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1、,例,的Doolittle分解和,LDU分解。,解,故,求矩阵,第四章 矩阵分解,1 三角分解介绍,例,解,所以,求正定矩阵,的Cholesky分解。,例,证明,证,取行列式即得。,设 A,B 为同阶方阵，,因为,例,证明,设A,B,C,D为同阶方阵，,A可逆,且AC=CA。,证,因为,取行列式得,例,证明,证,因为,所以,设,构造矩阵,例,证明,证,因为,所以,设,构造矩阵,且,(即AB和BA的非零特征值相同)。,例,设A是n阶Householder矩阵，,则,分析,所以,因为,2 QR分解,例,和,分别是m阶和n阶Householder矩阵，,问,是否,解,设,阶Householder矩阵
2、?为什么?,不是。,因为,例,与,同方向。,试用Householder变换化向量,解,则,法1.,取,从而,使,则,法2.,取,从而,使,使,又取,则,使,例,与,解,则,试用Givens变换化向量,同方向。,取,例,解,取,则,试求矩阵,的QR分解。,由于,于是,使,又由于,取,则,于是,令,则,故,例,解,试求矩阵,的QR分解。,取,则,使,又取,则,使,故,例,解,试求矩阵,的QR分解。,将列向量,正交化得,单位化得,于是,故,例,的QR分解。,用Householder变换求矩阵,解,则,且,取,于是,使得,又取,则,且,于是,令,则,故,例,的QR分解。,用Givens变换求矩阵,解,
3、取,则,且,又取,则,且,再取,则,且,于是,例,和,都是n阶Householder矩阵，,则,分析,由于,故,设,也是Householder矩阵。(),对。,因为,也是Householder矩阵。,例,与,同方向。,试用Householder变换化向量,解,则,(因为,且要求,为实数),取,或,(或,从而,使得,例,是n阶Householder,则,分析,由于,故,设T是n阶Given矩阵，,也是Householder矩阵。(),对。,因为,也是Householder矩阵。,矩阵，,使,又取,则,例,与,解,则,试用Givens变换化向量,同方向。,取,使,例,解,取,则,于是,令,化矩阵,
4、正交相似于Hessenberg阵。,法1.,利用Householder变换,对,则,法2.利用Givens变换,则,且,取,例,解,取,则,于是,化矩阵,正交相似于三对角阵。,法1.用Householder变换,对,令,则,对,取,则,从而,令,则,故正交矩阵,使,法2.利用Givens变换,则,且,取,又取,则,且,故正交矩阵,使,例,的Hermite标准形H和变换阵S。,解,求矩阵,3 满秩分解,故A的Hermite标准形H和所用的变换阵S为,使得,已知矩阵,求可逆矩阵S和置换矩阵P 使得,例,解,可求得A的Hermite标准形H和可逆矩阵S为,使 SA=H。,如取,则,已知矩阵,求可逆矩阵S和T 使得SAT为等价标准形。,例,解,可求得A的Hermite标准形H和可逆矩阵S为,使 SA=H。,又有,故,使,如对矩阵,已求得矩阵,使得,又可求得,故,例,的满秩分解。,求矩阵,解,故,例,解,的特征值为,相应的特征向量为,从而,求矩阵,的奇异值分解。,法1.,于是,取,4 奇异值分解,再取,则,为酉矩阵，,奇异值分解为,故A的,法2.,其特征值为,对应的特征向量分别为,因为,单位化得酉矩阵,则A的奇异值分解为,注,在法2中，,如果取对应矩阵,的特征值,的特征向量为,相应的可得酉矩阵,使得,但此时,因此用法2进行计算时，,尚需对结果进行检验。,
