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1、特征为二含有单位元、幂等零因子的八元交换环摘 要：根据四元环的同构分类以及环的特征定义，从八元群出发，得到8元环的乘法表，又分析环的乘法和加法算律，讨论穷举，最终得到特征为2且含有单位元及幂等零因子的8元交换环的、不同构的环类共有10个.关键词：特征；单位元；幂等零因子；交换环引 言：本文根据环的特征定义，单位元，幂等零因子的定义，以及交换环的定义，对特征为2且含有单位元及幂等零因子的八元交换环进行分类.对于任意的一个环而言一定有0元素，而对于八元环的其他元我们用字母代替，所以八元环的元有0，a，b，c，d，e，f，g.又因为八元环的特征为2，所以我们可以得到加法表：由加法表我们易知：a+b=
2、c，a+d=e，b+d=f，a+b+d=g.我们要找的是特征为二含有单位元、幂等零因子的八元交换环，不妨设a为单位元，b为幂等零因子，即：a=1，b=0.则有：1+b=c，1+d=e，b+d=f，1+b+d=g.于是乘法表为： 因为当且仅当bd=db时，此八元环是交换环.所以乘法表可以改写为： 我们根据bd和d取值来确定乘法表，我们首先确定bd的取值，然后再确定d的取值.根据环的定义和环的有关性质对所得到的乘法表来判断取定的bd 值和d值是否可以构成环.可以分为以下几种情况进行讨论：一、当bd=0时，乘法表为：此时再根据d的取值不同又分为以下几种情况：1、当d=0时，有： 我们根据环的定义可知
3、，当bd=0且d=0时可以构成环，我们把此环记为R.2、当d=1时，有：此时，f的逆元有两个d和f，因为在环中任意一个元的逆元都是唯一的，所以当bd=0,且d=1不能构成环.3、当d=b时，乘法表为： 我们根据环的定义可知，当bd=0且d=b时可以构成环，我们把此环记为R.4、当d=b+1时，有： 我们根据环的定义可知，当bd=0且d=b+1时可以构成环，我们把此环记为R.5、当d=d时，有： 我们根据环的定义可知，当bd=0且d=d时可以构成环，我们把此环记为R.6、当d=d+1时，有： 此时，d的逆元有两个e和g，因为在环中任意一个元的逆元都是唯一的，所以当bd=0,且d=1+d时，不能构
4、成环.7、当d=b+d时，有： 我们根据环的定义可知，当bd=0且d=b+d时可以构成环，我们把此环记为R.8、当d=1+b+d时，有：此时，f的逆元有两个e和g，因为在环中任意一个元的逆元都是唯一的，所以当bd=0,且d=1+b+d时，不能构成环.二、当bd=1时，有：此时，b逆元有两个d和f，因为在环中任意一个元的逆元都是唯一的，所以当bd=1时，不能构成环.三、当bd=b时，有再根据d的取值不同又分为几种情况：1、当d=0时，有： 此时，g的逆元有两个e和g，因为在环中任意一个元的逆元都是唯一的，所以当bd=b,且d=0时，不能构成环.2、当d=1时，有： 我们根据环的定义可知，当bd=
5、b且d=1时可以构成环，我们把此环记为R.3、当d=b时，有： 我们根据环的定义可知，当bd=b且d=b时可以构成环，我们把此环记为R.4、当d=1+b时，有： 我们根据环的定义可知，当bd=b且d=1+b时可以构成环，我们把此环记为R.5、当d=d时，有： 我们根据环的定义可知，当bd=b且d=d时可以构成环， 我们把此环记为R.6、当d=1+d时，有： 此时，e的逆元有两个e和f，因为在环中任意一个元的逆元都是唯一的，所以当bd=b，且d=1+d时，不能构成环.7、当d=b+d时，有： 我们根据环的定义可知，当bd=b且d=b+d时可以构成环， 我们把此环记为R.8、当d=1+b+d时，有
6、： 此时，g的逆元有两个d和f，因为在环中任意一个元的逆元都是唯一的，所以当bd=b，且d=1+b+d时，不能构成环.四、当bd=b+1时，有：此时，b的逆元有两个e和g，因为在环中任意一个元的逆元都是唯一的，所以当bd=1+b时，不能构成环.五、当bd=d时，有： 此时，c的逆元有两个c和g，因为在环中任意一个元的逆元都是唯一的，所以当bd=d时，不能构成环.六、当bd=d+1时，有： 此时，c的逆元有两个c和d，因为在环中任意一个元的逆元都是唯一的，所以当bd=1+d时，不能构成环.七、当bd=b+d时，有： 此时，c的逆元有两个c和e，因为在环中任意一个元的逆元都是唯一的所以当bd=b+
7、d时，不能构成环. 八、当bd=1+b+d时，有： 此时，c的逆元有两个c和f，因为在环中任意一个元的逆元都是唯一的，所以当bd=1+b+d时，不能构成环. 根据上述，我们可以得到特征为二含有单位元的八元交换环共有10类.参考文献1张学哲著，四元环的同构分类，山西师范大学学报（自然科学版），2002.12 2杨子胥著，近世代数，高等教育出版社，2005.11 3张禾瑞著，近世代数基础，人民教育出版社，2003.12Characteristic for two imply unit dollar, Mi.etc. the 8 dollars commutation wreath of zero
8、factorsAuthor: The Xing Dan Dan registration number: 200411001Mathematics science college mathematics and applied mathematics 2004Guide a teacher: Courageously AyonggaSummary: Define with Gou classification and the characteristic of wreath according to the 4 dollars wreath, set out from 8, get the m
9、ultiplication form of 8 dollars wreath, again is taken a different value by the item in the multiplication form, get a characteristic to two and imply unit dollar and Mi etc. 8 dollars of zero factors commutation the wreath totally has 10 types.Keyword: Characteristic; Unit dollar; The Mi waits zero factors; Exchange wreath
