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1、基于动态自适应排队的病床安排模型摘要本文针对眼科病床优化安排问题提出一种动态自适应安排模型，并设计相关排队算法，采用MATLAB编程进行计算机求解。通过卡方分布拟合检验，证明病人相继到达时间间隔服从指数分布，系统的服务时间服从指数分布，选取人均等待时间、人均术前等待时间、日均出院人数为病床安排模型评价指标体系。动态自适应排队模型服务规则考虑：病人已等待时间，等待队列中不同类型病人所占比例，不同时段、不同类型病人有限优先级。通过AHP确定三个因素的权重，构建综合优先顺序指标，根据指标大小，动态调整当天等待病人的实际入住顺序，达到合理安排病床的目的。首先，根据日均出院人数、综合优先顺序指标、日均门
2、诊外伤人数，可以预测病人入住时间区间。最后根据该病人的患病类型做适当的调整。对于问题四，动态自适应排队模型仍然适用。将周一、三做白内障手术，调整为周三、五做，同时调整不同时段、不同类型病人有限优先级。对于问题五，建立多队列排队系统最优规划模型。白内障（单眼）、白内障（双眼）、青光眼、视网膜疾病、外伤的病床分配数量分别为9，18，11，33，8。本文的特色在于建立了动态自适应排队模型，并且分时段讨论不同类型病人的有限优先级。应用MATLAB编程实现当天等待入院病人的动态排序，计算人均等待时间、人均术前等待时间、日均出院人数等评价指标，与原病床安排模型相应指标进行比较，验证了动态自适应排队模型的有
3、效性。 关键字：病床安排 动态自适应 优先等级 层次分析法 MATLAB1.问题重述医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做
4、两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come
5、, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣 。 问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。 问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重
6、新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。2.问题分析医院病床合理安排问题可以理解为:排队理论中如何选取服务台对病人进行服务的规则问题。排队系统的主要数量指标有：队长和排队长、等待时间和逗留时间、忙期和闲期。医院病床安排过程中，考虑相对较多的指标为时间指标，选取合适的时间指标作为评价病床安排模型的指标体系。问题二、三、四大致需要建立同一个有关动态自适应排队的模型，模型应该围绕第一
7、问的指标体系以及当天是周几这两个方面去考虑。由于急症数量较少并且较特殊，建模时要先处理急诊（外伤）的情况；运用该模型和对以往数据的统计，可以针对该病种的入住时间范围做个区间估计；最后可以通过细微调整模型来实现满足外界条件改变后的情况。问题五可以理解为：多队列排队模型情况下，服务台的分配问题，是排队系统的最优设计问题。以各个队列的服务台数为变量，利用等待制排队模型平稳分布的结论，构造所有病人在系统平均逗留时间最短的最优目标函数，求解整数规划。3.基本假设与符号说明3.1基本假设 1. 医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制。2其他眼科疾病不考虑急症，且术前准备时间为2-
8、3天。3在预测未出院病人的出院时间时，以均值来简化计算。.3.2符号说明：当系统处于状态时，新来病人的平均到达率（单位时间内来到系统的平均病人数），当为常数时，记为。：当系统处于状态时，整个系统的平均服务率（单位时间内可以服务完的平均病人数），当为常数时，记为。 符号 符号说明 某病人的编号 第i号病人当前已经等待的时间（无量纲化处理） 等待队列中，第i号病人类型所占比例 第i号病人的优先级系数 病人入院综合优先顺序指标 各个指标的权重4.问题一的解决4.1基本概念日均出院人数：每天从医院办理出院的病人数量。该指标可以反映医院的病床周转次数。指标值越大，病床周转次数越高，病床使用效率越高。人均
9、等待时间：每个病人到达门诊时刻起到开始住院这段时间的平均值。该指标是病人关心的指标，人均等待时间越短越好。人均逗留时间：每个病人到达门诊时刻起到出院这段时间的平均值。该指标是病人最关心的指标，人均逗留时间越短越好。4.2解题思路步骤一，以每天为观测单位，研究2008-7-13至2008-9-11这段时间内，新来病人(门诊病人)频数分布。步骤二，以每天为观测单位，研究2008-8-8至2008-9-11这段时间内，病人住院时间的频数分布。步骤三，建立单队列FCFS规则下的排队模型，检验系统是否达到平稳状态。表4-1每天门诊病人频数分布表门诊病人（人）345678910111213141516合计
10、 频数（天）22578611354322161图 4-1表格说明：以每天为观测单位，记录不同观测单位门诊病人数出现的次数，总共观察了61天，每天平均门诊人数为8.69人。根据分布拟合检验的思想以及皮尔逊定理，采用检验法和MATLAB统计工具箱（程序见附录一），可以验证门诊病人频数分布表服从分布。因为到达的门诊病人数服从分布，所以病人到达规律的随机过程是过程。定理1 设为时间内到达系统的病人数，则为参数为的过程的充分必要条件是：相继到达时间间隔服从相互独立的参数为的负指数分布。结论：病人的相继到达时间间隔服从参数为8.69的负指数分布。表4-2 住院天数频数分布表住院天数345678910111
11、2131415161718人数916334138282937362322158932图4-2表格说明：以住院天数为观测单位，记录不同观测单位下病人的数量，总共观察349人，每人平均住院天数为9天。根据住院天数频数分布表，将住院天数取倒数，得到系统服务时间频数表。服务时间人数服务时间人数服务时间人数0.3333 90.1111 290.0667 80.2500 160.1000 370.0625 90.2000 330.0909 360.0588 30.1667 410.0833 230.0556 20.1429 380.0769 220.1250 280.0714 15表4-3服务时间频数分布
12、表根据分布拟合检验的思想以及皮尔逊定理，采用检验法和MATLAB统计工具箱（程序见附录一），可以验证服务时间频数分布表服从负指数分布。综上所述，医院病床排队系统是一个生灭过程排队系统，构造多服务台模型：等待制排队模型。为了检验医院病床排队系统是否可以达到平稳状态，需要求出这个医院每天的出院人数，整理数据得到下表。日期出院人数日期出院人数日期出院人数8-815 8-2010 9-16 8-920 8-214 9-22 8-109 8-228 9-35 8-116 8-2318 9-49 8-122 8-2411 9-513 8-136 8-256 9-617 8-148-159 8 8-263
13、9-710 8-278 9-84 8-1613 8-2812 9-95 8-176 8-2910 9-1013 8-184 8-3014 9-117 8-197 8-312 表4-4 每天出院人数图4-3每天出院人数折线图图表说明：出院人数表是根据附录中的数据整理得出，之所以剔除2008-7-13至2008-8-7这段期间的数据，是因为附录数据根据门诊时间进行记录，而不是根据出院时间进行记录，因此7月份每天出院人数的数据不完整。从8月8日那天开始每天的出院人数等于入院人数。每天出院的人数呈现大幅波动的情况，从图表中可以直观看出，这种波动基本上是以7天一个周期。医院每天平均出院人数为8.12人。
14、在该系统中，病人的平均到达率，系统的平均服务率。系统的服务强度。在该系统中病人的平均到达率大于系统的平均服务率，该系统无法达到统计平衡，这也就意味着系统一直处于忙期，即等待住院病人队列却越来越长。4.3评价指标人均等待时间：每个病人到达门诊时刻起到开始住院这段时间的平均值。该指标是病人关心的指标，人均等待时间越短越好。人均术前准备时间：每个病人入院时刻起到做手术这段时间的平均值。人均术前准备时间越短越好。日均出院人数：每天从医院办理出院的病人数量。该指标可以代表医院的病床周转次数。指标值越大，病床周转次数越高，病床使用效率越高。5. 动态自适应排队模型的建立医院原来的排队系统描述如下：1、输入
15、过程，病人总体为无限源，病人相继到达时间间隔服从负指数分布；2、排队为无限排队，病床的服务规则主要采用先来先服务(FCFS) ，同时还采用具有优先权的服务(PS) ；3、服务机制，多服务台模型，系统服务时间服从负指数分布。医院的病床合理安排模型要求：1、改变原来的病床服务规则，采用新的病床服务规则，以期减少病人的平均等待时间（门诊时间到住院时间的间隔）；2、通过合理安排病人入住顺序，减少病人的术前准备时间（住院时间到第一次手术时间间隔），以提高系统的服务率，最终增加医院日均出院人数。医院病床服务机制中具有优先权的服务机制不可改变，即外伤病人的病床安排具有绝对的优先权，其他病情由于手术时间安排的
16、限制，导致不同时段内不同类型病人的优先级不一样。5.1类型优先级的确定已知该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。再根据以下约束：1.每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天；如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。2.外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。3.其他眼科疾病，大致住院以后2-3天内就可以接受手术，术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三，且不考虑急症。本文对附录中349组已经出院病人和79组入院但未出院病人的样本数据，统计分析每组数据的手术前准备时间。根据不同类型病情
17、的最长术前准备时间，计算每组数据的多余术前准备时间的频数，得到不同类型病情、不同术前准备时间的频数分布表。下表描述的是有多余术前准备时间的数据。类型术前准备时间多余术前准备时间出现频数占样本总数的频率白内障（双）75100.02白内障（双）6490.02白内障（双）53210.05白内障（单）5360.01白内障（双）42110.03白内障（单）42120.03白内障（双）31130.03白内障（单）31130.03合计-950.22表5-1 有多余术前准备时间的频数分布表表格说明：样本数据中22%的病人有多余术前准备时间，这些病人都是白内障患者。出现多余术前准备时间是因为白内障手术只能在周一
18、、周三进行。根据外伤具有绝对优先权，白内障手术只能在周一、周三进行，其他眼科疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三，可以设计不同时段，不同病情的病床安排优先等级表。本文将一周划分为三个时段：周六、周日为一个时间段，周一、周二为一个时间段，周三到周五为一个时间段。分析如下：第一，白内障（双眼）的手术时间只能在周一和周三，且术前准备时间只需1-2天，因此周六、周日病床安排的有限优先级为：白内障（双）白内障（单）青光眼、视网膜疾病；第二，周一、周二时，白内障（单眼）优先级别升高，白内障（双眼）的优先级别降到最后，因为此时若让白内障（双眼）患者入院，他们的术前准备时间将为6-7天，所以有限
19、优先级为：白内障（单）青光眼、视网膜疾病白内障（双）；第三，同理可得，周三到周五的有限优先级为：青光眼、视网膜疾病白内障(双) 白内障（单）。本文根据以上级别定性分析，并对有限优先级取，然后进行归一化处理得到有限优先级的优先系数。入院时间类型优先级优先系数 周六、周日外伤白内障（双）白内障（单）青光眼、视网膜疾病周一、周二外伤白内障（单）青光眼、视网膜疾病白内障（双）周三到周五外伤青光眼、视网膜疾病白内障(双) 白内障（单）表 5-2类型优先级5.2动态自适应排队模型建立的总体流程第一，将一周划分为三个时段，根据入院的具体时间分成三种情况。第二，对每一种情况按照不同种类病人到达门诊时间的先后排
20、成相应队列，再从各个队列中按照先到先服务 ( FCFS ) 顺序抽取相应数量的病人。最后组合成一个单队列多服务台的排队系统。该模型所有处理过程均由计算机自动实现。 图5-1模型建立流程图5.3 模型的构建和相关参数的定义 例如周六、日情况，白内障（双）白内障（单）其他眼病(青光眼、视网膜疾病)三种病人排成三队。其他日子的类型优先级详见表5-2。再结合医院现有的流程特点，构建了如图所示的动态自适应排队模型3。 图5-2 动态自适应排队模型排队算法设计的原理：病人入院的先后顺序由病人到达的先后顺序(或等待时间长短)以及病人所属类型的优先级别综合确定。周六和周日的情况下，病人所属类型的优先级别为白内
21、障（双）白内障（单）青光眼、视网膜疾病（其他情况详见表4-1），这种限度不仅考虑两类病人已经等待的时间，还要考虑等待的三类病人的数量。其中青光眼和视网膜疾病所占的比例越多时，对于白内障的优先程度应该逐步降低。病人入院优先级计算公式3如下： (5-1) 由相应的影响因子及其权重确定 ： 第 1 项表示病人入院的优先与等待时间有关。其中：为某病人当前已经等待的时间（为了避免量纲差距带来的影响，对改组数据进行无量纲化处理）； 为病人等待时间的优先权重，等待时间长的病人应该优先处理，最终的就诊序列也适当提前。 第 2项中，病人入院的优先与有关，对于同一类型的病人，其在总病人数中所占的比例越大，越适当给
22、予照顾，为对于病人比例的权重。 第 3项表示病人入院的综合优先指标与病人有限优先级有关，表示不同类型病人优先级（详见表4 -1）， 对有限优先级高的病人，在服务上给予优先照顾；为病人类型有限优先的权重。 （）且。根据实际情况确定各影响因子的权重，则可计算出病人的优先级，最终确定病人的入院序列。 5.4 权重的确定权重的大小直接影响着病人在系统中的相对次序，对病人的服务产生重要影响， 不同的权重会导致完全不同的结果。权重一般可以根据经验或优化方法获得，本文采用层次分析法4 ( AHP) 获得。 有限度优先 ( 既考虑优先级又考虑等待时间和队列比例关系) 分 3种情况进行相关设置。权重采用层次分析
23、法 ( AHP) 获得。对评价指标相对重要度进行两两比较，记为。关于如何确定的值，引用数字19及其倒数作为标度。下表列出了19标度的含义：标度含 义135792，4，6，8倒数表示两个因素相比，具有相同重要性表示两个因素相比，前者比后者稍重要表示两个因素相比，前者比后者明显重要表示两个因素相比，前者比后者强烈重要表示两个因素相比，前者比后者极端重要表示上述相邻判断的中间值若因素与因素的重要性之比为，那么因素与因素重要性之比为。表5-3 AHP19标度从而得到以下一组判断矩阵： 1541/511/21/421表5-4 判断矩阵根据判断矩阵，先计算判断矩阵的特征向量，然后经过归一化处理，即可求出权
24、重。最后对于判断矩阵要判断它的相容性和误差分析，进行一致性检验和修正。本文通过MATLAB编程实现权重的求解（程序见附录二）,解得权重为：动态自适应排队模型的病人入院优先级计算公式：入院时间类型优先级优先系数 周六、日外伤白内障（双）白内障（单）青光眼、视网膜疾病周一、二外伤白内障（单）青光眼、视网膜疾病白内障（双）周三、四、五外伤青光眼、视网膜疾病白内障(双) 白内障（单）表5-5类型优先级 值5.5 问题二的求解根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。本文应用上述模型来安排9月12日的优先入院顺序。已知2008年9月12日为周五，对102位等待入院病人的数据利用模型计
25、算，优先入院的前20位见表5-6。可以发现97号的外伤以绝对优先权入院；而1号、6号、7号、9号的白内障患者的入院顺序有所后调，因为白内障患者若周五入院，则须等待3天做手术。若让他们推迟1-2天入院，不仅可以让出床位给需要更多术前准备时间的视网膜疾病和青光眼患者，而且也缩短了自己的术前准备时间，而对他们的出院时间没有影响（因为手术时间没有变化）。至于推迟1-2天他们是否能入院的问题，本文做如下说明：由于每天都有不同数量的病人出院，且他们的优先等级提高，所以1-2天后入院基本没有问题。至此，可以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。出院几人就可以让前几人入院。序号类型门诊
26、时间已等待时间f1优先入院顺序97外伤2008-9-111112视网膜疾病2008-8-30130.8505923青光眼2008-8-30130.8505934视网膜疾病2008-8-30130.8505945视网膜疾病2008-8-30130.8505958青光眼2008-8-31120.79675610视网膜疾病2008-8-31120.79675711视网膜疾病2008-8-31120.79675812视网膜疾病2008-8-31120.79675913青光眼2008-8-31120.79675101白内障(双眼)2008-8-30130.79446116白内障(双眼)2008-8-30
27、130.794461215视网膜疾病2008-9-1110.74291316视网膜疾病2008-9-1110.74291417青光眼2008-9-1110.74291521视网膜疾病2008-9-1110.74291623视网膜疾病2008-9-1110.74291724视网膜疾病2008-9-1110.7429189白内障(双眼)2008-8-31120.74061197白内障2008-8-31120.701120表5-6 9月12日前20位优先入院顺序5.6 MATLAB编程实现病人入院动态排序及计算评价本文利用MATLAB编程实现病人入院动态排序及计算评价指标。观察分析已给数据发现，7月
28、25日才是7月11日后普通门诊病人第一次入院的时间，所以统计出院人数情况的初始时间为7月25日。7月25日时79张病床的病人出院时间表，如下：月份7月8月日期252627282930311234567出院人数4811119756744111表5-7 7月25日时79张病床的病人出院时间表5.6.1程序前准备设计该MATLAB程序前需要在EXCEL中计算提取出1、病人编号2、已经等待的时间（门诊时间-初始时间）3、手术后到出院前的时间（出院时间-第一次手术时间）5.6.2 算法步骤设计：步骤一.确定是否有外伤病人a、有：外伤人住院，进入下一循环选择；b、无：进入步骤2步骤二.查看该日期是星期几，
29、接着根据相应的规则计算各类型病人相应的值步骤三.比较各值大小，确定应该入院名额属于哪个类型的队首。步骤四.依据表5-8，确定术前准备时间。病种类白内障白内障（双眼）其他眼科病星期kK=1或k=2其他K=17K=1或k=6其他术前准备时间(天) 3-K8-k8-k32表5-8 确定术前准备时间方法步骤五.计算得出该病人出院日期，在出院日期人数矩阵中的相应位置中增加一个当日出院名额。5.6.3 程序结果及分析对比：1、可以得到动态自适应模型下7月25日到8月28日的所有病床重新安排表（见附录六）2、输出日均出院人数：由于8月8号前还有以前的FCFS规则下出院的病人，所以择取8月8日到8月28日三周
30、的时间作为统计数据周期，该周期内调整后日均出院人数=8.9048人，调整前=8.6238人，日均增加了0.2810人出院。3、输出平均术前准备时间：以7月25日到8月28日为统计数据，得出的结果为: 平均术前准备时间（天）白内障（单眼）白内障（双眼）其他眼科疾病外伤 原始2.3753.752.3831.00调整顺序后2.0232.742.251.00表5-9 平均术前准备时间对比表6.问题三的求解作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。6.1 预告入院时间计算步骤步骤一：本文利用问题二建立的病人入院优先级计算
31、模型，（)计算出该病人在进入队列后，在队列中的入院优先次序号N。步骤二：根据日均出院人数u，计算出排在该病人前面的病人需要多少天可以入院完毕。考虑到外伤有绝对优先权等原因，从而估计该病人大致入住时间区间（取正负各一天，并两边取整）。步骤三：最后根据该病人的患病类型在一周内的优先次序做适当的调整。例如，白内障（双眼）最好在周六、周日入院；白内障（单眼）最好在周六、周日、周一或周二入院。6.2 实例计算6.2.1算例1现在的情况下，还有102位患者正在排队等候入院，例如对第102位患者的大致入住时间区间。首先利用病人入院优先级计算模型， 计算出该病人在进入队列后，在队列中的入院优先次序（详见附录四
32、）。第102位在队列中的新次序号为90，意味着他的前面还有89位患者等待入院。再根据问题二中计算的日均出院人数为8.78人，可以估计这第102位患者大致的入住时间区间为9,12天后。新序号原序号类型门诊时间f1优先入院顺序90102视网膜疾病2008-9-11（周四）0.2044490表6-1 第102位患者数据最后根据该病人的患病类型在一周内的优先次序做适当的调整：2008年9月11日是周四，9天后是周六，12天后是周二，对于视网膜疾病的患者可以不作调整，即入住时间区间为9,12天后。6.2.2算例2现在的情况下，还有102位患者正在排队等候入院，例如对第98位患者的大致入住时间区间。首先利
33、用病人入院优先级计算模型， 计算出该病人在进入队列后，在队列中的入院优先次序（详见附录四）。第98位在队列中的新次序号为101，意味着他的前面还有100位患者等待入院。再根据问题二中计算的日均出院人数为8.78人，可以估计这第98位患者大致的入住时间区间为10,13天。原序号类型门诊时间f1优先入院顺序92白内障(双眼)2008-9-11（周四）0.1483101表6-2 第98位患者数据最后根据该病人的患病类型在一周内的优先次序做适当的调整：2008年9月11日是周四，10天后是周日，13天后是周三，对于双眼白内障的患者最好在周六、周日入院，即入住时间区间为9,10天。7.问题四求解和模型稳
34、定性分析7.1问题四求解对于“该住院部周六、周日不安排手术，医院的手术时间安排是否应作出相应调整？”的问题。结合以下条件：1.白内障，术前准备时间只需1、2天；如果要做双眼中间隔一天。2.外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。3.其他眼科疾病，大致住院以后2-3天内就可以接受手术，术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在做白内障手术的日子，且不考虑急症。周六、周日原来是做其他眼病手术的，而其他眼病手术术前准备大致要2-3天，即这些病人最可能是在周四住院的，其次是周三和周五住院的。现在住院部周六、周日不安排手术，也就是说，最好不要在周三、
35、周四、周五安排其他眼科病人入院。而原模型中，在周三、周四、周五其他眼病患者入院优先级高是由“周一、周三做白内障手术”所导致的。所以应该改变“周一、周三做白内障手术”的策略。又由于白内障（双眼）手术中间隔一天，所以只有周二、周四和周三、周五两个策略。入院时间类型优先级优先系数 周日、一外伤白内障（双）白内障（单）青光眼、视网膜疾病周二、三外伤白内障（单）青光眼、视网膜疾病白内障（双）周四、五、六外伤青光眼、视网膜疾病白内障(双) 白内障（单）表 7-1周二、周四安排白内障手术的情况入院时间类型优先级优先系数 周一、二外伤白内障（双）白内障（单）青光眼、视网膜疾病周三、四外伤白内障（单）青光眼、视
36、网膜疾病白内障（双）周五、六、日外伤青光眼、视网膜疾病白内障(双) 白内障（单）表 7-2周三、周五安排白内障手术的情况通过分析比较，周二、周四安排白内障手术的情况中（见表7-1）依然需要在周四和周五安排其他眼病（青光眼、视网膜疾病）患者优先入院，周四入院的病人距离周一做手术有4天；周三、周五做白内障手术的情况中（见表7-2）周五、周六、周日优先安排其他眼病的入院，且周五入院的病人距离周一做手术也只有3天。所以选择周三、周五安排白内障手术较好。根据问题二的模型，病人入院综合优先指标计算公式如下： （权重） 7.2 模型稳定性分析本文对问题二建立动态自适应排队模型及其病人入院综合优先指标计算公式
37、，应用于问题四，由于周六、周日不安排手术，导致其他眼病手术天数变少，且他们的入院日子需要调整。经过分析，将周一、三做白内障手术，调整为周三、五做，同时调整不同时段、不同类型病人有限优先级，实现动态自适应排队模型的移植。从而说明本文所建立的病人入院优先级计算模型具有较高的稳定性和移植性。8.问题五的求解8.1问题分析本题可以转化为多队列多服务台的排队系统问题，将大排队系统划分成五个小排队系统，分类依据是患病情况。设第类病人分别为：白内障（单眼）、白内障(双眼)、青光眼、视网膜疾病、外伤。分别求出每个小系统内病人的平均逗留时间，然后根据每类病人占总病人的权重对小系统病人的平均逗留时间进行加权平均。
38、 8.2模型的建立与求解基本假设：每个小系统都是排队模型。每个小系统最终都能达到平稳状态。根据基本假设：1、病人的相继到达时间服从指数分布，平均值为，单位：人/天。2、整个系统的服务时间服从指数分布，平均值为，单位：人/天。为第个系统服务台的个数。系统的服务强度：。记为系统到达平稳状态后队长的概率分布。现在不加证明地引用排队问题的结论1。，其中 （8-1）对于多服务台等待制系统，平稳状态下队列的平均队长： (8-2)系统中正在接受服务的病人平均数，该式子说明平均在忙的服务台个数不依赖于服务台个数。平均队长，对于多服务台系统，公式仍然成立，因此病人在系统中的逗留时间。记每类病人占总病人的权重为。
39、建立以下排队系统服务台数量优化模型： 模型中可以根据统计数据获得，权重为也可以根据统计数据获得。为医院的病床总数。令，对该数据进行讨论，只有当，即每个系统服务台数大于每个系统的服务强度时，系统才能处于平稳状态。本优化模型为整数规划，可以通过MATLAB编程实现。根据对附录中数据的处理得到以下数据。12345第类病人平均门诊人数1.62 2.15 1.03 2.79 1.05 第类病人平均住院天数5.24 8.56 10.49 12.54 7.04 第个系统的服务率0.19 0.12 0.10 0.08 0.14 第个系统的服务强度8.49 18.40 10.83 34.99 7.39 第类病人
40、的权重0.18 0.24 0.31 0.11 0.15 表8-1 各类系统的服务强度和各类病人的权重MATLAB程序计算结果如下：病床数量(单位：张）82838485868788最短逗留时间(单位：天)17033.5717.3315.241412.9111.9表8-2 不同数量病床下病人最短平均逗留时间观测该图，发现在所选定得每天平均门诊病人数以及各个子系统的服务率的条件下，MATLAB编程分别求出在不同病床数量下系统中所有病人的平均逗留时间。如果想要让所有病人的平均最短逗留时间缩小，只能增加床位，床位选取为85张比较合适。85张病床条件下，各类病人病床分配数量、各类病人在系统中的逗留时间如下
41、。第类病人12345各类病人病床分配数量92012368各类病人逗留时间13.611.9216.3422.615.898.3模型结果评价分析本模型得出的最优病床数量多于医院原来的病床数量。产生这种情况的原因：已知变量的统计误差、每个系统的服务率指标采用样本（大系统）的数据进行样本点估计得到。事实上，模型将一个大系统分成五个小系统的过程必然会导致每个系统的服务率都得到优化，即专业化分工产生效率。单队列FCFS规则下的医院排队系统，每一类病人、每天进行门诊的病人数是随机分布的，医院的病床事实上已经满负荷运转，即除了优先级最高的外伤病人之外，其他四类病人医院门诊后就必须进入等待队列。多队列多服务台F
42、CFS规则下，可以保证服务时间具有规律性，只是受到同类病人门诊顺序的影响，而不会受到其他类别病人门诊顺序的影响，因此该模型可以提高各个系统的服务率，并同时降低服务时间的方差，使得各个系统的平均服务率可以在一定区间内进行控制。当系统的服务时间服从一般分布时，得到排队模型。根据Pollaczek-Khintchine(P-K)公式，。该公式表明平均队长、平均排队长、平均逗留时间、平均等待时间仅仅依赖于系统的服务强度和服务时间的方差，而与分布的类型没有关系。当服务率给定以后，当方差减少时，平均队长和等待时间等都将减少。因此，可通过改变服务时间的方差来缩短平均队长，当且仅当服务时间的方差，即服务时间为定长时，平均队长、等待时间可减少到最少水平。本文假设将大排队系统分成五个小排队系统，服务效率分别提高1%，2%，3%，12%，病床数为79张条件下，修改MATLAB程序得到系统平均逗留时间数据如下。系统服务率提高比例(%)所有病人平均逗留时间(天)各类病人的平均逗留时间各类病人病床分配652.46(8.21,18.6,1
