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1、益多教育中心,初一数学,制作：陶钦贵,第一章 1.1 正数和负数,在生活、生产、科研中，经常遇到数的表示与数的运算的问题例如：,1、天气预报2007年11月某天北京的温度为:33C，它的确切含义是什么？这一天北京的温差是多少？,在生活、生产、科研中，经常遇到数的表示与数的运算的问题例如：,这天的最高温度是零上3C，最低温度是零下3C，温差是6C,2、有三个队参加的足球比赛中，红队胜黄队（4：1），黄队胜蓝队（1：0），蓝队胜红队（1：0），如何确定三个队的净胜球数与排名顺序？,3、某机器零件的长度设计为100mm,加工图纸标注的尺寸为100 0.5（mm），这里的 0.5代表什么意思？合格产品
2、的长度范围是多少？,4、纳米是一种非常小的长度单位,它与长度单位“米”的关系为1纳米=米，应怎样理解这种记数法的表示？,这里出现了一种新数：-3 表示零下3摄氏度，-2 表示净输2球，-0.5 表示小于设计尺寸0.5mm,而：3 表示零上3摄氏度，2 表示净胜2球，+0.5 表示大于设计尺寸0.5mm,像-3，-2,-0.5,这样的数（即以前学过的0以外的数前面加上负号“-”的数叫做负数,而在小学学过的除“0”以外的数都叫正数,为了突出数的符号,可以在正数的前面加“+”号，如+5,+，+1.2,我们常常用正数和负数表示一些意义相反的量!,0既不是正数,也不是负数.,观察下图，试着说明它们的海拔
3、高度,珠穆朗玛峰的海拔高度为8848米，鲁番盆地的海拔高度为-155米,0,（1）一个月内，小明体重增加2kg，小华体重减少1kg，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值；,例题,解：（1）这个月小明体重增长2kg，小华体重增长-1kg，小强体重增长0kg,（2）2006年下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是：美国减少6.4%，德国增长1.3%，法国减少2.4%，英国减少3.5%，意大利增长0.2%，中国增长7.5%写出这些国家2006年商品进出口总额的增长率,例题,解：六个国家2006年商品出口总额的增长率：美国-6.4%，德国 1.3%，法国-2.4%，英国-3.5%，意大利 0
4、.2%，中国 7.5%,课堂练习,（1）如果零上5C记作+5 C，那么零下3C记作什么？（2）东、西为两个相反方向，如果-4米表示一个物体向西运动4米，那么+2米表示什么？物体原地不动记为什么？（3）某仓库运进面粉7.5吨记作+7.5吨,那么运出3.8吨应记作什么?,解:（1）零下3C记作-3C,（2）+2米表示一个物体向东运动2米；物体原地不动记为0米,（3）运出3.8吨应记作-3.8吨,课堂练习,自主学习,问题:正负数与相反意义的量之间是什么关系？,问题:这种关系说明了什么？,1、正负数可以用现实生活中具有相反意义的量来解释。2、现实生活中的相反意义的量可以用正负数来表示。,练习1,1、正
5、负数可以用现实生活中具有相反意义的量来解释。,1、如果将+8元计为收入8元，则-6元表示_。2、高出海平面789米计为789米，则-789米表示_。3、减少60千克计为60千克，则+80千克表示_。4、把公元2008年记作+2008年，那么-20年表示_。,2、现实生活中的相反意义的量可以用正负数来表示。,1、零下15，表示为_，比O低4的温度是_。2、正表示向西，则负表示为_。3、粮食产量增产11，记作+11，则减产6应记作_。4、某天中午11时的温度是11，早晨6时气温比中午11时低7，则早晨6时温度为_，若早晨4时气温比中午11时低13，则早晨4时温度为_。,支出6元,低于海平面789米
6、,增加80千克,公元前20年,15,4,东,6,4,2,2、若将28计为0，则可以将27计为1，试猜想若将27计 为0，28应计为。,1、如果全班某次数学测试的平均成绩为83分，某同学考 了85分，记作+2分，得90分应记作_，得80分应 记作_。,练习2,3如果向东走12米记作+12米，则向西走120米记作_米。,4如果向东走12米记作12米，则向西走120米记作_米。,5如果向东走12米记作_米，则向西走120米记作_米。,+7分,3分,+1,120,+120,由于我国农业的发展，每年我国从国外进口的粮食正逐年下降，2006年进口粮食比2005年增加了5，增加5 是什么意思？,由于我国经济
7、的发展，每年我国从国外进口的石油正逐年上升，2006年进口石油比2005年减少了2.43，减少2,43 是什么意思？,1、一种零件的内径尺寸在图纸上是300.05(单位：毫米)，表示这种零件的标准尺寸是30毫米，加工要求最大不超过标准尺寸_毫米，最小不低于标准尺寸_毫米,2、味精袋上标有“5005克”字样中，+5表示_，-5表示_,3、张大妈在超市买了一袋洗衣粉，发现包装袋上标有这样一段字条：净重：8005g张大妈怎么也看不明白是什么意思你能给她解释清楚吗？,小结：,（1）正数和负数是表示一些意义相反的量；,（2）零既不是正数也不是负数,1.2 有理数,一、知识回顾,问题1：什么是正数？什么是
8、负数？0是正数吗，0是负数吗？,问题2：正数与负数之间具有什么意义？,问题3：你能再举出一些用正、负数表示数量的实例吗？,答案：例如5，2.5，0.5我们把这样带有正号的数叫做正数（正号可以省略不写）.例如：3，2.5，0.1我们把带有负号的数叫做负数.0即不是正数也不是负数.,正数与负数表示是具有相反意义.,例如：存入银行1500元，记作1500元，支出500元，记作500元.,按整数、分数分类：,按符号分类：,整数,分数,正整数,0,负整数,正分数,负分数,自然数,正有理数,0,负有理数,正整数,负整数,正分数,负分数,有理数,有理数,整数：正整数、0、负整数统称整数。,分数：正分数和负分
9、数统称分数。,有理数：整数和分数统称有理数。,概念,例1：把 下列各数填入相应的集合内：,正数集合,整数集合,负分数集合,非负整数集合,整数集合 分数集合 负分数集合 非负数集合 非正数集合 有理数集合,例3：判断题：（1）零不是整数，也不是正数。（2）自然数一定是整数。（3）一个数，如果不是正数，必定就是负数；（4）一个数，不是整数，必定就是分数；（5）在有理数中，是负数而不是分数的是负整数；（6）在有理数中，是整数而不是正数的是负整数。,1.有理数中，最大的负整数是；最小的正整数是；最小的非负整数是；最大的非正数是；最大的负偶数是,-,-,2.图中两个圆圈分别表示正数集合和整数集合,请分别
10、在图中的三部分中各填入3个数.你能说出这个重叠部分表示什么数的集合吗?,正数集合,整数集合,3.判断题：（1）零是正数.（2）零是整数.（3）零是最小的有理数.(4)零是非负数.(5)零是偶数.,1有限小数和无限循环小数都属于分数，你能将下列各数转化为分数吗？,课后思考题,1.3 有理数的加减法,小明在一条东西向的跑道上，先走了20米，又走了30米，能否确定他现在位于原来位置的哪个方向，与原来位置相距多少米？1.若两次都向东，一共向东走了：(20)(30)50米即小明位于原来位置的东方50米处2.若两次都向西，一共向西走了：(20)(30)50米即小明位于原来位置的西方50米处3.若第一次向东
11、走20米，第二次向西走30米，(20)(30)10米即小明位于原来位置的西方10米处,4.若第一次向西走20米，第二次向东走30米，(20)(30)10米即小明位于原来位置的东方10米处5.若第一次向西走30米，第二次向东走30米，(30)(30)06.若第一次向西走30米，第二次没走，(30)030,有理数的加法法则:（1）同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;（2）绝对值不等的异号两数相加,取绝对值较大的加 数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;（3）互为相反数的两个数相加得零;（4）一个数同零相加,仍得这个数.,例2 一口水井，水面比水井口低3米，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口
12、爬，第一次往上爬了0.5米又往下滑了0.1米；第二次往上爬了0.42米又往下滑了0.15米；第三次往上爬了0.7米又往下滑了0.15米；第四次往上爬了0.75米又往下滑了0.1米;第五次往上爬了0.55米，没有下滑;第六次往上爬了0.48米.问蜗牛有没有爬出井口?解:0.5(0.1)0.42(0.15)0.7(0.15)0.75(0.1)0.5500.482.93答:蜗牛没有爬出井口.,例3 若x3 与 y 2 互为相反数，求xy的值解：x3 y 2 0，x 3,y2 xy(3)(2)5,例4 计算:（1）（2）（3）,（4）（5）（6）,例5 两个加数的和一定大于其中一个加数吗?,答案为：不
13、一定。,例6 若a 15,b 8,且ab,求ab解：a15,b=8,ab 则 a15,b8,当 a15,b8时，ab23 当 a15,b8时，ab7,例7已知,求:（1）(a)b(c)解：（2）,例8 分别列出一个含有三个加数的满足下列条件的算式:(1)所有的加数都是负数,和为13;1(2)(10)(2)一个加数为0,和为13;(9)(4)0(3)至少有一个加数是正整数,和为13;(1)(4)(10),例9 如图,将数字2，1，0，1，2，3，4，5，6，7这是个数字分别填写在五角星中每两个线的交点处(每个交点只填写一个数),将每一行上的四个数相加,共得到五个数,设a1,a2,a3,a4,a5
14、.则（1）a1a2a3a4a550（2）交换其中任何两数的位置后,a1a2a3a4a5的值是否改变?,无论怎样交换各数的位置，按规则相加后，每个数都用了两次，a1a2a3a4a5=2(1201234567)=50所有值不变。答:不变.,有理数的减法,有理数的减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数.,例1 计算:（1）852758（2）278527(85)(8527)58（3）(13)(21)13(21)21138（4）(13)(21)13(21)34（5）(21)(13)21(13)(2113)8（6）(21)(13)21(13)34,例2 计算：（1）3.2(4.8)3.2(4.8)8
15、（2）（3）0 5.60(5.6)5.6（4）,例2 全班学生分成6个组进行游戏,每组的基分为100分答对一题加50分,错一题扣50分.游戏结束时,各组的分数如下:(1)第一名超过第二名多少分?350200150(2)第一名超过第六名多少分?350(200)350200550,例3 某日长春等5个城市的最高气温与最低气温记录如下:问:哪个城市的温差最大?哈尔滨 哪个城市的温差最小?大连,例4 下表列出国外几个城市与北京的时差(带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数)（1）如果现在的北京时间是中午 12:00,那么东京时间是多少?12113（2）如果小芳给远在纽约的舅舅打电话,她在北京时间下午
16、14:00打电话,你认为合适吗?答案：14(13)1 不合适,例5 计算 11796 解原式11(7)(9)6 276 21,例6 已知 a4,b5,c7,求代数式 abc的值 解:原式 abc(4)(5)(7)8,例7若a0,b0,试求ab1 ba1 的值 解:ab1 ba1 ab1(ba1)ab1ba1 0,例8（1）两个负数的和为a,他们的差为b,则a与b的大小关系是（）A.ab B.ab C.ab D.ab（2）已知b0，a0,则a，ab，a+b的大小关系是()A.aabab B.abaab C.ababa D.abaab,例9点A，B在数轴上分别是表示有理数a，b,A，B两 点间的距
17、离表示为AB ab 回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点间的距离是：（2）数轴上表示2和5的两点间的距离是：（3）数轴上表示1和3的两点间的距离是：（4）数轴上表示x和1的两点间的距离是：,如果 AB 2，那么x,25 3,2(5)3,1(3)4,x1,1或3,例10 设(x)表示不超过数x的整数中最大的整数，例如(2.53)2，(1.3)2，根据此规定，试做下列运算：（1）(5.3)(3)538（2）(4.3)()505（3）()(1)0(2)2（4）(0)(2.7)0(3)3,有理数的加减混合运算,1有理数加减法统一成加法的意义(1)有理数加减混合运算，可以通过有理数减法法则将减 法
18、转化为加法，统一成只有加法运算的和式，如(12)(8)(6)(5)(12)(8)(6)(5)(2)在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省l略不写，写成省略加号的和的形式：如(12)(8)(6)(5)12865(3)和式的读法，一是按这个式子表示的意义，读作12，8，6，5的和；二是按运算的意义，读作负12，减8，减6，加5,2有理数加减混合运算的方法和步骤：（1）将有理数加减法统一成加法，然后省略括号和加号（2）运用加法法则，加法运算律进行简便运算,例1 计算：(10)(13)(4)(9)6 解原式10(13)(4)(9)6 12,例2 计算解：原式,例3 把算式省略加号代数和,并计算
19、出结果.解算式,例4 填空（1）比 小2的数是_,比 大3的数是 _.（2）6 xy 的最大值_,此时 x与y是什么关系_（3）如果 a 4,b 8，a与b异号,则ab_,例4 填空（1）比 小2的数是_,比 大 3的数是 _.（2）6xy的最大值是6,此时 x与y是什么关系 xy.（3）如果a4,b8，a与b异号,则ab 12,12.,例5 求值:若a与 3 的相反数的和为 1,b的绝对值等于2,c6,求代数式 abc的值解:a31,a4,b2,b2abc42612abc4268,例6 你能找到三个整数a，b，c,使得关系式(abc)(abc)(abc)(abc)3388成立吗?如果能找到,
20、请你举出一例;如果找不到,请你说明理由.,解:不妨设 abc 为偶数.则 abc(abc)2b 为偶数 abc(abc)2c 为偶数 abc(abc)2a 为偶数(abc)(abc)(abc)(abc)能被16整除,而3388 不能被16整除.,1.4 绝对值,小明的家在学校西边3Km处，小丽的家在学校东边2Km处。,3,2,你能建立数轴恰当表示他们的位置吗？,假如他们步行的速度相同，谁先到学校？为什么？,数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。,例如：,表示-3的点与原点的距离是，,所以-3的绝对值是；,表示2的点与原点的距离是，,表示0的点与原点的距离是，,所以2的绝对值是；
21、,所以0的绝对值是。,如图，你能说出数轴上A、B、C、D、E、F各点所表示的数的绝对值吗？,A,B,C,D,E,F,归纳：,有理数的绝对值的求法,1.画数轴,标出有理数所在点，得到点到原点的距离,2.求得有理数的绝对值,有理数,绝对值,点,距离,解：,在数轴上画出表示4和-3.5的点A和点B.,因为 点A与原点的距离是4，,所以 4的绝对值是4,因为 点B与原点的距离是3.5，,所以-3.5的绝对值是3.5,3.5,4,绝对值的表示方法,4的绝对值表示为:,-3.5的绝对值表示为:,0的绝对值表示为:,4,-3.5,0,例.比较-3与-6的绝对值的大小.,-3=，-6=,即-3的绝对值小于-6
22、的绝对值。,3,6,解：,练一练：,1.（1）在数轴上画出表示下列各数的点：,（2）填空：,0=,9=,-0.4=,=,-2=,(3)比较-3、-0.4、-2的绝对值的大小，并用“”号把它们连接起来.,-3,=,一.回答下列问题:,2.到原点距离为3的数是.,3.绝对值为3的数是.,4.绝对值为-3的数是.,5.“任何数的绝对值都是正数”的说法对吗?,6.最小的绝对值为.,7.绝对值最小的数是.,8.绝对值小于4.5的整数是.,9.绝对值不大于3的整数是.,二.比较下列各对数的大小:,(1)2 与 0,(2)-2 与 0,(3)2 与-2,(4)-2 与-4,三.计算:,小结:,1.绝对值的实
23、质是什么?,2.最小的绝对值是多少?,3.绝对值最小的数是多少?,4.有理数的绝对值的范围是?,绝对值与相反数,有理数王国的公民+1一天不小心掉进了一个魔瓶里。谁知出来后竟变成胖乎乎的0，你说怪不怪？冷眼旁观的2说：“谁叫这瓶里睡着他的相反数兄弟呢？幸好我兄弟不在里面！”同学们，你想知道+1的相反数兄弟是谁？为什么他俩见面后就变成0呢？就让我们一起走进神奇的相反数的世界吧!,我怎么就变胖了呢？,哈哈！我还是我！,请两位同学背靠背，一人向前走5步，一人向后走5步。如果向前为正，向前走5步，向后走5步，分别记作什么？,向前5步记作+5，向后5步记作-5。+5与-5就叫做互为相反数。,活 动 一,你
24、能在数轴上找两个点，使它们所代表的数互为相反数吗？,试 一 试,0,1,-1,2,-2,哈哈！我来了。,我的相反数在哪？,具备什么样特点的两个数才互为相反数呢？（小组讨论）,像+2与-2，+5与-5这样符号不同，绝对值相等的两个数叫做互为相反数（opposite number)。,规定：0的相反数是0,具备什么样特点的两个数才互为相反数呢？（小组讨论）,请一位同学随便报一个数，然后点名叫另一位同学说出它的相反数。,总结：a的相反数是-a,点 将 台,a的相反数-a前有负号，那么-a一定是负数吗？,难道我穿男孩衣服就是男孩吗？嘻嘻！,辩 一 辩,我们通常在一个数的前面加一个“”号表示这个数的相反
25、数。因此 a 的相反数是-（-a），另一方面，-a的相反数是a，所以-(-a)=a。,简化下列各数：,看我 牛刀小试！,-（+5）+（-3）+（+2）-（-6）,以某一小组为数轴，一位同学为原点，规定正方向后，请大家思考数轴上的各位同学所代表的数是多少？他们的相反数又分别对应哪位同学？这些数的绝对值是几？,活 动 二,谁是我的相反数呢？,我代表几呀？,我的绝对值是1。,怎样知道我的绝对值呢？,一个数的绝对值与这个数本身或它的相反数有什么关系？,正数的绝对值是它本身；（涛声依旧）负数的绝对值是它的相反数；（物是人非）0的绝对值是0。,想 一 想,请同学们把自己最喜欢的数写给同桌，由他（她）写出这
26、个数的绝对值。,小窍门：在写一个数的绝对值时，首先判断这个数是正数，负数，还是零，然后再选择相应法则。,比 一 比,招聘会,正数公司和负数公司招聘职员，要求是：经过绝对值符号“”这扇大门后，结果为正就是正数公司职员，结果为负就是负数公司职员。,负数公司能招到职员吗？0能找到工作吗？,总结：任何一个数的绝对值一定是非负数。,活 动 三,1.说说你对相反数的认识。,相反数成对出现。只有符号不同的两个数才互为相反数。数轴上表示相反数的两个对应点，分别位于原点两侧，它们到原点距离相等。,2.对于绝对值你有什么新的认识？,求一个数的绝对值要先判断它的符号。互为相反数的两个数的绝对值相等。绝对值一定是非负数。,系统扫描,1.有比自身相反数小的数吗?有没有这样的数,它的绝对值比它的相反数小?你还能提出类似的问题吗?2.如果数轴上两点A,B所表示的数互为相反数,点 A在原点左侧,且A,B两点距离为8,你知道B代表什么数吗?3.a与b互为相反数,你会求a,b吗?相信 你一定行!4.你能解释为什么+1与他的孪生兄弟相遇会变成0吗！开动脑筋，把你的理由和同学的交流。,华山论剑,
