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1、目 录摘要11绪论32问题的分析33符号说明及模型假设53.1符号说明53.2模型假设64模型的建立65模型的求解及检验85.1模型的求解85.2模型的检验96结果预测与分析 107模型的评价 137.1优点137.2缺点147.3以后的改进设想14参考文献15附录116附录217附录319附录421答谢23中国人口预测模型专业：数学与应用数学 摘要本文针对我国人口现状，综合考虑城镇和乡村男女性比率、出生率、死亡率及国内人口迁移等因素，建立人口发展方程，结合最优控制原理及曲线拟合等技术，分别建立了城镇和乡村男、女性人口变化模型.通过实际数据的检验，结果表明该模型能够较好地刻画我国目前的人口现状
2、,从而用它可以预测我国人口的未来发展趋势并为国家进行相关人口政策的制定提供必要的理论指导.根据模型预测，在2015年，我国人口将达到139846万人；在2030年，我国人口将达到峰值144679万人；在2050年将达到141527万人.这与国家人口发展战略研究报告中预测的数据接近.从全国总人口变化曲线上直接看来，在国家人口政策相对稳定的情况下，2030年后我国人口逐渐有所减少.关键词 人口模型,人口发展方程,最优化控制原理,人口增长率ABSTRACTThis paper concerns the status of our countrys population,with considerat
3、ion of the sex ratio ,birthrate ,mortality and inland migration of counties and towns, this paper establish both the male and female population model of the chinese counties and towns with optimal control theory and curve fitting and so on. Through checking the model with real data, the results mani
4、fest that this model can favorably adapt the present population status of our country.And thereby we use it to predict the population development tendency. Also it can provide the favorable theory direction for relating population policy making.According to this model, the population of our country
5、will be 1.39846 billion in the year 2015, 1.44679 billion in 2030, and 1.41527 billion in 2050, which are approximate to the prediction of national population development strategic reserch report. Looking at the vary curve of national population,the national population will be decrease after the yea
6、r 2030 under the stable control of national population policy.Key Words: Population model,Population development equation,Optimal control theory,Population growth ratio1、绪论人口的发展状况与国民经济各方面都有着密切的联系，直接影响着经济的繁荣与社会的发展.人口预测是制定和顺利实践社会经济各项战略设想的基础和出发点，是制定正确的人口政策的科学依据.作为人口大国的中国，人口的分析和预测对我国的社会进步和经济发展具有更为重大的现实意
7、义和长远意义.本文应该针对我国的人口现状和出现的一些新特点，例如，老龄化进程加速，出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等多种因素.需要求一个较为科学合理数学方法，以便掌握我国人口的发展规律，进而使人口发展与国民经济发展相适应，更好的满足人民日益增长的物质和文化的需要.2、问题的分析人口的数目和状况处于不断的变化之中.但明日的一切均以今天为基础变化而来.所以，如果得知今天的人口状况，又了解未来某一时刻的变化规律，即可推知未来那一时刻的人口状况.人口总数的制约因素，主要体现在以下几个方面：从人口的年龄结构来说，任何人每年都增加一岁，这是相当明确的；从人口的数量上来说，一是出生和死亡，另一方面
8、是迁入与迁出.就其大多数国家和地区而言，人口总数的变动基本上取决于人口的出生率与死亡率，而某一国家和地区甚至在世界范围内的重大事件，也会在一定程度上影响人口数目和状况的突然变动，但这种变动是短暂的，它不会扭转人口发展的总趋势和总进程.并且，就对我国而言，城镇和乡村之间的人口迁移可以包含于城镇和乡村人口本身的变化之中，因而可以不予单独考虑.在此为了问题的简化，只需考虑人口的出生与死亡，而出生率死亡率又受到自然条件，国家政策以及人口素质的综合作用.再看看我国的实际人口变化情况：建国以后我国人口增长很快，1949年我国人口只有5.42亿，到2002年我国人口已增长到12.85亿，50多年净增长7.3
9、亿，年均增长率达16.7.从人口发展的过程来看，建国初期到20世纪70年代末，我国人口均以较高的速度增长.改革开放以后，虽然实行强有力的计划生育政策，大力控制人口增长，但由于人口基数大增长的惯性作用，80年代初期增长的速度依然较快.随着时间的推移，人口增长速度变缓，人口自然增长率缓慢下降，到2002年我国人口自然增长率在7%以下，实现了人口低速增长的目标.由此可见，一个国家和地区人口总人数的变化，不是哪么简单地随着时间呈线性、指数、对数或是某一固定的函数变化，而是在人为的和非人为的多种因素的综合作用之下，进行着较为复杂的变化.不过，通过对已有数据的分析和处理，不难发现其中的变化规律.第年的人数
10、应该等于第年的人数加上这一年净出生的人数再减去净死亡的人数.在这里以从整体到部分，逐步细化的方法进行求解.还有，通过对给出的中国人口统计年鉴中部分数据的分析，具有以下事实：（1）老龄化进程加速，老年人口数量多，老龄化速度快，高龄趋势明显.（2）出生人口性别比率持续升高,城、镇和乡人口性别比率都出现异常,农村失调程度更为严重.（3）人口在城、镇和乡地区的分布结构有所不同.（4）地区之间人口态势差异明显,城市生育水平降低,人口老龄化加剧，农村生育水平升高,人口自然增长率较高.（5）城镇化水平有所加剧.3、符号说明及模型假设3.1 符号说明年份年龄男性女性年岁区男性出生率年岁区女性出生率年区男性出生
11、率年区女性出生率年全国人口出生率年岁区男性出生总人数年岁区女性出生总人数年全国出生总人数年岁区女性死亡率年岁区男性死亡率年区男性死亡率年区女性死亡率年全国人口死亡率年岁区男性死亡总人数年岁区女性死亡总人数年全国死亡总人数年全国总人数年全国总人数3.2 模型假设(1)假设国际间的人口迁移对中国总人数影响很小，在计算中不考虑.(2)假设中国人口的正常年龄段为0到90岁，能够活到90岁以后的人非常少，相对总人口可忽略不计.(3)假设不考虑生存空间等自然资源的制约，不考虑天灾人祸等意外因素对人口变化的影响.4、模型的建立基于上述的问题分析，符号说明及模型假设，建立如下较为抽象的全国总人口数学模型： (
12、1)其中，表示第年的全国总人数，表示第年的全国总人数，表示第年的全国净出生的总人口数，表示第t年的全国净死亡的总人口数.为了问题解决的思路更加清晰简单，现以女性人口为例进行计算，男性人口的预测计算与此类似.参照(1)式，全国女性人口的模型方程可表述为： (2)又考虑到中国城镇与乡村人口结构的不同，分别建立城镇和乡村的女性人口变化模型： (3)下标取1和2，当时，表示计算城镇的女性总人数，当时，表示计算乡村的女性总人数.此外，为了预测的数据更加精确和科学，我们按不同的年龄段来分别加以计算.从而又有如下模型： (4)(4)式中的，表示年龄.从而有： （5）现在，最关键的问题是如何计算城镇和乡村每个
13、年龄段的女性净增长人数，净死亡人数以及净迁入的人数.根据人口出生率，死亡率以及迁移率的定义，只要知道了人口净增长率，净死亡率以及净迁移率，即可马上计算出人口净增长人数，净死亡人数和净迁移人数.就对城乡女性来说，算式如下：(6) (7) (8)至此，问题的核心在于如何计算净出生率，净死亡率及净迁移率.在问题的分析中已经说过，事物未来的发展状态完全以今天的为基础.所以，在通常情况下，利用已有的数据拟合出一个函数，然后再用这个函数计算未来的数据，这是一个比较简单且比较合理可行的方法.它对短期数据的预测具有较好的效果.而在拟合过程中不能简单的直接去拟合，应该采取一定的优化策略.具体拟合过程参见附录中的
14、MATLAB程序.根据以上的叙述，即得全国女性人口总数方程为： （9）用同样的方法可以得到全国男性人口总数： （10）综上所述，年全国人口总数方程为： （11）通过上述方法，同样可以研究中国人口的其它指标，比如男女比例、年龄结构老龄化程度、城镇化进程等.5、模型的求解及检验5.1模型的求解根据上一步建立的城镇和乡村男性与女性人口模型及求解思想，结合中国人口统计年鉴中提供的部分数据(参见附录1)，再通过Matlab编程预测近几年的中国人口发展状况，以便检验本模型的优劣，并采取一定的措施进行相应的改进，进而进行未来人口的预测.在具体的操作过程中，要对数据进行一定的优化处理.在这里选择一个比较简单的
15、优化方法：对三率分别进行拟合，拟合中选取最近的若干个数据点，依次舍弃离当前时刻最远的那个点，并且用在模型检验中预测出来的数据与实际数据的关系加以修正.现以城镇男性出生率为例进行说明，其方法为：2006年的男性出生率用2001年2005年的男性出生率进行拟合，2007年男性出生率用2001年2005年再加上刚才预测出来的2006年的男性出生率进行拟合，2007年男性出生率用2001年2005年再加上刚才预测出来的2006年和2006年的男性出生率进行拟合，依此类推.具体过程参见附录中的Matlab程序.5.2模型的检验不防在模型中代人1996年2000年的数据进行预测2001年2005年的数据，
16、所得结果如表1所示.地区年份城镇乡男女男女20012290262265413984993731042002247217242098400118375570200326015125774338047935602220042588092603443812863588652005383738380165477038461830表1城镇、乡村20012005年男女预测总人口(万人)而城镇、乡村20012005年男女实际总人口如下表所示：地区年份城镇乡男女男女2001229036226561398699373504 （续表）地区年份城镇乡男女男女20022547572422984005183757702
17、00326026125784338067935632220042588882605443815863588952005383798380465477338461860表2 城镇、乡村20012005年男女实际总人口(万人)对以上用本模型预测出来的结果与统计年鉴中给出的数据做一下比较，发现结果基本一致.这说明此模型可以对我国人口将来近几年的发展趋势做一个大概的预测.不过，这里值得注意的是通过搜集资料，发现只能查到2005年及以前的详细数据，故此时此刻我们虽然身处2008年5月，但在此以2005年作为预测的起点.6、预测结果与分析现在，我们要用以上模型和近几年的中国人口数据来预测将来若干年的我国人
18、口发展状况.在此代入2001年2005年的数据，预测一下我国未来50年的人口变化情况，结果如图1所示，相关程序参见附录2.图1是对我国今后50年全国总人口进行预测的示意图.此图说明我国人口在2030年左右达到峰值，大约在14上下.这大体上符合我国的基本国情和当前人口发展概况.一方面，要求有关人员对这一点有个大概的了解，以便进行对我国人口结构的发展状况进行更好的人工调控，另一方面，有关部门应该及早做好某些准备工作，比如，老年人养老保险，大学生就业等.图1 2005年2055年我国人口预测曲线应用此模型，再来看看我国城乡人数比重的变化情况.结果如图2所示，相关程序参见附录3.图2着重刻画了我国城镇
19、和乡村人口比重的变化情况，从图2中可以清楚的看到，在未来的几年中，我国城镇人口在总人口中所占的比例越来越大，这从侧面说明了工业化、城市化对乡村劳动力的吸纳，计划生育对人口增长的控制等因素，不仅使乡村人口的比重逐年递减，而且使乡村人口的数量开始下降.也就是说目前中国人口的城镇化进程正在加剧.城市人口的增长，乡村人口的减少，是中国现代化建设过程中的一件大事.它有利于降低人口对土地的压力，可以缓解人口、资源、环境之间的紧张状态.但城市化速度的加快，农村流动人口的大量外出，会造成村庄大面积的空壳化，这也会造成落后地区农村的迅速老龄化.所以国家也不能不重视这一现象.图2 2005年2055年我国城乡人数
20、比重预测曲线最后，再观察一下我国人口出生率与死亡率的发展变化情况，结果如图3所示，相关程序参见附录4.通过观察图3，发现我国人口出生率与死亡率都呈下降趋势.另外，近年来出生率下降的速率稍微快于死亡率，这一方面说明了我国的医疗技术、医疗保险、人民生活水平乃至国民经济有了很大的发展.另一方面，我国近几年来实行的计划生育等相关人口政策确实起到了很大的作用，它在一定程度上降低了我国人口的增长速率.还有，从理论上讲，出生率与死亡率相等之时，应该是人口数量达到峰值之时.所以，图3与图1进行了很好的吻合，因为据图1所示，2030年左右我国人口将会达到峰值，而在图3中，2030年左右我国人口出生率与死亡率大体
21、上相等.图3 2005年2055年我国人口出生率与死亡率预测曲线待添加的隐藏文字内容27、模型的评价7.1优点(1)本文针对我国人口现状，用最简单的数学方法和很科学的思想对中国人口总量、城乡人数比重比例以及中国人口出生率与死亡率进行了预测，所得结果与实际情况比较吻合，可以为相关部门制定政策提供一定的支持.(2)本文对预测所得的数据采用图表相结合，既能从直观反映人口的变化趋势，又能从理论上说明该现象.(3)该模型具有定量的计算方法，可在计算机上快速的进行运算.在实际应用的时候，只需输入相关参数，计算机即可动态的计算出相应数据并画出对应的示意图.所以用起来很方便，其中包含的思想很优美.（4）在建模
22、的具体过程中体现了一种很重要的哲学思想：部分之和大于整体.（5）该模型的最大优点在于对复杂问题进行了简单化计算.7.2缺点(1)利用统计数值本身不大准确，大部分是未经过统计得出的.(2)本文没有考虑移民的影响和港澳台的人口增长情况，而在实际中是必须考虑的.7.3以后的改进设想在本模型的实际计算中，对出生率等进行了简单的模拟，但其实上，还受男女比例，国际政策等多种因素的综合作用.因而应把这些因素也考虑进去，用这些因素实时修正每次的预测结果，这样的话我觉得预测效果将会更加理想.参考文献1 蒋辉.我国人口预测分析J.科技管理研究，2005，112 张立杰，商伟.人口模型及和硕县人口预测J.新疆工学院
23、学报，1998，19(2)3 龚跃，党宏.人口预测的模型与方法J.长春光学精密机械学院学报，1991，14（3，4）4 姜启源，谢金星，叶俊.数学模型M.高等教育出版社，20035 王金营，原新.分城乡人口预测中乡城人口转移技术处理及人口转移预测.J河北大学学报（哲学社会科学版），2007，32（32）附 录 11990-2005年中国大陆历年人口数据（单位：万人，%）年份总人数自然增长人数城镇人口数城镇人口数比重乡村人口数199011433316293015926.4184138199111582319403120326.9484620199211717113483217527.468499
24、6199311851713463317327.9985344199411985013333416928.5185681199512112112713517429.0485947199612238912683730430.4885085199712362612373944931.9184177199812476111354160833.3583153199912578610254374834.788203820001267439574590636.228083720011276278844806437.667956320021284538265021239.0978241200312922777
25、45237640.537685120041300007615428341.767570520051307567689621242.9974544年份乡村人口比重城市化速度出生率死亡率增长率199073.590.221.066.6714.39199173.060.5319.686.712.98199272.540.5218.246.6411.6199372.010.5318.096.6411.45199471.490.5217.76.4911.21199570.960.5317.126.5710.55199669.521.4416.986.5610.42199768.091.4316.576.5
26、110.06199866.651.4415.646.59.14199965.221.4314.646.468.18200063.781.4414.036.457.58200162.341.4413.386.436.95200260.911.4312.866.416.45200359.471.4412.416.46.01200458.241.2312.026.395.89200557.011.2311.846.375.91以上数据来自中国人口统计年鉴附 录 2clci=input(你想预测今后(从2005年开始)多少年的中国大陆人口数据？请输入参数：);while i0 disp(历史还需要预测
27、吗？请您重新输入大于0的数字：) i=input(); endif i=0 plot(2005,d1(16,2),*)else y(2)=d1(12,2); y(3)=d1(13,2); y(4)=d1(14,2); y(5)=d1(15,2); n=d1(12:end,2); for k=5:i+5 x=k-4:k; y=y(2),y(3),y(4),y(5),n(end); p=polyfit(x,y,2); n(k+1)=polyval(p,k+1); end t=2005:2005+i; plot(t,n(6:end),*-) str1=2005年到; str2=num2str(i+2
28、005); str1=strcat(str1,str2); str2=年(总共; str1=strcat(str1,str2); str2=num2str(i); str1=strcat(str1,str2); str2=年)中国大陆人口总数预测曲线; tstring=strcat(str1,str2); title(tstring) xlabel(时间单位：年); ylabel(人数单位：万);end附 录 3clci=input(你想预测今后(从2005年开始)多少年的中国大陆城乡人数比重变化数据？请输入参数：);while i0 disp(历史还需要预测吗？请您重新输入大于0的数字：)
29、i=input(); endif i=0 plot(2005,d1(16,4),h,2005,d1(16,6),d)else ycr(2)=d1(12,5); ycr(3)=d1(13,5); ycr(4)=d1(14,5); ycr(5)=d1(15,5); yvr(2)=d1(12,7); yvr(3)=d1(13,7); yvr(4)=d1(14,7); yvr(5)=d1(15,7); ncr=d1(12:end,5); nvr=d1(12:end,7); for k=5:i+5 x=k-4:k; ycr=ycr(2),ycr(3),ycr(4),ycr(5),ncr(end); yv
30、r=yvr(2),yvr(3),yvr(4),yvr(5),nvr(end); pcr=polyfit(x,ycr,2); pvr=polyfit(x,yvr,2); ncr(k+1)=polyval(pcr,k+1); nvr(k+1)=polyval(pvr,k+1); end t=2005:2005+i; plot(t,ncr(6:end),h,t,nvr(6:end),d) axis(2005,2055,10,100); legend(表示乡村,表示城镇); str1=2005年到; str2=num2str(i+2005); str1=strcat(str1,str2); str2=
31、年(总共; str1=strcat(str1,str2); str2=num2str(i); str1=strcat(str1,str2); str2=年)中国大陆城乡人数比重预测曲线; tstring=strcat(str1,str2); title(tstring) xlabel(时间单位：年); ylabel(x%);end附 录 4clci=input(你想预测今后(从2005年开始)多少年的中国大陆人口出生率与死亡率变化数据？请输入参数：);while i0 disp(历史还需要预测吗？请您重新输入大于0的数字：) i=input(); endif i=0 plot(2005,d1(
32、16,9),h,2005,d1(16,10),d)else yb(2)=d1(12,9); yb(3)=d1(13,9); yb(4)=d1(14,9); yb(5)=d1(15,9); yd(2)=d1(12,10); yd(3)=d1(13,10); yd(4)=d1(14,10); yd(5)=d1(15,10); nb=d1(12:end,9); nd=d1(12:end,10); fobd k=5:i+5 x=k-4:k; yb=yb(2),yb(3),yb(4),yb(5),nb(end); yd=yd(2),yd(3),yd(4),yd(5),nd(end); pb=polyfi
33、t(x,yb,1); pd=polyfit(x,yd,2); nb(k+1)=polyval(pb,k+1); nd(k+1)=polyval(pd,k+1); end t=2005:2005+i; plot(t,nb(6:end),h,t,nd(6:end),d) axis(2005,2055,0,50); legend(表示出生率,表示死亡率); stbd1=2005年到; stbd2=num2stbd(i+2005); stbd1=stbdcat(stbd1,stbd2); stbd2=年(总共; stbd1=stbdcat(stbd1,stbd2); stbd2=num2stbd(i); stbd1=stbdcat(stbd1,stbd2); stbd2=年)中国大陆人口出生率与死亡率的预测曲线; tstbding=stbdcat(stbd1,stbd2); title(tstbding) xlabel(时间单位：年); ylabel(x%);end
