[优秀毕业设计精品] 两类带功能反应项的捕食者食饵扩散模型的研究.doc

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1、中北大学学位论文分类号： 单位代码： 学 号： 学 位 论 文两类带功能反应项的捕食者-食饵 扩散模型的研究 硕士研究生 指导教师 学科专业 应用数学 年 月 日III图书分类号 密级_UDC注 1 硕 士 学 位 论 文两类带功能反应项的捕食者-食饵扩散模型的研究指导教师（姓名、职称） 申请学位级别 硕士 专业名称 应用数学 论文提交日期 年 月 日论文答辩日期 年 月 日学位授予日期_年_月_日论文评阅人 答辩委员会主席 年 月 日注1：注明国际十进分类法UDC的分类 原 创 性 声 明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究所取得的成果.除文中已经注明引用的

2、内容外，本论文不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果.对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明.本声明的法律责任由本人承担.论文作者签名： 日期： 关于学位论文使用权的说明本人完全了解中北大学有关保管、使用学位论文的规定，其中包括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内容（保密学位论文在解密后遵守此规定）.签 名： 日期： 导师签名： 日期： 摘 要本文研究了两类带功能反应项的具有

3、扩散现象的捕食模型，其功能反应函数分别为Holling-II和Beddington-DeAngelis型。扩散现象在自然界中随处可见，研究这两类扩散模型解的稳定性和行波解的存在性对人们合理利用和保护自然资源有深远的意义。本文主要分为五章：第一章主要介绍了研究的意义、目前研究现状以及本文的研究工作；第二章介绍了需要用到的一些预备知识；第三章研究了带Holling-II型功能反应项的捕食扩散模型，利用上下解方法、线性化方法和Lyapunov泛函讨论了该模型解的一致有界性和整体存在性、正平衡点和半平凡平衡点的局部渐近稳定性及其全局渐近稳定性；第四章研究了带Beddington-DeAngelis型功

4、能反应项的捕食扩散模型，利用打靶法、流形理论和Lyapunov函数研究了其行波解的存在性。根据生物学意义在两平衡点之间寻找非负行波解，然后构造集和即存集，接着又对系统在平衡点处进行线性化，通过分析平衡点附近轨线的性质，得出行波解始终在一个特定的区域中，并在该区域中构造了一个Lyapunov函数，证明了当参数满足一定条件时系统行波解存在；第五章对全文进行了总结和展望。关键词：捕食者-食饵模型，功能反应项，反应扩散方程，稳定性，行波解。 AbstractIn this thesis, we study two kinds of predator-prey models with Holling-I

5、I and Beddington-DeAngelis functional response. The diffusive phenomenon can be seen nearly everywhere in nature. It is important to research the global existence of solutiongs and the existence of traveling front solutions of the two kinds of diffusive models for us to exploit and reserve natural r

6、esource.There are five chapters in this thesis. In the first chapter, the important meaning of this paper is introduced; In the second chapter, some necessary knowledge is given. In the third chapter, for the first model, the diffusive predator-prey models with Holling-II functiongal response is stu

7、dyed. Using the upper and lower solutions method, the uniform boundedess and global existence of solutions method, the uniform boundedess and global existence of solution to the predator-orey diffusion system. Meanwhile, sufficient conditions of the local asyptotical stability of the positive equili

8、brium point is given by linearization respectively. The global asymptotical stability of the unique positive equilibrium point is also given Lypunnov function. In the forth chapter, for the second model, we study the diffusive predator-prey models with Beddington-DeAngelis functional response is stu

9、dyed and searched a traveling wave solution between two equilibrium points, in ecological meaning, then,the paper define a Wazewski set and examine an exit set. The property of the system nereby the equilibrium points can be known by linearing the system at these points, and the solution remains in

10、a particular regin. At last, using a Lypunnov function in that region, the paper prove the existence of traveling front solutions undering some conditions. In the fifth chapter, a conclusion of this thesis is given.Key words: Predator-prey models; The functional response; Reaction-diffusion equation

11、; Stability of the model; Traveling wave solution;目 录摘 要IAbstractII第一章 绪 论11.1研究的意义11.2研究现状21.3本文的研究内容5第二章 预备知识82.1微分同胚的概念82.2微分方程定性理论(平面上的动力系统与奇点)82.3反应扩散方程引论(抛物型方程组的比较方法)9第三章 带Holling-II型功能反应项的捕食者-食饵扩散模型的稳定性103.1解的一致有界性及其整体存在性113.2系统平衡点的分析123.2.1 e0(0,0)和e1(u*,0)的分析123.2.2正平衡点的分析143.3系统平衡点的局部稳定性17

12、3.3.1 e*的局部稳定性173.3.2 e1(u*,0)的局部稳定性193.4系统平衡点的全局渐近稳定性分析203.4.1 e1(u*,0)的局部稳定性203.4.2半平凡平衡点e1(u*,0)的全局渐近稳定性213.5本章小结22第四章 带Beddington-DeAngelis型功能反应项的捕食者-食饵扩散模型的行波解234.1模型的化简与分析234.2引理254.3系统在点(1,0,0)处线性化及分析254.4集的构造314.5系统解的有界性374.6系统行波解的存在性394.7本章小结40第五章 结论与展望41参考文献42攻读硕士期间发表的论文及所取得的研究成果46致 谢47第一章

13、 绪 论1.1 研究的意义早在古代人们就蒙蒙胧胧地感到生物依赖环境，同时也在改变着环境。随着科学技术的不断地发展，逐渐形成了生态学。尽管不同时期学者给生态学下的定义不尽相同，但都大同小异。总的来说，生态学是一门研究生物与环境及其相互作用的学科。生态学经过几十年的不断发展，已经产生了许多边缘学科。如生物物理学、生物化学、生物经济学等等，而生物数学是其中最为年轻的学科之一。所谓数学生态学，即用数学模型描述生物的生存与环境的关系，并利用数学方法(理论或计算)对其进行研究，进而到对一些生态现象进行解释和控制。数学生态学在16世纪已经开始萌芽，但是工作比较零碎。1900年，意大利著名数学家V.Volte

14、rra在罗马大学作了一次题为“应用数学与生物和社会科学的尝试”的演讲，它标志了生态数学发展的一个里程碑。在这个时期，K.Pearson在遗传学方面成功应用了数学研究成果，T.Brownlee在流行病方面也应用了数学的研究成果。一直到1926年，Volterra发表了解释Finme港鱼群变化规律的著名论文，使数学生态学的发展一度达到高潮。不久由于战争等因素，使刚刚兴起的数学生态学以及更广泛的生物数学寂静下来。直到20世纪50年代，由于电子计算机的出现，重新激励了生物数学。生物数学真正的蓬勃发展是近二十多年来的事。这20多年来，生物数学各个领域中科研成果大批地涌现，使关生物数学呈现出一派欣欣向荣的

15、局面。数学生态学是生物数学各领域目前发展得最为完整、最为系统的一个重要分支。它所建立的模型和方法，不仅直接推动着生态学的发展，对生物数学的其它领域也产生着重要的影响。在二十世纪和本世纪初，随着生态学多年的发展，新概念、新定义、新原理和新技术方法不断地涌现。同许多其它学科一样，生态学许多分支的发展规律也是在这个时期由定向走向定量的。例如从运用一般语言的描述到运用数学语言刻画；从运用古代数学到运用现代数学等。随着数学以及其它基础科学的不断发展，生态研究针对的对象不断增多，应用理论不断拓宽，许多新的分支学科不断产生（见文献1）。自从偏微分方程在描述生物学中生物规律和现象应用以来，一直吸引着大量专家和

16、学者的注意力，并形成了许多具有很强实际背景的新课题。近二十年来人们对反应扩散方程在生物种群动力学中的应用越来越感兴趣。在生物群体动力学中应用最多的一类数学模型是反应扩散方程(组)，它是一类半线性抛物型方程(组)：其中D(x,u)=diag(d1(x,u)dm(x,u), ,（见文献2）.反应扩散方程在生物群体动力学中的应用主要体现在生态方程有了扩散项。生态系统中，由于生存空间和食物等竞争因素的影响，生物群体自然地按各自的扩散率di从密度高的地方向密度低的地方转移、扩散。而群体的出生、成长、死亡或种群间竞争、互助、捕食与被捕食等产生的一系列过程可在反应项中体现出来。于是研究具有捕食关系的种群的共

17、存性、稳定性或周期持续共存等，对于保持生态平衡，保护生态环境甚至挽救濒危物种等具有非常重要的实际意义。从长远来看，生物数学的发展前景非常不错。但是由于它是交叉学科及社会认知方面的一些影响，其发展仍面临着许多困难。随着中国加入世贸和可持续发展的提出，生物数学面临的具体问题越来越多，要求也越来越高。尤其随着科学界和全社会生态意识的增强，林业、农业，以及生态建设，如城市绿化、森林公园、建立自然保护区等等都离不开生物数学。但是由于其的跨学科特点，所以生物数学的发展面临着知识、设备和资金的缺陷，这些往往导致提出的生物数学的建议付诸实践很难。还有，生物数学原理的研究比较抽象不像工农业的生产技术那样成果出众

18、。原理是一种应用基础，生物数学作为一种基础中的基础，需要以长远的战略眼光多加宣传，以引起政府和社会公众的广泛关注。由于人类活动越来越多地干扰环境，所以对环境的保护也刻不容缓。这些都需要好好地利用生态数学来解决。1.2 研究现状自从反应扩散方程引入生态动力学中，目前国内外学者们主要研究了以下三方面的问题：（1）模型行波解的存在性及稳定性；（2）初值问题，初边值问题的整体解（包括周期解和概周期解）的存在唯一性及渐近性；（3）平衡解的存在性，尤其是当问题依赖于某些参数时平衡解的分叉结构，以及平衡解的稳定性问题(见文献2)。由于生物学中建立的模型大多数是没有办法求出其解析解的非线性系统，因而有不少学者

19、就用数值求解的方法尤其是有限差分法来研究解的性态，如文献3就对三级生物链反应扩散模型进行了定性分析，同样还有文献4通过构造一般的交替差分格式证明了格式的无条件稳定性，文献5则用二阶收敛的三层线性化差分格式来研究了非线性反应扩散模型。有很多学者对有周期输入和周期输出的Chemostat模型很感兴趣，如文献6,7,8. 关于捕食扩散模型平衡态的研究，目前已有许多结果，如文献9对带B-D功能反应项的捕食扩散系统的平衡态进行了研究，得到了正平衡解存在的充分条件，同时判定了局部分支解的稳定性；文献10,11研究了带Holling-Tanner反应项的捕食食饵模型其系统的正解的存在性。文献12研究了四种群

20、捕食-食饵反应扩散方程组解的存在性和平衡态方程正解的全局渐近稳定性。文献13,14,15则通过构造迭代列，上下解方法，Banach空间上的Schauder不动点原理研究了带扩散项的周期捕食食饵模型中如果加上一些环境、季节等因数，系统正周期解的存在性。文献16,17用稳定性理论研究了一类捕食系统的平衡态问题，并得到了分支点附近的正解的稳定性。经典的Volterra-Lotka捕食-食饵模型是许多学者研究的对象，下面是带扩散项的Volterra-Lotka捕食-食饵模型(见文献18。 （1.1）文献19研究了（1.1）对应的周期系统的正周期解的存在性，通过用周期性的抛物型算子理论得到了存在正解的一

21、些条件。文献20,21则利用算子谱分析了推广的Volterra-Lotka模型的平衡态。随后又有许多学者将模型（1.1）中的用不同的功能反应函数来替代进行研究，功能性反应函数是描述捕食者捕食能力大小的函数，1959年，Holling(见文献22)提出若密度为,则功能反应曲线将有三种可能性：(1)Holling-I型：表达式为或，其中为常数。它主要运用于藻类细胞等低等生物；(2)Holling-II型：表达式为，其中为常数，它适用于无脊椎动物；(3)Holling-III型：其表达式为，其中为常数。它适用于脊椎动物。1975年，Beddington和DeAngelis（见文献23,24）等提出了

22、一类具有Beddington-DeAngelis型功能反应项的捕食者-食饵模型，其功能反应函数的表达式为：这个功能反应函数与Holling-II型很相似，只在分母中多加了个，表示捕食者之间是相互干涉的，由于B-D功能反应函数保持了比率依赖反应函数的所有优点，并避免了低密度问题引起的争议，所以能更好地反映捕食者对食饵的捕食效应(见文献9)。关于捕食扩散模型的行波解方面的研究，也有许多成果，如文献25,26在研究中考虑了捕食者扩散系数为零的情况下具有扩散项的Lotka-Vollerra模型的行波解的存在性，证明了周期轨道和行波解的存在性，即连接一个平衡点和一个周期解的异宿轨线或连接两个平衡点的异宿

23、轨线，同时还证明了中的具有扩散项的Lotka-Vollerra模型行波解的存在性。对于文献27中的模型： （1.2）文献28证明了模型（1.2）当食饵的扩散系数为零时该模型行波解的存在性。Garder、文献29,30,31应用connection index方法来证明了（1.2）的行波解的存在性。文献27则研究了带Holling-功能反应项的捕食者-食饵扩散模型行波解和小振幅行波解的存在性。Owen和Lewis在文献32中研究中仿真模拟了数次在捕食者和食饵的扩散系数均不为零的情况下（1.2）的解的情形，模拟的结果显示系统经历行波解。而在2003年，文献33经过研究证明了Owen和Lewis研究

24、结果的正确性。而对于捕食扩散模型的解的整体性态和非负平衡点的稳定性的研究并不是很多，文献34主要讨论了带Holling-II型的捕食扩散系统的非负平衡点的性态和其正平衡点的稳定性。文献35对捕食者无密度制约而食饵有非线性密度制约的Holling-III型功能反应的捕食扩散模型： （1.3）的解的整体性态进行了研究，并证明了系统（1.3）正平衡点的局部渐近稳定性和全局渐近稳定性。文献36对一类三次捕食扩散模型的稳定性也进行了研究，用线性化方法和Lyapunov泛函方法讨论了该模型的非负平衡点的稳定性。文献37对模型（1.4） （1.4）的稳定性进行了研究；系统（1.4）中当时，文献38对该系统的

25、耗散性、持久性、非负平衡点的稳定性和非常数正稳态解的存在性进行了研究1.3 本文的研究内容本文研究如下两种模型：(1)模型一，其数学模型如下：其中是中具有光滑边界的有界区域；是上的单位法向量；u(x,t)，v(x,t)分别是食饵种群和捕食者种群的密度函数；食饵具有非线性密度制约；Du/(1+Eu)是Holling-II型功能反应函数；扩散系数d及生命系数A，B，C，D，E，F，G都是正常数；A表示食饵种群的內禀增长率；F是捕食者的净死亡率；-Bu-Cu2是食饵的密度制约项，捕食者v仅以食饵u为生且忽略其密度制约因素；u(x,0)，v(x,0)是非负且不恒为零的光滑函数。本文主要研究其解的整体性

26、态，当参数满足什么条件时，其半平凡平衡点和正平衡点的稳定性。(2)模型二，其数学模型如下： （1.5）其中分别表示食饵和捕食者的种群密度；正常数为食饵的內禀增长率；正常数为食饵的种群自制常数；正常数分别为捕食者的死亡率，捕获率和转化率；为Beddington-DeAngelis型功能反应函数（见文献23，24）。作变换：系统（1.5）可化为： （1.6）其中：若食饵的扩散系数为零(见文献28)，则（1.6）所对应的扩散系统为； （1.7）本文研究系统（1.7）在参数满足什么条件下，上述模型的行波解是存在的。8第二章 预备知识2.1 微分同胚的概念设是定义在的开子集U上的一个映射。则f在U中的一

27、点P处可微，如果存在一个线性变换，使得对于小的v，f(p+v)=f(p)+t(v)+R(v)，满足下式：称线性映射为在点的导数，记作：。特别地，由在点导数的存在可得出在点连续。如果在中的每一点可微，则得一映射，对于中每一点，它对应于在点的导数。其中表示由到的线性映射的向量空间，其范数为。如果在中连续，则说在中是类的，设是中的开集，是一个满射。如果存在映射，使得是上的恒等映射，就说是一个同胚。2.2 微分方程定性理论(平面上的动力系统与奇点)讨论平面上的动力系统，有如下方程组： (2.1)其中X(x,y)和Y(x,y)在(x,y)平面上连续，并且满足进一步的条件，以保证初值问题的解唯一。由于平面

28、的某些特性，特别是由于若尔当定理在平面上成立(即：平面上的简单闭曲线把平面分成两部分，连接这两部分中任意点的连续路径必定与相交)，就使得平面动力系统的轨线分布比较单纯。如果一条轨线既不是闭轨也不是奇点，那么在轨线上的任何一点都有一个小领域，使得轨线在走出这领域以后永远不复还。而在三维(或更高维)相空间中轨线的分布可以没有这种单纯的性质。如果从式(2.1)中消去t，则得到如下方程： (2.2)定义满足如下方程组：的点为奇点。奇点是轨线上的特殊点，在奇点轨线不满足解的存在与唯一性定理。2.3 反应扩散方程引论(抛物型方程组的比较方法)是空间中的某个有界区域，在上对x，t是Hlder连续，对u1，u

29、2是Lipschitz的，即存在常数,对于任意，有： (2.3)把简写为，设是在上混拟单调的，并满足式(2.3)，当时，是式(2.4)的上下解，则由如下结论：(1)当时，又有，其中。(2)式(2.4)在中存在唯一解。其中式(2.4)表达式如下： (2.4)其中。第三章 带Holling-II型功能反应项的捕食者-食饵 扩散模型的稳定性本章讨论食饵具有非线性密度制约的带Holling-II型功能反应项的如下捕食者-食饵扩散模型： (3.1)其中是中具有光滑边界的有界区域；是上的单位法向量；u(x,t)，v(x,t)分别是食饵种群和捕食者种群的密度函数；Du/(1+Eu)是Holling-类功能反

30、应函数(见文献22)；扩散系数d及生命系数A，B，C，D，E，F，G都是正常数；A表示食饵种群的内禀增长率；F是捕食者的净死亡率；-Bu-Cu2是食饵的密度制约项，捕食者v仅以食饵u为生且忽略其密度制约因素；u(x,0)，v(x,0)是非负且不恒为0的光滑函数。为使模型的表达式更为简单，对（3.1）做作如下变换：，(仍记为)则系统(3.1)可化为： (3.2)当d=0时系统(3.1)就是常微分的带Holling-II型功能反应函数的捕食者-食饵模型。系统(3.1)中对于c=0，d=0时的情况研究已有许多结果(见文献39,40,41)，他们讨论了模型的非负平衡点的稳定性和极限环的存在性及其个数问

31、题，接着人们又对带扩散项的Holling-型功能反应项的捕食者-食饵模型进行了研究，那么系统(3.1)的解的整体性态如何呢？接下来本文就要对这个问题进行讨论。文章分为四节：第一节主要讨论系统(3.2)整体解的一致有界性及其整体存在性；第二节是对系统的平衡点进行了些分析；第三节讨论了系统平衡点的渐近稳定性；第四节讨论了系统平衡点的全局稳定性。3.1 解的一致有界性及其整体存在性本节应用上下解方法给出系统(3.2)整体解的唯一性和一致有界性。记：，。Th3.1：设u0，v0是非负且不恒为0的光滑函数，且e(u(x,t),v(x,t)c(0,T)c2,1(0,T)2，其中T是系统(3.2)的解e最大

32、的存在时间，则对有：，。其中：证明：由f1，f2在的光滑性可知系统(3.2)的古典解局部存在且唯一；要想说明系统(3.2)解的整体存在性，下面只需证明系统(3.2)解一致有界即可。由文献2的比较原理和强极大值原理知：当u00(不恒为0)，v00(不恒为0)时，u(x,t)0，v(x,t)0是非负的。显然M1(见Th3.1)是系统(3.2)第一个方程的上解，因而有：。若令，则有： (见Th3.1)再由比较原理可知：，结合可知系统(3.2)的解一致有界。3.2 系统平衡点的分析经计算可知系统(3.2)至少有平凡平衡点和半平凡平衡点，其中：。Th3.2：系统(3.2)在内存在正平衡点，它存在的充要条

33、件为：， (3.3)其中，。3.2.1 e0(0,0)和e1(u*,0)的分析Th3.3：1)为鞍点。2)当时，为鞍点。3)当且时，为不稳定的结点。4)当且时，为稳定的结点。5)当即：时，为高次奇点，且在第一象限部分为稳定焦点或结点。证明：显然为鞍点。由于在处有：，而在点处有：又因为所以显然可以知道2)、3)、4)也成立。对于5)即：因为由可知：。所以为高次奇点。系统（3.2）所对应的常微分方程系统为： （3.4）对于系统（3.4）作变换，。变换后仍用表示，则系统（3.4）化为： （3.5）此时系统(3.2)的奇点对应系统（3.5）的奇点。令，仍以记，则有： （3.6）其中：把系统（3.6）的

34、对换，则有： （3.7）对于系统（3.7）令：，再由可得：，其中：，并且由于，所以根据文献42可知点为鞍结点，且在第一象限部分为稳定焦点或结点。3.2.2 正平衡点e*(u*,v*)的分析其中：， 由上面可知Th3.4：若系统(3.2)的正平衡点存在，则有：1)当时，为不稳定的结点或焦点；2)当时，为稳定的结点或焦点；3)当时，为一阶不稳定的细焦点。证明：1)、2)显然成立。下面对3)进行论证，对系统（3.5）有如下变形： （3.8）对于系统（3.8）先进行坐标平移，把坐标顶点坐标平移至，令：，。 （3.9）系统（3.9）经过无量纲变换：令，。可以得到它的标准型，仍然以表示： （3.10）其中

35、：，。此时依Th3.4中3）可知：，且现令：则有，依次由三次项，四次项等于零，定出等。令：，先考察三次齐次多项式有：化为极坐标，令：解之得周期函数：于是可得：即：又由，其中，分别是中的次齐次多项式，所以有：则有：所以由文献42中的细焦点判定可知，当3）满足时为一阶不稳定的细焦点。3.3 系统平衡点的局部稳定性易于证平凡平衡点e0是系统(3.2)对应的常微分问题的鞍点，因为系统(3.2)的常微分问题的解是系统(3.2)的特解，从而e0也是系统(3.2)的不稳定平衡点。3.3.1 e*的局部稳定性设是齐次Neumann边界条件下算子在上的特征值。是与特征值相应的中的特征子空间(见文献43)，记：其

36、中是的一组正交基，则：，记：，。其中，系统(3.2)在e*处的线性化方程为et=Le，对于，Xi是算子L的不变子空间，是算子L在Xi上的特征值，当且仅当是矩阵的特征值。而的特征多项式为。其中，。特征值，的实部为负的充要条件是：，。因为所以必须有，从而，的实部为负的充要条件为：， （3.11）下证存在且为常数，使得对任意一个都有： （3.12）下面可以令：，则有：又因为当时，所以可知显然，有2重根，由函数的连续性知：，当时，可知有成立。下面令：，则有，可以取，则（3.12）式成立，从而由文献44中的可得如下结论：Th3.5：如果(3.3)，（3.11）式成立，则系统(3.2)的平衡点局部渐近稳定

37、。3.3.2 e1(u*,0)的局部稳定性系统(3.2)在e1(u*,0)处的线性化方程为：，其中，。而的特征方程为。其中：它的每个特征值(记作)的实部位负的充要条件是：，注意到： 从而，的实部为负数的充分条件是：。这等价于：，即：时，系统(3.2)的半平凡平衡点局部渐近稳定。当时，相应证明过程为：，。从而的实部为负的充要条件是：，显然有：，即：。所以局部渐近稳定。Th3.6：若，则系统(3.2)半平凡平衡点局部渐近稳定。453.4 系统平衡点的全局渐近稳定性分析3.4.1 e1(u*,0)的局部稳定性引理1：设为正常数，有下界。如果，且，为正常数，则(见文献45)。因为是系统(3.2)的唯一

38、正解，所以由Th3.1知，存在与，无关的正常数，使得对于任意的有：，由文献19中的知，有：， （3.13）而是与时间无关的正常数，因而可以定义如下函数，令：定义Lyapunov函数如下：由前面的定理3.1可知，在初值取不恒为零的非负函数且时间t大于零时，系统(3.2)的解是严格的正函数，故可知对于系统(3.1)的任意正解都有意义。对任意的有，而且当且仅当时有，由分部积分及一些简单的计算可知： 因为在上的最小值为，所以不妨记，即：与等价 （3.14）从而有：由Th3.1和（3.13）式知：和的导数有界，而由文献45证明的引理1得： （3.15）由式（3.13）知：和非负函数，使得：，由式（3.1

39、5）得：，因此：，联系Th3.5即得：Th3.7：若式(3.3)、式（3.11）和式（3.14）成立，则全局渐近稳定。3.4.2 半平凡平衡点e1(u*,0)的全局渐近稳定性令：，则关于系统(3.2)的任意正解满足： 其中：，类似于正平衡点的全局稳定性的证明，其半平凡平衡点全局渐近稳定。3.5 本章小结本章研究了食饵具有非线性密度制约的带Holling-II型功能反应项的如下捕食者-食饵扩散模型，首先利用上下解方法证明了系统的解在一定条件下的一致有界性和整体存在性,然后又对正平衡点和半平凡平衡点的性质进行了些分析，接着又利用线性化方法证明了正平衡点和半平凡平衡点的局部渐近稳定性，最后构造了Ly

40、apunov函数证明其全局渐近稳定性。中北大学学位论文第四章 带Beddington-DeAngelis型功能反应项的 捕食者-食饵扩散模型的行波解4.1 模型的化简与分析本文研究如下反应扩散系统： (4.1)其中u，v分别表示食饵和捕食者种群的密度；，r，d均为正常数，uv/(1+u+rv)通常称为Beddington-DeAngelis功能反应函数。由于B-D功能反应函数保持了比率依赖反应函数的所有优点，并避免了低密度问题引起的争议，更好的反映了捕食者对食饵的捕食效应。在这里为了数学上的简单，通常假设食饵的扩散系数为零，这种假设也就是意味着食饵种群面临着灭绝的危险境地，应该认识到这种假设并

41、不是必要的（见文献28）。目前，对于带B-D反应项的捕食者-食饵系统的研究更多关注的是常微分模型，对于偏微分的研究并不是很多。有许多学者研究了带Holling-功能反应项的捕食者-食饵扩散模型行波解的存在性。文献29,30,31应用Connection index方法证明了行波解的存在性，而Connection index是Conley index的扩展。文献28则考虑了捕食者的扩散系数为零的情况下，证明了周期轨道和行波解的存在性，即连接一个平衡点和一个周期解的异宿轨线或连接两个平衡点的异宿轨线。文献32则仿真模拟了数次在捕食者和食饵的扩散系数均不为零的情况下解的情形，模拟的结果显示系统经历行

42、波解。在2003年，文献33经过研究证明了文献32研究结果的正确性，那就是他们证明了行波解和小振幅行波解的存在性。文献25,26则证明了扩散的Lotka-Vollerra模型行波解的存在性。文献27则研究了带Holling-功能反应项的捕食者-食饵扩散模型行波解和小振幅行波解的存在性。需要说明的是，尽管本文所用到的技术类似于某些参考文献，但是它们之间还是存在着很大的差异的：首先，这里的模型是一个更为复杂的模型，这就使行波解的建立存在着很多的困难；其次，建立了一个不同的Wazewski集W；最后，所建立的Liapunov函数(文献46)也更为复杂。对于模型(4.1)可以做如下合理的假设：-dd，这是为了保证系统有一个正平衡点，显然系统(4.1)有三个平衡点，。其中，。平衡点是鞍点，对应于两种群不存在；也是鞍点，对应于在环境的承受能力下，捕食者不存在；对应于两种群共存。将用打靶法来建立的行波解是连接两平衡点和的一条异宿轨线。为了建立系统(4.1)的行波解的存在性，假设行波解是形如，的解，其中，