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1、 本科毕业论文（设计） 题 目： 关于线性变换的可对角化问题 学 生： 学号: 学 院： 专业: 入学时间： 年 月 日 指导教师： 职称: 完成日期： 年 月 日诚 信 承 诺我谨在此承诺：本人所写的毕业论文关于线性变换的可对角化问题均系本人独立完成，没有抄袭行为，凡涉及其他作者的观点和材料，均作了注释，若有不实，后果由本人承担。 承诺人（签名）： 年 月 日 关于线性变换的可对角化问题摘 要：线性变换可对角化问题是高等代数的重要内容.我们可以通过探讨矩阵的可对角化问题来研究线性变换的可对角化问题.本文先给出可对角化的概念;再探讨线性变换可对角化的判定以及其在高等代数中应用，并简略介绍几种特
2、殊的可对角化问题.关键词：线性变换可对角化；特征值；特征向量；最小多项式；矩阵可对角化；实对称矩阵Diagonolization of linear transformationAbstract: The diagonolization of linear transformation, which can be studied by the diagonalization of matrix, is important in higher algebra. In this paper, we first introduce the conception of diagonolization,
3、 then discuss the decision of diagonolization of linear transformation and its applications in the advanced algebra, moreover, we introduce briefly several kinds of special diagonolization problems. Key words: Diagonalization of linear transformation; Eigenvalue; Eigenvector; Minimal polynomial ; Ma
4、trix diagonalization; Real symmetric matrices 目 录1 引言.12 可对角化的概念.13 判定方法.14 两个矩阵同时合同对角化.45 几类特别的可对角化矩阵.66 应用.66.1 矩阵相似的判断.66.2 方阵高次幂.76.3 化实对称矩阵为对角形矩阵.76.4 求特征值.86.5 经典例题.87 小结.9参考文献.101 引言我们要想研究可对角化问题,可以从它在某组基下的矩阵下手.那我们该如何研究这个问题?它的概念是什么?对角化有哪些判断方法?它们应该如何应用?下面将综合介绍一下以上问题.2 可对角化的概念定义8 设是维线性空间的一个线性变换,
5、 为在某一组基下的矩阵且与矩阵相似，其中矩阵是对角形矩阵，则称可对角化,也称线性变换可对角化.我们把叫做的相似对角形矩阵.3 判定方法3.1 定理18 设维线性空间内有一个线性变换，且为它在某一组基下的矩阵，要是为对角形矩阵，那么可对角化.例1设在三维线性空间内有一个线性变换，是在基下的矩阵，由于为对角形矩阵，可知可对角化.3.2 定理21 设是维线性空间内的一个线性变换，且有个线性无关的特征向量，则可对角化.证明 “必要性” 假设可对角化，令.即 ，；特征值为，则 是的特征向量,由已学知识可知是不相关的.“充分性” 设有个不相关的向量，并且它们都是的特征向量，设 ，其中； 将作为线性空间中的
6、一组基，则满足： .即在基下的矩阵为对角形矩阵，从而可对角化.例22 是在基下的矩阵，试利用定理2判断是否可对角化.解 由于，的特征值为：.对于，由知基础解系是：和.由已学知识可知它们是线性无关的，故它们对应的特征向量为：, .对于，由知基础解系是：.由已学知识可知它是线性无关的，故它对应的特征向量为：.由以上可知包含三个特征向量，并且它们是线性无关的.其个数刚好等于空间维数，由定理1知可对角化.3.2推论12 设是维线性空间的一个线性变换，若在数域中的特征多项式包含个互不相等的根，那么可对角化.例3 设二维线性空间内有一个线性变换，是它在基下的矩阵，试利用推论1判断是否可对角化.解 由知的特
7、征值为.因为它们是不相等的，所以特征值的个数与空间维数相等.由推论1知可对角化.3.3 推论25 设维线性空间内有一个线性变换，其中的特征值是，并且它们是不相同的.用来表示对应的个特征向量，那么： ，则可对角化. ，则不可对角化.例4 已知 ，试利用推论2判断它们是否可对角化.解 通过计算和知的特征值是相同的，它们全部为（二重），.首先讨论，对于（二重），由知它的基础解系是：.因为是的特征值而且是二重根，但只对应一个特征向量，故只包含个特征向量.它的个数比空间维数要少，由推论2知不可对角化.最后讨论 ，对于（二重），由知它的基础解系是： . 对于，由知它的基础解系是：；故有个特征向量而且它们是
8、线性无关的，特征向量的个数与空间维数相等，由推论2知可对角化.3.4 定理37 在数域上，设是矩阵的所有互不相同的特征值.如果满足，那么可以对角化.例5 设有一个线性变换，是它在基下的矩阵，试利用定理3判断能否可对角化. 解 由上面例2知，故是矩阵的所有不同特征值.又 .通过定理3知可以对角化.3.5 定理49 是复数域上的矩阵，当矩阵的最小多项式没有重根时，则可以对角化.例6 设一个线性变换，是它在基下的矩阵，试利用定理4判断是否可对角化.解 由上面例2知，则的最小多项式有以下两种可能：.计算推出的最小多项式为.通过定理4知可对角化.410 两个矩阵同时合同对角化4.1 定义10 设矩阵，若
9、存在可逆矩阵，使和同时为对角形矩阵，则、可同时合同对角化.4.210 同时合同对角化的计算方法下面是以为阶实对阵正定矩阵，为阶实对阵矩阵为例给出计算步骤：（1）求出的个特征值，再求出特征向量；（2）对于每个不一样的特征值，把它们的特征向量标准正交化后通过列的形式构成阶正交阵，那么，令，则是可逆的，同时满足；（3）解出，再求出它的个特征值和它的个特征向量；（4）对每个不同的特征值，把它们的特征向量标准正交化后通过列的形式构成阶正交矩阵，则；（5）记，则.例7设，求可逆矩阵将、可同时合同对角化.解 计算可知为的特征值.对于，由得出它的一个特征向量为；对于，由得出它的一个特征向量为；对于，由得出它的
10、一个特征向量为.将其单位化得.则正交矩阵，.记，则.其特征方程为.它们的特征值为.由知是的一个特征向量；由知是的一个特征向量；由知是的一个特征向量；将其单位化，则；于是有：.，则可逆，且，故就是合乎题意的矩阵. 5 几类特别的可对角化矩阵命题4.14 如果一个矩阵为实对称矩阵，那么该矩阵可以对角化.命题4.24 如果一个矩阵为对合矩阵，那么该矩阵可以对角化.命题4.34 如果一个矩阵为周期矩阵，那么该矩阵可以对角化.命题4.47 如果一个矩阵为幂等矩阵，那么该矩阵可以对角化.命题4.57 如果一个矩阵为循回矩阵，那么该矩阵可以对角化.命题4.64 如果一个矩阵为幂零矩阵，那么该矩阵不可以对角化
11、.解 通过计算，和知的特征值相同，它们全部为（二重），；其中已经是对角形矩阵，所以只需判断， 是否可对角化.首先讨论，对于（二重），由知它的基础解系是：.因为是的特征值而且是二重根，但只对应一个特征向量，故只包含个特征向量.它的个数比空间维数要少，由推论2知不可对角化，则与不相似.最后讨论 ，对于（二重），由知它的基础解系是： . 对于，由知它的基础解系为：,故有个特征向量而且它们是线性无关的，特征向量的个数与空间维数相等，由推论2知可对角化, 则与相似.参考文献：1 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组高等代数M北京，2003：2992 邱森高等代数武汉：武汉大学出版社，2008：216-
12、219 3 张禾端，郝炳新高等代数M4版北京：高等教育出版社，20004 李志慧，李永明高等代数中的典型问题与方法J北京：科学出版社，2008：2045 唐忠明，戴桂生高等代数M南京：南京大学出版社，2000：146-1476 张正成可对角化矩阵的应用J科技资讯，2007252（2）：252-2537 冯莉矩阵对角化的若干方法J赤峰学院学报（自然科学版），2011，27（9）：9-118 徐新萍有关对角化问题综述J江苏教育学院学报（自然科学），2010，26（6）：44-469 李至琳关于矩阵可对角化的问题J黔东南民族师专学报，1998，16（5）：1-310 周立仁矩阵同时对角化的条件J理工学院学报，2007，20（1）：8-10
