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1、第三章 连续系统仿真方法学,本章主要内容,连续系统建模方法模型变换连续系统仿真算法采样控制系统仿真*分布参数系统仿真*,第一节 连续系统建模方法,先验知识建模机理建模方法知识模型 常见形式：各种学科的公理、定理、定律等 专家系统方法逻辑关系模型 符号、关系式、专家知识库、推理规则等 模糊系统方法模糊模型 高矮、大小等模糊语言量化成定量的表示形式，按某种算法得到定量的结果后再转换为模糊语言 以上方法有时也用于离散事件系统建模,系统辨识建模 经验方法 直接观察数据曲线得出模型方程，如线性系统，一阶对象等 表格插值，一种静态建模技术，主要用于计算动态方程中的系数 统计建模（数理统计的方法）最小二乘法
2、及其改进形式、极大似然估计法等 神经网络,混合建模方法 若干种模型形式（输出）互相补充 给定输入后，从机理模型中产生输出，与辨识模型的输出按某种方式得到系统输出，反过来可以用输出误差继续修正辨识模型,第二节 模型变换,连续系统常用的模型表示形式连续时间模型系统的输入量u(t)，输出量y(t)及内部状态变量x(t)均为时间的连续函数微分方程传递函数权函数状态空间表达式,微分方程,其中mn用古典方法求解时非常复杂，高阶系统通常没有封闭解或解析解,传递函数,当初始条件为零时，对上述微分方程式作拉氏变换，可得传递函数形式 求解时可先用部分分式展开 再进行反变换即得时间解 S域（复频域）内求解较为简便但
3、对多变量、时变或高阶系统仍求解困难,权函数,权函数 g(t)指初始条件为0时系统在理想脉冲函数(t)作用下的响应，又称脉冲过渡函数系统对任意输入的响应可由卷积积分公式求出,权函数与传递函数有如下关系：,为n维状态向量，u为r维输入向量，y为m维输出向量,状态空间表达式,动态系统的状态是指能完全描述系统行为的最小一组变量若知道t=t0时刻的初始状态向量x0及tt0时的输入u就能完全确定系统在tt0时刻的行为状态空间表达式由状态方程和输出方程组成,为参数矩阵（或称动态矩阵），,为输入矩阵，,为输出矩阵,运用矩阵计算方法且借助于计算机很容易对状态空间方程求解,为关联矩阵（输入和输出直接关联）,离散时
4、间模型系统的输入量，输出量及内部状态量均为时间的离散函数，即时间序列u(kT),y(kT),x(kT)差分方程Z传递函数权序列离散状态空间模型,差分方程,T为采样周期,Z传递函数,对差分方程作Z变换，设所有初值为0，则有,权序列,权序列h(k)为对初始条件为0的系统施加单位脉冲序列(k)所得到的响应 系统对于任意输入u(k)的响应为一卷积 与Z传递函数间关系,离散状态空间模型,连续-离散混合模型如计算机控制系统，对连续对象进行控制时，状态量中既有连续的也有离散的,连续系统模型之间的变换 微分方程、传递函数、权函数模型描述系统的输入与输出关系，称为系统的外部模型 状态方程则称为系统的内部模型 通
5、常在仿真时，需要将系统的各种描述形式转换成内部模型，称为模型结构变换化微分方程为状态方程 化连续状态方程为离散状态方程,化微分方程为状态方程,设有微分方程,先考虑右边仅含u的形式，令=,则有,写成矩阵形式：,输出矩阵写为,其中,当右式包含导数项时，状态方程形式为,A,C与前相同，,其中,现代控制理论中还介绍了其它形式的转换方程，如能控标准型、能观标准型等,化连续状态方程为离散状态方程,连续状态方程对应的离散状态表达式为,T为采样周期或者计算步长,为确定(T)和H(T)，可利用连续状态方程解,其中,为系统的矩阵指数或状态转移矩阵，x(0)为初始状态向量,当采用零阶保持器时，,即认为u(t)在每个
6、采样周期内保持常值,u(t)=u(kT)，(kTt(k+1)T),则有,其中和H与T有关，当T确定后，和H为常值矩阵,离散化公式的核心在于计算矩阵指数及其积分，常用级数展开的算法，即,其余离散化的表示形式与连续形式之间的转换在计算机控制中介绍,第三节 连续系统的仿真算法,算法的基本概念系统模型计算机模型：二次建模，算法是核心问题算法：解题方案的准确而完整的描述，一般采用文字、算式以及框图的形式需要关注：算法性能分析：误差、收敛性、计算效率等算法的比较与选择,浮点数运算 计算机上进行数值计算时，实数x用t位十进制浮点数表示：其中m为t 位十进制小数，且-1m1，c为十进制整数，若0.1m1，则称
7、此浮点数系统为规格化的，t 称该数的精度，特定的计算机有固定的浮点数精度,采用浮点数运算存在的常见问题,舍入误差计算机有一组操作浮点数的指令，用以模拟加、减、乘、除运算，但不可能精确。如乘法运算时，乘积应有2t位精度，但实际仅能保留t位，即存在舍入误差。复杂计算（迭代等）中舍入误差的累积可能会影响结果，应在算法分析中考虑 溢出 计算机对指数c范围有限制，乘、除时可能会上溢、下溢，也应进行处理,数值稳定性问题,若运算过程中计算误差不断增长，称算法为数值不稳定的反之则为稳定的,例：计算,由分部积分得递推公式：,用Taylor展开计算：,若取k=7，并保留4位小数，可得,截断误差：,只考虑初值误差，
8、对I00.6321，递推计算，结果如表中第一行,该积分不可能为负值，显然算法有问题,分析计算误差：,满足关系：,误差增长迅速,如果换一种算法，可以减小误差，考虑积分估计值：,逆向计算：,取n=9时，,，结果如表中第二行,分析计算误差，满足关系：,显然误差一直减小,病态问题,如线性方程组,精确解：,如果用4位有效数字进行运算：(2)-(1)/3.000，逐步计算后，可得x2=-5.000，误差很大,当方程特征根相差太大时出现病态问题，也称刚性(Stiff)问题需要设计有效的算法,二、数值积分法,实际系统模型多为低阶微分方程形式，求解时本质上应用积分运算对高阶方程，可先转换为多个一阶方程，因此，最
9、终问题转化为求解一阶微分方程常见算法：Euler法 Runge-Kutta法(R-K法)Adams法(多步法),Euler法,设有模型方程,，初始条件,欧拉法用tk点切线近似该点附近的曲线f(t,y)，则有,其中,是曲线上的点，,是切线上的点,称为第k 步的计算步长,此类方法称为“微分方程初值问题的数值计算法”，也称“数值积分法”,优点：简单易行,缺点：h取得大时，计算速度快，单步误差大；h取得小，计算速度慢，且累计误差大,Runge-Kutta法(R-K法),二阶形式：,其中,迭代公式由Taylor展开并保留h2项获得,注意：R-K方法实质是用均差代替导数，其中k项的加权系数可任选,四阶形式
10、（固定步长）：,其中,四阶形式在精度和复杂度方面都有较好的表现，最常用,Euler法与R-K法计算时仅用到前一步的结果，称单步法，已知初值后可自启动,Adams法(多步法),Euler法是用矩形公式（面积）近似定积分，在曲线与矩形的边之间有较大误差；Adams法考虑用梯形公式（面积）代替矩形公式,称二阶隐式Adams法公式,因公式右端包含未知项，不能直接求解，可以用迭代法求解，设有初值,迭代公式：,直至规定的精度,隐式迭代计算步数太多，为此可降低精度，设计显式Adams法，公式：,Adams法的统一形式为：,算法特点：多步法，不能自启动，隐式方法还需迭代求解实际应用中，先用显式法计算初值，再用
11、隐式法校正一次，称预报-校正法与R-K法比较，同样阶次和精度下Adams法计算次数较少,算法分析,稳定性分析,试验方程：,若数值积分公式为,其中,是一个高阶多项式函数,仅当,时算法才稳定,如Euler法稳定条件为,隐式一阶、二阶Adams法恒稳定，更高阶条件稳定R-K法正好相反，阶次越高稳定域越大,积分步长的选择与控制,两个原则：保证稳定性，要求一定的计算精度受稳定性限制，h应在系统中最小时间常数量级如R-K4，要求步长小于系统中最小时间常数的2.78倍实际应用中对大量的仿真计算可以考虑采用变步长法自动改变步长Matlab中Simulink仿真时缺省的数值积分法为变步长法,如RKM3-4法,首
12、先进行误差估计：,分别找一个三阶和一个四阶R-K公式：,其中,则误差为,变步长策略：,设定一个最小误差限,，一个最大误差限,每一步的局部误差取为,，第k+1步有效，下一步用2h积分；,，保持h不变；,，第k+1步无效，步长变为h/2,三、离散相似法,原理：将连续模型离散化后再仿真计算,形式：,传递函数Z传递函数：Z域离散相似模型，,状态空间模型离散状态方程：时域离散相似模型，,右边第三项表示使用一阶保持器增加的项,由采样定理，为使离散相似模型中重构的信号能精确表示原信号，应有采样时间小于系统最小时间常数的一半，或者采样频率是最大信号频率的两倍离散相似法的优点：不易受模型方程特性的影响，尤其对特
13、征根相差较大的系统十分有效，计算速度也更快；但有的模型不易离散化,的计算误差；u(t)在采样间隔中的近似处理对后者，当输入是典型函数时，可通过增广矩阵法消除误差,误差处理,考虑时域离散相似法，误差来源：,状态方程,的解为：,对典型函数，考虑将输入u(t)增广到状态向量x(t)中，得,齐次解，避免积分近似出现的误差,增广矩阵法示例,假设系统为n阶，模型,对阶跃输入,定义,，则,增广后的状态方程及输出方程为,初始条件,增广矩阵法示例,系统模型同上，对斜坡输入,定义：,则,，增广后的状态方程及输出方程为,初始条件,课堂作业,第四节 采样控制系统仿真,典型采样控制系统结构图,其中信号比较环节可在控制器
14、内、外进行,本结构与离散相似法得到的系统相似（被控对象连续，有采样器、保持器）但前者采样周期、采样器位置、保持器类型均为实际存在，而后者均为虚拟的前者在仿真时需要考虑仿真步距与实际采样周期的关系，还需要处理离散和连续部分所得差分模型之间的联系，后者直接离散化即可,一、采样周期与仿真步距,采样控制系统方块图,其中G(s)为被控对象传递函数，H(s)为保持器传递函数，D(z)为数字控制器的z传递函数，Ts为实际采样周期仿真步距T的选择必须根据被控对象结构、采样周期大小、保持器类型及仿真精度和仿真速度的要求综合考虑,仿真步距的选择（1）,仿真步距T采样周期Ts要求：Ts较小，系统阶次较低，仿真要求不
15、高此时连续部分H(s)G(s)部分不再增加虚拟采样保持器为此必须计算G(z)=ZH(s)G(s)（常用状态空间表达式表示，易于计算）,仿真步距的选择（2）,仿真步距T采样周期Ts 更常见，因为：Ts往往受软硬件限制必须取较大连续部分有硬非线性时，系统往往分割处理，需要引入更多采样保持器，产生较大的幅值和相位误差，为保证精度，必须使TTs,一般为计算方便取Ts=NT，N为正整数，则仿真时每一次大循环中连续部分应计算N次系统中还可能有不同频率的实际采样开关 如智能汽车自动驾驶系统，其中驾驶盘执行转角的局部反馈为内反馈，汽车位置的偏差反馈为外反馈，前者因执行机构固定频率高，采样周期短，后者则较长,二
16、、改变数字控制器的采样间隔,有时实际Ts较小，为分析系统取较大T，须重新求差分模型原理：S平面上，有相同零极点和稳态值的系统等价，故可由Z域脉冲传递函数映射到S平面上，再按新的Ts*映射到z平面,例：有数字控制器,Ts=0.04s，取Ts*=0.1s仿真，求D(z),再根据稳态值相等原则确定kz，注意与输入信号有关本例中若输入单位阶跃信号，由终值定理,同样,第五节 分布参数系统仿真,物理系统宏观均有空间分布特性，需要用偏微分方程描述，不宜用解析法求解，通常用离散化模型描述，采用数值计算方法。分布参数系统的求解方法较少，仅限于有限差分法和有限元法，另外还可以用物理集总参数法分隔物理空间并建立一组
17、联立的常微分方程组,对于常见的连续系统来说，通常在使用数学模型时人们更关注的是模型对对象的外部特性的描述，因此，虽然复杂的对象往往是分布参数系统，但可以按照对象各测点的位置、结构特点及其物理化学等特性进行适当分区，分区内采用集中参数系统模型描述，从而可以避开非线性偏微分方程的迭代求解过程。,例：扭振杆系统,当在自由端施加输入扭矩T(L,t)后，y点产生的输出转角(y,t)，求输入扭矩与输出转角间的表达式,考虑厚度为dy的一段扭杆，其力矩平衡方程为：,其中,为圆截面的极惯性矩,其中是杆的线密度，G是材料的剪切弹性模量。这是一个物理学经典方程，直接求解非常繁琐。,得一维波动方程：,1解析法,采用频
18、域分析，先对t进行拉氏变换，有：,取初始条件为0，则有,解的形式为,由于杆的固定端有(0,t)=0，则(0,s)=0，可得 c1=-c2(2)在y=L处，,(1)式对y求偏导：,令y=L，由(2),(3),(4)可求出c1，c2（略），最终得,令s=jw可得y=L处角运动的频率响应,显然其中有无限多个固有频率：,若结构以其中某一固有频率振动，则此时的动态扭转曲线称为振型(5)式可用来求振型,2物理集总参数法,扭振系统可用物理集总参数法离散形式（集总块）近似，集总块数目可通过经验或试验的方法确定。设为2个集总块,选择每个集总块质心作为集总惯量J 所在位置，并以此确定K（质心之间杆长的弹性），有,
19、原系统可以表示为一个两段集总模型：,可求得两个固有频率,而准确值为1.57和4.71当集总数量增大时，可预测出更多的固有频率，数值也更精确,3.有限差分法,对应物理离散法有数学离散法，如有限差分法，其中常用的为中心差分法设y=f(x,t)，当t为常值时，中心差分法即用切点Pn上的中心差分近似函数曲线的斜率,二阶导数类似,即一阶导数为,对于具有两个位置变量的函数f(x,y)，偏导数为,简记f(xi+h,yi)=fi+1,j则：,利用中心差分公式可将空间变量离散化，结果是把偏微分方程转化为常微分方程,扭振杆分析,对一维波动方程,有二阶导数，则至少要用三点求中心差分因边界条件包含了端点的值，即有y=
20、0和y=L的点，至少还要再加上一个点,研究Ti=0时的自由振动,考虑y=L/2处，中心差分公式：,y=0，y=L处不能直接用中心差分公式（无边界条件外的点），但y=L点上有已知零扭矩的边界条件，由扭矩与扭转应变,成比例，有,则(1)式化简为,可得单一固有频率：,4.有限元法,用许多相互联接的小子区域或元素表示所研究的介质（差分法的几何表示是网点阵列），元素可以有不同的形状和大小，常见的为三角形元素，称有限元离散化,优点有限元形式的离散化更能和实际对象的边界相吻合每个元素中，所有问题未知数（温度、压力、流速等）也可按近似于其实际变化的已知方式变化比前两种所假设的逐步变化形式更接近实际情况缺点原理
21、复杂，有些情况不适用扭振杆系统仿真结果：用二元素（类似于有限差分的划分方式）求解，可得固有频率的系数分别为1.6和5.6,基于常微分方程仿真方法的偏微分方程仿真建模方法,线上求解法(method on lines)基本思想：将空间变量进行离散化，而时间变量仍保持连续，从而将偏微分方程转化为一组常微分方程，进而基于常微分方程的各种仿真算法进行仿真离散化的方法一般可以采用差分法,如典型的扩散方程：,可以将x分成若干个子区间，即xi=ih(i=0,1,2,M)，对某个xi，有,这样可得M+1个微分方程，其中u对x的二阶偏微分可以用二阶差分近似，即,原理简单，充分利用了常微分方程仿真算法的优点，仅在一个自变量方向采用差分法计算，既直观又易于实现。仿真过程中，数值积分与差分交替进行。在使用这种方法时，正确选择差分方法以实现对空间变量求导，是保证仿真模型稳定性及计算精度的前提。,
