,坐标面上的点,三、空间直角坐标系,2、点、向量与坐标,加法,1、向量的加减法与数乘,四、利用坐标作向量的线性运算,减法,数乘,2、平行向量的坐标表示式,例2.,求解以向量为未知元的线性方程组,解:,2 3,得,代入得,四、利用坐标作向量的线性运算,四、利用坐标作向量的线性运算,【解】,【例3】求解以向量为未知元的线性方程组
5、,解二元一次方程组，易得,【例4】已知两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)以及实数-1，在直线AB上求点M，使,【解】,由题意知：,四、利用坐标作向量的线性运算,向量的模:,1、向量的模与两点间的距离公式:,五、向量的模、方向角、投影,按勾股定理可得,两点间的距离公式:,五、向量的模、方向角、投影,【解】,原结论成立.,【例6】已知两点A(5,3,1)和B(1,0,5),求与,【解】,例.在 z 轴上求与两点,等距,解:设该点为,解得,故所求点为,及,思考:,(1)如何求在 xOy 面上与A,B 等距离之点的轨迹方程?,(2)如何求在空间与A,B 等距离之点的轨迹方程?,离的点.
6、,提示:,(1)设动点为,利用,得,(2)设动点为,利用,得,且,【解】,设P点坐标为,所求点为,五、向量的模、方向角、投影,2、方向角与方向余弦,五、向量的模、方向角、投影,空间两向量的夹角的概念:,类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.,特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.,非零向量与三条坐标轴正向的夹角称为方向角.,五、向量的模、方向角、投影,方向角,显然有,方向余弦,由图分析可知,方向余弦通常用来表示向量的方向.,向量的方向余弦,方向余弦的特征,特殊地：单位向量的方向余弦为,例7.已知两点,和,的模、方向余弦和方向角.,解:,计算向量,例8.设
7、点 A 位于第一卦限,解:已知,角依次为,求点 A 的坐标.,则,因点 A 在第一卦限,故,于是,故点 A 的坐标为,向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹,第二节,五、向量的模、方向角、投影,3、向量在轴上的投影,x轴与向量 的关系,向量在u轴上投影,五、向量的模、方向角、投影,向量在三坐标轴上的投影,向量投影的性质,【解】,五、向量的模、方向角、投影,例9.,第二节,设立方体的一条对角线为OM,一条棱为 OA,且,解:如图所示,记 MOA=,7.1 向量及其线性运算,一、向量概念,1、概念,2、两非零向量的关系,二、向量的线性运算,1、向量的加减法,2、向量与数的乘法,三、空间直角坐标系,1、坐标系的构成,2、点、向量与坐标,四、利用坐标作向量的线性运算,1、向量的加减法与数乘,2、平行向量的坐标表示式,五、向量的模,方向角,投影,1、向量的模与两点间的距离公式,2、方向角与方向余弦,3、向量在轴上的投影,六、小结,思考题,在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？,1、向量的加减法与数乘,2、方向角与方向余弦,A:;B:;C:;D:;,
