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1、最佳天然肠衣原料搭配方案模型摘要“最佳天然肠衣原料搭配方案”数学建模是一个典型的优化资源分配问题，重点是确定变量，确定好变量后，将变量组合起来，建立目标函数和约束条件，从而求解问题。“最佳天然肠衣原料搭配方案”数学建模是设计生产成品捆数最多的原料搭配方案。先把原料按长度分档，以0.5米为一档，如：3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。设每档对应的根数为变量x，按成品规格表的要求建立模型使装出的捆数最多，以此建立线性规划模型用lindo软件求解。并考虑食品保鲜，方案要在30分内产生。对于问题1：给定的原料一定，怎样搭配原材料才能使装出的捆数最多？先根据成品规格
2、表中的最短长度和最长长度把把原料中的不同档分为3级，即：3-6.5米、7-13.5米、14-25.5米三级。用三级所分别对应的原料装出的成品捆数y的总和z的最大值的建立目标函数，即：max z=y+y+y，再用成品的总长度和总根数与不同档的根数x确定约束条件，以此建立一个线性规划模型，用lindo软件求解。对于问题2：成品捆数相同的方案，怎样搭配原材料才能使最短长度最长的捆数最多？即：对与成品总捆数相同时，求解问题1中的第3级捆数的最大值。用第3级所对应的原料装出的成品捆数总和的最大值来建立目标函数，即：max z= y，再用第3级成品的总长度89 y和总根数20 y与不同档的根数x确定约束条
3、件，以此建立一个线性规划模型，用lindo软件求解。对于问题3：当总长度允许有0.5米的误差，总根数允许比比标准少1根时，怎样搭配原材料才能使装出的捆数最多？目标函数同问题1，即：max z=y+y+y，在问题1的基础上考虑约束条件中的总长度的范围和总根数是否减少1根，与不同档的根数x确立约束条件，以此建立一个线性规划模型，用lindo软件求解。对于问题4：原料剩余可以降级使用，即14-25.5米剩余的可用于7-13.5米，7-13.5米剩余的可用于3-6.5米，怎样搭配原材料才能使装出的捆数最多？目标函数同问题1，即：max z=y+y+y，约束条件在上述问题的基础上，对应总长度和总根数还要
4、加上上一级所剩余的数量，以此建立一个线性规划模型，用lindo软件求解。最后，我们分析了上述各种策略的弊端，并对模型进行简化，以此提出来最佳的方案，使本文的模型结构简单，便于理解，算法复杂度低，并且可扩展性高，较好地解决了本文中提出的问题，而且可以进一步推广到相关领域问题的求解。建立线性规划模型可以优化资源，用最少的原料生产出最多的产品，充分节约资源，有利于社会主义可持续发展建设目标的实施。关键字：分档 根数 捆数 lindo 线性规划一、问题重述原料按长度分档，以0.5米为一档，如：3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。表1是几种常见成品的规格，长度单位为
5、米，表示没有上限，取25.5米。表1 成品规格表最短长度最大长度根数总长度36.52089713.588914589为了提高生产效率，公司计划改变组装工艺，先丈量所有原料，建立一个原料表。表2为某批次原料描述。表2 原料描述表长度3-3.43.5-3.94-4.44.5-4.95-5.45.5-5.96-6.46.5-6.9根数4359394127283421长度7-7.47.5-7.98-8.48.5-8.99-9.49.5-9.910-10.410.5-10.9根数2424202521232118长度11-11.411.5-11.912-12.412.5-12.913-13.413.5-1
6、3.914-14.414.5-14.9根数3123225918253529长度15-15.415.5-15.916-16.416.5-16.917-17.417.5-17.918-18.418.5-18.9根数3042284245495064长度19-19.419.5-19.920-20.420.5-20.921-21.421.5-21.922-22.422.5-22.9根数526349352716122长度23-23.423.5-23.924-24.424.5-24.925-25.425.5-25.9根数060001根据以上成品和原料描述，设计一个原料搭配方案，工人根据这个方案“照方抓药”进
7、行生产。结合题意提出问题如下（1） 对于给定的一批原料，怎样搭配原材料才能使装出的捆数最多？（2） 对于成品捆数相同的方案，怎样搭配原材料才能使最短长度最长的捆数最多？（3） 当总长度允许有0.5米的误差，总根数允许比标准少1根时，怎样搭配原材料才能使装出的捆数最多？（4） 剩余材料可以降级使用时，怎样搭配原材料才能使装出的捆数最多？二、问题分析2.1背景分析天然肠衣（以下简称肠衣）制作加工是我国的一个传统产业，出口量占世界首位。肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），进入组装工序。传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。根据成品和原
8、料描述，设计一个原料搭配方案，工人根据这个方案“照方抓药”进行生产。这是一个典型的优化资源分配问题，重点是确定变量，确定好变量后，将变量组合起来，建立目标函数和约束条件，从而求解问题。建立线性规划模型可以优化资源，用最少的原料生产出最多的产品，充分节约资源，有利于社会主义可持续发展建设目标的实施。2.2问题分析问题1：对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好。原材料是一定的，而要使装出的成品捆数最大，就可以令成品总捆数的最大值max z= y+y+y为目标函数，令不同档所对应的根数为变量，再用总长度和总根数与不同档所对应的根数确定约束条件，以此建立一个线性规划模型。问题2：对于成品捆数相同的
9、方案，最短长度最长的成品越多，方案越好。就是成品捆数不变使，求解第3级捆数的最大值，因此建立目标函数为max z= y，再用第3类的总长度89y和总根数5y与第3级所对应的不同档的根数确定约束条件，以此建立一个线性规划模型。问题3：为提高原料使用率，总长度允许有 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根。当总长度允许有0.5米的误差，总根数允许比比标准少1根时，怎样搭配原材料才能使装出的捆数最多？在问题1的基础上考虑约束条件中的总长度的范围和总根数是否减少1根，和每档的根数建立约束条件，目标函数同问题1，以此建立一个线性规划模型。 问题4：某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。如长度为14
10、米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格。目标函数同问题1，约束条件在前面问题的基础上，对应总长度和总根数还要加上上一级所剩余的数量，以此建立一个线性规划模型。三、模型假设（1）假设原材料都是新鲜的，没有变质。（2）假设生产出来的成品都是合格的，没有废品。（3）假设工人都是按正常工艺生产，没有不良情绪。（4）假设生产严格按照天然肠衣加工良好操作规范（GBT 22637-2008）。四、符号说明z：装出的成品总捆数（单位：捆）；y:3-6.5米内原材料装出的成品捆数之和（单位：捆）；y：7-13.5米内原材料装出的成品捆数之和（单位：捆）；y：14-25.5米
11、内原材料装出的成品捆数之和（单位：捆）；x:3米-25.5米原料按长度分档，以0.5米为一档，装出的成品总捆数中每档所对应的总根数（单位：根），如：x-装出的成品总捆数中3米所对应的总根数，x-装出的成品总捆数中3.5米所对应的总根数，x-装出的成品总捆数中4米所对应的总根数，其余的以此类推。五、模型的建立与求解5.1问题1模型的建立与求解问题1：对于给定的一批原料，怎样搭配原材料才能使装出的捆数最多？表3 成品规格表最短长度最大长度根数总长度36.52089713.588914589根据成品规格表中的最短长度和最长长度把把原料中的不同档分为3级，即：3-6.5米、7-13.5米、14-25.
12、5米三级。各级对应的捆数分别为y，y，y，要使装出的捆数最多，就是求y+y+y的最大值，由此可以确定目标函数为Max z=y+y+y。把原料按长度分档，以0.5米为一档，如：3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。设每档对应的用于生产成品的根数x为变量，因此，可以把表2简化为下表表4所示：表4 原料描述简化表长度33.544.555.566.5根数4359394127283421长度77.588.599.51010.5根数2424202521232118长度1111.51212.51313.51414.5根数3123225918253529长度1515.516
13、16.51717.51818.5根数3042284245495064长度1919.52020.52121.52222.5根数526349352716122长度2323.52424.52525.5根数060001由上表可以知道不同档所消耗原料的根数x不能大于该档原材料的根数，且不能小于0，如：0x43，0x59，0x39等。结合表3、表4可以得出每级所对应的总长度89y和总根数不大于原材料的总长度和总根数。因此，建立数学模型如下所示：Max z=y+y+yst89y3x+3.5x+4x+4.5x+5x+5.5x+6x+6.5x;89y7x+7.5x+8x+8.5x+9x+9.5x+10x+10.
14、5x+11x+11.5x+12x+12.5x+13+13.5x;89y14x+14.5x+15x+15.5x+16x+16.5x+17x+17.5x+18x+18.5x+19x+19.5x+20x+20.5x+21x+21.5x+22x+22.5x+23.5x+25.5x;20yx+x+x+x+x+x+x+x;8yx+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x;5yx+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x;0x43;0x59;0x39;0x41;0x27;0x28;0x34;0x21;0x24;0x24;0x20;0x25;0x21;0x23;0x
15、21;0x18;0x31;0x23;0x22;0x59;0x18;0x25;0x35;0x29;0x30;0x42;0x28;0x42;0x45;0x49;0x50;0x64;0x52;0x63;0x49;0x35;0x27;0x16;0x12;0x2;0x6;0x1.用lindo软件解得：LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 191.6348 VARIABLE VALUE REDUCED COST Y1 14.600000 0.000000 Y2 41.634830 0.000000 Y3 135.399994 0.00
16、0000 X1 43.000000 0.000000 X2 59.000000 0.000000 X3 39.000000 0.000000 X4 41.000000 0.000000 X5 27.000000 0.000000 X6 28.000000 0.000000 X7 34.000000 0.000000 X8 21.000000 0.000000 X9 24.000000 0.000000 X10 24.000000 0.000000 X11 20.000000 0.000000 X12 25.000000 0.000000 X13 21.000000 0.000000 X14 2
17、3.000000 0.000000 X15 21.000000 0.000000 X16 18.000000 0.000000 X17 31.000000 0.000000 X18 23.000000 0.000000 X19 22.000000 0.000000 X20 59.000000 0.000000 X21 18.000000 0.000000 X22 25.000000 0.000000 X23 35.000000 0.000000 X24 29.000000 0.000000 X25 30.000000 0.000000 X26 42.000000 0.000000 X27 28
18、.000000 0.000000 X28 42.000000 0.000000 X29 45.000000 0.000000 X30 49.000000 0.000000 X31 50.000000 0.000000 X32 64.000000 0.000000 X33 52.000000 0.000000 X34 63.000000 0.000000 X35 49.000000 0.000000 X36 35.000000 0.000000 X37 27.000000 0.000000 X38 16.000000 0.000000 X39 12.000000 0.000000 X40 2.0
19、00000 0.000000 X41 6.000000 0.000000 X42 1.000000 0.000000由该程序结果可知：max z=191.6348捆，取整数为max z=191捆。由此可知对于给定的一批原料，按该程序结果搭配原材料能使装出的捆数最多，最多捆数为191捆。5.2问题2模型的建立与求解问题2：对于成品捆数相同的方案，怎样搭配原材料才能使最短长度最长的捆数最多？成品捆数相同，要使最短长度最长的捆数最多，也就是说要使第三极的成品捆数y最多，由此可以建立目标函数为Max z= y，变量为第三极所对应的不同档的用于生产成品的根数x，由第1问分析可以建立目标函数Max z=
20、y与变量x之间的约束条件，建立模型如下：Max z= yst89y14x+14.5x+15x+15.5x+16x+16.5x+17x+17.5x+18x+18.5x+19x+19.5x+20x+20.5x+21x+21.5x+22x+22.5x+23.5x+25.5x;5yx+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x;0x35;0x29;0x30;0x42;0x28;0x42;0x45;0x49;0x60;0x64;0x52;0x63;0x49;0x35;0x27;0x16;0x12;0x2;0x6;0x1.用lindo软件解得：LP OPTIMUM FOUN
21、D AT STEP 21 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 135.4000 VARIABLE VALUE REDUCED COST Y3 135.399994 0.000000 X23 35.000000 0.000000 X24 29.000000 0.000000 X25 30.000000 0.000000 X26 42.000000 0.000000 X27 28.000000 0.000000 X28 42.000000 0.000000 X29 45.000000 0.000000 X30 49.000000 0.000000 X31 50.000000 0
22、.000000 X32 64.000000 0.000000 X33 52.000000 0.000000 X34 63.000000 0.000000 X35 49.000000 0.000000 X36 35.000000 0.000000 X37 27.000000 0.000000 X38 16.000000 0.000000 X39 12.000000 0.000000 X40 2.000000 0.000000 X41 6.000000 0.000000 X42 1.000000 0.000000由该程序结果可知：max z=135.4000捆，取整数为max z=135捆。由此可
23、知对于成品捆数相同的方案，按该程序结果搭配原材料能使最短长度最长的捆数最多，最多捆数为135捆。5.3问题3模型的建立与求解当总长度允许有0.5米的误差，总根数允许比标准少1根时，怎样搭配原材料才能使装出的捆数最多？根据总长度允许有0.5米的误差，可以把表1简化为下表所示：表5 成品规格调整表最短长度最大长度根数总长度36.520890.5713.58890.5145890.5要使装出的捆数最多，就可以用捆数最多来建立目标函数，即：Max z=y+y+y，变量为各级所对应的不同档的用于生产成品的根数x，由总长度允许有0.5米的误差，可知总长度要在890.5米。由总根数允许比标准少1根，可以把这
24、个问题分为4种情况考虑，分别是：（1）总根数不减少，即总根数为20y+8y+5y；（2）总根数比标准少1根，第1级比标准少1根为20y-1，第2级为8y，第3级为5y；（3）总根数比标准少1根，第2级比标准少1根为8y-1，第1级为20y，第3级为5y；（4）总根数比标准少1根，第3级比标准少1根为5y-1，第1级为20y，第2级为8y。这4种情况结合上述分析，可以分别得到下面4种模型。5.3.1总根数不减少，即总根数为20y+8y+5y。Max z=y+y+yst（89-0.5）y3x+3.5x+4x+4.5x+5x+5.5x+6x+6.5x(89+0.5)y;(89-0.5)y7x+7.5
25、x+8x+8.5x+9x+9.5x+10x+10.5x+11x+11.5x+12x+12.5x+13x+13.5x(89+0.5)y;(89-0.5)y14x+14.5x+15x+15.5x+16x+16.5x+17x+17.5x+18x+18.5x+19x+19.5x+20x+20.5x+21x+21.5x+22x+22.5x+23.5x+25.5x (89+0.5)y;20yx+x+x+x+x+x+x+x; 8yx+x+x+x+x+x+x+1x+x+x+x+x+x+x; 5yx+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x ;0x43;0x59;0x39;0x
26、41;0x27;0x28;0x34; 0x21;0x24;0x24;0x20;0x25;0x21;0x23;0x21;0x18;0x31;0x23;0x22;0x59;0x18;0x25;0x35;0x29;0x30;0x42;0x28;0x42;0x45;0x49;0x50;0x64;0x52;0x63;0x49;0x35;0x27;0x16;0x12;0x2;0x6;0x1.用lindo软件解得：LP OPTIMUM FOUND AT STEP 58 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 190.4701 VARIABLE VALUE REDUCED COST Y1 14
27、.600000 0.000000 Y2 41.870056 0.000000 Y3 134.000000 0.000000 X1 43.000000 0.000000 X2 59.000000 0.000000 X3 39.000000 0.000000 X4 41.000000 0.000000 X5 27.000000 0.000000 X6 28.000000 0.000000 X7 34.000000 0.000000 X8 21.000000 0.000000 X9 24.000000 0.000000 X10 24.000000 0.000000 X11 20.000000 0.0
28、00000 X12 25.000000 0.000000 X13 21.000000 0.000000 X14 23.000000 0.000000 X15 21.000000 0.000000 X16 18.000000 0.000000 X17 31.000000 0.000000 X18 23.000000 0.000000 X19 22.000000 0.000000 X20 59.000000 0.000000 X21 18.000000 0.000000 X22 25.000000 0.000000 X23 35.000000 0.000000 X24 29.000000 0.00
29、0000 X25 30.000000 0.000000 X26 42.000000 0.000000 X27 28.000000 0.000000 X28 42.000000 0.000000 X29 45.000000 0.000000 X30 49.000000 0.000000 X31 50.000000 0.000000 X32 64.000000 0.000000 X33 52.000000 0.000000 X34 63.000000 0.000000 X35 49.000000 0.000000 X36 35.000000 0.000000 X37 27.000000 0.000
30、000 X38 16.000000 0.000000 X39 12.000000 0.000000 X40 2.000000 0.000000 X41 0.000000 0.000000 X42 0.000000 0.071429由该程序结果可知：max z=190.4701捆，取整数为max z=190捆。5.3.2总根数比标准少1根，第1级比标准少1根为20y-1，第2级为8y，第3级为5y。Max z=y+y+yst（89-0.5）y3x+3.5x+4x+4.5x+5x+5.5x+6x+6.5x(89+0.5)y;(89-0.5)y7x+7.5x+8x+8.5x+9x+9.5x+10x+
31、10.5x+11x+11.5x+12x+12.5x+13x+13.5x(89+0.5)y;(89-0.5)y14x+14.5x+15x+15.5x+16x+16.5x+17x+17.5x+18x+18.5x+19x+19.5x+20x+20.5x+21x+21.5x+22x+22.5x+23.5x+25.5x (89+0.5)y;20y-1x+x+x+x+x+x+x+x; 8yx+x+x+x+x+x+x+1x+x+x+x+x+x+x; 5yx+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x+x ;0x43;0x59;0x39;0x41;0x27;0x28;0x34; 0
32、x21;0x24;0x24;0x20;0x25;0x21;0x23;0x21;0x18;0x31;0x23;0x22;0x59;0x18;0x25;0x35;0x29;0x30;0x42;0x28;0x42;0x45;0x49;0x50;0x64;0x52;0x63;0x49;0x35;0x27;0x16;0x12;0x2;0x6;0x1.用lindo软件解得：LP OPTIMUM FOUND AT STEP 58 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 190.5201 VARIABLE VALUE REDUCED COST Y1 14.650000 0.000000 Y2
33、41.870056 0.000000 Y3 134.000000 0.000000 X1 43.000000 0.000000 X2 59.000000 0.000000 X3 39.000000 0.000000 X4 41.000000 0.000000 X5 27.000000 0.000000 X6 28.000000 0.000000 X7 34.000000 0.000000 X8 21.000000 0.000000 X9 24.000000 0.000000 X10 24.000000 0.000000 X11 20.000000 0.000000 X12 25.000000
34、0.000000 X13 21.000000 0.000000 X14 23.000000 0.000000 X15 21.000000 0.000000 X16 18.000000 0.000000 X17 31.000000 0.000000 X18 23.000000 0.000000 X19 22.000000 0.000000 X20 59.000000 0.000000 X21 18.000000 0.000000 X22 25.000000 0.000000 X23 35.000000 0.000000 X24 29.000000 0.000000 X25 30.000000 0.000000 X26 42.000000 0.000000 X27 28.000000 0.000000 X28 42.000000 0.000000 X29 45.000000 0.000000 X30 49.000000 0.000000 X31 50.000000 0.000000 X32 64.000000 0.000000 X33 52.000000 0.000000 X34 63
