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1、 本科毕业论文（ 2010 届）题 目数形结合思想在解题中的应用学 院 数学与信息工程学院 专 业 数学与应用数学 班 级 2006级数学 班 学 号 学生姓名 指导教师 完成日期 2010年5月 摘 要数形结合是数学研究和学习中的重要思想和解题方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化；能够变抽象的数学语言为直观的图形、抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。所谓数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系分析其代数含义，又揭示其几何直观，使数量关系与空间形式和谐结合在一起的方法。通过“以形助数”和“以数辅形”这两大题型的具体分析，揭示出“数”与“形”之间的紧密关系
2、，从而把问题优化，获得解决。关键词数形结合; 线性规划; 数量关系AbstractCombining the operation with figure is the study of mathematics and learning the important thinking and problem solving methods, which can simplify complicated problems, specify the abstract ones, and turn the abstract shapes and thought to be visual , and is
3、 accordingly helpful to grasp the essence of mathematics . The so called combination is an approach , which not only analyze meaning of algebra ,but also disclose the significance of geometry according to the inside relationship of conditions and conclusions , and harmoniously combines the form of n
4、umber and space as one . This article will set forth the tight contact between algebra and geometry throughout the analysis of two typical styles “Geometry helps understand algebra” and “Algebra helps understand geometry” ,in order to solve relevant problems well.KeywordsThe combination of algebra a
5、nd geometry; The linear programming;Quantitative relationship目 录1. 引言12. 以形助数,代数问题几何化22.1 以形助数解决集合问题22.2 以形助数解决取值范围问题 32.3 以形助数解决解含参数问题42.4 以形助数解决不等式问题62.5 以形助数求函数极值62.6 以形助数在解析几何中的应用72.7 借助于复平面上的点解决复数问题83 以数辅形,几何问题代数化83.1 用代数方法解决平面几何问题83.2 用代数方法解决立体几何的问题9参考文献11谢辞12数形结合思想在解题中的应用Application of the Fi
6、gure and Shape Combination in Solving Problems 1.引言 数学以现实世界的数量关系和空间形式作为其研究的对象，而数和形是相互联系，也是可以相互转化的。把问题的数量关系与空间形式结合起来考察，或者把数量关系转化成图形的性质问题，或者把图形的性质转化成数量关系问题，可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维这种处理问题的思想与方法就是数形结合的思想方法。早在数学萌芽时期，人们在度量长度、面积和体积的过程中，就把数和形联系起来了。我国宋元时期，系统地引进了几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形之间的几何关系表达成代数
7、式之间的代数关系。17世纪上半叶，法国数学家笛卡儿以坐标为桥梁，在点与数对之间、方程与曲线之间建立起来对应关系，用代数方法研究几何问题，从而创立了解析几何学。后来，几何学中许多长期不能解决的问题，例如三等分任意角、立方倍积、化圆为方等问题，最终也借助于代数方法得到了完满的解决。即使在近代和现代数学的研究中，几何问题的代数化也是一条重要的方法原则，有着广泛的应用。沟通数与形的内在联系，不仅使几何学获得了代数化的有力工具，也使许多代数学和数学分析的课题具有了明显的直观性，在数学解题中，运用数形结合思想，就是根据问题的具体情形，或者把图形性质问题转化成数量关系来研究，后者把数量关系问题转化成图形性质
8、来研究，以便以数助形或以形助数，使数学问题简单化、抽象问题具体化。数学学习中，不单纯是数的计算与形的研究，更多的是用数形结合思想解题。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数
9、形结合百般好，隔裂分家万事休。”应用数形结合解题时要注意以下两点：其一，注意数与形转化的等价性，将复杂的问题转化成简单、熟知的数学问题，转化前后的问题应是等价的；其二，注意利用“数”的精确性和“形”的全面性，像判断公共点个数问题，转化成图形后要保证“数”的精确性，才能得出正确结论。有些问题所对应的图形不唯一，要根据不同的情况画出相应的图形后，再进行讨论求解。数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题生动化、直观化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质;另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷,能避免复杂的计算。要注意培养这种思想意识,争取胸中有图,见数想图,以开
10、拓自己思维的视野。数形结合的思想方法常见的如在解方程和解不等式问题中,在求函数的值域、最值问题中,在求复数和三角函数问题中。以下就对数形结合思想在解题中的应用从“以形助数”和“以数辅形”这两方面试做一番探讨 。2.以形助数,代数问题几何化 几何直观能够启迪思路，帮助理解。因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方向2.1 以形助数解决集合问题图示法是集合的重要表示法之一，对一些比较抽象的集合问题，在解题时若借助韦恩图或用数轴、图象等数形结合的思想方法，往往可以使问题直观化、形象化，从而灵活、直观、简捷、准确地获解。例: 某校由学参加的球类运动队中，喜欢打篮球的有，欢打排球的有 ，欢
11、踢足球的有.既喜欢打篮球又喜欢打排球的有 既喜欢打排球又喜欢踢足球的有，即欢踢足球又喜欢打篮球的有 问同时喜欢这三类球的有多少人？排球41人足球27人篮球38人32人人 21人20人（图）分析：如上图所示，同时喜欢三类球的有x人（阴影部分），喜欢打篮球的有：人，只喜欢打排球的有：人，只喜欢踢足球的有：人，根据题意，得：解之故同时喜欢这三类球的有人。2.2 以形助数解决取值范围问题 例:若集合集合且则的取值范围为多少？ （图）分析：显然表示为圆心以为半径的圆在轴上方的部分，（如图），表一条直线，其斜率，纵截距为，由图形容易知道，欲使得，即是使直线与半圆有公共点，显然的最小逼近值为，最大值为，即。
12、例：若二次函数 的图象过原点, 且oaAa-b=1a-b=2a+b=4a+b=34 a- 2b=0求 的取值范围。 （图）解: 的图象过原点, 设 （a 0）得线性约束条件，其可行域(如图3) 所示:取目标函数由图可知；当直线L: 过点 时, 当直线L 过点 时, 所以。点评:对于某些与函数有关问题,若善于利用已知条件构造线性约束条件,将问题转化为线性规划问题求解,有时能起到事半功倍的效果。2.3 以形助数解决解含参数问题例 :如图2 ,抛物线与轴交于、两点, 点在点的在侧,与 轴交于点,且 ,求的值。分析: 此题单从字面上看,枯燥无味,会束手无策,但若根据题意画出图形,再根据抛物线与两坐标,
13、轴的交点的基本概念,就可以分析得出、三点的坐标,也就是从分析:此例通过数形结合,准确地找到解决问题的途径,揭示其解题规律,此例题思路基本是待定系数法,但它们都不用直接求、 的值,而是通过一定的解题技巧求出所需要的特殊值。图形上直观地看出条件 的具体关系式,最终达到目的。OyxACB(图)解:如图所示: 抛物线 与y 轴的交点的坐标为 又,且抛物线与轴交于、 两点。其坐标分别为、,而抛物线的图象过、 三点, 得即所求值为。2.4 以形助数解决不等式问题例:解不等式 常规解法：原不等式等价于解，得；解，得综上可知，原不等式得解集为数形结合解法：令，则不等式得解，就是使的图像在的上方的那段对应的横坐
14、标，如下图，不等式的解集为。 （图）而可由，解得，由得定义域，可知，故不等式的解集为。说明：这是一个代数问题，若依常规解法即要考虑x0的情况，又要考虑x0的情况，缺一不可；而运用数形结合的方法，只需设两个函数，再结合其图象，答案一目了然，从而使问题直观化，得到解决。2.5 以形助数求函数极值例：求函数的最小值。yxA(3,4)B(-2,-1)o （图）分析: 对于无理函数式, 直接求解, 计算不胜其烦。若从函数表达式建立“距离模型”问题变的就明朗化。即表示轴上一动点到两个定点、的距离之和。由求函数式的最小值变为求动折线的最小值, 在中, 当且仅当、 三点共线时取等号。2.6 以形助数在解析几何
15、中的应用yxox+y=9在解析几何中，有些问题仅从曲线方程入手，计算冗长，很难转化为一般化的数学语言，若回归到曲线的几何意义，从图形方面着手，问题往往就能迎刃而解。例：求椭圆上的点到直线L：的最短距离。分析：首先假设直线与椭圆 只有一个交点， （图）解方程组： 可得，则椭圆上点到直线的最短距离转化为两平行直线和之间的距离，即。2.7借助于复平面上的点解决复数问题 MNA()yxOB例 :已知复数满足,求的最值。 （图）解：如图，设，由知在以为圆心为半径的圆周上，连接 并延长交圆于、两点，从而， 。 3.以数辅形,几何问题代数化 数学的发展使许多几何问题不再是单纯的图形研究，人们在透过形的外表，
16、触及其内在的数量特征，探索由图形到数量的联系与规律，即“以数辅形”就是将图形信息转化为代数信息，使要解决的几何问题化为数量关系来实现数形转化。3.1用代数方法解决平面几何问题例：设等腰的腰长是。是斜边上一点，由到其它两边的垂足是和考虑：、平行四边形的面积，证明：不论如何选取，这三个面积的最大的至少是。MNCRQBPA（图）证明：如图，将三等份，若点落在上，则若点落在上，则若点落在上，则，当或时取等号。3.2 用代数方法解决立体几何的问题 例：如图，已知平面，垂足为，且在的延长线上，记，求的最大值（图）分析：用表示，即将表示为的函数，再求函数的最大值解：平面，是在平面内的射影又 ，即，在和中，,
17、，当且仅当，即时“”成立 的最大值为综上所述，代数方法的特点是解答过程严密，规范，思路清晰，几何方法具有直观，形象的优势。华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直觉，形少数时难人微。”应用数形结合的思想就能扬这两种方法之长，避呆板单调解法之短。我们可以看出数形结合在解题中的作用是不容忽视的，利用数形结合法，不仅有利于寻找解题的突破口， 更重要的是还可以避免复杂的计算和推理过程。在数学解题中我们要尽量让数量关系和几何图形相互迁移， 充分发挥逻辑思维和形象思维两个方面的作用。参考文献1 姚桂丽.浅谈数形结合的思想在解含参数问题中的应用J.呼伦贝尔学院学报,2001,9(5):102-1032 刘雨智.浅谈
18、数形结合在解题中的应用各界J.科技与教育,2009,(2):82-933刘庆山.的浅谈利用数形结合求函数极值J.科技信息报, 2008,(20):2444徐国央.数形结合思想在数学解题中的应用J.宁波教育学院学报,2009 ,11(1):115-1165 曾剑华.浅淡数形结合在函数教学中的应用J.科技创新导报,2009,(14):2546陆建雄.数形结合在初中数学解题中的应用J. 池州师专学报,2004(3):103-1057周唯.浅谈数形结合方法在解题中的应用J.科技创新导报,2009,(1):1818 刘佩.和若干不等式的数形结合证法与解法J.湖北成人教育学院学报, 2008,14(1):
19、104-1059 王锦琴.浅谈数形结合法在解题中的作用J.青海师范大学学报,1998,(4):63-6410Stephanie J. Morris,The Pythagorean TheoremJ,Department of Mathematics Education J.Wilson, EMT 669 11 Gianluca Fusai,Corridor options and arc-sine lawJ Ann.app1.probab.Volume 10, Number 2 (2000)：634-66312顾琳.谈数形结合思想在解题中的应用J.南昌高专学报,2008 ,(6):185-19
20、013 刘新春,施淑琴.在数学概念教学中培养数形结合思想J.中学数学月刊,2000:10-1114张亮.数形结合法的几个应用J.井冈山师范学院学报,2003,(5):88-9015朱智和.数形结合在解题中的应用J.绍兴文理学院学报,2006,26(12):151-15416 徐天顺.例谈数形结合思想的在高考试题中的应用J.山西师范大学学报,2008,(22):11-13谢辞论文得以完成，要感谢的人实在太多了，首先要感 教授，因为论文是在冯老师的悉心指导下完成的。冯教授渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅
21、力对我影响深远。本论文从选题到完成，每一步都是在冯老师的指导下完成的，倾注了冯老师大量的心血。 冯老师指引我的论文的写作的方向和架构，并对本论文初稿进行逐字批阅，指正出其中误谬之处，使我有了思考的方向，他的循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪，他的严谨细致、一丝不苟的作风，将一直是我工作、学习中的榜样。在此，谨向冯老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！ 谢谢冯教授在我撰写论文的过程中给与我的极大地帮助。 同时，论文的顺利完成，离不开其它同学和朋友的关心和帮助。在整个的论文写作中，同学和朋友积极的帮助我查资料和提供有利于论文写作的建议和意见，在他们的帮助下，论文得以不断的完善，最终帮助我完整的写完了整个论文。 另外，要感谢在大学期间所有传授我知识的老师，是你们的悉心教导使我有了良好的专业课知识，这也是论文得以完成的基础。 感谢所有给我帮助的老师和同学，谢谢你们！
