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1、数形结合在解题中的应用Application of Combination of Quantities and Spatial Forms in Solving Problems摘 要 数学思想方法作为数学知识内容的精髓，是数学的一种指导思想和普遍适用的方法，是铭记在人们头脑中起永恒作用的精神和观点。它能使人们领悟数学的真谛，懂得数学价值，学会数学地思考和解决问题。它能把知识的学习、能力的培养和智力的发展有机地结合起来，本文主要探讨数形结合思想在中学数学解题中的应用。在数学发展过程中，形与数常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化。为了能够更好地帮助学生解决
2、数学中的问题，充分利用数形结合的思想解题，提高解题效率，本文在概述数形结合思想的基础上，分析了数形结合在中数数学解题中的应用，主要体现在处理不等式组中字母系数的取值范围、方程根的存在性问题、不等式问题和求解极值问题等，并针对解决不同类型的数学问题给出了对应详细的例题分析，最终给出了在培养学生利用数形结合思想时需注意的问题，以激发学生的学习兴趣、提高学生解题能力和培养学生思维能力。Mathematical ideology is regarded as the marrow of the knowledge of mathematics, is a kind of guidelines of m
3、athematics and generally acceptable methods, and also is the spirit and view which play an eternal role, it can make people comprehend the true essence of mathematics, understand the value of mathematics, think and solve the problem mathematically. It can combine the learning of knowledge, the culti
4、vation of ability and development of intelligence together organically. In this article, we mainly research the application of combination of quantities and spatial forms in solving middle school mathematics problems. In the process of math development, quantities and spatial forms are usually combi
5、ned. In order to solving the mathematical problems effectively, we often combine the quantities and spatial forms to improve efficiency of solving mathematical problems. In this article, the application of combination of quantities and spatial forms in solving middle school mathematics problems is i
6、ntroduced based on the combination. Furthermore, we mainly discuss the ranges of literal coefficients in solving inequalities, the existence of equation roots, the inequalities problems and the problems of solving extreme values. Then the related examples are proposed for us to better understand the
7、 combination of quantities and spatial forms. The research on combination of quantities and spatial forms can arouse students learning interest, improve the skill of solving mathematical problems and develop the students creativity.关键词：数形结合；数学思想；函数；方程Keyword: combination of quantities and spatial fo
8、rms; mathematical ideology; functions; equations.目 录1 绪论11.1 本文研究的目的及意义11.2 本文研究内容及章节安排12 数形结合思想方法概述22.1 数形结合的思想方法22.2 数形结合思想的价值23 数形结合在中学数学解题中的应用33.1 数形结合在处理取值范围中的应用33.2 数形结合在解决方程问题中的应用43.3 数形结合在求不等式问题中的应用53.4 数形结合在求解极值问题中的应用84 总结11参考文献12致 谢13 1 绪论1.1 本文研究的目的及意义我们学习数学，不单纯是数的计算与形的研究，还贯穿有数学思想与数学方法。恰当
9、的数学思想能够引导学生使用正确的数学方法，从而准确、快速地解决数学问题。在中学数学研究中，数形结合思想不仅是数学课本要求掌握的思想之一，也是历年不同类型考试的重点和难点1。因为数形结合思想是数学解题中常用的一种思想方法，它可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。数形结合思想是求解数学问题的一种常用思想，它不仅对于沟通代数、几何与三角的内在联系具有指导意义，并把数式的准确刻划与几何图形的直观描述有机地结合起来，而且更重要的是对发展学生的创造性思维，完善学生的思维品质有着特殊的重要作用。在数学问题中若能“以数示形，以形思数，数形渗透”，则能加强知
10、识的横纵联系2。数学是研究客观世界的空间形式和数量关系的科学，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。华罗庚教授曾说：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事非。”数形结合的思想就是充分运用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法。数形结合是中学数学新课程所渗透的重要思想方法之一，相关教材中的内容能很好地培养和发展学生的数形结合思想。教材中这一方法的渗透对发展学生的解题思路、寻找最佳解题方法有着指导性的作用，可对问题进行正确的分析、比较、合理联想，逐步形成正确的解题
11、观，还可在学习中引导学生对抽象概念给予形象化的理解和记忆，提高数学认知能力，并提升对现实世界的认识能力，从而提高数学素养，不断完善自己3-5。1.2 本文研究内容及章节安排数形结合既是一种思想，也是一种方法。其本质就是抽象思维与形象思维的结合，以形助数，或以数助形，使复杂问题简单化，使抽象问题直观化。鉴于这样的观点，本文在概述数形结合思想方法的基础上，详细分析了数形结合在中学数学解题中的应用，并主要从以下几个方面进行了讨论：处理不等式组中字母系数的取值范围、方程根的存在性问题、不等式问题和求极值问题，并给出了对应的实际案例及其详细的求解过程。第一章 绪论。简述了本项目研究的目的及意义，并介绍了
12、本文所要研究的内容和全文章节安排。第二章 数形结合思想方法概述。给出了数形结合的基本概念，并阐述了数形结合思想的实际应用价值。第三章 数形结合在中学数学解题中的应用。 详细分析了数形结合在中学数学解题中的应用，并主要从以下几个方面进行了讨论：处理不等式组中字母系数的取值范围、方程根的存在性问题、不等式问题和求极值问题，并给出了对应的实际案例及其详细的求解过程。第四章 总结。对全文进行了归纳总结。2 数形结合思想方法概述本章将主要阐述数形结合的思想方法，并在此基础上介绍数形结合思想的价值，为后面的内容“数形结合在中学数学解题中的应用”做铺垫。2.1 数形结合的思想方法中学数学研究的对象是现实世界
13、的数量关系（数）和空间形式（形），数是数量关系的体现，而形则是空间形式的体现。“数”和“形”常依一定的条件相互联系，抽象的数量关系常有形象与直观的几何意义，而直观的图形性质也常用数量关系加以精确的描述。数和形也可依一定条件相互转化，互相沟通。我们在研究数量关系时，有时要借助于图形直观地去研究，而在研究图形时，又常借助于数量关系去探求。“数”和“形”是研究数学的两个侧面，利用数形结合能使“数”和“形”统一起来，可以使所要解决的问题化难为易，化繁为简，思维广阔。华罗庚教授对此有精辟概述：“数无形，少直观；形无数，难入微。”因此要根据解决问题的需要，把数量关系的问题转化为图形的性质问题来研究，也可把
14、图形的性质问题转化成数量关系的问题来研究，数形结合才能真正发挥其作用7。数形结合是数学研究中常用的方法之一，它在中学数学解题的整个过程中发挥着重要的作用。它具有以下主要的优点：第一，在解决有关问题时，数形结合思想方法在思路上的灵活，过程上的简便，方法上的多样化一目了然；第二，数形结合思想方法为我们提供了多条解决问题的通道，使灵活性、创造性的思维品质在其中得到了更大限度的发挥；第三，数形结合丰富的表象，能引发联想，启迪思维，拓宽思路；第四，数形结合思想能提高学生数形转化能力，提高学生迁移思维的能力。2.2 数形结合思想的价值通过数形结合，首先是我们对几何图形性质的讨论更广泛、更深入了，研究的对象
15、也更宽泛，方法更一般化了。其次是为代数课题提供了几何直观。由于代数借用了几何的术语，运用了与几何的类比而获得新的生命力。如线性代数正是借用几何学中的空间、线性等概念与类比的方法把自己充实起来而迅速发展的。代数方法便于精细计算，几何图形直观形象，数形结合、互相促进，使我们加深了对数量关系与空间形式的认识。正如拉格朗日所说：“只要代数同几何分道扬镰，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善。”而且数形结合从方法论角度能给人们以重要的启示8。在平面上把点与数对、曲线与方程之间建立一一对应的思考方法，启发数学家们把一个
16、个函数视为点，而把某类函数的全体视作“空间”，由此形成分析类数学中泛函分析为一活跃的分支。数形结合也是数学学科分支建立的内驱力。可以说，从认识论和方法论的角度看，数形结合这种思维方法的运用，有助于加深对数学问题本质的认识，有助于对具体数量关系和空间形式进行抽象与概括，拓展了人们思维的深度和广度，使数学思维更深刻，更具创造性9。同时数形结合可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于学生把握数学问题的本质。3 数形结合在中学数学解题中的应用中学数学大纲指出：“通过数形结合思想的教学，对学生进行对立统一观点的教育。”数形结合思想就是利用“形”的直观性和“数”的规范性，通
17、过数与形的相互转化处理数学问题。数形结合思想贯穿于全部中学数学教学之中。本章将就数形结合在处理不等式组中字母系数的取值范围、方程根的存在性问题、不等式问题和求极值问题中的应用进行讨论，并给出了具体的实际案例分析，验证了数形结合在中学数学解题中的重要作用。3.1 数形结合在处理取值范围中的应用近年来，在不同类型的考试中出现了已知不等式的解集，求不等式组中字母系数的取值范围的题目10。在处理这类问题时，如何单纯从不等式的解集出发，将无从求解。如果借用数轴，利用数形结合分类讨论的数学思想则可很好地解决这类问题，在此我们将举例介绍这种方法的应用。例3.1-1：若不等式组无解，求a的取值范围。解：（1）
18、当a+12a-1时，不等式（1）和（2）的解集在数轴上表示出来，如图3.1-3所示。图3.1-3则原不等式组的解集为2a-1xa+1。由题意可知，原不等式组无解，所以，即时，原不等式组无解。故a的取值范围是。例3.1-2：若关于x的不等式组的解集为x2，求k的取值范围。解：从不等式（1）和（2）易知，不等式（1）的解集为x2，不等式（2）的解集为x-k。（1）当时，不等式（1）和（2）的解集在数轴上表示如图3.1-4所示。图3.1-4则原不等式组的解集为。（2）当时，不等式（1）和（2）的解集在数轴上表示如图3.1-5所示。图3.1-5则原不等式组的解集为。（3）当时，不等式（1）和（2）的解
19、集在数轴上表示如图3.1-6所示。图3.1-6则原不等式的解集为。则综上所述，原不等式组的解集为，所以。即时，原不等式组的解集为，故此时k的取值范围是。从以上两个实际案例可以看出，合理、灵活、巧妙地运用数形结合的思想来解题，可以将复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，有事半功倍之效。当然能有效地运用数形结合思想必须具备扎实的数学基础知识，熟练的数学基本技能和严谨的数学思维能力，这些都有赖于教师在日常的教学实践中坚持不懈地对学生进行培养和训练，才能逐步得到提高。3.2 数形结合在解决方程问题中的应用数形结合的理论实质是从理论的抽象走向思维的具体，只有数和形的有机结合，抽象的方程才具有实际意义
20、，学生在运用方程的概念分析问题时，其思维才会有所依托，有所凭借，变抽象思维为形象思维，顺利解决问题。下面的几个例题将从对原方程进行简单变换的角度入手，根据对应图形的性质进行讨论，其特点是“简洁、直观”，能够直接控制自己思维的正误，而且可以加深对基本概念的理解，加强对基本知识与基本技能的灵活运用11。例3.2-1：当时，关于x的方程的解的个数是多少？图3.2-1 函数图像分析：此题若直接求解将显得非常困难，特别是原方程中包含有绝对值运算符号。但联想到方程解的个数即为相关曲线的交点个数，由此可由“数”想到“形”，把求方程解的个数问题看作是求函数与的图像的交点个数问题。我们在直角坐标系中分别作出与的
21、图像（如图3.2-1所示）即可得出交点的个数，从而可知原方程解的个数是三个。例3.2-2：当m取何值时，方程有唯一解？有两解？无解？图3.2-2 函数图象分析：原方程即。令，则有。再令及，则方程解的个数等于直线与抛物线的交点的个数。由图3.2-2可知：当或时，原方程有唯一解；当时，原方程有两个不同的实数解；当或时，原方程无解。在例3.2-1和例3.2-2中，数形结合的思想集中了数量分析与图形的直观，利用数和形的各自优势，往往能使我们尽快地找到解题途径或简化解题过程，给解题带来极大的方便，可使我快速正确地解决方程解的存在性问题。3.3 数形结合在求不等式问题中的应用不等式是中学数学的重要内容，它
22、几乎涉及整个中学数学的各个部分。因此，通过不等式这条纽带，可把中学数学的各部分内容有机地联系起来。而不等式的证明是中学数学的一个难点，其题型广泛、方法灵活、涉及面广，是各类型考试的重点考察内容。不等式的证明方法有比较法、放缩法、数学归纳法等。而根据不等式的几何意义，利用数形结合的思想，是证明不等式的较简捷的方法，有时甚至让人拍案叫绝12-13。本节将从运用代数式的几何意义或借助函数的图象构造几何图形入手，利用数形结合的思想来巧妙地求解不等式问题。（1）构造适当的平面图形，利用勾股定理及三角形三边的关系来证明不等式我们将举例说明两个考试中经常出现的证明题，然后详细演示如何利用数形结合的思想巧妙地
23、对其进行证明，具体案例如例3.3-1和3.3-2所示。例3.3-1：已知实数，请证明如下不等式成立证明：如图3.3-1所示，作以a, b为上、下底，a+b为高的直角梯形BCDE，在图中有BC=AD=a，CA=DE=b。图3.3-1 直角梯形BCDE则根据勾股定理有：，又因为，则有如下不等式的成立对上述不等式的两边平方可得到即原不等式成立得到证明。例3.3-2：已知实数，请证明如下不等式成立证明：如图3.3-2所示，构建直角坐标系，其中点A(1,0)、C(0,1)、B(1,1)、M(a,b)在坐标系中的位置已被标注。图3.3-2 直角坐标系根据三角形中的勾股定理可知：，因为在中根据三角不等式，有
24、，则同理在中有，根据，可得到如下不等式由不等式和，可证得原不等式成立，即（2）构造适当的函数，利用函数图象性质证明不等式本小节将给出一个证明题，并将详细说明如何通过构造适当的函数，利用函数图象的性质来证明该不等式成立，具体案例如例3.3-3所示。例3.3-3：已知实数，请证明下述不等式的成立证明：在先给出本例题的详细证明前，我们先对证明该不等式的思路进行一下分析。显而易见，需证的不等式等价为根据等效的不等式，联想到三角形的重点，本节将通过引入函数图形进行数形结合对其进行证明。设二次函数，则可将看作曲线上的三个点，则求证的左端是三点纵坐标平均值，右端则是横坐标平均值的平方，此时的值即为由这三个点
25、构成的三角形中心。图3.3-3曲线的图形如图3.3-3所示，作出函数的图形，A、B、C三点在函数上，分别表示点。此时G是的重心，轴于p且与曲线交于点M，则有点G和M的坐标为：、如图3.3-3所示，显然有，则有不等式成立，即可证得原不等式成立运用数形结合的思想方法，构造一些几何图形去解决不等式的证明问题，构思不落俗套，解法别有新意，但因其具有一定的技巧性和创造性，所以需要通过平时的练习和积累才能逐渐掌握。3.4 数形结合在求解极值问题中的应用关于极值问题的求解在中学教学中占很大比重，所渗透的数学思想方法，对培养学生的逻辑思维能力，观察能力，空间想象能力都有举足轻重的地位。在初中考查的题形很多，主
26、要有定量问题，定形问题，几何极值问题，和简单的函数问题。在高中它的分量更重，主要是求函数的最值和极值14。高中数学中求函数的极值是研究函数性质的一个极其重要的方面， 尽管其严格的理论指导需要借助高等数学知识，但由于它涉及的知识面宽、方法灵活、应用广泛、训练思维能力的效果显著，所以在高考和数学竞赛中占有相当重要的地位。本节主要探讨数形结合思想在求解几何极值和函数极值中的应用，具体例题见例3.4-1和3.4-2。（1）数形结合在几何极值问题中的应用例3.4-1：如图3.4-1所示，已知P为平行四边形ABCD的AB边上的一个动点，DP的延长线与CB的延长线相交于Q，问P点在什么位置时，使得的值AP+
27、BQ最小？解：P是AB边上的动点，Q点随P的运动而动，题中涉及两个未知量的和。BQ随AP的变化而变化，所以可用AP的代数式来表示。这种，我们设所求两线段之和为线段AP的函数，即可用代数法求解。图3.4-1 平行四边形ABCD设AP=x，AB=m，AD=n，AP+BQ=y，易证相似于则有，即，且综上可得到 （3.4-1）式（3.4-1）等效为 （3.4-2）又因为x为实数，根据方程解的存在性有，则得到。由于，所以，即。此时有y的最小值为，将代入（3.4-2）解得。所以当AP的长为平行四边形ABCD的比例中项式时，AP+BQ的值最小。（2）数形结合在函数极值问题中的应用函数极值的求法离不开图形，可
28、谓“形影不离”。函数的极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。例3.4-2：如图3.4-2所示，工厂铁路线上AB段的距离为100km。工厂C距A 处为20km，AC垂直于AB。为了运输需要，要在AB线上选定一点D 向工厂修筑一条公路。已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比3:5，为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省， 问D点应选在何处？图3.4-2 工厂铁路线解：设，则，即有再设从B点到C点需要的总运费为y，那么，其中，则于是上述问题可归结为：x在0, 100内取何值时目标函数y的值最小。先求y对x的导数：，解方程得到。由于，其中以为最小，因此当AD=x=15
29、(km)时总的运费最省。 运用以数辅形的思想，需要将图形间的数量关系整理清晰，以函数的形式表现出来，通过对函数的分析，求得函数的极值，从而得到所求答案。参考文献1 韦中庆. 数形结合思想在解题中的应用J. 中学教学参考, 2011, 1: 89-90.2 中华人民共和国教育部制定. 数学课程标准(实验)M. 北京: 人民教育出版社, 2003.3 周述岐. 数学思想和数学哲学M. 北京: 中国人民大学出版社, 1993.4 郭思乐. 喻纬. 数学思维教育论M. 上海: 上海教育出版社, 2000.5 黄珊数. 形结合思想与解题教学研究J. 数学教学与研究, 2009, 23: 54-55.6
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