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1、优先级多目标稳定化约束模型预测控制何德峰，宋秀兰，俞立（浙江工业大学信息工程学院，杭州 310023）5摘要：针对目标函数的不同优先级问题，提出一种约束多变量线性定常系统的稳定化多目标 模型预测控制策略。基于多目标优化理论，给出了多目标预测控制问题的字典序最优解结果。在此基础上，考虑目标函数的优先级，重新定义多目标预测控制问题为字典序多目标预测控 制问题。最后采用终端约束、终端罚函数和局部状态反馈等三要素法，证明了多目标预测控10制闭环系统是渐近稳定的。关键词：模型预测控制；优先级；多目标控制；稳定性；字典序规划中图分类号：TP273Stabilizing Constrained Model
2、Predictive Control with15Prioritised Multi-ObjectivesHE Defeng, SONG Xiulan, YU Li(School of Information Engineering, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310023) Abstract: Aiming to the different prioritization problem of objective functions, the paper presents a multi-objectives model predi
3、ctive control scheme with guaranteed stability for constrained20multi-variables linear invariant-time systems. Some results on lexicographic optimal solutions on the multi-objectives predictive control problem are given based on the multi- objectiveoptimization theory. Then the multi-objectives pred
4、ictive control problem is re-defined as lexicographic one that is able to deal with the different prioritization of objective functions. Finally the method of terminal constraints, terminal penalty functions and local state feedback is25used to prove the asymptotical stability of the multi-objective
5、s predictive control closed- loop system.Key words: model predictive control; prioritization; multi-objective control; stability;lexicographic programming300引言模型预测控制(Model Predictive Control, MPC)具有统一处理系统约束、性能指标优化和 多变量控制问题的能力，在过程、机械和航天等领域获得了广泛的成功应用1-3。在预测控 制器设计中，性能指标即目标函数是必不可少的要素之一，通常用来表征控制系统的性能， 如超
6、调量、调节时间和稳态误差等。然而，随着控制系统及其功能的复杂化，性能指标除常35见的设定值目标外，还有如生产效率、节能降耗和控制量约束等经济性目标。这些目标函数 具有不同的重要程度（即优先级），同时缺乏统一的度量标准（即目标不可公度）和一定的 冲突性（即目标矛盾性）4-5。因此，多目标预测控制成为了近年来先进控制理论与应用研 究的热点课题。当前，处理多目标预测控制问题的一种主要方法是函数加权法1,3,6，即通过权系数将多40目标控制问题转换为单目标问题，并以权系数的大小表示目标函数的相关重要性。但目前并 没有完整的权系数调整规则，需要在实际应用中试凑确定。虽然函数加权法设计简单，但权 系数无法
7、显式处理各目标函数的优先级、目标不可公度和冲突等问题。为此，近年来国内外基金项目：国家自然科学基金(No.60904040)和高等学校博士点专项科研基金(No.20093317120002) 作者简介：何德峰（1979-），男，博士，副教授，主要研究方向：模型预测控制，复杂系统先进控制与优 化. E-mail: hdfzj相关学者提出了新的多目标预测控制策略。例如，文7将多目标预测控制问题转换为一离线计算目标函数加权系数问题，进而将多目标控制问题转换为单目标问题；进一步，文845给出了多目标线性预测控制闭环系统的稳定性结论和多参数规划计算方法；文9-12将各目 标函数的优先级表示为一混合逻辑整
8、数规划问题，通过整数规划算法，在线计算多目标预测 控制量；文13,14采用目标函数在线切换方法，设计多目标预测控制器。这些方法可以有效 处理多目标预测控制问题，但当系统运行模式和目标函数及其优先级发生变化时，这些方法 都需要重新设计相应优化参数。显然，这需要高级人员参与操作完成，控制系统无法自行完50成控制器组态更新。 近年来，针对多目标函数广泛存在的优先级、不可公度性和冲突性问题，文15在模块多变量控制16的基础上提出了字典序多目标 MPC 策略，并成功应用于加热炉等过程控制 17,18。进一步，文19总结现有性能指标、约束及其不可行问题，给出了更一般性的字典序 多目标 MPC 策略。基于此
9、策略，文20给出了城市污水处理系统的多目标预测控制器设计。55但现有字典序多目标 MPC 侧重于应用研究，缺乏对稳定性和鲁棒性等理论性质的分析。据 笔者所知，目前还没有相关字典序多目标 MPC 稳定性和鲁棒性等理论成果的报道。然而， 稳定性是闭环控制系统的基本理论性质之一，也是控制器能有效运行的基本条件。因此，非 常有必要研究字典序多目标 MPC 闭环系统的稳定性问题。本文考虑多变量离散时间线性定常系统，针对优化目标函数的不同优先级问题，提出一60种稳定化多目标约束预测控制策略。采用多目标优化理论，定义多目标预测控制问题的字典 序最优解21。在此基础上，考虑各目标函数的优先级，重新定义多目标预
10、测控制问题为字 典序多目标预测控制问题。进一步，采用 MPC 稳定性理论中的终端约束、终端罚函数和局 部状态反馈“三要素”法22，给出了多目标预测控制闭环系统渐近稳定的充分条件。1问题描述与预备65考虑多变量离散时间线性定常系统x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t),t = 0,1,2,.(1)其中，xRn 为状态变量，uRm 为控制变量，ARnn 和 BRnm 为常数矩阵。系统状态变量 和控制变量满足如下约束：x(t) X ,u(t) U ,t = 0,1,2,.(2)70其中，子集 XRn 和 URm 是凸的多面体集，且包含系统原点。假设系统(1)的状态是完全能 控、能观的。对于
11、系统(1)，给定 l 个不同优先级的目标函数J (t ) = J1 (t ), J 2 (t ),L, J l (t )iiNN -1k = 0 ikk(3)J (t ) = E ( x ) +L ( x , u), i = 1,L, l其中下标小的目标优先级高，即对下标 ij，目标 Ji 优先级高于目标 Jj；整数 N1 为预测时75域；Ei(x)为终端罚函数；函数 Li(x,)、Li(,u)和 Ei(x)分别是各自变量的正定函数。假设式(3)中各优化子目标 Ji, (i=1,l)具有不同的优先级，则多目标预测控制问题定义如下：min J (t) = J1 (t), J 2 (t),.,J
12、l (t)u ( N ;t )(4a)s.t. x(k + 1 | t) = Ax(k | t) + Bu(k | t),x(k + 1 | t) X ,u(k | t) U ,(4b)x(0 | t) = x(t),k = 1,L, N - 1其中，x(t)为当前 t 时刻的初始状态值；x(i|t)和 u(i|t)分别为当前 t 时刻对未来 t+i 时刻的80状态变量和控制变量的预测值；u(N;t)RmN 为当前 t 时刻优化序列，即u( N ;t) = u(0 | t), u(1 | t),L, u( N - 1 | t).(5)极小化每个目标函数，若多目标优化问题(4)可行，即式(5)存
13、在，则根据滚动优化原理定义 预测控制器为umpc (t) = u(0 | t)* ,t = 0,1,2,L(6)85下面结合多目标优化理论21，对多目标预测控制问题(4)定义如下基本概念定义 1：对于优化控制问题(4)，如果优化序列 u(N;t)RmN 及其驱动的闭环系统满足约 束(4b)，则 u(N;t)称为该优化问题的一个可行解。定义 2：给定优化控制问题(4)的一个可行解 u(N;t)*，如果对任意其他可行解 u(N;t)，使 得不等式90( ) |(; )* ( ; ) = L(7)成立，则 u(N;t)*称为该优化问题的最优解。显然，求解多目标优化控制问题(4)的最优解是很困难的，而
14、且当子目标函数之间有冲突时，最优解可能不存在。因此，对于优化控制问题(4)来说，通常没有绝对的或唯一的最 优解。95定义 3：给定优化控制问题(4)的一个可行解 u(N;t)*，如果不存在其他可行解 u(N;t)，使 得不等式J (t) | J (t) |* , i = 1,L, l(8)iu( N ;t )iu( N ;t )100105成立，且不等式组中至少有一个严格的，则 u(N;t)*称为该优化问题的一个有效解，即 Pareto最优解。由定义 3 可知，一个可行解 u(N;t)成为 Pareto 最优解当且仅当目标函数 Ji 极小化的同时 至少有一个其他目标函数 Jj,(ij)非极小化
15、。因此，多目标优化控制问题(4)的 Pareto 最优解 总是存在，且不唯一。然而我们在应用中很难确定更有效的 Pareto 最优解，因为 Pareto 最 优解对应的最优值函数是不唯一的。定义 4：给定优化控制问题(4)的一个可行解 u(N;t)*，如果不存在其他可行解 u(N;t)和标 量 i*=mini: Ji(t)|u(N;t) Ji(t)|u(N;t)*, i=1, l，使得不等式J * (t) | (; ) J * (t) | ( N ;t )*(9)i u N t i u110成立，则 u(N;t)*称为该优化问题的一个字典序最优解，简称字典序解。由定义 4 可知，一个可行解 u
16、(N;t)成为字典序最优解当且仅当目标函数 Ji 极小化的同时 至少有一个其他更高优先级的目标函数J1, J2, Ji-1非极小化。因此，字典序最优解本质上 是一个考虑了各目标函数优先级的 Pareto 最优解，从而字典序最优解总是存在的，且对应的 最优值函数是唯一的6,19,21。下面结合多目标优化理论，给出多目标预测控制字典序最优解相关结论。*引理 1：向量 J*(t)=J1 (t), J2 (t), Jl (t) 是优化控制问题(4)的字典序最优值函数，当且仅当如下等式115J * (t ) = min J (t ) : (4b),1u ( N ;t )1J (t ) : (4b), J
17、(t ) J * (t ), (10)iJ * (t ) = min ijj.u ( N ;t ) j = 1,L, i - 1成立，i=2,l。此时，可行解 u(N;t)*是优化控制问题(4)的一个字典序最优解，当且仅当如 下条件J (t) : (4b), J(t) J * (t),u( N ;t)* arg min l u ( N ;t ) 或j jj = 1,L, l - 1 (11)u( N ; t) RmN : (4b), J(t) J * (t), 120成立。u( N ; t)* j jj = 1,L, l (12)引理 2：考虑系统(1)及凸约束(2)，如果各目标函数 Ji,(
18、i=1,l)是严格凸的，则多目标 预测控制问题(4)的字典序最优解是唯一的。进一步，如果 J1 是严格凸的，则字典序最优解*u( N ;t)= arg minJ1 (t) : (4b) .(13)u ( N ;t )125否则，如果 Ji,(i=2,l)是严格凸的，则字典序最优解J (t) : (4b), J(t) J * (t),u( N ;t)* = arg min i u ( N ;t ) j jj = 1,L, i - 1 (14)注 1：为保证每个目标函数都能优化计算，凸的目标函数通常需要设置为最低优先级目 标；否则，由凸规划问题解的唯一性和引理 2 可知，比其优先级低的目标函数将不
19、再作优化 计算。此外，为提高多目标问题计算效率，通常将式(14)修改为J (t ) : (4b), J(t) J * (t) + e ,130u( N ; t)* = arg min i u ( N ;t ) j j jj = 1,L, i - 1 (15)135140其中，常数 j0 为松弛变量。 在实际控制系统中，各目标函数的不同优先级通常是给定的，且具有一定的矛盾性。所以，本文目的是结合字典序最优解概念，在线极小化多目标预测控制问题(4)中各个目标函 数，建立多目标模型预测控制器(6)，使得闭环系统(1)和(6)是渐近稳定的，且满足系统约束 (2)。2稳定化多目标预测控制考察系统(1)及
20、多目标预测控制问题(4)，作如下假设：假设 1：对目标函数 Ji,(i=1,l)，系统(1)存在一个非空的原点邻域 X 及其定义在 上状态反馈控制律 u=Kx，使得如下条件(16)成立。Ei ( A + BK) x) - Ei ( x) + Li ( x, Kx) 0,(16)( A + BK) x W,Kx U ,x W,i = 1,L, l注 2：条件(16)为单目标预测控制稳定性理论中常用条件。显然，当系统(1)是自稳定系 统，可取 K=0。进一步，如果 Ji,(i=1,l)是二次型函数，则可用线性矩阵不等式方法求解 K 和 。显然，集合 非空，且包含原点。引理 322：考虑单目标 MP
21、C 优化问题N -1u ( N ;t )ii N k =0 i k k145m i nJ (t ) = E ( x ) +L ( x , u )s.t. x(k + 1 | t) =f ( x(k | t), u(k | t)x(k + 1 | t) X ,u(k | t) U ,x(0 | t) = x(t),k = 1,L, N - 1150x(k + N | t) W如果三要素（Li, Ei, ）满足如下条件：1）集 X 是局部控制律 Kl(x)的一个正不变集合， 且原点是其内点；2）Kl(x)U，x；3）函数 Ei(x)为局部闭环系统的一个 Lyapunov 函数， 即对xEi ( f
22、 ( x, Kl ( x) - Ei ( x) + Li ( x, Kl ( x) 0成立。则对应预测控制闭环系统原点渐近稳定。在假设 1 成立条件下，考虑目标函数的不同优先级，结合引理 1 和 2 的结论，重新定义 多目标预测控制问题(4)如下：*J1 (t) = minJ1 (t) : (4b), x( N | t) W,u ( N ;t )J 2 (t) : (4b), x( N | t) W,(17a)155J * (t) = min , (17b)2u ( N ;t )J (t) J * (t) 1 1 J l (t ) : (4b), x( N | t ) W,.J * (t )
23、= min J (t ) J * (t ), (17c)l u ( N ;t ) j j j = 1,L, l - 1 *160165其中，集 称为终端状态约束集，Ji (t)为各层优化问题的最优值函数，i=1,l-1。相比于原多目标预测控制问题(4)，问题(17)将具有 l 个不同优先级的多目标优化定义为 l 层单个目 标优化，并在第 i 个目标优化中考虑第1,i-1目标的优先级，从而可以显式处理各目标函 数的优先级约束。特别地，当多目标预测控制问题(17)在初始时刻 t=0 优化可行时，预测控 制器(6)具有迭代可行性和稳定性结论。j定理 1：如果假设 1 成立，则第一层优化问题(17a)
24、在 t 时刻优化可行意味着多目标预测 控制问题(17)在 t+1 时刻也是可行的，即存在一个可行解 u(N;t+1)满足约束(4b)、终端约束 x(N|t+1) 和优先级约束 JjJ *, j=1,l-1。证明：为证明定理成立，需要得到如下两个结论，即第一层优化问题(17a)可行意味着第 i 层优化问题可行，i=2,l；第一层优化问题(17a)在 t 时刻优化可行意味着其在 t+1 时刻 也是可行的。1）设 u(N;t) =u(0|t), u(1|t), u(N-1|t)为第一层优化问题(17a)在 t 时刻的一个可行解， 则约束(4b)和终端约束 x(N|t) 满足。再考虑第 i 个目标函数
25、及其优化问题（i=2,l）J (t) : (4b), x( N | t) W, J(t ) J * (t ),170min i u ( N ;t ) jj = 1,L, i - 1j .(18)将 u(N;t)代入上述优化问题，则约束(4b)、x(N|t) 和 Jj=Jj*成立（j=1,i-1），即 u(N;t)为 第 i 层优化问题(18)的一个可行解。考虑到 i 的任意性，可得第一层优化问题(17a)可行意味 着后续各层优化问题都是可行的。2）考虑第一层优化问题(17a)及其在 t 时刻的一个可行解 u(N;t) =u(0|t), u(1|t),175u(N-1|t)。令u( N ;t +
26、 1) = u(1 | t),L, u( N - 1 | t), Kx( N )(19)180185则考虑假设 1 成立，由引理 3 可得，控制序列(19)是优化问题(17a)在 t+1 时刻的一个可行解。 综上，对于多目标预测控制问题(17)，当第一层优化问题(17a)在 t 时刻优化可行，则优化问题(17a)在在 t+1 时刻也是可行，从而第 i 层优化问题在 t+1 时刻可行（i=1,l-1），即 多目标预测控制问题(17)在 t+1 时刻可行。证毕.定理 2：如果假设 1 成立，且第一层优化问题(17a)在初始时刻 t=0 优化可行，则预测闭 环系统(1)和(6)是渐近稳定的。证明：结
27、合假设 1 和定理 1 结论可知，多目标预测控制问题(17)在所有 t 时刻都是优化 可行的。令 u(N;t)= u(0|t), u(1|t), u(N-1|t)优化问题(17)在 t 时刻的一个可行解，则 t+1 时 刻的一个可行解取为序列(19)。考虑预测闭环系统(1)和(6)，定义候选 Lyapunov 函数如下：l *V ( x(t) = i=1 J i (t)*(20)其中，Ji (t)为优化问题(17)第 i 层优化问题的最优值函数。考虑到目标函数 Ji 的正定性，可得函数 V(x)也是正定的。进一步，当假设 1 成立时，由引理 3 可得，190J * (t +1) - J * (
28、t) -L ( x(t),u(t)mpc ) 0(21)i i j195200205再对函数(20)沿闭环系统轨迹做差分运算，并代入式(21)后整理可得，V(x(t+1)-V(x(t)0， 即函数 V(x)是预测闭环系统(1)和(6)的一个 Lyapunov 函数，从而预测闭环系统(1)和(6)是渐 近稳定的。证毕.下面给出具有优先级目标的稳定化约束预测控制器设计步骤：1） 给定控制器设计参数(N, Li(x,u), Ei(x)；2） 根据控制要求，定义各目标函数 Ji 的优先级；3） 利用条件(16)，离线求解矩阵 K 和集合 ；4） 在 t 时刻，以 x(0|t)=x(t)为边界条件，在线
29、求解多目标优化问题(17)，得当前预测控 制量 u(t)mpc；5） 将 u(t)mpc 作用于系统(1)，并在下一个采样周期时令 t=t+1，返回第 4）步。3结论对多变量离散时间线性定常系统，本文提出了一种能显式处理目标函数优先级的稳定化 约束预测控制策略。这种策略基于多目标预测控制问题的字典序最优解概念定义，并应用 MPC 稳定性理论中的终端约束、终端罚函数和局部状态反馈“三要素”法，证明了多目标 预测控制闭环系统是渐近稳定的。参考文献 (References)2102151 Qin S J, Badgwell T A. A survey of industrial model pred
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