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1、（共30套）初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用第一讲 走进追问求根公式 形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法. 而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法. 求根公式内涵丰富: 它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美. 降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决. 解题时常用到
2、变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法. 【例题求解】【例1】满足的整数n有 个. 思路点拨: 从指数运算律、1的特征人手，将问题转化为解方程. 【例2】设、是二次方程的两个根，那么的值等于（ ）A、一4 B、8 C、6 D、0 思路点拨: 求出、的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如，. 【例3】 解关于的方程. 思路点拨: 因不知晓原方程的类型，故需分及两种情况讨论. 【例4】 设方程，求满足该方程的所有根之和. 思路点拨: 通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解. 【例5】 已知实数、互不相等，且， 试求的值. 思
3、路点拨: 运用连等式，通过迭代把、用的代数式表示，由解方程求得的值. 注: 一元二次方程常见的变形形式有: (1)把方程（）直接作零值多项式代换； (2)把方程（）变形为，代换后降次；(3)把方程（）变形为或，代换后使之转化关系或整体地消去. 解合字母系数方程时，在未指明方程类型时，应分及两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如. 走进追问求根公式学历训练1、已知、是实数，且，那么关于的方程的根为 . 2、已知，那么代数式的值是 . 3、若，则的值为 . 4、若两个方程和只有一个公共根，则( )A、 B、 C、 D、 5、当分式有意义时，的取值范围是( ) A、 B
4、、 C、 D、且 6、方程的实根的个数是( ) A、0 B、1 C、2 D、37、解下列关于的方程: (1)； (2)； (3). 8、已知，求代数式的值. 9、是否存在某个实数m，使得方程和有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由. 注: 解公共根问题的基本策略是: 当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而不求，通过消去二次项寻找解题突破口. 10、若，则 . 11、已知、是有理数，方程有一个根是，则的值为 . 12、已知是方程的一个正根. 则代数式的值为 . 13、对于方程，如果方程实根的个
5、数恰为3个，则m值等于( )A、1 B、2 C、 D、25 14、自然数满足，这样的的个数是( ) A、2 B、1 C、3 D、415、已知、都是负实数，且，那么的值是( )A、 B、 C、 D、16、已知，求的值. 17、已知m、n是一元二次方程的两个根，求的值. 18、在一个面积为l的正方形中构造一个如下的小正方形: 将正方形的各边等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连结起来，如图所示，若小正方形面积为，求的值. 19、已知方程的两根、也是方程的根，求、的值. 20、如图，锐角ABC中，PQRS是ABC的内接矩形，且SABC=S矩形PQRS，其中为不小于3的自然数求证: 需为无理数.
6、 参考答案第二讲 判别式二次方程根的检测器 为了检查产品质量是否合格，工厂里通常使用各种检验仪器，为了辨别钞票的真伪，银行里常常使用验钞机，类似地，在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特性: 如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等. 我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下方面有着广泛的应用: 利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性； 运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围； 通过判别式，证明与方程相关的代数问题； 借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题. 【例题求解】【例1】 已知关于的一元二次方程有两个不
7、相等的实数根，那么的取值范围是 . (广西中考题)思路点拨: 利用判别式建立关于的不等式组，注意、的隐含制约. 注: 运用判别式解题，需要注意的是: (1)解含参数的二次方程，必须注意二次项系数不为0的隐含制约； (2)在解涉及多个二次方程的问题时，需在整体方法、降次消元等方法思想的引导下，综合运用方程、不等式的知识. 【例2】 已知三个关于的方程: ，和，若其中至少有两个方程有实根，则实数的取值范围是( ) （山东省竞赛题）A、 B、或 C、 D、思路点拨: “至少有两个方程有实根”有多种情形，从分类讨论人手，解关于的不等式组，综合判断选择. 【例3】 已知关于的方程， (1)求证: 无论取
8、任何实数值，方程总有实数根； (2)若等腰三角形ABC的一边长1，另两边长、c恰好是这个方程的两个根，求ABC的周长. (湖北省荆门市中考题)思路点拨: 对于(1)只需证明0；对于(2)由于未指明底与腰，须分或、中有一个与c相等两种情况讨论，运用判别式、根的定义求出、的值. 注: （1）涉及等腰三角形的考题，需要分类求解，这是命题设计的一个热点，但不一定每个这类题均有多解，还须结合三角形三边关系定理予以取舍. （2）运用根的判别式讨论方程根的个数为人所熟悉，而组合多个判别式讨论方程多个根(三个以上)是近年中考，竞赛依托判别式的创新题型，解这类问题常用到换元、分类讨论等思想方法. 【例4】 设方
9、程，只有3个不相等的实数根，求的值和相应的3个根. (重庆市竞赛题)思路点拨: 去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程原方程只有3个不相等的实数根，则其中一个判别式大于零，另一个判别式等于零. 【例5】已知: 如图，矩形ABCD中，AD，DC，在 AB上找一点E，使E点与C、D的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设AE，问: 这样的点E是否存在?若存在， 这样的点E有几个?请说明理由. (云南省中考题)思路点拨: 要使RtADE、RtBEC、RtECD彼此相似，点E必须满足AED+BEC90，为此，可设在AE上存在满足条件的点E使得RtADERtBEC，建立一元二次方程的数学模型，通过判
10、别式讨论点E的存在与否及存在的个数. 注: 有些与一元二次方程表面无关的问题，可通过构造方程为判别式的运用铺平道路，常见的构造方法有: (1)利用根的定义构造； (2)利用根与系数关系构造； (3)确定主元构造. 判别式二次方程根的检测器学力训练1、已知，若方程有两个相等的实数根，则= . 2、若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 . (辽宁省中考题)3、已知关于方程有两个不相等的实数解，化简= . 4、若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( ) A、 B、 C、且 D、且 (山西省中考题)5、已知一直角三角形的三边为、，B90，那么关于的方程的根的情况为( )
11、 A、有两个相等的实数根 B、没有实数根C、有两个不相等的实数根 D、无法确定 (河南省中考题)6、如果关于的方程只有一个实数根，那么方程的根的情况是( ) A、没有实数根 B、有两个不相等的实数根 C、有两个相等的实数根 D、只有一个实数根 (2003年河南省中考题)7、在等腰三角形ABC中， A、B、C的对边分别为、，已知，和是 关于的方程的两个实数根，求ABC的周长. (济南市中考题)8、已知关于的方程 (1)求证: 无论m取什么实数，方程总有实数根；(2)如果方程的两实根分别为、，满足=3，求实数的值. (盐城市中考题)9、为实数，关于的方程有三个不等的实数根. (1)求证: ；(2)
12、若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证该三角形必有一个内角是60；(3)若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求和的值. (江苏省苏州市中考题)10、关于的两个方程，中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是 . (2002年四川省竞赛题)11、当= ，= 时，方程有实数根. (全国初中数学联赛试题)12、若方程有且只有相异二实根，则的取值范围是 . 13、如果关于的方程没有实数根，那么关于的方程的实根的个数( ) A、2 B、1 C、0 D、不能确定14、已知一元二次方程，且、可在1、2、3、4、5中取值，则在这些方程中有实数根的方程共有( ) A、12个 B、10
13、个 C、7个 D、5个 (河南省中考题)15、已知ABC的三边长为a、b、c，且满足方程，则方程根的情况是( ) A、有两相等实根 B、有两相异实根 C、无实根 D、不能确定 (河北省竞赛题)16、若a、b、c、d0，证明: 在方程；中，至少有两个方程有两个不相等的实数根. (湖北省黄冈市竞赛题)17、已知三个实数a、b、c满足，abc1，求证: a、b、c中至少有一个大于. 18、关于的方程有有理根，求整数是的值. (山东省竞赛题) 19、考虑方程(1)若=24，求一个实数，使得恰有3个不同的实数满足式. (2)若25，是否存在实数，使得恰有3个不同的实数满足式?说明你的结论. (国家理科实
14、验班招生试题)20、如图，已知边长为的正方形ABCD内接于边长为的正方形EFGH，试求的取值范围. 参考答案 第三讲 充满活力的韦达定理 一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的. 韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在: 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值； 利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等. 韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路. 韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合
15、，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法. 【例题求解】【例1】 已知、是方程的两个实数根，则代数式的值为 . 思路点拨: 所求代数式为、的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例2】如果、都是质数，且，那么的值为( ) A、 B、或2 C、 D、或2 思路点拨: 可将两个等式相减，得到、的关系，由于两个等式结构相同，可视、为方程的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件. 注: 应用韦达定理的代数式的值，一般是关于、的对称式，这类问题可通过变形用+、表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧: (1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构
16、造对称式. 【例3】 已知关于的方程: (1)求证: 无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根. (2)若这个方程的两个实根、满足，求m的值及相应的、. 思路点拨: 对于(2)，先判定、的符号特征，并从分类讨论入手. 【例4】 设、是方程的两个实数根，当m为何值时，有最小值?并求出这个最小值. 思路点拨: 利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(0)进行的. 注: 应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性. 【例5】 已知: 四边
17、形ABCD中，ABCD，且AB、CD的长是关于的方程的两个根. (1)当m2和m2时，四边形ABCD分别是哪种四边形?并说明理由. (2)若M、N分别是AD、BC的中点，线段MN分别交AC、BD于点P，Q，PQ1，且ABBC)的长是关于的方程的两个根. (1)求rn的值；（2）若E是AB上的一点，CFDE于F，求BE为何值时，CEF的面积是CED的面积的，请说明理由 16、设m是不小于的实数，使得关于的方程工有两个不相等的实数根、. (1) 若，求m的值. （2）求的最大值. 17、如图，已知在ABC中，ACB=90，过C作CDAB于D，且ADm，BD=n，AC2: BC22: 1；又关于x的
18、方程两实数根的差的平方小于192，求整数m、n的值. 18、设、为三个不同的实数，使得方程和和有一个相同的实数根，并且使方程和也有一个相同的实数根，试求的值. 参考答案 第四讲 明快简捷构造方程的妙用有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是如果我们能构造一元二次方程，那么就能运用一元二次方程丰富的知识与方法辅助解题，构造一元二次方程的常用方法是: 1利用根的定义构造 当已知等式具有相同的结构，就可把某两个变元看成是关于某个字母的一元二次方程的两根 2利用韦达定理逆定理构造 若问题中有形如，的关系式时，则、可看作方程的两实根 3确定主元构造 对于含有多个变元的等式，可以将等式整理为关于某个字
19、母的一元二次方程成功的构造是建立在敏锐的观察、恰当的变形、广泛的联想的基础之上的；成功的构造能收到明快简捷、出奇制胜的效果注: 许多数学问题表面上看难以求解，但如果我们创造性地运用已知条件，以已知条件为素材，以所求结论为方向，有效地运用数学知识，构造出一种辅助问题及其数学形式，就能使问题在新的形式下获得简解，这就是解题中的“构造”策略，构造图形，构造方程、构造函数、构造反例是常用构造方法【例题求解】【例1】 已知、是正整数，并且，则 思路点拨 ，变形题设条件，可视、为某个一元二次方程两根，这样问题可从整体上获得简解【例2】 若，且有及，则的值是( ) A B C D 思路点拨 第二个方程可变形
20、为，这样两个方程具有相同的结构，从利用定义构造方程入手【例3】 已知实数、满足，且，求的取值范围 思路点拨 由两个等式可求出、的表达式，这样既可以从配方法入手，又能从构造方程的角度去探索，有较大的思维空间【例4】 已知实数、满足， (1)求、中最大者的最小值； (2)求的最小值 思路点拨 不妨设ab，ac，由条件得，构造以b、c为实根的一元二次方程，通过0探求的取值范围，并以此为基础去解(2)注: 构造一元二次方程，在问题有解的前提下，运用判别式0，建立含参数的不等式，缩小范围逼近求解，在求字母的取值范围，求最值等方面有广泛的应用【例5】 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成
21、的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数 (2003年全国初中数学联赛试题)思路点拨 设前后两个二位数分别为，则有，将此方程整理成关于(或)的一元二次方程，在方程有解的前提下，运用判别式确定 (或)的取值范围 学历训练1若方程的两个实数根的倒数和是，则的取值范围是 2如图，在RtABC中，斜边AB5，CDAB，已知BC、AC是一元二次方程的两个根，则m的值是 3已知、满足，则= 4已知，则的值为( )A2 B-2 C-1 D 0 5已知梯形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若SAOB4，SCOD9，则四边形ABCD的面积S的最小值为( )A21 B 25 C26 D 36 6如图，菱形A6C
22、D的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于的方程的根，则m的值为( ) A一3 B5 C5或一3 n一5或37已知，其中、为实数，求的值8已知和是正整数，并且满足条件，求的值 9已知，其中m、n为实数，则 10如果、为互不相等的实数，且满足关系式与，那么的取值范围是 11已知，则= ，= ；12如图，在RtABC中，ACB90，ACb，ABc，若D、E分别是AB和AB延长线上的两点，BD=BC，CECD，则以AD和AE的长为根的一元二次方程是 13已知、均为实数，且，求的最小值14设实数、满足，求的取值范围15如图，梯形ABCD中，ADBC，ADAB，梯形的高AE=，且 (1
23、)求B的度数； (2)设点M为梯形对角线AC上一点，DM的延长线与BC相交于点F，当，求作以CF、DF的长为根的一元二次方程 16如图，已知ABC和平行于BC的直线DE，且BDE的面积等于定值，那么当与BDE之间满足什么关系时，存在直线DE，有几条?参考答案 第五讲 一元二次方程的整数整数解在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有: 从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解； 从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，
24、或引入参数(设=)，通过穷举，逼近求解； 从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解； 从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解注: 一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关【例题求解】【例1】若关于的方程的解都是整数，则符合条件的整数是的值有 个思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确注: 系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注
25、意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论【例2】 已知、为质数且是方程的根，那么的值是( ) A B C D 思路点拨 由韦达定理、的关系式，结合整数性质求出、的值 【例3】 试确定一切有理数，使得关于的方程有根且只有整数根 思路点拨 由于方程的类型未确定，所以应分类讨论当时，由根与系数关系得到关于r的两个等式，消去r，利用因式(数)分解先求出方程两整数根【例4】 当为整数时，关于的方程是否有有理根?如果有，求出的值；如果没有，请说明理由 思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数设=(为整数)解不定方程，讨论的存在性注: 一元二次方程 (a0)而言，方程的根为整数必为有
26、理数，而=为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件【例5】 若关于的方程至少有一个整数根，求非负整数的值思路点拨 因根的表示式复杂，从韦达定理得出的的两个关系式中消去也较困难，又因的次数低于的次数，故可将原方程变形为关于的一次方程 学历训练1已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有 2已知方程有两个质数解，则m 3给出四个命题: 整系数方程(a0)中，若为一个完全平方数，则方程必有有理根；整系数方程(a0)中，若方程有有理数根，则为完全平方数；无理数系数方程(a0)的根只能是无理数；若、均为奇数，则方程没有有理数根，其中真命题是 4已知关于的一元二次方程 (为整数)的两个实数根是、，则
27、= 5设rn为整数，且4m0， 0(1)求证: 0,0，0, 0；(2)求证: ；(3)求、所有可能的值13如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程的根(为整数)，这样的直角三角形是否存在?若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由 参考答案 第六讲 转化可化为一元二次方程的方程 数学(家)特有的思维方式是什么?若从量的方面考虑，通常运用符号进行形式化抽象，在一个概念和公理体系内实施推理计算，若从“转化”这个侧面又该如何回答?匈牙利女数学家路莎彼得在无穷的玩艺一书中写道: “作为数学家的思维来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为
28、已经能够解决的问题”转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的基本思想解分式方程，通过去分母和换元；解高次方程，利用因式分解和换元，转化为一元二次方程或一元一次方程去求解【例题求解】【例1】 若，则的值为 思路点拨 视为整体，令，用换元法求出即可【例2】 若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是( ) A B C D 思路点拨 通过平方有理化，将无理方程根的个数讨论转化为一元二次方程实根个数的讨论，但需注意注的隐含制约注: 转化与化归是一种重要的数学思想，在数学学习与解数学题中，我们常常用到下列不同途径的转化: 实际问题转化大为数学问题，数与形的转化，常量与变量的转化，
29、一般与特殊的转化等 解下列方程: （1）； (2)； （3） 按照常规思路求解繁难，应恰当转化，对于(1)，利用倒数关系换元；对于(2)，从受到启示；对于(3)，设，则可导出、的结果注: 换元是建立在观察基础上的，换元不拘泥于一元代换，可根据问题的特点，进行多元代换【例4】 若关于的方程只有一个解(相等的解也算作一个)，试求的值与方程的解 思路点拨 先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出的值注: 分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能产生增根，分式方程只有一个解，可能足转化后所得的整式方程只有一个解，也可能
30、是转化后的整式方程有两个解，而其中一个是原方程的增根，故分式方程的解的讨论，要运用判别式、增根等知识全面分析【例5】 已知关于的方程有两个根相等，求的值思路点拨 通过换元可得到两个关于的含参数的一元二次方程，利用判别式求出的值注: 运用根的判别式延伸到分式方程、高次方程根的情况的探讨，是近年中考、竞赛中一类新题型，尽管这种探讨仍以一元二次方程的根为基础，但对转换能力、思维周密提出了较高要求 学历训练1若关于的方程有增根，则的值为 ；若关于的方程 曾一1的解为正数，则的取值范围是 2解方程得 3已知方程有一个根是2，则= 4方程的全体实数根的积为( ) A60 B一60 C10 D一105解关于
31、的方程不会产生增根，则是的值是( ) A2 B1 C不为2或一2 D无法确定6已知实数满足，那么的值为( ) A1或一2 B一1或2 C1 D一2 7(1)如表，方程1、方程2、方程3、，是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的空格处； (2)若方程()的解是=6，=10，求、的值该方程是不是(1)中所给的一列方程中的一个方程?如果是，它是第几个方程? (3)请写出这列方程中的第个方程和它的解，并验证所写出的解适合第个方程序号方 程方程的解1= = 2=4=63 =5=88解下列方程: （1） ；（2）；(3)；(4)9已知关于的方程，其中为实数，当m为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根?求出这三个实数根 10方程的解是 11解方程得 12方程的解是 13若关于的方程恰有两个不同的实数解，则实数的取值范围是 14解下列方程: (1)； (2)；（3）； （4）15当取何值时，方程有负数解?
