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1、2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名
2、号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2010 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文是与储油罐的变位识别与罐容表标定相关的数学问题。问题一中，我们运用高等数学中的微元的思想，分别建立了储油罐在变前位
3、、变位后的数学模型，并对其求解，得出变位前与变位后，在相同油高下，间隔为1cm的罐容表标定值（详见39页）。油体高度变位后的体积变位前的体积121.6016.1718222.2024.46211093658.103786.66201103687.703809.9516通过对变位前、变位后标定值的对比，在时得出倾斜对罐容表的影响为：倾斜之后的油罐，油体体积的标定值在任意高度下都要比倾斜之前标定体积要小。当储油罐内装油过多或过少时，倾斜对油体体积的标定值影响较小；当储油罐内油面深度接近罐体中线时影响最大。问题二中，储油罐发生纵向变位的同时还发生横向变位。通过几何分析找出倾角、偏角与油体高度间的函数
4、关系。按照问题一中的分析方式，利用微元法得到体积与深度、纵向倾角和横向偏角的关系式，但方程比较复杂，不能够得到解析解。因此我们采用近似算法，找出相邻油层间的体积，利用最优化理论得到、的最优解，再将代入上述关系式中求解，即得到罐体变位后油位高度间隔为的罐容表标定值。(详见41页)高度标定值高度标定值403.68183626058.4239505.41510627060.2533607.35832928061.851我们用和高度算出体积，计算出理论出油体积，与实际出油体积作对比，算出相对误差均值在0.1%左右，证明我们模型的准确性较高。最后，我们用蒙特卡洛法对模型中的高度进行扰动时，发现对高度添加
5、一个服从正态分布随机扰动值时产生的相对误差与的值产生的相对误差在一个数量级。从而证明了我们所建立的模型具有较好稳定性。一、问题重述（略）二、问题分析加油站的地下储油罐通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高和储油量的变化情况。罐体发生变位后会发生纵向倾角和横向偏角，影响油浮子的位置，致使读出的油位高度与实际高度不符，从而导致罐容表发生改变。通过对附表1数据的分析，可以看出进油曲线和出油曲线完全重合，即没有漏油存在，且流量计读数完全正确。我们不考虑温度、压力及不计浮盘上下浮动对罐内油量体积的影响，但要考虑到油罐内有注油管道和出油管道（未达油罐底部）以
6、及油位探测管道（焊接至油罐底部），会占一部分体积。考虑到在实际情况中，压力及温度对油罐变形的影响，为确保安全储油罐不可能完全装满，也不可能在油量很少的情况下供油，且储油罐的变位不可能很大，纵向倾角和横向偏角都在小范围内。简化的储油罐如下图，我们只考虑在油量在阴影部位的情况。 简化的储油罐2.1对问题一的分析：我们首先找出油罐倾斜前、倾斜后体积与倾角，高度间的函数关系，然后通过互相对比得出倾角对罐容表的影响程度。未倾斜的油罐：如图：对于横截面为椭圆形的储油罐，封闭的罐体内油面为水平面，在统一的坐标系下，油罐内处处油体深度相等，且处处横截面面积相等。只需计算出任一截面面积，并对其长度方向积分即可求
7、出体积。通过得到的体积与高度间的关系式，即可得到任意高度时储油罐中的理论储油量。但实际中储油罐内含有输油、进油管道等其他影响油体体积的因素。其标定值可能不等于理论值。我们通过修正得到它们之间的差值，从而找到正确的标定值。倾斜的油罐：罐体纵向倾斜时，油深不再是处处相等，各截面面积也此时倾角、油体高度对体积都有影响。我们打算通过微元法建立他们的函数关系，对其进行积分求解。同样找出修正值，从而得出油罐倾斜时的正确标定值。2.2对问题二的分析：附件2中给出的数据是在倾角和偏角同时影响下的实际检测数据。同时考虑倾角和偏角对罐容表标定的影响，为了简化数学建模的求解，我们分为两步求解，为此我们首先考虑横向偏
8、转的情况，找出偏转之后油体的实际高度与读数高度、偏转角之间的函数关系。将读数高度用偏转角和油体实际高度的函数表达，即建立：这样既可将偏转后实际油体高度转为读数高度，再考虑纵向变位时，就可将问题转化为问题一的情况。从而得到的关系式。但问题二中的储油罐的主体是圆柱体，两端为球冠体。这就使得建立积分方程比较复杂，无法得出解析解。我们采用两种方法来解决这个问题。1. 对积分方程进行数值解；2. 采用近似法求得两油层间体积的近似解，步骤如下：1）首先找出液面所在的截面面积与高度、变位角度之间的函数关系；2）取上下两层距离为的两油层，相邻高度的体积可以用一个近似柱体来代替，其计算公式为：表示上层油面面积，
9、表示下层油面面积，表示两油层间的间距 3）由题中所给数据，得到相邻高度间的采集出油量，用最小二乘法思想建立优化模型，可得到的估计值。把高度h、代入积分函数，便可以算出任意高度体积。从而给出油位高度间隔为的罐容表标定值。相比之下，第二种方法比第一种方法更易编程实现，因此我们采用第二种方式进行建模。三、模型假设1、流量计所测数据准确；2、储油罐为刚体，即油罐不会变形3、忽略因温度变化而对油体容积的影响；4、不计油品的静压力作用而引起得油体的膨胀和收缩的容积；5、油浮子与标尺为点接触，不会因为油浮子影响油体体积；6、罐体发生变位时纵向倾角的取值范围为，横向偏角的取值范围为四、符号说明-出油罐内油体的
10、读数高度-油体的实际高度-椭圆的长半轴-椭圆的短半轴-储油罐的长度-按照读数高度得出的油罐内油体体积-纵向倾角-横向偏角-椭圆横截面面积-两相邻为的油层间的体积-上层油面面积-下层油面面积-两油层间的间距-真实体积部分变量在使用时说明 五、模型的建立与求解5.1问题（一）微分方程模型5.1.1油罐未变位时的模型根据对前面对问题一的分析，首先建立了未变位时，储油罐内油量与油位高度的数学程模型1。建立如图5.1的坐标系，设油罐内液面高度为，为恒定值；椭圆的长半轴为,短半轴为，xyh简化小椭圆储油罐AAAA图5.1椭圆轨迹方程为： (5.1)对半弓横截面（阴影部分）进行积分得出面积： (5.2)由（
11、1）式得出为： (5.3)将(3)式代入（2）式得： (5.4)积分后可得： (5.5)面积再乘以长度即为体积： (5.6)其中，半弓椭圆横截面面积，表示油罐长度，表示油罐内油体体积。代入已知值以及变值，用求解得出结果部分见表1，详见附录1。累加进油量/L实际累加体积/L油位高度/mm油高/m计算体积/m3实际体积/m3差值50312159.020.159020.322882590.3120.01088259100362176.140.176140.3746330340.3620.012633034365739191152.361.152364.0556137683.918910.136703
12、768370739691193.491.193494.1073621283.968910.138452128累加出油量/L实际累加体积/L油位高度/mm油高/m计算体积/ m3实际体积/ m3差值52.7239161150.721.150724.0527979523.916190.136607952102.738661123.991.123994.0010492213.866190.1348592213653316.2160.480.160480.327208490.316190.011018493703266.2142.620.142620.2754733340.266190.0092833
13、34表1注：实际累加体积是在罐内油量初值的基础上累次加上每次进油量得出，计算体积是按照上述函数式（5）代值求解的。不考虑其他任何影响因素的情况下，油深应该与高度的关系为（6）式所得积分值。则计算体积应该与实际体积相等，没有差值产生。但由结果可见计算体积与实际体积之间有差值。对题中所给附件1中数据分析可知，储油罐在13:20以前一直不间断进油，储存油量到达最高值，之后一直出油，油量减到最低值。差值按照先增后减的趋势排列。我们考虑差值与油深间存在着对应关系，利用拟合函数找出它们间的关系式： （5.7）并求出相关系数，相关系数越接近1，说明线性关系很强。将计算值减去差值得出正确值，该值与真实值十分贴
14、近。这也验证了我们前面的分析，即不可忽视油罐内的注油管道和出油管道（未达油罐底部）以及油位探测管道（焊接至油罐底部）占去的体积。图5.2 出油量和进油量误差排序后的拟合曲线算出的油体体积与真实值不符，它们之间有一个差值即真实体积=计算体积-差值，联系（6）（7）式：根据此式可计算出未变位时，油位高度间隔为的罐容表标定值（见表2详见附录4）：h（m）V/m3v（L升）0.010.01617216.171750.020.02446224.462110.030.03554535.544591.073.7370553737.0551.083.7623433762.3431.093.7866623786
15、.6621.13.8099523809.952表2 未倾斜时罐容表标定值5.1.2 油罐发生纵向变位时的模型： 图5.3建立如图5.3的三维坐标。设通过油位计读出的油深为；某一微小截面处油深为，值不恒定，随着油深改变；已知椭圆的长半轴为；短半轴为；油罐逆时针变位纵向倾角。如图5.3在区间内任意去某一处微小段，同时用与底面平行的平面与液体面相截，得到图中阴影部分微元面积元的体积： (5.8)由上述（5）中推出的弓形面积共识式可知： (5.9),之间的几何关系见下图, 为已知数据：fdZhh (5.10)联立（7）（8）（9）式得： (5.11)对上式进行积分: (5.12)再代入各项已知数据，利
16、用MATLAB求出结果如下表。由于篇幅有限，在此仅列出部分结果（见表3），详见附录5。累加进油量（升）油位高度实际体积计算体积实际与计算体积的差值747.86411.29962.861.01000.0472797.86423.451012.861.05830.04553297.731034.243512.733.5694574790.05673299.741035.363514.743.5732283220.0585累加出油量（升）油位高度实际体积计算体积实际与计算体积的差值501020.653464.743.5231136560.05837371001007.733414.743.47808
17、72070.06334722500425.831014.741.0678373580.05309742550411.73964.741.0117861410.0470461表3由（11）式就可得出倾角为时，小椭圆储油罐在不同高度下的计算体积。同样，油罐倾斜时的计算体积与实际体积间仍有差值，差值=计算体积-实际体积。实际体积是在罐内油量初值的基础上累次加上每次进油量得出，计算体积将值代入函数式（11）中求出的。同样按照5.1.1的方法将差值按照先增后减的趋势排列（见附录6），油罐倾斜时的差值与读数高度同样存在对应关系。利用MATLAB拟合工具箱CFTOOL对差值和高度进行分析（程序代码见附录7）
18、，得出差值与油面深度呈非线性关系为（见图5.4）： （5.13） ,拟合度好。图5.4利用函数式（11）计算出的油体体积与真实值不符，它们之间有一个差值即：真实体积=计算体积-差值 （5.14）按照题目要求即可得到油位高度间隔1cm的罐容表标定值（见表3，详见附录8）：h(cm)h（m）v（m3）v(L升)180.180.2136213.6190.190.2378237.8200.200.2630263.01071.073.59653596.51081.083.62773627.71091.093.65813658.11101.103.68773687.7表3 倾斜之后的罐容表标定值说明：标定
19、高度范围在之间。原因：由前面的假设，纵向倾角和横向偏角都,讨论极限情况，即油体液面刚好位于线处，假设这时的倾角为最大值。几何关系见图5.5f图5.5为已知数据，则则油面深度的标定区间为。5.1.3倾斜前后罐容表标定值比较（详细见附录8）：油体高度未倾斜时罐容表标定值倾斜之后的罐容表标定值同等高度下倾斜与未倾斜油量差值）0.0116.1717521.6-5.40.0224.4621122.22.30.0335.5445923.811.71.083762.3433627.7134.61.093786.6623658.1128.61.103809.9523687.7122.3利用Excel对同等高度
20、下变位前后的油体体积差值进行处理，并生成图形：图5.6（实线为变位后的体积，虚线为变位前的体积）图5.7由数据和图5.6可以看出倾斜之后的储油罐，油体体积的标定值在任意同等高度下都要比倾斜之前标定体积要小。从图5.7可以清楚的看到，当储油罐内装油过多或过少时，倾斜对油体体积的标定值影响较小；当储油罐内油面深度接近罐体中线时影响最大。5.2问题（二）数学模型Z5.21微元法求出函数关系如图：在此问题中，油罐的形状可以看成是两个圆的部分体积与圆柱体体积之和组成，因此可以按液面在水平面的投影分为三个区间处理。 第部分（由液面围成的左边圆球部分）建立如图坐标系，以为坐标远点，同样采用微元法求解体积，由
21、公式（5）知道弓形面积仍然是：其中为圆柱体的半径值，为弓形截面水深高度，两者均是变值；定性分析，在第一部分的区间内，随着Z值的增大，R增大，有勾股定理得：其r为圆球体的半径值，是已知值；与测量水深的之间有几何知识推导出；综上所叙，可以的到第一部分的水容量的几分方程式：第部分（由液面围成的圆柱体部分）第二部分以为圆心，分析方式与问题以中发生变位时相同；为一确定值（圆筒的半径）第部分（由液面围成的右边圆球部分）第三部分以为圆心，向Z轴负方向积分，整个推到过程和第一部分相似，以下部分分析省略；则 （5.2.1）从而得到5.22优化模型求我们打算用优化模型求解参数，这需要体积关于的显示函数关系式，这由
22、于上面对体积的积分没有解析解 ，无法得到他们的具体函数关系，我们用其他方法得到体积和的函数关系。数据中给出的每次出油高度变化很小，可以把减少的体积当做一层薄油膜，油膜的体积即出油量，我们可以用柱体来替代油膜，从而用柱体体积近似出油量，这里我们的柱体面积也是高度的函数，所以油膜体积可以用高度、倾角和偏角表示出来。 这首先找出油面面积与各参数之间的函数关系：当罐体被油面截开后的形状为两端为圆形的一部分，中间为椭圆形的一部分。则油面面积 （5.2.2）图5.9求出的面积：由图5.9，几何关系如下：由勾股定理得：由投影关系知：由弓形面积 圆弧面积三角形面积得: (5.2.3) 同理求出的面积：(5.2
23、.4)下面求解的面积：OYXabh为如图椭圆面积的一部分；椭圆面积则 椭圆长轴：椭圆短半轴：由图中阴影部分面积对Y轴积分得面积 同理得到面积 (5.2.5)其中联立(5.2.2) (5.2.3)(5.2.4) （5.2.5）得到油面面积与高度、纵向倾角和横向偏角的函数关系式：即 优化模型： 由于可以把油膜近似为柱体，和对面积表达式的推算。我们用最小二乘法思想，建立优化模型，确定使近似出的体积和实际的体积差值平方和最小。模型如下： 其中：表示第个油膜的真实体积，即出油量可以从数据中得到表示第个油膜的下表面面积，可以参照上面的推算 表示第个油膜的上表面面积，即第个油膜的下表面面积 表示第个油膜的真
24、实高度 表示第个油膜的真实高度用求解模型，确定变位参数、。解得。将该值代入（.）积分表达式，利用对体积积分，便可以得到高度的体积，计算罐体变位后油位高度间隔为的罐容表标定值（见附录9）。六、模型准确性分析我们对第二问的模型进行检验，算出参数、，带入积分函数对积分算出体积，体积做差，便得出油膜体积，和真实的出油量做比较，算出相对误差来验证模型的准确性。数据如下：实际出油计算体积相对误差实际出油计算体积相对误差149.09148.762230.2198%238.33237.762960.2379%68.4568.5247540.1092%42.9243.2011430.6550%199.27197
25、.402550.9371%171.34170.55720.4569%70.0570.4974430.6387%212.34212.28370.0265%136.36135.219920.8361%92.3892.3345280.0492%232.74233.170590.1850%243.85243.057540.3250%107.97108.863570.8276%206.69208.203280.7321%49.2448.8350410.8224%224.5223.432820.4754%229.93229.29010.2783%169.26169.639330.2241%181.7180
26、.035710.9160%220.09218.761630.6036%238.52238.757460.0996%117.54117.487760.0444%131.79132.08750.2257%93.4494.0749180.6795%174.69175.871080.6761%114.46114.220460.2093%由数据计算得相对误差平均值小于，说明模型准确性比较高。七、模型的稳定性分析我们利用蒙特卡洛法进行模型的稳定性检验，当对高度施加一个微小扰动时，即，检验此时的变化情况，如其波动很小，则模型稳定。我们进行了多组检验，发现误差随服从正态分布,。将代入函数式，得出的值，比较扰动
27、前后值的变化情况：原值相对误差率相对误差率第一组2.05691.48430.00%0.00%第二组2.05341.47020.17%0.95%第三组2.05541.48010.07%0.28%由数据可知稳定性较好。扰动后对油体体积的影响见附录10。八、模型的优缺点分析模型的优点： 1、问题一中，我们采用横截面为弓形面的微元法，对整个积分区间进行一次积分，该方法简单一算，而且很好的运用到第二问中；2、问题二中，我们在采用微元法解决问题时发现不能找到原函数的解析式，为了采用优化模型求的、，我们在求体积时采用了近似方法，从而是、的表达列式为显示形式。模型的缺点： 1在对、的值的确定是，用很薄的梯形圆
28、柱面的体积看成两液面见体积，产生了误差。2.实际中，储油罐内油体体积与温度、压力等因素有关，但我们建模时未予考虑。 九、模型的推广在问题而中我们建立优化模型 ，其中，将两层液面间所夹体积看成是梯形柱面体积产生误差，我们可以用微积分的方法找到它的精确近似解，从而减少误差。即。七、参考文献1高恩强 丰培云，卧式倾斜安装圆柱体油罐不同液面高度时贮油量的计算，2樊映川,等编. 高等数学讲义下册,北京:高等教育出版社,1993 :62.附录1问题（一）中，罐体未变位时的高度与体积值累加进油量/L实际累加体积/L油位高度/mm油高/m计算体积/m3实际体积/m3差值50312159.020.159020.
29、322882590.3120.01088259100362176.140.176140.3746330340.3620.012633034150412192.590.192590.4263649440.4120.014364944200462208.500.20850.4781317650.4620.016131765250512223.930.223930.529851880.5120.01785188300562238.970.238970.5816057660.5620.019605766350612253.660.253660.6333520370.6120.0213520374006
30、62268.040.268040.6850810480.6620.023081048450712282.160.282160.7368467550.7120.024846755500762296.030.296030.7885776580.7620.026577658550812309.690.309690.8403288240.8120.028328824600862323.150.323150.892056110.8620.03005611650912336.440.336440.9438023350.9120.031802335700962349.570.349570.995542276
31、0.9620.0335422767501012362.560.362561.0472971141.0120.0352971148001062375.420.375421.0990547911.0620.0370547918501112388.160.388161.1508080961.1120.0388080969001162400.790.400791.202554141.1620.040554149501212413.320.413321.2542938711.2120.04229387110001262425.760.425761.3060316551.2620.044031655105
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