《第五章线性微分方程组.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第五章线性微分方程组.doc（11页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、第五章 线性微分方程组教学目的讨论线性微分方程组的基本理论及其求解方法（包括常数变易法，常系数方程组基本解矩阵的求法）教学要求理解微分方程组解的存在唯一性定理，掌握逐步逼近法，掌握线性微分方程组的基本理论和基本解矩阵的性质，掌握常系数线性方程组基本解矩阵的计算，特别是expA的定义、性质和计算方法，理解高阶线性微分方程与线性微分方程组的关系，会将线性微分方程组的有关结论推广到高阶线性微分方程。教学重点解的存在唯一性定理；叠加原理；向量函数的线性相关性的定义；Wronsky行列式；解矩阵的定义和性质；常数变易法；解的结构；矩阵指数expA的定义及其性质；基本解矩阵的计算公式。教学难点向量和矩阵列
2、的收敛性的定义；二者的范数定义及其相关性质；向量函数的线性相关性；Wronsky行列式的定义及其性质；根子空间的分解；基本解矩阵的计算公式的推导。教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。课题导入前面几章研究了只含一个未知函数的一阶及高阶微分方程,但在许多实际问题(如工程,物理,生物等)和一些理论问题中,往往涉及若干个未知函数以及它的导数的方程组成的方程组,即微分方程.本章将介绍一阶微分方程组的一般解法,重点仍在线性方程组的基本理论和常数变易线性方程组的解法.5.1存在唯一性定理教学目的讨论线性微分方程组的解的存在唯一性定理。高阶线性微分方
3、程与线性微分方程组的关系。教学要求理解微分方程组解的存在唯一性定理，掌握逐步逼近法，理解高阶线性微分方程与线性微分方程组的关系，会将线性微分方程组的有关结论推广到高阶线性微分方程。教学重点存在唯一性定理及其证明教学难点向量和矩阵列的收敛性的定义；二者的范数定义及其相关性质。教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。1. 线性微分方程组的有关概念例,多回路的电路问题,如图所示是含有两个回路的电路问题E(t)是电源电压,I是电感,C是电容器的电路和是两个电阻,是通过电感L的电流,是通过电容C的电流,其中L,C, 和是常数,E(t)是已知函数,所
4、列出及应满足的微分方程.解:根据基尔霍夫第二定理,得:即故 以上就是一个关于的线性微分方程组.1.线性微分方程组的定义: a 形为：: (5.1)的微分方程组,形为一阶线性微分方程组,其中 (i,j=1,2 n) (t)(i=1,2n)在 上连续.b 设函数组 在上可微,且 则称函数组为微分方程组(5.1)的在上的一个解.(5.1)含有n个独立常数为的解 称为(5.1)的通解.2.函数向量和函数矩阵在线性微分方程组的讨论中,向量,矩阵及其用到是非另有用的,下面我们将介绍有关函数向量和函数矩阵(即向量,矩阵元素为函数)的一些基本性质.(1)函数向量和函数矩阵 n阶函数列向量定义为每一在区间内Ie
5、有定义.函数矩阵A(t)定义为每一在Ie有定义注:关于向量或矩阵的代为运算的性质,对于以上函数作为元素的矩阵同样成立.(2)函数向量和矩阵的连续,微分和积分的概念如果函数向量x(t)或函数矩阵A(t)的每一个元素都是区间上的,则称x(t)或A(t)在上此时,它们的导数与积分分别定义为:,注:关于函数向量及矩阵的概念,积分运算法法则和普通及值函数类型.(3)矩阵向量的基数定义:对于n阶列列向量及矩阵,定义它们的基数为,设A,B是矩阵,x和y是n阶列向量,A(t),x(t)是在a,b上,可数的函数矩阵和向量,则易验证有下面的性质.,(4)向量与矩阵序列的收敛性a 向量序列,称为在上收敛(一致收敛)
6、的.如果对于每一个,函数序列在上收敛(一致)收敛的.B 设是函数向量收敛,如果其部分和所作成的函数向量序列在上收敛(一致收敛),则称在上收敛(一致收敛).如果 ,而级数收敛,则函数向量级数在上是一致收敛的.如果连续函数向量序列在上收敛(一致)收敛的,则 对矩阵序列也有类似的结果 设是矩阵序列,其中,如果对一切,数列却收敛,则称也是收敛的.设是矩阵级数,如果其部分和所作成的矩阵序列是收敛的,则称收敛. 收敛收敛,().如果对于每一个阶数k,都有 而收敛,则发散。 同样，可给出函数矩阵级数的一致收敛定义和有关结果。 （5）一阶微分方程组的向量表示对（5.1） 若记 则(5.1)可写成 (5.4)定
7、义1 设A(t)是上的连续的n*n矩阵,f(t)在上连续的n维向量,方程组 (5.4)在的解向量u(t),是指u(t)在 满足(5.4),即 定义2 初值问题 (5.5).的解就是方程组(5.4)在包含的区间上的解u(t),使得 例: 将受回路电路中的电流所满足的微分方程写成矩阵形式. 解: 如果令:则 例2 验证向量,是初值问题 在区间上的解.解: 显然 u(0)= 因为处处有连续导数,积分得到 因此,u(t)是满足初值问题的解.3.n阶线性微分方程的初值问题与线性微分方程组的初值问题关系. 对n阶线性微分方程的初值问题 (5.6)其中若令则有: 而且,.即方程(5.6)可化为 0 1 0
8、0 0 0 0 1 . 0x + 0 (5.7) . f(t) =若是(5.6)在包含t的区间上的任一解,则令:则是(5.7)的解.显然 且 反之,设定义函数知: 即初值问题(5.6)与(5.7)的解等价,即给出其中一个初值问题的解可构造另一个初值问题的解. 例3:将初值问题化为与之等价的一价阶方程组的初值问题. 解:设即有 也即注:每一个n阶线性微分方程可化为n个一价线性微分方程组,反之却不成立.如:方程组:不能化为一个二价微分方程.二 存在唯一性定理1.定理1 如果A(t)是n*n矩阵,f(t)是n维列向量,它们都在区间上连续,则对任及任一常向量初值问题 (5.5)在区间上存在唯一解该定理
9、的证明与第三章定理1的证明完全类似.都可以用PICARD逐步法分五步证明.只要把定理1的绝对值设成向量的范数即可2.存在唯一性定理证明命题1,设是初值问题(5.5)定义于区间上的解.则是积分方程 (5.8)的定义于上的连续解.反之亦然. 证明完全类似于第三章定理1的命题. 略.构造Picard选代向量函数到 (5.9)向量函数命题2 对于所有t级数K,向量函数在上有定义且连续.命题3 向量函数列在区间上是一致收敛的. 考虑向量函数 , (5.10)由于级数(5.10)的部分和为 =因此,要证明序列在上一致收敛,只要证明(5.10)在上致收敛即可.因A(t),f(t)都在上连续,所以都在上有界,即有在函数L和K使得,取由(5.9)可导出下面的命题四于是初值问题(5.5)的解有且唯一.3.n阶线性微分方程的解存在唯恐天下不乱一性定理推论:如果
