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1、数学问题情境创设的有效性研究结题报告一、课题研究现状述评“问题是数学的心脏，”没有问题就没有数学。数学问题起于数学情境，情境是产生问题的沃土。随着课程改革的不断深入，教育界愈来愈重视对创设问题情境的探索和研究。建构主义学习理论认为，知识是个人或个人与社会建构的产物，强调学习的主动性、社会性和情境性。建构主义主张的抛锚式教学模式，就是使学习者在一个完整、真实的问题背景中，产生学习的需要，“锚”就是为学习者提供的一种学习情境。美国的贾斯珀系列是抛锚式教学的集中体现。情境认知与学习理论认为：个体心理常常产生于构成、指导和支持认知过程的环境之中，认知过程的本质是由情境决定的，情境是一切认知活动的基础；
2、这一理论站在对传统学校的批判角度，提出了“学习是知识的建构，是意义的制定”的观点，从而对人的学习本质的认识不断深入。在国内，贵州师范大学的吕传汉和汪秉彝教授提出了中小学“问题情境”的数学教学模式，该模式的重点在于创设问题情境，把从问题情境中探索和提出数学问题作为教学的出发点。吴爱武、何永刚在数学课堂中优化问题情境创设的策略中论述到：问题情境创设，应充分利用外在的物质材料，展示内在的思维过程，揭示知识的发生、发展过程;应具有促进学生智力和非智力因素的发展;还应使问题情境结构、知识结构和学生认识结构三者和谐统一，促进知识结构向学生认识结构转化。华东师范大学张伟平博士提出数学问题情境创设的有效性。他
3、认为，真正启发学生思维的问题情境是将数学问题巧妙地揉合于具体情境中，而具体情境又能涵盖数学问题的本质，学生借助于数学问题情境更好地理解数学问题的本质。浙江绍兴文理学院沈超剖析了创设数学问题情境存在的几种误区：追求情境，忽视问题，喧宾夺主；情境导课，过程脱节，虎头蛇尾;情境必生活，数学成附属，顾此失彼；情境牵强，调控无力，穿凿附会。从上可以看到，教育界非常重视对创设问题情境的探索和研究，而且提出了数学问题情境创设的有效性问题。但是对创设问题情境的研究往往是所研究的问题的一个方面，详细介绍的不多；在教学实践中的创设问题情境多为经验性的总结，与学习理论相结合、系统研究的较少。二、课题理论意义与应用价
4、值1.创设问题情境是知识建构的需要建构主义认为：学习是学习者在一定的情境即社会文化背景下，借助他人的帮助，利用必要的学习资料，主动建构知识的过程；学生是知识建构的主体，教师应成为学生知识建构的促进者。情境认知与学习理论认为：认知过程的本质是由情境决定的，情境是一切认知活动的基础；提出了“学习是知识的建构，是意义的制定”的观点。因此，教师要着力创设有利于知识内化的问题情境，帮助学生建构所学知识的意义，引导学生积极主动地学习，促进学生的学习方式向自主、合作、探究型转变。2.创设问题情境是实施新数学课程的需要新一轮课程改革正在全国范围内如火如荼地开展。新数学课程标准更注重学生的发展，重视知识和能力，
5、强调过程与方法，关注情感、态度和价值观。要求数学教学从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，使得学生在教师的指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习。然而，中学数学一线教师对创设问题情境缺乏系统的理论与方法的指导，应对新数学课程的实施显得无助，甚至有的教师抱怨创设问题情境耗费太多的时间和精力，也没有明显的效果。3.创设问题情境，有助于激发学生的学习动机、促进情感发展认知需要情感，情感促进认知。良好的问题情境可以激发学生的学习兴趣和愿望，促进学生的情感发展，而且可以不断地维持、强化和调整学习动机，促进学生主动
6、地学习、愉快地学习。因此，教师要善于创设多种问题情境，以激发学生学习数学的兴趣和热情，引动学生主动探究，让创设问题情境成为数学教学过程与学生发展的动力源。4.创设问题情境，可以培养学生的问题意识古人云：“学贵有疑”，“疑是思之始，学之端。”可见问题意识的重要性。问题不是凭空产生的，而是主体在实践或认识活动中受到某些客观因素刺激的结果。苏霍姆林斯基说，创设问题情境，可以使学生成为发现问题、分析问题、解决问题的主人。创设问题情境，就是把学生置于“愤”、“悱”的心理状态，使其“心求通而不能，口欲言而未得”，从而激发学生的问题意识。然而，中学生问题意识淡薄是当前比较突出的问题。究其原因，除了学生自身的
7、内部因素外，没有为学生创设良好的问题情境是重要的外部因素。因此，选择创设问题情境作为研究的课题，对于提高中学数学课堂效率、培养学生的问题意识和创新意识具有重要的意义。三、相关概念的分析1.问题情境：问题情境是指个体觉察到的一种有目的但又不知如何达到这一目的的心理困境，也就是当己有知识不能解决新问题时而出现的一种心理状态。创设问题情境的目的在于揭示事物的矛盾或引起主体内心的冲突，打破主体已有的认知结构的平衡状态，从而唤起思维，激发其内驱力，使学生进入问题者“角色”，真正“融入”学习活动之中。2.问题情境的有效性有三层含义：有效果：指对教学活动结果与预期教学目标的吻合程度的评价;有效率：教学效果和
8、教学投入的比值;有效益：指教学活动价值的实现。从操作层面上说，有没有效益是指教学目标与特定的社会和个人的教学需求是否吻合及吻合程度的高低。3.问题情境的构成前苏联教育家马丘什金认为，问题情境的成分主要有三个方面：问题情境的核心成分是新的、未知的东西，是为了正确地完成所提出的作业和必要的活动而应当加以揭示的东西，未知的东西的最大特点是具有一定的概括性，这是问题情境难度的标志。问题情境的第二个组成成分是对新的、未知的东西的需要，这一成分反映了思维的动机方面。问题情境的第三个组成成分是学生的可能性。这种可能性包括学生已达到的知识水平和学生的创造能力。问题情境的这些组成成分表现了思维的内部条件，只有在
9、具备这些内部条件的情况下，才能产生问题情境。四、课题研究的目标和内容(一)本课题研究的主要目标1、通过研究形成数学问题情境创设的多种策略和具体操作方式。为实施有效课堂教学提供一种有效的教学方式和成功经验。2、通过问题情境的创设，使学生在知识、技能和学习态度能力得到同步发展。特别是在创新意识和运用知识解决问题能力方面有明显的成效。3、通过研究提高教师问题情境的创设和实施能力，更新教师的教育观念，学会在实践中进行研究反思，加速教师专业化发展。(二)本课题研究的具体内容1、总结有效数学问题情境的特征2、研究和形成数学问题情境创设的一般操作模式。3、研究和总结有效问题情境创设的教学策略。五、课题研究取
10、得的成果通过三年的研究,课题取得了一些成果。（一）情境创设的原则（1）目的性原则在数学教学中，情境的创设必须有明确的目的，必须能围绕本节课的教学内容，学习任务来进行。否则，再好的问题情境，如果对教学任务没有帮助，或是偏离了教学的内容。那么，他就是徒劳的，甚至是有害的。斯苗儿老师曾这样说：“情境只在为教学服务的时候才能叫做好情境，不能为教学服务，一切花哨都是多余的。”这其中的意思，也是凸现创设数学问题情境的目的性原则。贯彻这一原则，要求教师在创设数学问题情境时，要先考虑到所创设的数学问题情境否有必要性，是否有价值。例如：苏科版教材七(上)第二章第二节数轴创设情境：情景1：(实物加多媒体演示)观察
11、生活中的杆秤特点：拿根杆秤称物体，移动秤砣使秤杆平衡时，秤杆上的对应星点表示的数字即为所称物体的重量。显然秤砣越往右移，所称的物体越重。情景2：(实物演示)观察温度计，将温度计靠近热源(如酒精灯)，在靠近冷源(如冰水)，观察水银柱的变化。引出问题：问题l：能否抽象出杆秤和温度计的一些相同的本质属性?问题2：秤陀的重量和杆秤的刻度之间、温度的大小和温度计的刻度之间有对应关系吗?你能找到对应的规律吗?问题3：我们能否用一个更加简单形象的图示方法来描述上述想象呢?反思：由此启发学生用直线上的点表示数，从而引进“数轴”的概念。这样做的目的性就很明确，这里创设这样一个数学问题情境，就使得“数轴”这个抽象
12、的概念和生活联系起来，符合学生的认识规律，给学生留下深刻的印象，同时也有助于激发学生的学习兴趣，积极参与教学活动，有助于学生思维能力的培养和素质的提高。（殷爱梅）（2）生活化原则数学来源于生活，是对生活的抽象化与形式化，而抽象化与形式化的特点又使数学成为具有广泛应用的工具学科和技术学科。现代数学已渗透到生活的各个领域，据此，我们设计问题情境时，一方面要尽可能将数学“还原”到生活当中，将抽象化的、形式化的数学建立在生动、丰富、直观的背景之上，让学生从生活情境中体验数学、提炼数学、“发现”数学、理解和认识数学。另一方面，还要善于将数学知识应用于熟悉的生活情境，以体现数学的“有用”。学生在经历了数学
13、的提炼与应用之后，才能认识数学的本质与价值。例如：苏科版教材八(上)第二章第三节平方根情境：小刚到北京参加航模比赛，到了机场，却遇到一个大问题。机场规定：旅客携带物品的长、宽、高均不得超过1米，而小刚的飞机模型的长是1.6米，飞机模型又不能拆断、拆卸，托运又来不及了，怎么办呢?刚巧小明带了一个足够大的正方形箱子，小明拍拍箱子说：“有办法了，问题1：聪明的你想到什么办法了吗?问题2：箱子的边长可以为多少?反思：情景来源于生活，而且用到前边勾股定理的知识，又引出了本节课学习内容-平方根。（殷爱梅）（3）积极性原则要将“激发学生的学习积极性和主动性”放在第一位，力求吸引每个学生，引发其认知冲突，使其
14、产生学习心向和需求，处于“愤、徘”状态，从而乐于主动学习，主动探究，并获得积极的体验和感受。建构主义认为，学习是学生主动的意义建构过程和主动的再创造行为。有意义的学习应是学生以积极的心态调动原有知识经验，认识新问题，平衡新知识，并构建他们自己的意义。因此，问题设计的首要任务便是调动学生的学习积极性，以使学生积极主动地“进入”情境，主动提出问题，探究问题，解决问题。而主动的学习活动又可以促进和强化学习动机，形成良性循环。苏霍姆基思基认为，如果教师不想方设法使学生产生情绪高昂和智力振奋的内心状态，就急于传授知识，那么，这种知识只能使人产生淡漠的态度，而不动感情的脑力劳动就会带来疲倦。可见，如果问题
15、情境不能引发学生的学习积极性，那么学生的学习活动处于被动状态，缺乏探究欲望，缺少创造性，学习效率低下，易产生消极体验和厌学情绪，从而容易形成恶性循环。贯彻积极性原则要求：第一，要了解每个学生的原有知识经验、能力水平、性格、爱好、生活经历和环境以及学习和生活习惯等，以使设计具有针对性，从而也就更具有吸引性。第二，要调动一切积极因素，采取各种有效手段，以使问题情境为学生所喜闻乐见。比如可以利用电脑演示一些较为复杂的动态过程(课例中有不少这方面的情境)，或者利用学生熟悉的生活情境来创设问题情境，还可以利用趣闻轶事或游戏活动等激发其学习积极性。初中的学生，他们有强烈的好奇心和求知欲，如果我们的数学教学
16、可以使抽象的概念、判断具体化，深奥的道理通俗化，难懂的理论形象化，就容易诱发学生的兴趣，轻松地学习新知识。例如：七(上)第四章第一节字母表示数情景l：(出示课件：神州5号发射)同学们，2003年10月1日是中华民族值得纪念的日子，中国首次载人航天飞行发射成功，它标志着我国的航天事业已经迈入世界强国之列。神州5号是中国科学家自行研制成功的，它体现了中国人民的智慧和不屈不挠的探索精神。中国的明天属于同学们，你已经准备好迎接未来的挑战了吗?反思：利用神州5号的成功发射，激发学生的民族自豪感和面对困难勇于探索的热情。情景2：同学们知道“CCTV”、“WTO”、“XZTV”表示什么吗?反思：利用有时字母
17、能表示一个名称，启发学生正迁移：用字母也可以表示数.情景3：(放录音)一首永远唱不完的儿歌，你能用字母表示这首儿歌吗?1只青蛙，l张嘴，2只眼睛，4条腿，1声扑通跳下水。2只青蛙，2张嘴，4只眼睛，8条腿，2声扑通跳下水。3只青蛙，3张嘴，6只眼睛，12条腿，3声扑通跳下水。师问：如果是四只、五只跳下水呢?也像上面那样唱，就会觉得罗嗦，能不能用什么代表，无论多少只青蛙跳下水都能唱得出来呢?生回答：用字母“n”表示青蛙的只数，其唱法是：“n只青蛙n张嘴，2n只眼睛4n条腿，声扑通跳下水。”反思：以一首富有童趣的儿歌作为问题，使学生体会到现实生活的规律性以及用字表示数字的简明性和一般性，思维过程自
18、然流畅，让学生带着新奇和求知的欲望跨代数的大门。（殷爱梅）第三要注意学生情感因素的调动，使学生认知活动和情意活动相统一。教师在设置情境要融入一定的情感，创设的情景要能使学生经历或欢乐、或悲伤、或是民族自豪感等情感验。例如：八(上)第五章第一节(函数)情境：电影刘三姐中有这样一个情节：当大地主莫怀仁的三个秀才与刘三姐一一对歌败下阵来，有一位秀才急匆匆从怀里拿出书本来摇头晃脑的唱到：“三百条狗交给你，一少三多四分，不要双数要单数，看你怎么分的匀?”刘三姐镇定如常，向舟妹眨眼示意，舟妹心领神会的作答：“九十九条打猪去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条，财主请来当奴!”气的财主和秀才七窍生烟，
19、狼狈不堪。反思：对地主老财的痛恨，对劳动人民智慧由衷地赞叹是这个情境带给学生的情感验。（殷爱梅）（二）有效数学问题情境的特征一个有效的数学问题情境，除了依据教育教学目的、数学学科特点，具有数学的必要因素与形式外，至少必须满足以下几个特征：(l)适应性：问题情境的设计，应根据特定的知识内容和教学目标，适应于学生己有的知识经验、能力水平，要符合学生一般认知规律、身心发展规律，让学生“心求通而未得”，“跳一跳才能摘到桃子”。也就是说，所创设的问题情境处于学生的“最近发展区”，又能适度地超越学生当前的发展水平，有适度的思维难度。(2)诱发性：在创设问题情境时，要使设计的问题情境能诱发学生的认知冲突，造
20、成学生心理上的悬念，从而唤起学生的求知欲、探索欲，激发学生的兴趣。研究表明，在“新旧知识的结合点”产生的问题，最能激发学生的认知冲突。因此，问题情境的设计，必须以对学生已有的知识经验和教学内容全面科学的分析为基础，才能找到“新旧知识的结合点”，诱发学生的探索活动。(3)直观性：设计的问题情境能够提供某种直观，符合数学学科特点，以学生比较熟悉的知识为背景，使学生借助于这种直观，能够自己去发现问题和提出问题，领悟数学本质，提炼数学思想方法，灵活运用数学。(4)层次性：在创设问题情境时，应尽可能设计科学的、有梯度的、有层次的问题链，为学生提供必要的“支架”。即设计彼此之间存在着逻辑上的和难易程度上的
21、层次关系的问题，做好问题之间的衔接和过渡，用组合、铺垫或设台阶等方法提高问题情境的整体效果。(5)开放性：在创设问题情境时，要以学生已有的知识经验为基础，应尽可能设计一题多解、一解多题、结论多元化的开放性问题，将学生置于猜想、探索、发现的环境中，激发学生的发散性思维，提高学生的创造性，培养其勇于探索、敢于挑战的精神。(6)延伸性：在创设问题情境时，应该既构建当前教学应当解决的问题，又蕴含着与当前任务有关但又超出当前任务，让学生自己回味、思考的问题，营造出一种完而未完、意味无穷的境界，让学生迫不及待而又兴趣盎然地继续学习。也就是说，所创设的问题情境，在时间上要延伸到过去和未来，在空间上要从课堂延
22、伸到课外，以便学生能更好地以问题情境为中心线索去进一步地思考、探究。（三）问题情境创设的模式学则须疑，疑则引思。研究中我们主要以“创设情境提出中心问题激活旧知充分展示尝试应用”即“设疑激疑质疑释疑”的模式进行教学。从而引导学生思维的发展，使学生变“被动”为“主动”，变“苦学”为“乐学”，变“学会”为“会学”。具体体现如下:1、设疑激发思维设疑，指的是创设问题情境，发起学习动机。教师有意识地将“疑”设在学习新旧知识的矛盾冲突之中，使学生在“疑中生奇”，“疑中生趣”，这是学生学习新知识的最佳心理状态。（1）联想生疑：在讲授新知识之前，教师要提问本课所用到的旧知识，以达到顺利地完成本课教学任务的目的
23、，也为学生积极思维创造条件，同时又能降低思维的难度。（2）动中生疑：让学生在动手操作中产生疑问，是集中学生注意力，激发学生学习动机的好方法。（3）趣中生疑：教师在设疑时，不但要注意把“疑”设在新知识的重点处，而且要根据学生的年龄特点，通过设疑，激发学生的兴趣。这样趣中设疑，可使学生对学习新知识产生浓厚的兴趣。2、激疑引导思维设疑可揭示矛盾，启发学生的思维。激疑则是认识矛盾，从不知到知，从已知到新知的思维过程。在进行新课的过程中，都必须自始至终地把解决学生要解决的主要任务，在不断揭示和解决教材内容与学生的认识差异的过程中，激发学生的学习兴趣和积极思维。（1）直观演示，激化矛盾。所谓激疑，就是要把
24、握新知识的疑难之点，引导学生通过积极思维解决疑难之点。根据小学生的年龄特点，通过直观使学生眼、手、口、脑协同活动，是解决难点、促进抽象思维的最好途径。（2）抽象概括，悟出道理。激疑的过程，也就是抽象概括的过程。教师如果选择恰当的教学内容，采用创设问题情境的办法，引导学生抽象概括，自己悟出道理。这种尝试的成功，将使学生增强学习的信心，提高学习的内部动机，也会使学习兴趣向高级的方向转化。当学生积极思维、克服困难，得到正确结论时，必然会产生精神上的满足感，从而激发出更高的学习兴趣。（3）观察比较、深化认识。激疑还应引导学生认识已有知识和新知识的内在联系，形成良好的知识体系。小学知识有很强的系统性，知
25、识之间密切相连的情况可以说到处都是。每当我们学习一个新知识，都要引导学生认真思考：它是建立在哪些旧知识的基础上的？新旧知识有哪些区别和联系？通过多层次、多角度、多方面地对知识进行比较，既可以区别异同，防止相似知识的混淆，又可以沟通联系，理清脉络，利于知识的理解和记忆。3、质疑促进思维我们通常在新课讲完后，通过阅读课本使学生梳理思维，整理知识，并对不理解或不懂的地方提出质疑。这样既可以加强对问题的了解，加强对课本语言的科学性、精练性的理解，又能培养学生多思善问的习惯。（1）教师质疑。教师向学生质疑，目的是引导和促进学生质疑。如在教学“分数除以整数”中，教师可以质问学生，分数除以整数为什么可以分数
26、乘以这个数的倒数？通过教师的，学生产生了疑点，势必进行深入的思考。(2)学生质疑。为了培养学生的质疑能力，鼓励他们大胆提出问题，有时教师可有意识地遗留一些问题，让学生在读书时发现，学生能发现和解决的问题，老师就不要包办代替。此外，要使学生养成质疑的习惯，还以建立平等的师生关系。教师要尊重学生的思想、感情和见解，养成和学生商讨问题的习惯，创造民主的学习气氛。这样，才能引导学生积极主动的获取知识。4、释疑培养能力练习是数学课堂教学中必不可少的一环。练习中，学生免不了会出错或提出问题，教师应适时、巧妙地为学生排忧解难。在释疑过程中，教师一方面要引导学生展现自己的思维过程，让学生在这些探索、发现及判断
27、等真实的思维过程中，学会运用已有知识、经验进行联想、分析、归纳、类比，切实掌握研究问题的基本思想、思考和解决问题的基本方法，从而提高其思维能力。（四）创设数学问题情境的教学策略良好的问题情境，是激发学生的创造潜能、引发学生主动思考的动力源，是数学问题解决的起点。创设问题情境的目的在于揭示事物的矛盾或引起主体内心的冲突，打破主体已有的认知结构的平衡状态，从而唤起思维，激发其内驱力，使学生进入问题者的“角色”，真正“融入”学习活动之中。因此，教师无论是在教学的整个过程，还是在教学过程中的某些环节，都应该十分重视问题情境的构建，为学生创造一个参与、体验、发现、创造的时间和空间。构建良好的问题情境，可
28、采用以下一些有效策略：（1）构建“小步距”问题情境，注重问题的阶梯性问题情境的构建要具有合理的程序和阶梯性，即问题的设计要由浅入深，由易到难，层层递进，将学生的思维逐步引向新的高度。构建“小步距”问题情境，就是要善于把一个复杂的、难度较大的问题分解成若千个相互联系的子问题(或步骤)或把解决某个问题的完整思维过程分解成几个小阶段。“小步距”问题情境的构建，首先必须具有适应性和针对性，即必须针对学生已有的知识、心理、能力发展水平和学习材料的难易程度来设计问题;其次必须具有有序性和阶梯性，即针对知识的系统性和学生认知发展水平的有序性。教师设置问题坡度适中，排列有序，循序渐进，形成有层次的开放性系统，
29、并不断与外界教学环境保持能量、信息交换，这样才能使问题情境所含信息量不断增加，才能使学生产生“有阶可上，步步登高”的愉悦感，也才能兴趣盎然的接受知识，训练能力，体验情感。案例：知识点：方程组的应用数学情境：香港至北京航线长1200km，一架飞机从北京逆风飞往香港需3小时20分钟，从香港顺风飞回北京需2小时30分提出问题：1、 顺风与逆风对飞行有什么影响？2、 飞机顺风速度是多少？3、 飞机逆风速度是多少？4、 风的速度是多少？5、 飞机在无风状态下的速度是多少？6、 如果从北京飞往香港需要h1小时，从香港飞回北京需h2小时，飞机速度与风俗又是多少？解决问题：1至5多个连环问题，从最简单出发，让
30、学生思考理解飞行速度、顺速、逆速的含义飞行速度：风速为零时的速度顺速：飞机顺风飞行的速度 顺速=飞行速度+风速逆速：飞机逆风飞行的速度 逆速=飞行速度-风速进而解决问题6（陶诚) 教学中提供给学生一个动态的四边形，让学生自主研究，通过改变四边形ABCD的形状（成为凸四边形或凹四边形）来观察四边形EFGH的形状，先留给学生更多的思考时间，然后通过引导学生通过实验探索怎样的条件导致何种结论，给学生留出猜测的时间后，拖动四边形的任一顶点改变四边形的形状，从而给出动态模拟图象，和相关数据度量结果，辅助学生猜测结论，在图形的变换过程中还可以进一步提出一些判断问题启发学生的进一步发散思维，如：对角线相等的
31、四边形的对边中点的连线互相垂直吗？顺次连结四边形各边中点得到的正方形，那么这个四边形也一定是正方形吗？对角线垂直时四边形EFGH为矩形、正方形吗？为什么？四边形ABCD的对角线相等时四边形EFGH是菱形吗？通过不断的提问启发，引导证明，发散了学生的思维，对知识有了更深一层的理解，知识体系获得创新。（曹瑜）（2）构建“变式”问题情境，注意问题的发散性良好的问题情境不仅应当是“标准的”，即具有典型的模式，为吸收或同化其他学习材料提供理想的框架，有利于学生对材料进行抽象和概括，而且应当具有“变式”性，即问题情境的形式和叙述可以不断变化，而基本原则和本质属性保持不变。变式性问题往往注重揭示条件性知识，
32、注重的是方法，因此，“变式”性问题情境主要具有这样一些功能：建构功能，即利用“变式”性问题情境能加深对相应“问题群”的理解和解释；整合功能，即能够把输入的信息按问题类型或知识结构整合成一个整体，有利于知识结构向认知结构的转换；迁移功能，即它揭示了知识应用的条件，具有迁移性。因此，教师在构建问题情境的过程中，既要注意基本知识点的中心性，又要引导学生从不同角度去思考，进行发散性思维，深刻领会与中心点有密切联系的知识，从而使学生对知识能深化理解，对于问题更要注重其变式综合，灵活运用，可以对已有问题进行改变，使一个问题的精髓渗透到其他问题当中，加强新旧知识的联系，促进知识的迁移。这样就可使问题情境具有
33、良好的发散性，即问题情境的设计能充分激发学生联想，开拓学生思维，激发学生的创新精神。数学教学中常见的变式有：图形变式、表达式变式、语言变式、解法变式、问题变式等，通过这些变式活动，可以活跃学生的思维，使其产生多向联想。案例：若化简 的结果为2x5,则x的取值范围为 。问（1）如何化简 （2）观察如何将绝对值的符号去掉得到2x5, （3）若化简结果为3或3，x的取值范围是什么呢？此题中，利用化简结果的变式，使得学生能举一反三，从深层次上理解问题的本质。(陆雪琴)(3)构建“精制式”问题情境，注重问题的策略性人们在解决问题时，既需要概念性知识，又需要程序性知识，还需要策略性知识。因此，一个问题情境
34、包含的知识也应该是多方面的。一个精而有效的问题情境，不在于其所具有的概念性知识的多少，而在于其中蕴含的程序性知识和策略性知识的有效性，在于由概念性知识和程序性知识相结合而形成的问题图式，即解决各类问题的基本框架和模式。数学教学更重要的是解决“为什么这样做”的方法问题。因此，课堂教学中教师应充分利用每堂课宝贵而有限的时间，精心构建问题情境，使其蕴涵丰富的程序性知识和策略性知识，帮助学生形成问题图式。构建的问题情境一旦具有延伸性和方向哇，就可以扩大学生学习活动的心理空间，充分激活原有知识，并使新旧知识发生有机联系，形成良好的知识结构。案例：(1)在讲授合并同类项时创设了这样一个情境：早上妈妈要小明
35、买早点，告诉他：爸爸要3块烧饼，3根油条；妈妈要2块烧饼，4根油条；小明自己要2块烧饼，2根油条。小明来到街上，孝顺的他先想到爸爸，买了3块烧饼，3根油条，又去为妈妈买了2块烧饼，4根油条，最后为自己买了2块烧饼，2根油条。通过这则故事引发学生思考，说明生活中把同类事物合并的例子很多，其实数学中也会出现这种先分类再合并的问题。然后通过计算学校规划图的面积理解同类项的概念和合并同类项的法则。(孙文璟)(2)七（上）有理数加法的引入，有个老师是这样设计情境的：“一位学生在东西走向的桃园路上，从加油站出发先走了20米，又走了30米，请问他的位置？”我们知道，求两次运动的总结果，可以用加法来解答，可是
36、上述问题不能得到确定答案，因为运动的总结果与行走方向有关。这样的问题情境除了贴近学生生活实际，而且有很强的针对性。(孙文璟)(4)构建“知识丰富域”问题情境，注重问题的现实性“知识丰富域”主要指情境应该与具体学科、具体知识点相联系。构建数学教学问题情境必须与具体的数学概念、数学规律等知识结合起来，不能盲目追求情境效果、置问题于从属地位的纯粹性问题情境。情境因问题而有意义，问题因情境而有生气。要能够根据生产和生活的实际，构建富含知识的真实问题情境，这不仅可以使学生认识到数学学习的现实意义，认识到数学的价值，也更容易激发学生的好奇心和学习数学兴趣。案例：一餐厅为了扩大经营，需招聘服务员若干名，小王
37、急需一份工作，应征时与经理交谈，经理说：我们这里的报酬不错，平均工资每月1100元，你在熟悉工作期间，每月400元，3个月后就可以加工资了。工作的第四个月，小王拿到工资600元，很气愤去找经理说：你欺骗了我，我找其它服务员核对过，没有人的工资超过600元，怎么可能平均工资是1100元呢？经理给小王呈现了工资表：人员经理副经理厨师甲厨师乙会计领班服务员勤杂工月工资（元）360022001000900800650600550人数11111141问题：请学生仔细观察表中的数据，讨论回答下列问题： （1）经理说每月平均工资1100元欺骗了小王吗？平均工资1100元能反映工人的平均收入吗？若不能，你认为
38、应该用什么工资反映比较合适？ （2）小王在应聘时应了解什么工资？ 学生分组讨论，再小组讨论生A：平均工资是1100元，经理没有欺骗小王。生B：经理欺骗了小王，因为1100元不能客观的反映员工的一般水平。师：为什么？请说说你的理由？生C：从工资表中可以看出，经理、副经理的工资每月有5800元，而剩下9名员工的工资和只有6300元，这样的平均工资不能反映员工的平均收入。师：分析正确，有理有据，那么应该怎样反映员工的收入比较合理呢?生1：应该去掉经理，副经理的工资，用余下9人的平均工资700元来反映员工的平均水平。生D：这组数据的中间一个数据650元最合适。生E：我觉得上两位同学说得不怎么合理，小王
39、应聘的是服务员，应了解服务员的工资是多少？而不是了解员工的平均工资或中等水平。师：大家分析得不错，尤其是最后三位同学分析得很有水平。经理告诉王小平均工资是1100元，从数字上说没有欺骗，其实也变相欺骗了小王，其原因是经理、副经理的工资过高，与低工资的员工一起算平均工资是带有欺骗的平均数，在统计数据中，当总体或样本中出现极端数据或异常数据，我们应该象第一位同学说的那样去掉极端数据或异常数据，用大多数员工的工资来描述其平均水平，也可以象第二位同学说的用趋于中等水平的工资，确切说是中间位置的工资，工资650元正处于中间（恰有5人的工资比它高，5人的工资比它低），我们称它为中位数，也可以象第三位同学说
40、的 用大多数工人的工资来反映，工资为650元的人数最多，称为众数。(顾梦燕 )(5)构建“故错”问题情境，注重问题的迷惑性“错误是正确的先导”。学生在解题时，常常出现这样或那样的错误，对此，教师可以针对学生常犯的一些隐晦的错误，构建故错问题情境，引导学生分析产生错误的原因，寻求正确的解题方法。故错问题情境主要具有这样一些功能：强化功能：通过分析错误、纠正错误，强化刺激，加深对问题的理解;免疫功能：在知错中改错，在改错中防错，增强思维的严谨性，提高解题的“免疫力”。案例(1)在执教因式分解综合课时，对教材第76页给出的结论“通常，把一个多项式分解因式，应先提公因式，再应用公式。进行多项式分解因式
41、时，必须把每一个因式都分解到不能分解为止。”我是这么进行的，先给出易错题教材第80页第8（1）题，把下式分解因式：，学生根据已有知识得出两种结果，；。然后让学生自己去肯定或者否定，从而得出正确结论，使学生的能力在问题中提升。(孙文璟)(2)在七（下）期末复习课上设置了这样一个问题，以复习二元一次方程（组）及其解。问题设置如下：某球迷协会组织36名球迷拟租乘汽车赴比赛场地，为首次打进世界杯决赛圈的国家足球队加油助威。可租用的汽车有两种：一种每辆可乘8人，另一种每辆可乘4人，要求租用的车子不留空位也不超载。（1）请你探求所有的可行性方案。（2）请添加一个条件使之只有一种方案可行，并把它解答出来。因
42、本题需要学生自行建模，而大多学生只是枚举第一问的答案。对于学生的解答，请同学们作评价。教师适时调控，如：“你有什么理由说明你的答案就是正确的呢？确定没有遗漏？事实上，学生在教师质疑下产生自我批判，启发数学思考。学生开始主动寻求更为正确严谨的方式进行求解。生1：（1）设租用8人座车辆，4人座车辆，依题意得： 是非负整数， ， 答：只有五种方案。分别是租9辆4人座车， 或者1辆8人座车7辆4人座车， 或者2辆8人座车5辆4人座车， 或者3辆8人座车3辆4人座车， 或者4辆8人座车1辆4人座车。生2：（2）条件添加来两种车辆租用数量一样 依题意得： 解之得： 答：租用8人座车和4人座车各3辆。生3：
43、(孙文璟)(3)例题：假如用一根比地球赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么地球于赤道之间的间隙能有多大？（把地球看成球形，地球周长近似长4万千米）老师问：能放进一个草莓吗？或者能放进一个人的拳头吗？学生窃窃私语后，答：肯定不可能，地球赤道那么长，多1米，肯定不可能放东西的。老师分析：间隙其实就是指的周长多1米后，围起来的圆的半径和地球半径的长度差。解：地球赤道的半径为41072比赤道长1米的铁丝半径为（4107 + 1）2间隙为（4107 + 1）2 （41072）=1 / 2= 0.16（米）答：间隙有0.16米宽。通过这个例子告诉学生作题目不能想当然，要实际运算后方能下结论。（王锦）再看
44、类似的例子：假设地球和篮球都是绝对的球体，有两根钢丝，它们的长度分别是地球和篮球的周长多一米，现在把这两根钢丝分别弯成一个圈，套在地球和篮球上，问钢丝和地球和篮球之间的缝隙那个大？为什么？像这类题目，学生又会想当然的认为当然是地球的缝隙小，篮球缝隙大，那么让我们计算一下。解：设篮球周长为R篮球半径为R2钢丝半径为（R+1）2间隙为（R+1）2 R2=1 / 2= 0.16（米）居然篮球的间隙和地球的间隙一样，从中可以看出其实这类问题和半径的大小其实没有联系。（王彬）(4)例如，学完了全等三角形条件SSS，SAS后，给学生这样一题：如图，AC与BD相交于点O，已知OA=OC，OB=OD，说明AB
45、=CD教师有意识地叫了一错解的学生上来板演，如下：BADOC OAB OCD（SSS）很多学生也是这样做的老师指出：这是错的，你们知道错在哪里吗？学生惊讶，议论纷纷起来学生在这种浓厚的学习氛围下，反应比较热烈一个学生很自豪地指出：AB=CD是待证明的结论，不能当已知条件来使用在寻找全等的条件时，别忘了对顶角 AOB= COD在这一教学环节中，教师先诱导学生犯错，构建“故错”问题情境，再引导学生分析研究错误的原因，寻找治“错”的良方，在知错中改错，在改错中防错，以弥补学生在知识上的缺陷和逻辑推理上的缺陷，提高解题的准确性，增强思维的严谨性让学生在惊讶迷惑中产生强烈的探究兴趣，引导他们主动参与，从
46、而很好地掌握了知识( 姜可娇 )（6）构建“多元化”问题情境，注重问题的探究性要以学生已有的知识经验为基础，尽可能设计一题多解、一解多题、条件开放、结论多元化的问题，将学生置于猜想、探索、发现的情境中，激发学生的发散性思维，提高学生的创造性，培养其勇于探索、敢于挑战的精神。案例：(1)一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m如果梯子的顶端下滑0.5m，你认为梯子的底端会发生什么变化?与同学交流问题一 在上面的情境中，如果梯子的顶端下滑 1m，那么梯子的底端滑动多少米?如果梯子的顶端下滑2m呢？问题二 从上面所获得的信息中，你对梯子下滑的变化过程有进一步的思考吗?并说明理
47、由。设计问题串促使学生能主动积极地从数学的角度思考实际问题，尤其是问题二，条件开放、结论多元化教学中学生可能会有多种思考比如，这个变化过程中，梯子底端滑动的距离总比顶端下滑的距离大；因为梯子顶端下滑到地面时，顶端下滑了8m，而底端只滑动4m，所以这个变化过程中，梯子底端滑动的距离不一定比顶端下滑的距离大；由勾股数可知，当梯子顶端下滑到离地面的垂直距离为6m，即顶端下滑2m时，底端到墙的垂直距离是8m，即底端滑动2m等。教学中不要把寻找规律作为这个探索活动的目标，应让学生进行充分的交流，使学生逐步学会运用数学的眼光去审视客观世界，从不同的角度去思考问题，激发学生的发散性思维，获得一些研究问题的经验和方法(王锦)(2)ABCDFE苏科版七（上）教材第36页习题第14题，一个零件的形状如图，按规定应等于，应分别等于，检验人员量得就断定这个零件不合格。你能说明理由吗？ABCD对于这道题，应该没有想到学生给
