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1、高等代数课题：关于可逆矩阵及其应用的举例探讨目录摘要 1关键字 1引言1第一部分1基础知识1一、定义11、矩阵的定义12、逆矩阵的定义1二、逆矩阵的性质1三、逆矩阵的判断条件2第二部分 逆矩阵的求解方法2方法1 定义法2方法 2 伴随矩阵法2方法3 初等变换法3方法4 用分块矩阵求逆矩阵5方法5 解方程组求逆矩阵5方法6 用克莱姆法则求解6方法7 用行列式8方法8 恒等变形法求逆矩阵9方法9 用Hamilton-Caley定理求逆矩阵10方法10 三角矩阵求逆法11方法11 拼接新矩阵12第三部分 可逆矩阵的应用12一、数学中的应用13二、生活中的应用14总结17参考文献17关于可逆矩阵及其应
2、用的举例探讨摘 要：矩阵的可逆性判定及逆矩阵的求解方法是高等代数的主要内容之一,同时在生活应用上，也占有很重要的地位。本文着重介绍判定矩阵是否可逆及求逆的种方法，以及其应用的举例。关键词：逆矩阵 伴随矩阵 初等矩阵 逆矩阵应用的举例 引 言 矩阵理论是高等代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位。在矩阵乘法中单位矩阵E相当于数的乘法运算中的“1”，逆矩阵类似实数的倒数。下面通过引入逆矩阵的定义，就矩阵可逆性判定及求逆矩阵的方法，以及应用例子进行探讨。第一部分 知识预备一、 定义1、矩阵的定义 矩阵 设个数排成行列的数表 用括号将其括起来,
3、称为矩阵, 并用大写字母表示, 即 , 简记为.2、逆矩阵的定义 定义：设A是数域P上的一个n阶方阵，如果存在P上的n阶方阵B，使得AB = BA = E，则称A是可逆的，又称B为A的逆矩阵.当矩阵A可逆时，逆矩阵由A惟一确定，记为A-1.二、逆矩阵的基本性质：性设A，B是n阶可逆矩阵，则 （1）（A-1）-1 = A；1 （2）若k 0，则kA可逆，且（kA）-1 = A-1； （3）AB可逆，且（AB）-1 = B-1 A-1； （4）AT可逆，且（AT）-1 = （A-1）T； （5）Ak可逆，且（Ak）-1 = （A-1）k； （6）| A-1 | = | A |-1； （7）如果A是
4、mn矩阵，P是m阶可逆矩阵，Q是n阶可逆矩阵，则r（A）= r（PA）= r（AQ）= r（PAQ）.2、矩阵可逆的判断条件 （1）n阶方阵A可逆的充分必要条件是| A | 0（也即r（A）= n）；（2）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以通过初等变换（特别是只通过初等行（列）变换）化为n阶单位矩阵；（3）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以写成一些初等矩阵的乘积；（4）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个特征值不为零；（5）对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B使得AB = E（或BA = E），则A可逆，且A-1 = B.第二部分 矩阵逆的求解方法方法1 定义法：设A是数域P上的一个n阶方阵
5、，如果存在P上的n阶方阵B，使得AB = BA = E，则称A是可逆的，又称B为A的逆矩阵.当矩阵A可逆时，逆矩阵由A惟一确定，记为A-1.例1：设A为n阶矩阵，且满足，求A-1.【解】方法 2 伴随矩阵法：A-1 = A*.2 定理n阶矩阵A = aij为可逆的充分必要条件是A非奇异.且其中Aij是|A|中元素aij的代数余子式.矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，记作A*，于是有A-1 = A*.注 对于阶数较低（一般不超过3阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意A* = （Aij）nn元素的位置及符号.特别对于2阶方阵，其伴随矩阵,即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变
6、号”的规律. 对于分块矩阵不能按上述规律求伴随矩阵.例2：已知，求A-1.【解】 | A | = 2 0 A可逆.由已知得A-1 = A* = 方法3 初等变换法： 3注 对于阶数较高（n3）的矩阵，采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换. 也可以利用求得A的逆矩阵. 当矩阵A逆时，可利用 求得A-1B和CA-1.这一方法的优点是不需求出A的逆矩阵和进行矩阵乘法，仅通过初等变换即求出了A-1B或CA-1.例3：:用初等行变换求矩阵的逆矩阵.【解】 4方法4 用分块矩阵求逆矩阵：设A、B分别为P、Q阶可逆矩阵，则：例4：已知，求A-1.【解】
7、 将A分块如下：其中 可求得 从而 方法5 解方程组求逆矩阵：根据可逆的上(下)三角矩阵的逆仍是上(下)三角矩阵,且上(下)三角矩阵逆矩阵主对角元分别为上(下)三角矩阵对应的主对角元的倒数,可设出逆矩阵的待求元素;又由A-1A = E 两端对应元素相等,依次可得只含有一个待求元素的方程,因而待求元素极易求得,此法常用元素待求上(下)三角矩阵的逆矩阵.5例5 求的逆矩阵.解 设,先求A-1 中主对角线下的次对角线上的元素,再求，最后求.设E为4阶单位矩阵, 比较的两端对应元素,得到于是,所求的逆矩阵为: 方法6 用克拉默法则求解：若线性方程组的系数行列式，则此方程组有唯一的一组解.这里是将6中的
8、第i列换成得到的行列式. 定理1 若1 = (1 , 0 , 0 , , 0),2 = (0 , 1 , 0 , , 0), ,n = (0 , 0 , , 1) 是Fn(Fn表示数域F上的n元行空间)的标准基,则Fn中任一向量= (a1 , a2 , , an )都可唯一地表示为:=a11 + a22 + + ann的形式,这里aiF(i = 1 , 2 , , n). 定理2 两个矩阵A与B乘积AB的第i行等于A的第i行右乘以B.下面给出求可逆矩阵的逆矩阵的方法:令n阶可逆矩阵A = (aij),A的行向量分别为1 , 2 , , n , 其中i = (i1 ,i2 , ,in),(i =
9、1 , 2 , , n),由定理1 得:i=aijj(i = 1 , 2 , , n) .解以1 , 2 , , n 为未知量的方程组,由于系数行列式D = | A| 0 (因为A 可逆),所以, 由克莱姆法则可得唯一解: j=Dj/D= bj11 + bj22 + + bjnn(j = 1 , 2 , , n) .其中Dj是把行列式D的第j列的元素换以方程组的常数项1 ,2,n而得到的n阶行列式.由定理2可得: BA = I ( I 为单位矩阵),从而有A- 1 = B.其中B = (bij).下面举例说明这种方法.例6 求可逆矩阵的逆矩阵.解 矩阵A的行向量为，由标准基表示为： 解以为未知
10、量的方程组得：7该法在理论上是用克莱姆法则求解,但可用消元法简化运算过程.还以上例说明之: 由： 得： 令 是一个所谓的形式矩阵(其元素既有数,又有向量).对施行矩阵的行的初等变换得:方法7 用行列式：定理：若n阶矩阵A = ( Aij) 为满秩矩阵,则A可逆，且为的初始单位向量组，即例7：设，求A的逆矩阵.8解方法8 恒等变形法求逆矩阵：有些计算命题表面上与求逆矩阵无关,但实质上只有求出矩阵的逆矩阵才能算出来,而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变形,且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式.例8 已知，试求并证明,其中.解 由 得到故,而A又为正交矩阵, 从而方法9 用Hamilton-Cal
11、ey定理求逆矩阵： Hamilton-Caley定理:设A是数域P上的n阶矩阵 为A的特征多项式，则：9 于是 因此例9 已知，求A-1.解 A的特征多项式 由Hamilton-Caley定理知：方法10 三角矩阵求逆法：定理：如果n阶矩阵可逆，那么他的逆矩阵是其中例10 求上三角阵的逆矩阵.解 由定理知：10方法11 拼接新矩阵：在可逆矩阵A的右方补加上一个单位矩阵E,在A的下方补加上一个负单位矩阵-E, 再在A的右下方补加上一个零矩阵O,从而得到一个新的方阵.对该方阵施行第三种行的初等变换,使其负单位矩阵-E化为零矩阵, 那么原来的零矩阵O所化得的矩阵就是所要求的逆矩阵A-1.例11 求矩
12、阵的逆矩阵A-1.解 构造矩阵有：11 将第一行依次乘以-2，-3和1，分别加到第二行、第三行和第五行，得 ： 将第二行依次乘以-1和1，分别加到第三行和第四行，得 ：再将第三行依次乘以-3、2和-1，分别加到第四行、第五行、第六行，得 ：故： 第三部分 逆矩阵的应用逆矩阵在各个领域都有广泛的应用, 用逆矩阵的初等行变换来求解一般的线性方程组，这本身就是逆矩阵的一个应用，另外我们还可以用方阵的逆矩阵来求解方程组. 也可以用12矩阵来解决调配问题、下料问题等实际，问题 还有就是数字图象措置惩罚、计较机图形学、计较几何学、人工智能、收集通讯、和一般的算法设计和阐发等逆矩阵的应用不仅使通讯优化, 而
13、且在航天中也有很多的应用随着科学技术的发展，矩阵的应用已经深切到了天然科学，社会形态科学，工程技能，经济等各个范畴如:一、数学中的应用例1（线性方程组问题）用逆矩阵解线性方程组.解 设方程组的系数矩阵为，未知量矩阵为，常数项矩阵为，则线性方程组可以变为矩阵方程，矩阵的逆矩阵为：所以 故方程组的解为 注：因为只有方阵才有逆矩阵，该方法只适用未知量个数等于方程个数且系数矩阵逆的线性方程组.例2（矩阵方程问题）设有矩阵待添加的隐藏文字内容1求矩阵，使得解：在均存在的情况下，用左乘、右乘的两边得 13即 而故生活中的应用例3 由网孔法设桥式电路中闭合回路的电流分别为，如图2所示： 图2已知，计算流过中
14、央支路的电流.解：由基尔霍夫第二定律（电压定律）得如下方程组：即同样计算如下几个行列式14 所以 从而，流过中央支路的电流为.即电流是从流向的.例4（调配问题）设有三种酒甲乙丙，它们各含三种主要成分的含量如下表：甲酒0.70.20.1乙酒0.60.20.2丙酒0.650.150.2调酒师现要用这三种酒配置另一种酒，使其对含量分别是：66.5%，18.5%，15%，问能否配出合乎要求的酒？比例分配如何？当甲酒缺货时，能否用含三种主要成分为的丁酒替代？比例分配又如何？解：设甲乙丙三种酒的比例分配为，根据题意可得矩阵方程正数解即为所求.可以得出 所以 15 即能用甲乙丙三种酒调配出合乎要求的酒来，其
15、比例分配为甲酒50%，乙酒20%，丙酒30%.若用丁酒来替换甲酒，则有矩阵方程：有负数解，这说明不能用丁酒来替代甲酒.例5 （密码问题）在军事通讯中，常将字符（信号）与数字对应，如例如信息对应一个矩阵，但如果按这种方式传输，则很容易被敌人破译. 于是必须采取加密措施，即用一个约定的加密矩阵乘以原信号，传输信号为（加密），收到信号的一方再将信号还原（破译）为. 如果敌方不知道加密矩阵，则很难破译.设收到的信号为，并已知加密矩阵为，问原信号是什么？解：先求出16所以 即原信号为.总结 矩阵可逆性的判断及求逆矩阵的方法很多，不仅仅只是以上列举的几种方法。逆矩阵的意义不仅在于将一些数据排成阵列形式，而
16、且在于它定义了一些有理论意义和实际意义的运算，从而使它成为理论研究和解决实际问题的有力工具。我们可以继续尝试运用逆矩阵知识去解，并作深入的探讨。参 考 文 献:1David C.Lay.线性代数及其应用M.北京：机械工业出版社，2005.2史荣昌.矩阵分析M.北京：北京理工大学出版社，1996.3丘维声. 高等代数M. 高等教育出版社，1985.4北京大学数学系. 高等代数M. 高等教育出版社，1988.5 杜汉玲. 求逆矩阵的方法与解析J. 高等函授学报(自然科学版), 20046 任宪林. 求逆矩阵的一个新方法J. 职大学报(自然科学版), 2004 7 张玉成. 求逆矩阵的另一种方法J. 深圳教育学院学报(综合版).8 王建锋. 求逆矩阵的快速方法J. 大学数学, 2004, (01) . 9 苏敏. 逆矩阵求法的进一步研究J. 河南纺织高等专科学校学报, 2004, 17
