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1、隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数、相关变化率,第五节,一、隐函数的导数,定义:,隐函数的显化,例如,可确定显函数,可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化.,问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,隐函数求导法则:,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,两边对x求导,(含导数 的方程),例1.,解：,解得,例2.,解：,所求切线方程为,显然通过原点.,例3.,解：,二、对数求导法,观察函数,方法：,先在方程两边取对数，然后利用隐函数的求导方法求出导数.,-对数求导法,适用范围：,例4.,解：,等式两边取对数得,例5.,解：,等式两边取对数得,一般地,（对数求导法）,三、由参数方程所
2、确定的函数的导数,例如,消去参数,问题:消参困难或无法消参如何求导?,由复合函数及反函数的求导法则得,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数.,利用新的参数方程,可得,例6.,解：,所求切线方程为,例7.,解,设由方程,确定函数,求,方程组两边对t 求导,得,故,例8.,解：,例9.,解：,解：,得,练习：,若曲线由极坐标方程,给出,利用,可化为极角 参数方程,因此曲线,切线的斜率为,例10.,解：,将曲线的极坐标方程转换成,则曲线的切线斜率为,所以法线斜率为,又切点为,故法线方程为,即,参数方程,四、相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为相关变化率,
3、相关变化率问题解法:,找出相关变量的关系式,对t 求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,例11.一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为,当气球高度为 500 m 时,观察员,视线的仰角增加率是多少?,解:设气球上升 t 分后其高度为h,仰角为,则,两边对 t 求导,已知,h=500m 时,思考题:当气球升至500 m 时停住,有一观测者以,100 mmin 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m,时,仰角的增加率是多少?,提示:,对 t 求导,已知,求,试求当容器内水,例12.有一底半径为 R cm,高为 h cm 的圆锥容器,今以 自顶部向容器内注水,位
4、等于锥高的一半时水面上升的速度.,解:设时刻 t 容器内水面高度为 x,水的,两边对 t 求导,而,故,体积为 V,则,例13.,解：,(1),在此人的正下方有一条小船以,的速度在,与桥垂直的方向航行,求经5s后,人与小船相分离的,速度.,对t求导,(2),(3),内容小结,1.隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2.对数求导法:,适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数,3.参数方程求导法,极坐标方程求导,4.相关变化率问题,列出依赖于 t 的相关变量关系式,对 t 求导,相关变化率之间的关系式,转化,求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式,思考题,不对,求其反函数的导数.,解:,方法1,方法2,等式两边同时对 求导,2.设,3.设,由方程,确定,解:,方程两边对x求导,得,再求导,得,当,时,故由 得,再代入 得,求,
