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1、2.5指数与指数函数1 分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a(a0，m，nN，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是a(a0，m，nN，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义(2)幂的运算性质：amanamn，(am)namn，(ab)nanbn，其中a0，b0，m，nR.2 指数函数的图像与性质yaxa10a0时，y1；x0时，0y0时，0y1；x1(6)是R上的增函数(7)是R上的减函数1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)()44.()(2)(1) (1) .()(3)函数yax是R上的增函数()(4)函数ya(a1)的值域是(0，)()
2、(5)函数y2x1是指数函数()(6)函数y()1x的值域是(0，)()2 若a(2)1，b(2)1，则(a1)2(b1)2的值是()A1 B. C. D.答案D解析a(2)12，b(2)12，(a1)2(b1)2(3)2(3)2.3 设函数f(x)a|x|(a0，且a1)，f(2)4，则()Af(2)f(1) Bf(1)f(2)Cf(1)f(2) Df(2)f(2)答案A解析f(x)a|x|(a0，且a1)，f(2)4，a24，a，f(x)|x|2|x|，f(2)f(1)4 若函数y(a21)x在(，)上为减函数，则实数a的取值范围是_答案(，1)(1，)解析由y(a21)x在(，)上为减函
3、数，得0a211，1a22，即1a或a0，b0)；(2) .思维启迪运算中可先将根式化成分数指数幂，再按照指数幂的运算性质进行运算解(1)原式ab1.(2)原式10(2)11010201.思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数(1)化简(x0，y1，b1，b0C0a0D0a1，b0(2)若函数f(x)e(e是自然对数的底数)的最大值是m，且f(x)是偶函数，则m_.思维启迪对于
4、和指数函数的图像、性质有关的问题，可以通过探求已知函数和指数函数的关系入手答案(1)D(2)1解析(1)由f(x)axb的图像可以观察出函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)axb的图像是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b0且a1)的定义域和值域都是0,2，则实数a_.答案(1)A(2)解析(1)y1，当x0时，e2x10，且随着x的增大而增大，故y11随着x的增大而减小，即函数y在(0，)上恒大于1且单调递减又函数y是奇函数，故只有A正确(2)当a1时，x0,2，y0，a21，a212，即a.当0a1时，x0,2，ya21,0，此时定义域与值域不一致，无解综
5、上，a.题型三指数函数的应用例3(1)k为何值时，方程|3x1|k无解？有一解？有两解？(2)已知定义在R上的函数f(x)2x.若f(x)，求x的值；若2tf(2t)mf(t)0对于t1,2恒成立，求实数m的取值范围思维启迪方程的解的问题可转为函数图像的交点问题；恒成立可以通过分离参数求最值或值域来解决解(1)函数y|3x1|的图像是由函数y3x的图像向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图像如图所示当k0时，直线yk与函数y|3x1|的图像无交点，即方程无解；当k0或k1时，直线yk与函数y|3x1|的图像有唯一的交点，所以方程有一解；当0k1时，直线yk
6、与函数y|3x1|的图像有两个不同的交点，所以方程有两解(2)当x0，x1.当t1,2时，2tm0，即m(22t1)(24t1)，22t10，m(22t1)，t1,2，(22t1)17，5，故m的取值范围是5，)思维升华对指数函数的图像进行变换是利用图像的前提，方程f(x)g(x)解的个数即为函数yf(x)和yg(x)图像交点的个数；有关复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数，搞清复合函数的结构设函数f(x)kaxax(a0且a1)是定义域为R的奇函数(1)若f(1)0，试求不等式f(x22x)f(x4)0的解集；(2)若f(1)，且g(x)a2xa2x4f(x)，求g(x)在1，)上的
7、最小值解因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)0，所以k10，即k1.(1)因为f(1)0，所以a0，又a0且a1，所以a1.因为f(x)axln aaxln a(axax)ln a0，所以f(x)在R上为增函数，原不等式可化为f(x22x)f(4x)，所以x22x4x，即x23x40，所以x1或x1或x4(2)因为f(1)，所以a，即2a23a20，所以a2或a(舍去)所以g(x)22x22x4(2x2x)(2x2x)24(2x2x)2.令t(x)2x2x(x1)，则t(x)在(1，)为增函数(由(1)可知)，即t(x)t(1)，所以原函数为(t)t24t2(t2)22，所以当t2时
8、，(t)min2，此时xlog2(1)即g(x)在xlog2(1)时取得最小值2.换元法解决与指数函数有关的值域问题典例：(10分)(1)函数y()的值域是()A(，4) B(0，)C(0,4 D4，)(2)函数y()x()x1在x3,2上的值域是_解析(1)设tx22x1，则y()t.因为t(x1)222，y()t为关于t的减函数，所以00，a1)的性质和a的取值有关，一定要分清a1与0a0，且a1)的图像可能是()答案C解析当x1时，y0，故函数yaxa(a0，且a1)的图像必过点(1,0)，显然只有C符合2 已知a，函数f(x)ax，若实数m、n满足f(m)f(n)，则m、n的关系为()
9、Amn0Cmn Dmn答案D解析0f(n)，m0，a1)，满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是()A(，2 B2，)C2，) D(，2答案B解析由f(1)得a2，a(a舍去)，即f(x)()|2x4|.由于y|2x4|在(，2上递减，在2，)上递增，所以f(x)在(，2上递增，在2，)上递减故选B.4 若存在负实数使得方程2xa成立，则实数a的取值范围是()A(2，) B(0，)C(0,2) D(0,1)答案C解析在同一坐标系内分别作出函数y和y2xa的图像知，当a(0,2)时符合要求5 已知实数a，b满足等式2 014a2 015b，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba1，则有a
10、b0；(2)若t1，则有ab0；(3)若0t1，则有ab0.故可能成立，而不可能成立二、填空题6(0.002)10(2)1()0_.答案19解析原式()150010(2)1101020119.7 若指数函数yax在1,1上的最大值与最小值的差是1，则底数a_.答案解析若0a1，则aa11，即a2a10，解得a或a(舍去)综上所述a.8 若函数f(x)axxa(a0，且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_答案(1，)解析令axxa0即axxa，若0a1，yax与yxa的图像如图所示有两个公共点三、解答题9 已知函数f(x)bax(其中a，b为常量且a0，a1)的图像经过点A(1,6)，B(3
11、,24)(1)试确定f(x)；(2)若不等式()x()xm0在x(，1上恒成立，求实数m的取值范围解(1)f(x)bax的图像过点A(1,6)，B(3,24)，得a24，又a0且a1，a2，b3，f(x)32x.(2)由(1)知()x()xm0在(，1上恒成立化为m()x()x在(，1上恒成立令g(x)()x()x，则g(x)在(，1上单调递减，mg(x)ming(1)，故所求实数m的取值范围是(，10设a0且a1，函数ya2x2ax1在1,1上的最大值是14，求a的值解令tax (a0且a1)，则原函数化为y(t1)22 (t0)当0a0，所以a.当a1时，x1,1，tax，此时f(t)在上
12、为增函数所以f(t)maxf(a)(a1)2214，解得a3(a5舍去)综上得a或3.B组专项能力提升(时间：30分钟)1 设函数f(x)若F(x)f(x)x，xR，则F(x)的值域为()A(，1 B2，)C(，12，) D(，1)(2，)答案C解析当x0时，F(x)x2；当x0时，F(x)exx，根据指数函数与一次函数的单调性，F(x)是单调递增函数，F(x)F(0)1，所以F(x)的值域为(，12，)2 若关于x的方程|ax1|2a (a0且a1)有两个不等实根，则a的取值范围是()A(0,1)(1，) B(0,1)C(1，) D.答案D解析方程|ax1|2a (a0且a1)有两个实数根转
13、化为函数y|ax1|与y2a有两个交点当0a1时，如图(1)，02a1，即0a1时，如图(2)，而y2a1不符合要求图(1)图(2)综上，0a.3 关于x的方程x有负数根，则实数a的取值范围为_答案解析由题意，得x0，所以0x1，从而01，解得a0且a1)(1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求a的取值范围，使f(x)0在定义域上恒成立解(1)由于ax10，则ax1，得x0，所以函数f(x)的定义域为x|xR，且x0对于定义域内的任意x，有f(x)()(x)3()(x)3(1)(x)3()x3f(x)f(x)是偶函数(2)方法一当a1时，对x0，由指数函数的性质知ax1，ax10，0.又x0时，x
14、30，x3()0，即当x0时，f(x)0.又由(1)知，f(x)为偶函数，故f(x)f(x)，当x0，有f(x)f(x)0.综上知当a1时，f(x)0在定义域内恒成立当0a0时，1ax0，ax10，ax10，此时f(x)0，不满足题意；又f(x)为偶函数，所以当x0，f(x)f(x)1.方法二由(1)知f(x)为偶函数，只需讨论x0时的情况当x0时，要使f(x)0，即()x30，即0，即0，即ax10，ax1，axa0.又x0，a1.当a1时，f(x)0.故a的取值范围是a1.5 已知定义在实数集R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x(0,1)时，f(x).(1)求函数f(x)在(1,1)上的解析式；(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性；(3)当取何值时，方程f(x)在(1,1)上有实数解？解(1)f(x)是xR上的奇函数，f(0)0.设x(1,0)，则x(0,1)，f(x)f(x)，f(x)，f(x)(2)设0x1x21，f(x1)f(x2)，0x1x21，2x1201，f(x1)f(x2)0，f(x)在(0,1)上为减函数(3)f(x)在(0,1)上为减函数，f(x)，即f(x)(，)同理，f(x)在(1,0)上时，f(x)(，)又f(0)0，当(，)(，)，或0时，方程f(x)在x(1,1)上有实数解
