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1、 1.4 船有触礁的危险吗（两课时）教学目标：1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用. 2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.教学重点： 1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用. 2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.教学难点： 根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.教学过程设计教 学 过 程 设 计补充完善一、复习引入 问题提出：下面我们就来看一个问题海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55的B处，往东
2、行驶20海里后，到达该岛的南偏西25的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.下面就请同学们用锐角三角函数知识解决此问题.(板书：船有触礁的危险吗)二、知识要点1、 一物体沿坡度为的山坡向上移动，则物体升高了答案：12、 在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为，沿水平方向，再向塔底前进，又测得塔尖的仰角为，那么电视塔的高为答案：3、如图所示，在高，坡角为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要答案：4、如图所示，铁路的路基横断面是等腰梯形，斜坡的坡度为，坡面的水平宽度为，基面宽为，则，三、典例分析（一）应知应会例1下面我们再来看刚刚引入
3、新课的问题：海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?分析：老师提出以下问题，学生思考并回答：1、我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的? 2、请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的.学生首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55的B处，C在B的正东方，且在A南偏东25处.示意图如下. 3、货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定? 4、能将实际问题清晰条理地转化成
4、数学问题.下面我们就来看AD如何求.根据题意，有哪些已知条件呢? 生已知BC20海里，BAD55，CAD25. 5、在示意图中，有两个直角三角形RtABD和RtACD.你能在哪一个三角形中求出AD呢? 生在RtACD中，只知道CAD=25，不能求AD. 生在RtABD中，知道BAD=55，虽然知道BC20海里，但它不是RtABD的边，也不能求出AD. 但是发现这两个三角形有联系，AD是它们的公共直角边.而且BC是这两个直角三角形BD与CD的差，即BCBD-CD.BD、CD的对角是已知的，BD、CD和边AD都有联系. 6、有何联系呢?在RtABD中，tan55，BD=ADtan55；在RtACD
5、中，tan25，CDADtan25. 解：过A作BC的垂线，交BC于点D.得到RtABD和RtACD，从而BD=ADtan55，CDADtan25，由BD-CDBC，又BC20海里.得 ADtan55-ADtan2520. AD(tan55-tan25)20， AD=20.79(海里). 这样AD20.79海里10海里，所以货轮没有触礁的危险.例2接下来，我们再来研究一个问题.还记得本章开头小明要测塔的高度吗?现在我们来看他是怎样测的，并根据他得到的数据帮他求出塔的高度. 想一想：如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30，再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60.那么
6、该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m) 分析：老师提出以下问题，学生思考并回答： 1、我想请一位同学告诉我什么是仰角?在这个图中，30的仰角、60的仰角分别指哪两个角? 请同学们独立思考解决这个问题的思路，然后回答. 解：在RtADC中，tan30=， 即AC在RtBDC中，tan60=, 即BC，又AB=AC-BC50 m，得 -=50. 解得CD43(m)， 即塔CD的高度约为43 m. 若学生提问：我有一个问题，小明在测角时，小明本身有一个高度，因此在测量CD的高度时应考虑小明的身高. 师答：这位同学能根据实际大胆地提出质疑，很值得赞赏.在实际测量时.的确应该考虑小明的身高
7、，更准确一点应考虑小明在测量时，眼睛离地面的距离. 问： 如果设小明测量时，眼睛离地面的距离为1.6 m，其他数据不变，此时塔的高度为多少?你能画出示意图吗? 对应训练：1、如图，两建筑物的水平距离，从测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低建筑物的高为 。答案：2、河堤的横断面如图所示，堤高，迎水斜坡的长为，那么斜坡的坡度是 北东3、几个学生利用水塔影测塔高，他们在某一时刻测得高的竹竿影长为，但他们马上测塔高时，因水塔靠近一栋楼，影子不是全部落在地面上，有一部分影子落在墙上，他们测得留在地面部分的影长是，留在墙壁部分的影长是，则水塔高为 答案：例3 如图所示，某船从点向正东方向航行，在处望见灯
8、塔在东北方向，前进到处望见灯塔在北偏西方向，又航行了半小时到处，望见灯塔恰在西北方向，若船速为每小时海里，求，两点间距离答案：作，垂足为，设海里，在Rt中，即，得，（海里）随堂练习： 1.如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40夹角，且DB5 m，现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少?解：在RtCBD中，CDB=40，DB=5 m，sin40= ，BC=DBsin40=5sin40(m). 在RtEDB中，DB=5 m，BE=BC+EC2+5sin40(m). 根据勾股定理，得DE=7.96(m). 所以钢缆ED的长度为7.96 m. 2.如图，水库大坝的
9、截面是梯形ABCD，坝顶AD6 m，坡长CD8 m.坡底BC30 m，ADC=135. (1)求ABC的大小：(2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01 m3)解：过A、D分别作AEBC，DFBC，E、F为垂足. (1)在梯形ABCD中.ADC135， FDC45，EFAD=6 m.在RtFDC中，DC8 m.DFFCCD.sin45=4 (m). BE=BC-CF-EF=30-4-6=24-4(m).在RtAEB中，AEDF=4 (m). tanABC0.308. ABC17821. (2)梯形ABCD的面积S(AD+BC)AE = (6+30)4 =72
10、 (m2). 坝长为100 m，那么建筑这个大坝共需土石料10072 10182.34(m3). 综上所述，ABC17821，建筑大坝共需10182.34 m3土石料.（二）综合拓展(2003年贵州贵阳)如图，某货船以20海里时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里时的速度由A向北偏西60方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响. (1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由.(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据：1.4， 1.7) 分析：这是
11、一道需借助三角知识解决的应用问题，需抓住问题的本质特征.在转化、抽象成数学问题上下功夫. 解：(1)过点B作BDAC.垂足为D. 依题意，得BAC30，在RtABD中，BD= AB=2016=160200， B处会受到台风影响. (2)以点B为圆心，200海里为半径画圆交AC于E、F，由勾股定理可求得DE=120. AD=160. AE=AD-DE=160 -120， =3.8(小时). 因此，陔船应在3.8小时内卸完货物.（三）归纳小结本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我们分析和解决实际问题的能力. 其实，我们这一章所学的内容属于“三角学”的范畴.请同学们阅读“读
12、一读”，了解“三角学”的发展，相信你会对“三角学”更感兴趣.创设问题情境，引入新课直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等.答案：；生应该是“上北下南，左西右东”.生根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险.A到BC所在直线的最短距离为过A作ADBC，D为垂足，
13、即AD的长度.我们需根据题意，计算出AD的长度，然后与10海里比较.总结：在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一.学生口答：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角.30的仰角指DAC，60的仰角指DBC.(教师留给学生充分的思考时间，感觉有困难的学生可给以指导)学生答: 示意图如右图所示，解答过程可知CC43 m，则CD43+1.644.6 m.即考虑小明的高度，塔的高度为44.6 m.三、课堂检测xOAyB1、 如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高24m，斜坡的坡角为，斜坡的坡角的正切值为，则坡底的长为 .24m
14、6m答案：m2、如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了个4单位，到达B点后观察到原点O在它的南偏东60的方向上，则原来A的坐标为 （结果保留根号）北东答案：(0，4)3、由于过度采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭近日市气象局测得沙尘暴中心在市正东方向的处，正在向西北方向转移（如图所示），距沙尘暴中心的范围内将受其影响，问：市是否会受这次沙尘暴的影响？答案：过作于，在Rt中，ABCD故市会受到这次沙尘暴的影响4、临江市为促进本地经济发展，计划修建跨河大桥，现需要测出河的宽度，已知在河边一座高为的山顶观测点处测得点和点的俯角分别为，求河的宽度（运算过程和结果都保留根号）答案：在
15、Rt中，即河的宽度为北5、如图，海关某缉私艇巡逻到达处时，接到情报，在处北偏西方向的处发现一艘可疑船只，正以的速度向正东方向前进，上级命令对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西的方向快速前进，经过的航行，正好在处截住可疑船只，求该艇的速度（结果保留到整数）答案：由已知得设，则在Rt中，又，6、海中有一个小岛，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点测得小岛在北偏东，航行12海里到达点，这时小岛在北偏东，如果渔船不改变方向航行，继续向东捕捞，有没有触礁的危险？请说明理由答案：有触礁的危险，理由略东7、如图，一艘渔船正以每小时的速度由西向东航行，在处看见小岛在船的北偏东方向上，后，渔船
16、行至处，此时看见小岛在船的北偏东方向上若以小岛的中心周围的范围内是危险区，问：这艘渔船继续向东航行是否有进入危险区的可能？答案：过作交的延长线于易知，在Rt中，故这艘渔船继续向东航行，没有进入危险区的可能8、 某风景区内有一古塔，在塔的北面有一建筑物，冬至日的正午光线与水平面的夹角是，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子；而在春分日正午光线与地面的夹角是，此时塔尖在地面上的影子与墙角有15米的距离（B、E、C在一条直线上），求塔的高度（结果保留根号）答案：解：过点作，垂足为F四边形是矩形设米在中，在中，解得答：塔的高度是米作业：反比例函数学案（一）基础落实1当为何值时，函数是反比例函数2已知
17、变量与成反比例，且时，求与之间的函数关系式3已知反比例函数经过点，求这个函数表达式4已知函数，与成正比例，与成反比例，且当时，；当x=3时，（1）求与之间的函数关系式； （2）当时，求的值5给出下列四个关于是否成反比例的命题，判断它们的真假（1）面积一定的等腰三角形的底边长和底边上的高成反比例；（2）面积一定的菱形的两条对角线长成反比例；（3）面积一定的矩形的两条对角线长成反比例；（4）面积一定的直角三角形的两直角边长成比例（二）综合拓展1设反比例函数，正比例函数，求与之间的函数关系式，并指明它是什么函数（三）课堂检测1在；四个函数中，为反比例函数的是2如果函数是反比例函数，那么的值是3当 时
18、，函数是反比例函数5已知与成反比例，当时，则当时，6近视眼镜的度数（度）与镜片焦距米成反比例，已知度近视眼镜镜片的焦距为米，那么眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式是4.船有触礁的危险吗第8题. 某型号飞机的机翼形状如图所示，其中，根据图中的数据计算，和的长度（结果保留根号）答案：过，分别作，为垂足在Rt中，在Rt 中，第10题. 如图，燕尾槽的横断面是等腰梯形，其中，外口宽，燕尾槽的深度是，求它的里口宽的宽度答案：分别作，垂足为，在Rt中，第11题. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力根据气象观测，距沿海某城市的正南方向的处有一台风中心，其
19、中心最大风力为12级，每远离台风中心，风力就减少一级，该台风中心正以的速度沿北偏东方向往移动，且台风中心风力不变若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响（1）该城市是否会受到此次台风的影响？请说明理由（2）若受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？答案：（1）过点作，垂足为，该城市受台风影响（2）设，即当台风中心从处移到处时，该城市会受到台风的影响，则台风影响该城市时间要持续（3）当台风中心位于处时，市受到风力最大，其最大风力为（级）第12题. 如图，中，利用此图可得（）答案：第13题. 已知在中，求的长答案：作于，在Rt中，由于，故有点
20、在线段上或在线段延长线上两种可能（1）当点在上时，在Rt中，在Rt中，（2）当点在延长线上时，由上而得，综上，的长是12或6乙甲第14题. 甲、乙两楼相距80m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为，求甲、乙两楼的高（精确到1m）答案：甲80m，乙34m第15题. 学校校园内有一块如图所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园1m造价30元，学校建这个花园需要投资多少钱？（精确到1元）？20m30m答案：779 4元第16题. 如图，垫铁小端高度cm，长cm，大端高度cm，求垫铁的倾斜角（精确到）答案：2m3m第17题. 一条水渠的横断面是等腰梯形，坡
21、角为，渠深为2m，渠底宽3m，求水渠的上口宽和横断面的面积（保留四个有效数字）答案：7.767m，10.77m第18题. 在加工如图所示的垫模时，需计算斜角，根据图示数据求83140150124答案：ABCED第19题. 如图，沿方向开山修渠，为加快施工进度，要在小山的另一边同时施工从上的一点取，m，那么开挖点离多元，正好能使，成直线（精确到0.1m）？答案：离约m，正好能使，成一直线（注意：这时，问题就转化为解关于直角三角形的问题）第20题. 如图，梯形是一堤坝横截面的示意图，坡角，斜坡，上底求坝高及下底的长（结果保留根号）答案：坝高，下底长第21题. 如图，在港口的正东15海里处有一观测站
22、，一艘货船从处向正北方向航行，当货船航行到处时，从观测站测得货船的方向为北偏西0.5h后，货船到这处，此时从处测得货船的方向为北偏西求货船航行的速度（精确到1海里，）东北答案：约为13 n mile/h巧用直角三角形解决实际生活问题黑龙江 王国仁 在生活实际中，特别在勘探、测量工作中，常需了解或确定某种大型建筑物的高度或不能用尺直接量出的两地之间的距离等，而这些问题一般都要通过严密的计算才可能得到答案，并且需要先想方设法利用一些简单的测量工具，如：皮尺，测角仪，木尺等测量出一些重要的数据，方可计算得到有关设计的原理就是来源于本章的太阳光或灯光与影子的关系和解直角三角形的有关知识下面介绍几例使同
23、学们增加对直角三角形应用的认识例1 （甘肃）如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB=CD=30m，两楼间的距离AC=24 m，现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况当太阳光与水平线的夹角为300时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1 m，1.41， 1.73) 分析：太阳光可看成平行投影，本题关键是构造可解的直角三角形 解：设甲楼影子在乙楼上最高点为E，作EFAB于F，则在RtBFE中，BF=EFtan300=ACtan300=813.8(m)， CE=AB-BF=16.2(m)答：甲楼在乙楼上的影子有16.2 m高例2 有一辆客车在平坦的大路上行驶，前方有两幢高楼，且A、B两处的高度分别为
24、72 m和36 m，两幢楼间准为30米，客车离B楼36 m，即FC 36 m求此时客车看到A楼的高度 分析：理解题意是关键，实际上是求DH的长，可用相似三角形去完成解析：由于EF=FC=36，ECF=450 DG=GC=30+60=66故看到的楼高为DH=72-66=6例3 在北半球某地有一间房子面向正南，假定房檐离地面高3米，窗台高80厘米(窗高暂不考虑)如果冬天太阳最低时，正午是310，夏天太阳最高时，正午是780，若你是一名建筑师，就要考虑房檐设计为多宽，才能正好在夏天使阳光进不了房子，而在冬天使阳光最大可能的照进屋里怎样设计?分析：这个问题并不难，为了解决它，我们依照题意画一个图，设房
25、檐宽为x厘米，冬天照进屋里的阳光最深为y厘米，那么利用解三角形的知识，计算出x，也就得到y了 解：在直角ABC中， AB=x，ABC=900，BC=300-80-220(厘米)，BAC=780，所以cot780= 所以x=220cot780=220O.21=46.2(厘米) 为了求y，我们由A点向地面ED引垂线，设垂足为F，则在AEF中，AF=300厘米，AFE=900，AEF=310， EF=y+DF=y+46.2，所以cot310=所以 y+46.2=300cot310， y=3001.66=46.2=451.8(厘米) 所以，由上面计算结果，只要把房檐的宽设计为46.2厘米，就保证夏天阳光照不进房子，而冬天阳光却可以照进屋里达4.52米的深度 解后语：如果你对这个问题感兴趣，你家住的又是北方的话，那么你不妨在夏至那天正午，看看阳光照在你家房檐下的什么地方，并记录了太阳的高度，在冬至那天正午，再看阳光照进屋里有下多深，并记录下太阳的高度，这样就可以从数学的角度研究你家的房子的设计是否合理了
