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1、第3节 连续型随机变量,二、常见随机变量的分布,一、连续型随机变量的分布函数,下页,2.3 连续型随机变量,定义 设F(x)为随机变量X的分布函数，若存在非负可积函数f(x)，对任意实数x有,则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称为概率密度或密度函数或密度.,二、性质,下页,几何意义：f(x)下方x轴上方所围面积为1,一、定义,(4)在f(x)的连续点处有,(5)连续型随机变量取任何实数值 a 的概率等于0.即 PX=a=0,由性质(5)可得,下页,例1.设随机变量X的密度函数为,求(1)常数a;,(2)分布函数F(x).,解:(1)由,解得 A=1/2.,下页,三、分布函
2、数求法,从而得,求(2)分布函数F(x).,当0 x2时，,当x2时,由定义有,下页,当x0时,例1.设随机变量X的密度函数为,下页,从而得分布函数为,另：,例2.设连续型随机变量的分布函数为,求常数A.,解：,下页,因为F(x)为连续型随机变量的分布函数，所以F(x),为连续函数，由连续函数的性质可得,即 A=1.,如果随机变量X的概率密度为,分布函数为,则称X在区间a,b上服从均匀分布,记为XUa,b.,得X 落在a,b内任一小区间c,d内的概率与该小区间的长度成正比，而与该小区间的位置无关,四、常见连续型随机变量的分布,下页,1.均匀分布,例3.设随机变量X在2,8上服从均匀分布，求二次
3、方程 y2+2Xy+9=0 有实根的概率.,解：由于X在2,8上服从均匀分布，故X的概率密度为,从而，Py2+2Xy+9=0 有实根=PX3+PX-3=1-PX3+PX-3,下页,方程有实根等价于4X2-360,即X3或X-3,2.指数分布,则称X服从参数为l的指数分布,记作XEl.l0为常数.,分布函数为,指数分布常用来作各种“寿命”分布的近似，如电子元件的寿命；动物的寿命；电话问题中的通话时间都常假定服从指数分布,若随机变量X的密度函数为,下页,例4.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(单位:分钟)服从参数l=1/5的指数分布.等待服务时间若超过10分钟，顾客就会离去.若该顾客一个月到
4、银行5次,以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求PY1.,该顾客未得到服务事件为X10，其概率为,所以Y的分布律为,下页,解：,X的分布函数,若X的概率密度为,分布函数,其中m,s(s 0)为常数，则称X服从参数为m,s 2的正态分布或高斯(Gauss)分布,记作 XN(m,s 2).,下页,3.正态分布,正态分布定义,曲线关于x=m对称.,当 x=m时，函数f(x)达到最大值，最大值为,下页,概率密度的特点,拐点(m s，f(m s);水平渐近线为 ox 轴.,固定s，改变m值，曲线 f(x)形状不变，仅沿 x 轴平移.可见m确定曲线 f(x)的位置.,固定m，改
5、变s值，则s愈小时，f(x)图形的形状愈陡峭，X 落在m附近的概率越大.,下页,当m=0,s=1时，称为标准正态分布.记作 XN(0,1).,下页,标准正态分布,标准正态分布的密度函数,标准正态分布的分布函数,标准正态分布的特点,下页,例5.设XN(0,1),计算：PX2.35；P-1.64 X0.82；P|X|1.54.,解：PX2.35=(2.35)=0.9906.,P-1.64 X0.82=(0.82)-(-1.64),=(0.82)-1-(1.64)=0.7434.,P|X|1.54=(1.54)(-1.54)=2(1.54)1=0.8764.,下页,标准正态分布查表计算,查 页表,即
6、,下页,一般正态分布查表计算,方法：转换为标准正态分布情形后，再查表.,转换：,于是有,显然，,解：PX-2=1-PX-2=1-F(-2),=1(-1.5)=(1.5)=0.9932.,=0.9938-0.9332=0.0606.,=1(1.5)-(-2.5)=(2.5)-(1.5),P|X|4=1-P|X|4=1-P-4X4,=0.97720.6915=0.2857.,下页,例6.设X N(1,4)，求：PX-2；P2X5；P|X|4.,例7（“三”原则）设X N(,2)，求P|X|，P|X|2，P|X|3,解 P|X|=PX+=,例9.公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高XN(170,62),问车门高度应如何确定?,解:设车门高度为h(cm),则碰头事件可表示为X h，,依题意有 PX h0.01.,因为XN(170,62),所以,PX h=1-PX h,查表得(2.33)=0.99010.99,所以有,解得 h170+13.98=184.,下页,=1-F(h),要使 PX h0.01，只须,作业：48-49 页 1,3,4，5，8,结束,
