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1、,第四节,一、隐函数的导数,三、由参数方程确定的函数的导数,四、相关变化率,隐函数和参数方程求导,相关变化率,第二章,二、对数求导法,定义:,隐函数的显化,一、隐函数的导数,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数,但此隐函数不能显化.,若由方程,可确定 y 是 x 的函数,函数为隐函数.,则称此,由,表示的函数,称为显函数.,两边对 x 求导(注意 y=y(x),(含导数 的方程),问题:隐函数不易显化或不能显化时，如何求导?,隐函数求导法则:,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,即：,例1.,解,解得,例2.求椭圆,在点,处的切线方程.,解:椭圆方程两边对 x 求导,故切线方程为
2、,即,解:方程两边对 x 求导,可得，,从而，,二、对数求导法,观察函数,方法:,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.,-对数求导法,适用范围:,例4.求,的导数.,解:两边取对数,化为隐式,两边对 x 求导,法2：用e抬起法。,例5.求,对 x 求导,解：取对数,的导数。,结论：,三、由参数方程确定的函数的导数,定理：若参数方程,可确定一个 y 与 x 之间的,可导,且,则,时,有,函数关系,分析：,由复合函数及反函数的求导法则得,?,例6.设,且,求,已知,解:,注意:,例7.设由方程,确定函数,求,解:方程组两边对 t 求导,得,故,例8.抛射体运动轨迹的参数方程为,求
3、抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.,解:,速度的水平分量,垂直分量,故速度大小,速度方向,(即轨迹的切线方向):,设 为切线倾角,则,四、相关变化率,为两个可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为相关变化率,解题步骤:,找出相关变量的关系式,对 t 求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,试求当容器内水,例9.有一底半径为 R cm,高为 h cm 的圆锥容器,今以 自顶部向容器内注水,位等于锥高的一半时水面上升的速度.,解:设时刻 t 容器内水面高度为 x,水的,两边对 t 求导,而,故,体积为 V,则,内容小结,1.隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2.对数求导法:,适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数,4.相关变化率问题,列出依赖于 t 的相关变量关系式,对 t 求导,相关变化率之间的关系式,3.参数方程求导法则 转化为对参数t求导 记住公式,求其反函数的导数.,解:,方法1,方法2,等式两边同时对 求导,备用题,1.设,2.设,求,提示:分别用对数求导法求,答案:,3.设,由方程,确定,解:,方程两边对 x 求导,得,再求导,得,当,时,故由 得,再代入 得,求,求,解：方程组两边同时对 t 求导,得,4.设,
