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1、第二章 相交线与平行线2.1 相交线【知识精华点击】课标要求1.了解对顶角、邻补角等概念；2.会辨认对顶角、邻补角，能用对顶角、邻补角的性质说理。本节重点是辨认对顶角、邻补角，掌握对顶角的性质；难点是运用对顶角的性质进行推理和计算.教材详析1.对顶角的定义1234O图2.1-1顶点公共，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。如图2.1-1所示，1与3，,2与4分别互为对顶角。(1)对顶角的特征：两个角有公共顶点；两个角的边分别互为反向延长线。也就是说只有当两条直线相交时，才会产生对顶角。所以识别两个角是否为对顶角，一要看这两个角是否由两条相交直
2、线所得到的，二要看这两个角是不是有公共顶点而没有公共边只有同时满足这两个条件时，才能断定这两个角是对顶角如图2.1-2(1)、 (2)、 (3)中的两个角都不是对顶角。122211 (1) (2) (3)图2.1-2能举出一个反例吗(2)对顶角是成对出现的。只能说“某角与某角互为对顶角”或“某角是某角的对顶角”，而不能说“某角是对顶角”。2.对顶角的性质对顶角的性质是：对顶角相等。注意这种叙述格式(1)注意：不能说成“两个角相等，它们就是对顶角”，也不能由此说“相等的角是对顶角”。(2)这个性质用符号语言叙述是： “如果1与2互为对顶角，那么1与2相等”或“1与2互为对顶角，1=2(对顶角相等
3、)”，在实际运用时，往往也可简写成“1=2(对顶角相等)”。3.邻补角的定义两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且一条公共边、另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角。如图2.1-1所示，1与2，1与4，3与2，3与4分别互为邻补角。(1) 互为邻补角描述了两个角之间的两种关系：位置关系；这两个角有公共顶点且一条公共边、另一条边互为反向延长线；不能说互补的两个角是互为邻补角数量关系：这两个角互补，即它们的和为180.(2)两个角“互为邻补角”与“互补”的关系：两个角“互为邻补角”，则这两个角一定互补，反过来， “互补”的两个角就不一定“互为邻补角”。一个角的补角有无数个，它们都相等；一个角
4、的邻补角只有两个，它的两个邻补角不仅相等而且互为对顶角。(3) 互为邻补角的符号语言：如1+2=180(邻补角定义)。【名师优质讲堂】例题精析例1 下面四个图形中，1与2是对顶角的图形的个数是（）图2.1-3A.0 B.1 C.2 D.3分析 根据对顶角的定义可知：只有第3个图中的是对顶角，其它都不是解 选B说明 判断两个角是否互为对顶角，只需看它们是否满足以下两个条件：（1）顶点公共；（2）两边互为反向延长线。同时满足这两个条件的两个角就是互为对顶角，否则不是。【变式1】下图中，1与2是对顶角的是（） A. B. C. D.解 选B【变式2】下面各图中的1与2是对顶角的是（） A. B. C
5、. D.解 选C例2 如图2.1-4，直线AB、MN相交于一点O，OCAB，则1的邻补角是（）A2 BAOC CNOC DMOBO 图2.1-4 图2.1-5 图2.1-6没有反向延长线的那条边即是公共边分析 1的两边是OM,OC，图中只有OM有反向延长线ON,OC没有，故以ON,OC为边的角即为所求。解 选C说明 判断两个角是否互为邻补角时，一看顶点：顶点必须公共；二看两边：一边公共，另一边互为反向延长线。【变式】如图2.1-5，已知1+3=180，则图中与1互补的角有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解 相加等于180的两角称作互为补角，即两角互补1的补角有它的两个邻补角5和7；另
6、外1+3=180，则3和它的对顶角4，都是1的补角故选D【变式2】如图2.1-6所示，1的邻补角是（）ABOC BBOE和AOF CAOF DBOE和AOC解 选B.例3 如图2.1-7所示，AB与CD相交于O，AOD+BOC=280，则AOC为（）A40 B140 C120 D60 图2.1-7 图2.1-8 图2.1-9分析 根据对顶角的性质，得AOD=BOC，又AOD+BOC=280，故AOD=280=140，所以AOC=180-AOD=40。解 选A.说明 在计算时，主要是由角的位置关系得到数量关系，即对顶角相等和邻补角互补。【变式1】如图2.1-8，三条直线相交于点E，则1+2+3=
7、（）A90 B120 C180 D360解 由图形可知，2（1+2+3）=360，1+2+3=180故选C【变式2】如图2.1-9所示，AB，CD相交于M，ME平分BMC，且AME=104，则AMC的度数为（）A38 B32 C28 D24解 AME与BME互为邻补角，BME=180-104=76。ME平分BMC，EMC=BME=76，AMC=AME-EMC=104-76=28。故选C例4 如图2.1-10，AB，CD交于O点（1）如果AOD=3BOD，那么BOD= 度，COB= 度；（2）如果AOC=2x，BOC=（x+90），BOD=（y+4），求x，y的值 图2.1-10 图2.1-11
8、 图2.1-12分析 （1）结合已知条件，利用邻补角互补计算；（2）根据对顶角相等和邻补角互补的性质来计算解 （1）由AOD=3BOD，设BOD=x，则AOD=3x。AOD+BOD=180，故x+3x=180,解得x=45。故BOD=45，COB=135；（2）已知AOC=2x，BOC=（x+90），根据这两个角互补，得2x+x+90=180，解得x=30，BOD=AOC，y+4=60，y=56说明 用方程帮助计算时，对顶角相等和邻补角互补常常作为等量关系成为列方程的依据。【变式1】如图2.1-11所示，O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分AOB，OE在BOC内，BOE=EOC，DOE
9、=70，则EOC= 度解 根据角平分线定义设EOC=x，则得到2（70-x）+x=180，解得x=80故填80【变式2】如图2.1-12，直线a，b，c相交于点O，1=2，3：1=8：1，求4的度数分析 利用1=2，3：1=8：1的关系，结合平角的定义，可得1，2的度数，运用对顶角相等得4的度数解 1+2+3=180，又1=2，3：1=8：1，即3=81，1+1+81=180，即1=18，4=1+2=36为什么错 1.概念理解错误例5 小明同学认为对顶角可以这样定义：顶点公共，而且相等的角叫对顶角，你认为正确吗？如果你认为不正确请举一个反例，并对“对顶角”正确定义错解 正确。分析 “对顶角”描
10、述的是两个角的位置关系，必须同时满足两个条件：顶点公共，两边分别互为反向延长线。这个定义没有对两边进行规定，所以不对。正解 不正确，如图2.1-13，AOB=COD，且其有公共的顶点O，但不是对顶角对顶角的定义：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角互为对顶角 图2.1-13 图2.1-142.思路混乱错误例6 图2.1-14中有 对对顶角 错解 不知从何入手，无法解答。分析 错解没有正确的解题思路。这类问题的常见解题思路有两种。思路1：从特殊到一般，寻找规律求解；思路2：先考虑两条直线相交有2对对顶角，再看图中4条直线有几个两条直线相交，一共有3+2+1=6个，故共有26=1
11、2对对顶角.正解 填12探究平台例7 如图2.1-15，已知直线AB、CD相交于点O，BODEOC，有人说“OA平分EOC”，你认为他的说法对吗？为什么？ABCDEO图2.1-15分析 所以如果OA平分EOC，那么必须有AOC=AOE=EOC，而因为BOD与AOC是一对对顶角，再结合已知条件不难得到所需条件.解 他的说法对，理由如下：BOD与AOC是对顶角，BOD=AOC，又BODEOC，AOCEOC. OA平分EOC.说明 由对顶角的性质将已知条件由“BODEOC”转化为“AOCEOC”，从而为我们作出正确判断提供了依据。【变式】如图2.1-16，直线AB、CD相交于O，1+2=110，3=
12、140（1）求2的度数；（2）试说明OM平分AOD图2.1-16解 （1）3=140，AOD=3=140，1=180-140=40，1+2=110，2=110-40=70；（2）1+2=110，MOD=180-110=70，2=MOD=70，OM平分AOD例8 观察下列图形（图2.1-17），并阅读相关文字2条直线相交，3条直线相交，4条直线相交，5条直线相交；有2对对顶角，有6对对顶角，有12对对顶角，有20对对顶角； 图2.1-17通过阅读分析上面的材料，计算后得出规律，当n条直线相交于一点时，有多少对对顶角出现（n为大于2的整数）由材料可以得到：利用对顶角的个数，除以对应的相交直线的条数
13、，就得到图形的顺序数因而有n条直线相交时，这个图形是第（n-1）个图形，因而对顶角的个数是：n（n-1）解 2条直线相交，有21=2对对顶角；3条直线相交，有32=6对对顶角；4条直线相交，有43=12对对顶角；5条直线相交，有54=20对对顶角；n条直线相交，有n（n-1）对对顶角说明 本题是一个探索规律型的题目，解决时注意观察每对数之间的关系【智能分级演练】知识达标 1.下列语句正确的是（）A若两个角是对顶角，则这两个角相等B若两角相等，则这两个角是对顶角C若两个角不是对顶角，则这两个角不相等D以上判断都不对2. 邻补角是指（）A和为180的两个角B有公共顶点且互补的两个角C有一条公共边且
14、相等的两个角D有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角3. 下列说法中正确的有（）个对顶角相等；相等的角是对顶角；若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；若两个角不是对顶角，则这两个角不相等A1 B2 C3 D44. 下列各组角中，1与2是对顶角的为（） A. B. C. D.5.以下说法正确的是（）A有公共顶点，并且相等的两个角是对顶角B两条直线相交，任意两个角都是对顶角C两角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角D两角的两边分别在同一直线上，这两个角互为对顶角6. 在下图中，1，2是对顶角的图形是（） A. B. C. D.7. 1的对顶角是2，2的邻补角是3，若3=45，则
15、1的度数是（）A45 B90 C135 D45或1358.如图2.1-18，是用对顶角的量角器测量圆锥形零件的锥角的示意图，则此零件的锥角等于 度 图2.1-18 图2.1-19 图2.1-209. 用剪刀剪东西时，剪刀张开的角度如图2.1-19所示，若1=25，则2= 度10. 若两个角是对顶角，且互补，则这两个角都是 角11. 如图2.1-20，1=15，AOC=90，点B、O、D在同一直线上，则2的度数为 12. 如图2.1-21，若3+6=190，则1+5= ；若3+4=130，则2+5= 图2.1-21 图2.1-22 图2.1-2313. 如图2.1-22，直线AB与直线CD相交于
16、点O，OEAB，OF平分AOD，COE=28求AOC和DOF的度数14. 如图2.1-23所示，直线AB、CD相交于O，OE平分AOD，FOC=90，1=40，求2和3的度数能力挑战15.如图2.1-24，直线AB、CD相交于点O，如果1比3的2倍还多30，那么2的度数是（）A50 B120 C130 D150 图2.1-24 图2.1-25 图2.1-2616. 如图2.1-25，直线l1，l2，l3相交于一点，则下列答案中，全对的一组是（）A1=90，2=30，3=4=60B1=3=90，2=4=30C1=3=90，2=4=60D1=3=90，2=60，4=3017. （1）延长射线OM；
17、（2）平角是一条射线；（3）线段、射线都是直线的一部分；（4）锐角一定小于它的余角；（5）大于直角的角是钝角；（6）一个锐角的补角与这个锐角的余角的差是90；（7）相等的两个角是对顶角；（8）若A+B+C=180，则这三个角互补；（9）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直以上说法正确的有（）A2个 B3个 C4个 D5个18. 如图2.1-26，直线AB、CD相交于点O，作DOE=BOD，OF平分AOE，若AOC=28，则EOF= 度19. 如图2.1-27：AB、CD、EF相交于点O，1=50，2=50求3的度数 图2.1-27 图2.1-28 图2.1-2920. 如图2.1-28，直线AB
18、、CD相交于O，OE平分AOC，BOC-BOD=20，求BOE的度数21. 如图2.1-29，把AOE绕点O按顺时针方向旋转一个角度，得COD，且使射线OC平分AOE的邻补角，已知DOE=30，问AOE按顺时针方向旋转了多少度22. 如图2.1-30，直线AB、CD交于O点，且BOC=80，OE平分BOC，OF为OE的反向延长线（1）求AOD和AOF的度数；（2）OF平分AOD吗？为什么？ 图2.1-30 图2.1-3123. 如图，直线AB、CD相交于O，1+2=110，3=140（1）求2的度数；（2）试说明OM平分AOD24.观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）：图2.1-32（1）如图
19、a，图中共有 对对顶角；（2）如图b，图中共有 对对顶角；（3）如图c，图中共有 对对顶角；（4）研究（1）（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成 对对顶角；（5）若有2008条直线相交于一点，则可形成 对对顶角答案与提示1.A 提示：对顶角的性质。2.D 提示：邻补角的定义。3.B 提示：、正确。4.D 提示：根据对顶角的特征辨认。5.C 提示：A有公共顶点，并且相等的两个角是对顶角，不符合对顶角的定义，错误；B中两角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角，且有公共顶点的两个角是对顶角，任意两个角都是对顶角的说法错误；C中两角的两边互为反向延长线的两个角
20、是对顶角，符合对顶角的定义，正确；D中两角的两边分别在同一直线上，这两个角是对顶角或者邻补角，错误6. C 提示：根据两条直线相交，才能构成对顶角进行判断，A、B、D都不是由两条直线相交构成的图形，错误；C是由两条直线相交构成的图形，正确7. C 提示：1的对顶角是2，故1=2，2的邻补角是3，则2+3=180，若3=45，则1=2=135；故选C8.30 提示：量角器的使用方法。9.25 提示：2=1。10.直 提示：设这两个角都是x度，则2x=180,x=90.11.105 提示：1=15，AOC=90，BOC=90-15=75，2=180-BOC=180-75=10512. 190，23
21、0 提示：因为3=1，6=5，又3+6=190，所以1+5=190因为3+2=180，4+5=180，又3+4=130，所以2+5=23013.OEAB，BOE=90，BOC=BOE+COE=90+28=118，AOC=180-BOC=180-118=62；AOD=BOC=118，又OF平分AOD，DOF=AOD=118=5914.由已知FOC=90，1=40结合平角的定义，可得3的度数，又因为3与AOD互为邻补角，可求出AOD的度数，又由OE平分AOD可求出2FOC=90，1=40，AB为直线，3+FOC+1=180，3=180-90-40=503与AOD互补，AOD=180-3=130，O
22、E平分AOD，2=AOD=6515. C 提示：设3为x，则1为2x+30根据题意得：2x+30+x=180，解得x=50，2=180-3=180-50=130故选C16.D 提示：2=60，4=30，1=3=180-60-30=90。17. B 提示：（1）射线有起点，终点在无穷远处，无法延长，故（1）错误；（2）角的定义是具有公共点的两条射线组成的图形故（2）错误；（3）在直线上画两点，两点之间的部分就是一条线段，在直线上画一点，这点把直线分成两部分，这两部分就是两个相反方向的射线所以线段和射线都是直线的一部分故（3）正确；（4）两个角的和等于90，就说这两个角互为余角如45+45=90，
23、故（4）错误；（5）根据直角的定义可知，大于直角而小于平角的角叫做钝角，故（5）错误；（6）因为补角=180-这个角，而余角=90-这个角，故（6）项正确；（7）相等的两个角有很多情况如是两条直线平行时，同位角相等等，故（7）错误；（8）两个角的和等于180就说这两个角互为补角，故（8）错误；（9）根据角平分线的性质，互为邻补角的两个角的平分线互相垂直，故（9）正确所以正确18. 62 提示：OF平分AOE，AOF=EOF，COD为平角，AOC+AOF+EOF+EOD=180，AOC与BOD为对顶角，AOC=BOD，又DOE=BOD，2AOC+2EOF=180，又AOC=28，EOF=6219
24、.由图可知1=BOF，2=AOD，1=50，2=50BOF=50，AOD=50，又AOD+3+BOF=180，3=180-50-50=80故3的度数为8020.根据邻补角的定义和性质，结合已知BOC-BOD=20，可求BOC、BOD的度数，利用对顶角相等，得AOC的度数，利用角平分线的定义，可求EOC的度数，从而求出BOEBOC-BOD=20且BOC+BOD=180，BOC=100，AOC=80，OE平分AOC，EOC=AOC=40，BOE=BOC+EOC=14021.由旋转的定义，找出AOE绕点O按顺时针方向旋转的角度：AOD根据已知射线OC平分AOE的邻补角和图形，得出AOD=COE=BO
25、C已知DOE=30，由图形得，AOB=AOD+DOE+COE+BOC=180，从而得出AOD的度数AOE=COD，AOE=AOD+DOE，COD=DOE+COE，AOD=COEOC平分BOE，COE=BOC，AOD=COE=BOCAOB=AOD+DOE+COE+BOC=180，DOE=30，AOD=50把AOE绕点O按顺时针方向旋转一个角度得COD，AOD即为AOE旋转的角度，是5022.（1）AOD=BOC（对顶角相等），AOD=80。又OE平分BOC，BOE=BOC=80=40。又AOF=BOE（对顶角相等），AOF=40。（2）OF平分AOD。AOD=80，AOF=40，FOD=80-4
26、0=40，即AOF=FOD。OF平分AOD。23.（1）3=140，AOD=3=140，1=180-140=40，1+2=110，2=110-40=70；（2）1+2=110，MOD=180-110=70，2=MOD=70，OM平分AOD24. （1）2；（2）6；（3）12；（4）n(n-1)；（5）4030056.【视野情景扫描】数学家的故事-苏步青 苏步青1902年9月出生在浙江省平阳县的一个山村里。虽然家境清贫，可他父母省吃俭用，拼死拼活也要供他上学。他在读初中时，对数学并不感兴趣，觉得数学太简单，一学就懂。可是，后来的一堂数学课影响了他一生的道路。那是苏步青上初三时，他就读浙江省六十
27、中来了一位刚从东京留学归来的教数学课的杨老师。第一堂课杨老师没有讲数学，而是讲故事。他说：“当今世界，弱肉强食，世界列强依仗船坚炮利，都想蚕食瓜分中国。中华亡国灭种的危险迫在眉睫，振兴科学，发展实业，救亡图存，在此一举。天下兴亡，匹夫有责，在座的每一位同学都有责任。”他旁征博引，讲述了数学在现代科学技术发展中的巨大作用。这堂课的最后一句话是：“为了救亡图存，必须振兴科学。数学是科学的开路先锋，为了发展科学，必须学好数学。”苏步青一生不知听过多少堂课，但这一堂课使他终身难忘。杨老师的课深深地打动了他，给他的思想注入了新的兴奋剂。读书，不仅为了摆脱个人困境，而是要拯救中国广大的苦难民众；读书，不仅
28、是为了个人找出路，而是为中华民族求新生。当天晚上，苏步青辗转反侧，彻夜难眠。在杨老师的影响下，苏步青的兴趣从文学转向了数学，并从此立下了“读书不忘救国，救国不忘读书”的座右铭。一迷上数学，不管是酷暑隆冬，霜晨雪夜，苏步青只知道读书、思考、解题、演算，4年中演算了上万道数学习题。现在温州一中（即当时省立十中）还珍藏着苏步青一本几何练习薄，用毛笔书写，工工整整。中学毕业时，苏步青门门功课都在90分以上。17岁时，苏步青赴日留学，并以第一名的成绩考取东京高等工业学校，在那里他如饥似渴地学习着。为国争光的信念驱使苏步青较早地进入了数学的研究领域，在完成学业的同时，写了30多篇论文，在微分几何方面取得令人瞩目的成果，并于1931年获得理学博士学位。获得博士之前，苏步青已在日本帝国大学数学系当讲师，正当日本一个大学准备聘他去任待遇优厚的副教授时，苏步青却决定回国，回到抚育他成长的祖国任教。回到浙大任教授的苏步青，生活十分艰苦。面对困境，苏步青的回答是“吃苦算得了什么，我甘心情愿，因为我选择了一条正确的道路，这是一条爱国的光明之路啊！”这就是老一辈数学家那颗爱国的赤子之心。
