函数性质的应用毕业论文.doc

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1、 本科生毕业论文函数性质的应用院 系： 数学与计算机科学学院 专 业： 数学与应用数学 班 级： 2010级数学与应用数学(2)班 学 号： 201004110203 姓 名： 张广宁 指导教师： 陈志恩 完成时间： 2014年5月20日 函数性质的应用摘 要： 函数是数学中最重要的概念之一，它既是数学研究的对象，又是解决数学问题的基本思想、方法，不仅使人类数学思维发生了质的飞跃，而且推动了数学科学的蓬勃发展，在数学的各个分支中都起到重要作用.函数也是中学数学的一个重要的教学内容，一直是高考的热点、重点内容.要顺利的解决关于函数的问题，就要熟练掌握函数的性质.本论文着重从函数的单调性、奇偶性、

2、周期性、有界性、以及反函数的存在性、可微性、等方面入手.讨论函数的各种性质在解题中的运用技巧与规律.旨在帮助学生认识并学会灵活应用函数的性质解决函数的相关问题.查阅到的参考文献中，分别就函数的单调性、周期性、奇偶性及反函数所具有的特征来解决函数类的问题作出了说明，有的文献详细阐述了函数所具有的特征还穿插了部分恰当的例题来帮助读者理解；有的对函数的单调性、周期性、奇偶性的特殊函数做出了深刻的分析；有的收集了近几年高考及今年高考的预测关于利用函数的性质解决各类数学问题涉及到单独利用性质或综合几种性质的结合，它们集中体现了高考中函数类问题的考试方向.解决函数问题时，可以运用整体思想、方程思想、数形结

3、合思想等对函数问题做一简单化处理，将抽象的问题形象化、具体化，以达到事半功倍的效果.关键词: 函数 技巧 规律 结合 形象化 数形结合 方程思想 Abstract: unction is one of the most important concepts in mathematics, it is not only the object of the mathematics study, but also basic thought and method to solve the problems of mathematics. Functions effect one the develo

4、pment of mathematics is immeasurable, it not only make a qualitative leap to the mathematical thinking of human beings but also led to the vigorous development of the science of mathematics, function plays an important role in every branch of mathematics. Function is also an important content of cou

5、rses in middle school mathematics, it has always been the hot spot and the key content of the college entrance examination, To solve the problems of the function the most important is to master the nature of function. This paper mainly discusses from the functions monotonicity, parity, periodic, bou

6、ndedness, and the existence of inverse function and differentiability, integrability and other aspects. Which also discusses the function of the application of all kinds of properties in the problem solving skills and rules. The paper designed to help students to understand and learn the properties

7、of the flexible application of function to solve the problem of the related to the function.Keywords:function;monotonicity;parity;periodic;boundedness;inverse;unction-sex;differentiability integrable.目 录1 引言12 函数性质的应用1 2.1 函数单调性的应用1 2.1.1 函数单调性的概念1 2.1.2 函数单调性的性质1 2.1.3 函数单调性的应用2 2.2 函数奇偶性的应用3 2.2.1

8、函数奇偶性的概念3 2.2.2 函数奇偶性的性质4 2.2.3 函数奇偶性的应用5 2.3 函数周期性的应用7 2.3.1 函数周期性的概念7 2.3.2 函数周期性的性质7 2.3.3 函数周期性的应用8 2.4 函数有界性的应用8 2.4.1 函数有界性的概念8 2.4.2 有界函数的性质9 2.4.3.有界函数的应用9 2.5 函数的可导性应用10 2.5.1 可导函数的概念11 2.5.2 导数在函数中的应用123 结论24谢辞25参考文献261 引言函数是中学数学的一个重要的教学内容，它渗透在数学各个部分的内容中，一直是高考的热点、重点内容.要顺利解决关于函数的问题，就要首先熟练掌握

9、函数的性质.从近几年的考题来看，运用函数的性质解体更是得到命题老师的青睐，函数的各类问题，几乎都与函数的性质有关，比如指数函数，对数函数、幂函数，三角函数等的问题都是结合函数的性质解决问题.高考常利用函数的一种或同时几种性质联合起来解决问题.因此，只有掌握函数的性质才能更好、更快速的解决高考中的函数问题，才能为其他试题赢来宝贵的时间.函数的性质是解决函数问题的精髓，是达到划归目的的桥梁.函数性质应用的背景和意义 函数是数学中最重要的概念之一，它既是数学研究的对象，又是解决数学问题的基本思想、方法，不仅使人类数学思维发生了质的飞跃，而且推动了数学科学的蓬勃发展，在数学的各个分支中都起到重要作用.

10、函数也是中学数学的一个重要的教学内容，一直是高考的热点、重点内容.针对最近几年高考数学中对函数性质的考察，函数性质一直以来都是各个省份考试的热点，一直受到高考命题专家的青睐.本论文通过对函数性质应用技巧和规律的总结，希望能够对考生做函数部分试题有帮助.2 函数性质的应用2.1 函数单调性的应用12.1.1 函数单调性的概念一般地，设函数的定义域为：如果对于属于内某个区间上的任意两个自变量的值、，当时都有.那么就说在这个区间上是增函数；相反地，如果对于属于内某个区间上的任意两个自变量的值、，当时都有.那么就说在这个区间上是减函数.函数的单调性也叫做函数的增减性.在某一区间上的增函数(或减函数)叫

11、做单调函数.2.1.2 函数单调性的性质（1）函数单调性的几何特征：在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.“当时，都有”等价于随增大而增大；“当时，都有”等价于随增大而减小.几何解释：递增等价于函数图象从左到右逐渐上升；递减等价于函数图象从左到右逐渐下降.（2）函数单调性是针对某一个区间而言的，是一个局部性质.有些函数在整个定义域内是单调的；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，在部分区间上是减函数；有些函数是非单调函数，如常数函数.函数的单调性是函数在一个单调区间上的“整体”性质，具有任意性，不能用特殊值代替.（3）函数单调性还具有以下性质1、与具有相同单调性；2、与在

12、时有相同单调性，当时，具有相反单调性；3、当、都是增（减）函数时，若都恒大于零，则同为增（减）函数；若两者都恒小于零，则都是减（增）函数；4、两个增函数之和仍为增函数；5、增函数减去减函数为增函数；6、两个减函数之和仍为减函数；7、减函数减去增函数为减函数；8、函数值在区间内同号时， 增（减）函数的倒数为减（增）函数.2.1.3 函数单调性的应用2 (一)比较函数值的大小例1 已知偶函数在区间上单调增加，则满足的的取值范围是（A）A. B. C. D.解析 由题意可得或，解得，故选A. 小结 本题应用了方程的思想，通过解不等式，达到了解题的目的. (二)求参数的取值或范围 例2 若函数的单调增

13、区间是，则？ 解析 由，可得函数的单调增区间为，故，解得.小结 方法同上.2.2 函数奇偶性的应用32.2.1函数奇偶性的概念 一般地，对于函数(1)如果对于函数定义域内的任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数.(2)如果对于函数定义域内的任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数.(3)如果对于函数定义域内的任意一个，与同时成立，那么函数既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数.(4)如果对于函数定义域内的任意一个，或都不能成立，那么函数既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数.说明 奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言； 奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称

14、，则这个函数一定不是奇（或偶）函数.分析 判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与比较得出结论 判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义、变式.变式 奇：； ； . 偶：； .2.2.2 函数奇偶性的性质 定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于轴对称.如果对于任意一个，有，那么函数图像关于轴对称.奇函数的图像关于原点对称点，偶函数的图像关于轴对称点；奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增；偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减. 两个偶函数相加所得的和为偶函数； 两个奇函数相加

15、所得的和为奇函数； 两个偶函数相乘所得的积为偶函数； 两个奇函数相乘所得的积为偶函数； 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数； 几个函数复合，只要有一个是偶函数，结果是偶函数；反之是奇函数； 偶函数的和差积商是偶函数； 奇函数的和差是奇函数； 奇函数的偶数个积商是偶函数； 奇函数的奇数个积商是奇函数； 奇函数的绝对值为偶函数； 偶函数的绝对值为偶函数.2.2.3 函数奇偶性的应用4 （一）判断函数的奇偶性 例1 判定函数的奇偶性.解 函数的定义域满足，即为，函数的图象表示两个点：，.其图象既关于原点对称，又关于轴对称.从而函数既是奇函数又是偶函数.小结 本题通过转化将函数的定义域求出，再

16、通过周期函数的概念加以判断，很好的达到了解题的目的.（二）求函数的函数值 例2 设（其中为常数），且，试求的值. 解 设，易证是奇函数，故，,于是两式相加得：，即 （三）函数的解析式7 例3 设是定义在上的奇函数，当时，.试求此函数的解析式.解 （1）当时，于是； （2）当时，则，由于是定义在上的奇函数，则，此函数的解析式为小结 本题通过分类讨论就各种情形加以说明，加以函数奇偶性概念的应用，很快的达到了解题的目的.（四）解不等式8例4 解不等式 解 设，因，则是偶函数，即的奇数次方为0，可设，以代入，得解得，即，原不等式可化为：，即，所以.因而,即或 （五）在二项式的展开式中的应用例5 若，求

17、的值. 解 设，则是偶函数，则的奇数次方的系数，则.小结 本题通过转化用函数的方法研究问题，大大的简化了运算. （六）函数的奇偶性的综合应用题 例6 已知函数是奇函数，时，有最小值2，其中，且. （1）试求的解析式； （2）问函数的图象上是否存在关于点对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.解 (1)由题意可知函数是奇函数，则由于，所以，由，又，于是,解得，又因为，所以，因此. (2)设点存在关于点对称点，此两点均在函数的图象上，则，.联立以上两式得，即. 从而，当时，得；当时，得.即存在点，（）关于点对称.小结 本题通过用方程的方法，灵活的简化了解题步骤.2.3 函数周期性的应

18、用52.3.1 函数周期性的概念定义 对于函数，如果存在一个不为零的常数,使得当取定义域内的每一个值时，都有，则称函数是周期函数.如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数的最小正周期.由定义可得：周期函数的周期是与无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期.如常数值函数（是常数）是实数集上以任意非零实数为周期的周期函数.狄利克莱函数是实数集上任意非零有理数为周期的周期函数.由于正实数和正有理数都没有最小的，因而它们都没有最小正周期.2.3.2 函数周期性的性质 (1)若是的周期，则也是的周期.（因.因而周期函数必定有正周期.) (2)若是的周期，则（为任意非零整数）也是的周期. (3)若

19、与都是的周期，则也是的周期.（因.)(4)如果有最小正周期，那么的任何正周期一定是的正整数倍.否则必存在（为正整数）使，则对（的定义域）有，所以也是的正周期，与是的最小正周期矛盾.所以必是的正整数倍.2.3.3 函数周期性的应用6 例1 若函数是上周期为5的奇函数，且满足，则 解析 因为 函数的周期是5，所以 ，因为是上奇函数，所以，故.例2 设函数是定义在上的周期为2的偶函数，当时，则 的值. 解析 依题意得，则.2.4 函数有界性的应用2.4.1 函数有界性的概念5 设为定义在上的函数，若存在数，使得对每一个有：，则称在上有上（下）界的函数，称为在上的一个上（下）界. 设为定义在上的函数，

20、若存在正数，使得对每一个有：，则称为上的有界函数.2.4.2 有界函数的性质 在中学，我们学过的有界函数典型的有正弦函数、余弦函数，它们在定义域内是有界的即，.此结论在解题中有着广泛的应用,举例说明.2.4.3.有界函数的应用 (一)求值域或最值例1 求函数的值域. 解 原函数可变为：，因为，即，解得.故所求函数的值域为. 例2 求函数的最值. 解 由原函数得：，即.又因为，所以，故. 小结 这两道题通过转化法将问题转化为解不等式，再运用函数有界的性质. (二)证明等式或不等式 例3 已知，求证：. 证明 因为，所以，即因为是实数，所以，即.而，所以.又因为，所以，所以.又当时，方程有解，故.

21、 （三）求参数的范围 例4 要使有意义，求的范围. 解 因为，故.又，即，解得.例5 设，若对任意的实数都有，则实数的取值范围是?解 由题意知，则，所以.(四)讨论函数的性质例6 证明函数在上有界.证明 令，则，故函数在上有界.例7 设为无理数，求证函数不可能是周期函数.证明 假设是周期函数，则存在常数，使对于任意的都成立.令得：因为，所以成立必有.所以，所以，由于，所以为有理数，即为有理数，这与已知为无理数矛盾，故函数不可能是周期函数.2.5 函数的可导性应用2.5.1 可导函数的概念 第一定义5 设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处有增量（）也在该邻域内)时，相应地函数取得增量；如果

22、与之比当时极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限值为函数在点处的导数记为，即也记作 ，或 . 第二定义 设函数 在点 的某个邻域内有定义，当自变量 在 处有变化 ( ，也在该邻域内)时，相应地函数变化；如果 与 之比当时极限存在，则称函数 在点 处可导，并称这个极限值为函数 在点处的导数记为 ，即 导函数的定义 如果函数 在开区间内每一点都可导，就称函数 在区间内可导.这时函数 对于区间内的每一个确定的 值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数 的导函数，记作 ， ， ， .导函数简称导数.几何意义 函数 在点的导数 的几何意义：表示函数曲线在点 处的切线的斜

23、率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）.2.5.2 导数在函数中的应用78 (一)判断单调性一个函数在某个区间内的单调增减性的变化规律，是在研究函数图形时首先考虑的问题.在中学，已经知道函数在某个区间内单调增减性的定义.下面利用导数这一工具来判断函数增减性及其确定单调区间.从图形直观分析：若在内，曲线上每一点的导数都大于0，即，利用导数的几何意义知，在内，曲线上每一点的切线斜率都为正，这时曲线是上升的，即函数是单调递增的.反之，若在内，曲线上每一点的导数都小于0（即曲线上每一点的切线斜率都为负），这时曲线是下降的，即函数是单调递减的对于上升或者下降的曲线，它的切线在个别点可能平行

24、于轴（此点的导数值为0，即）.因此，函数的增减性反映在导数上，有如下定理：定理1 设函数在区间内可导，则：若时恒有，则在单调增加；若时恒有，则在单调减少. 例1 求函数单调递增区间解 因，由得,所以单调递增区间为 (二)判断凹凸性及拐点在研究函数图形的变化状况时，知道它的上升和下降顾虑很有好处，但不能完全反映它的变化规律.所示的函数的图形在区间内虽然是一直上升的，但却有不同的弯曲形状.因此，研究函数图形时，考察它的弯曲形状以及扭转弯曲方向的点是必要的.看出，曲线向下弯曲的弧度在这段弧段任意点的切线下方，曲线向上下弯曲的弧度在这段弧段任意点的切线上方，据此给出定义如下：定义1 在某区间内，若曲线

25、弧位于其上任意一点的切线上方，则称曲线在该区间内是上凸的（也称在该区间内此函数为凹函数）；在某区间内，若曲线弧位于其上任意一点的切线下方，则称曲线在该区间内是下凹的（也称在该区间内此函数为凸函数）那么曲线的凹凸性与导数之间有什么关系呢？按定义是很难判断凹凸性的，对于凹凸性可以用二介导数来确定.即有判定定理.定理2 设函数在区间上具有二介导数，当时，则曲线为凸（此时在该区间为凹函数）；当时，则曲线为凹（此时在该区间为凸函数）.通过图形的直观性来说明该定理的正确性.若曲线呈现凸状，当增大时，切线斜率随之变小，说明一阶导数函数在上为减函数，由函数单调性判别法，必有，即.说明：若曲线为凸性，必有.同理

26、，若曲线为凹，必有.从另一角度讲，该定理为二阶导数的几何意义.定义2 若函数在点的左右邻域上凹凸性相反，则点叫做曲线的拐点（注意拐点不是）由拐点的定义可知，判断某点是否拐点，只需看该点左右两侧二阶导数是否异号，与该点一阶、二阶导数是否存在无关 例2 求函数的凹凸区间及拐点.解 因，则令，得.所以0+0-0+凹1拐点凸 拐点凹(三)求函数的极值和最值（1）求函数的极值函数由增加变为减少或由减少变为增加，都经过一个转折点，即图中的“峰”点和“谷”点，这些点是在研究函数中是十分重要的.定义2 设函数在点及其某邻域左右两侧附近有定义，若对该邻域内的任意点（）恒有，则为极大值；若成立，则为极小值.应当注

27、意 极值是一个局部概念，它只限于的某一邻域内，通过函数值相比较才能显示出来.在一个区间上，函数可能有几个极大、极小值.可能会有极大值小于极小值.极值点和导数的关系如何？看下面定理可知：定理2 若是函数的极值点，则或者不存在.将导数为0的点或者不可导的点统称为驻点.因此函数的极值必在驻点处取得，但驻点不一定是极值点，所以在求得函数极值的驻点后，就是找到了所有极值可疑点.下面介绍函数在驻点或导数不存在的点取得极值的充分条件，即极值的判断方法.定理3（极限存在的充分条件之一） 设在连续，在某邻域内可导，若（左侧）时，而（右侧），则函数在处取极大值；若（左侧）时，而（右侧）时，则函数在处取极小值；若两

28、侧不变号，则在处无极值.该定理的直观含义为：函数由单调增加（或单调减少）变成单调减少（或单调增加）的转折点，即为极大值点（或极小值点）. 例3 求函数的单调区间和极值解 ，当时，；而时不存在.因此，函数只可能在这两点取得极值.+不存在-+ 极大值极小值由表可见，函数在区间，单调递增；在区间单调递减.在处有极大值，在点处有极小值.若函数的二介导数存在，有如下的判定定理； 定理4（极限存在的充分条件之二） 设，存在，若，则为的极小值；若，则为的极小值；若，本方法无效，需用极限存在的充分条件之一这个定理来进一步判定.因为，则曲线在点的左右两侧呈凹状，因此为极小值；反之，若，则曲线在点的左右两侧呈凸状

29、，因此为极大值. 例4 求函数的极值.解 因为，令，得驻点.所以， 又因为，所以函数在处取得极小值.因为，则定理应用定理4失效.下面利用定理3.当时，；当时，所以函数在处无极值同理函数在处去极值 （2）求函数的最值在经济活动和日常生活中，常遇到在一定条件下.怎样用料最省、成本最低、效率最高或者效益效率最好的问题，这些归纳到数学问题上，即为函数的最大值或最小值问题.假定函数在闭区间上连续，则必存在最大、最小值，其判定方法为：找出可能为极值点的函数值（即区间内使或不存在的所有点的函数值）；计算出端点处的函数值；比较极值和端点值的大小；其中最大的就是函数在闭区间上的最大值，其中最小的就是函数在闭区间

30、上的最小值.最值与极值是不同的：极值反映的是函数形态，即极值只是与该点在附近的函数值比较而言的，而对于远离该点的情形不予考虑；而最值则是函数整体形态的反映，它是指函数在所考察的区间上全部函数值中的最大者（或最小者）. 例5 求函数在区间上的最大、最小值.解 ，令即解得，变化时，的变化如下表：0+0由上表可知最大值是，最小值为 例6 已知，函数，当为何值时，取得最小值？证明你的结论.解 ，由，得，变化时，的变化如下表：+00+极大值极小值当时，.而当时，；时，.所以当时，取得最小值. （3）求函数的值域求函数的值域是中学数学的难点，下面介绍利用高中教材新增加内容-导数来求解值域 例7 求函数的值

31、域.解 函数的定义域为，又，可见当时，.所以在上是增函数.而，所以函数的值域是（4）导数在实际问题中的应用 例8 （2004年全国高考题）甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入.在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润（元）与年产量（吨）满足函数关系式.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方元（以下称为赔付价格）.(1)将乙方的年利润（元）表示为年产量（吨）的函数，并求出乙方获的最大利润的年产量；(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方

32、要求的赔付价格是多少？ 解 （1）由题意得，乙方的实际年利润为： 因为，所以当时，取的最大值，因此乙方获的最大利润的年产量（吨）. (2) 设甲方在索赔中获得的净收为元，则，将乙方获的最大利润的年产量代入上式，可得到甲方净忙收入与赔付价格之间的函数关系式，令得.因当时；当时，所以当时，可取最大值.故甲方向乙方要求的赔付价格是20（元/吨）时，可获得最大净收入. （四）描绘函数图形为有助于某些函数图形的描绘，下面介绍曲线的渐近线.（1）曲线的渐近线定义3 若曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某天直线的距离趋于0，则称此直线为曲线的渐近线.水平渐近线 若曲线的定义域是无限区间，且有：，或，则

33、直线为曲线的水平渐近线.垂直渐近线 若曲线有：，或，则直线为曲线的垂直渐近线.斜渐近线 若成立，则是曲线的一条斜渐近线.下面介绍求的公式.由有：.所以即，将求出并代入即可确定. 例10 求曲线的渐近线.解 因，所以是曲线的垂直渐近线；由和可知是曲线的斜渐近线. （2）函数图形的作法导数未纳入高中教材时，做图形主要依靠描点作图，这样的图形比较粗糙.导数的出现能更好的反应出导数的各种性态.描绘图形的一般步骤：确定函数的定义域、值域及函数初等形态（对称性、周期性、奇偶性）等；求出，；列表讨论函数单调性、凹凸性及极值、拐点；确定曲线的渐近线；由曲线方程找出一些特殊点的坐标；用光滑曲线连接，画出的图象.

34、 例11 作函数的图形.解 函数的定义域为，令，得；令，得.列表如下：0+不存在0+不存在+拐点极小值不存在 又因为，所以为曲线的水平渐进线因为，所以为曲线的铅垂渐进线曲线经过，这几个点通过上面的讨论可大致绘出图形 （五）求参数问题利用导数求函数中参数的范围，它是利用导数求函数单调性、极值、最值的延伸. 例12、（05湖北理）已知向量，若在区间(-1,1)上是增函数，求的取值范围. 解 由向量的数量积定义， 所以，又在区间(-1,1)上是增函数，则在 (-1,1)上恒成立.令在区间-1,1上，则，故在区间(-1,1)上使恒成立，只需即可，即.即的取值范围是. （六）导数在曲线中的应用曲线在点处

35、的导数在几何上表示为：曲线在点A处切线的斜率.即.利用导数这一几何意义可以帮助我们解决解析几何中有关曲线的一些问题 例13 已知P是抛物线上的动点，求过P到直线的最小距离.解 由得，易知上的点到直线的距离最小.由得，于是曲线上过点且与直线，那么点到直线的距离为故抛物线上的动点，求过P到直线的最小距离为. （七）研究方程的根 例14 已知，是否存在实数，使方程有四个不同的实数根，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.解 令则.令，得.当变化时，、的变化关系如下表：010+00+极小值极大值0极小值故存在，使方程有4个不同的实数根. （八）证明不等式利用高中新增内容的导数来证明不等式，关键是

36、“构造函数”，解决问题的依据是函数的单调性，这一方法在高等数学中应用的非常广泛，体现了导数的工具，也是与高等数学接轨的有力点. 例15 若，证明：证明 令，则，平行的斜率为，得，则.又，则,则当时，为增函数当时，为减函数,所以当时，取得最大值.因此当时恒有，即时，有. （九）在数列中的应用导数在函数与不等式方面的应用是考试的热点，而数列作为实质意义上的函数，利用导数研究数列的单调性及最值问题更简便.例16 已知函数，数列满足.（1）求；（2）证明数列是递减数列 解 （1）由已知有，即得又，所以 （2）令，则，因，所以所以是递减函数，则也是递减的.所以数列是递减数列 （十）利用导数求极限洛必达法

37、则 （1）“”型和“”型定理 若函数与满足条件：（1）；（2）存在，且；（3） 存在，则必有： 例17 求. 解 （2）其他形式洛必达法则只适应于“”型和“”型，对于其他式子，需要经过一系列变换转化为“”型和“”型，在利用洛必达法则来求解.其步骤如下：（“”表示可转化为）型或型型，再经过通分型.对于型，型，型，先取对数型，在利用的方法求解. 例18 求下列极限 解 （型）（型）3 结论（结束语）从文中的例题及解析可以看出函数的单调性、周期性、奇偶性及函数的反函数的性质、函数的可微性、可积性是讨论函数问题的重要工具.在处理函数综合问题时，若能灵活运用函数的这些性质则会降低题目的难度，使解题取得事

38、半功倍的效果.教师在讲解函数的性质在函数解题中的应用时，应深入剖析每一性质及其应用技巧，以帮助学生掌握如何应用函数性质解题，让学生领悟其应用规律.同时还应加强学生纵向思维的拓展，帮助学生建立各块知识之间的联系与区别.当然学生在学习和解题过程中应认真思考，发现和归纳函数性质在解题中的应用.整合函数所具有的各种性质并将其联系到一起必须对函数的各种性质都掌握清楚，并且能够挖掘题目中隐含的函数性质，尤其是周期函数一定要经过一系列的化简才能找到函数的周期；在对单一函数性质了解的基础上，在对函数的性质及特征做出整合性的归纳，可以就函数所具有的性质及相关的数学知识联系起来作出分析.例如，求函数的极值时，常用

39、到函数的可微性，周期性和奇偶性常结合到一起求函数在某个区间上的函数表达式、函数最值.研究函数的性质可以让学生在做题时有一个方向，可以作为他们做题的一个方向标. 谢辞时光荏苒，不觉四年已到头.毕业答辩之后，很多熟悉的形影也许就将从身边永远地失落了.每年的这个时候，校园总难掩物是人非的感伤.想对身边的同学、朋友、老师、食堂的大厨所有我所认识与不认识的人，对校园里的花草树木、错落有致的高楼矮房一切生灵和据说没生命的事物，对这一切的一切说声谢谢！四年，我们一起演绎了这六百亩土地的电闪雷鸣，一起体味这两百个礼拜的悲欢离合.相聚是缘，泪痕与汗渍、辛酸与甜蜜、浅薄与深沉，都融入这方寸之地，散落于每一个角落，

40、不分彼此，直至永恒.我欣慰地知道，多年以后这里依然会到处充盈着我的气息，承载着我的青春岁月，对此我满怀感激.感谢宁师！对于您，我们有过骄傲与自豪，有过苛责与失望，有过颓废和奋进，有过汗液和热血四年前，不同的原因进来，四年之后的今天，我们站在岔口再次选择，或工作、或出国、或读研就要各奔前程，每个人收获的果实不一样，但母校潜移默化的影响，对母校深深的眷恋，却将同样长久地伴随我们.四年归化于宁师，此生难改其印记.感谢陈志恩老师，还清晰的记得第一次见陈老师的情形.既有些不知所措，又想竭力表现以博得老师的关注.陈老师严谨的学术态度和温和的为人处世原则，润雨细无声，默默浸润着我的学习和生活.在论文的写作过

41、程中，从论文理论框架、到资料的收集、整个论文的架构乃至细节之处的修改，陈老师无不悉心指导，论文之内，我有成长，论文之外，更是受益良多.在此，向导师表示由衷的感谢，谢谢您陈老师.身处这么一个大环境，有这么多人的帮助，我欣喜：毕设是成功的，大学四年完整了.最后，最应该感谢的是千里之外的父母家人对我的容忍、坚定支持和无言奉献.四年，谢谢你们！以及非单人旁的“你”们！参考文献1 沈英芝、生晓清.考试周刊J.吉林：考试周刊杂志社.2011.46.2 任勇.考试-高考数学版J. 北京:数学教学通讯，光明日报出版社.2003.3 郭正华、徐立杰.中学生数理化J.河南:河南教育报刊社.2001.2.4 王泽生.数学通讯.J武汉:高中数学教与学，华中师范出版社.1997.05.5 高尚华.数学分析M北京：华东师范大学数学系，高等教育与出版社1981.16 周海.导数在研究函数中的应用J.中国校外教育，四川科学技术出版社.2008.7 张海燕.高中函数解题教学的研究J.湖南师范大学.2012:68 毛巨根.证明不等式的一种巧妙方法-构造辅助函数法J.2009.9 宋健. 高中学生函数概念理解水平的初步研究J2010.