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1、函数单调性及其应用毕业论文目 录摘要IIABSTRACTIII引言IV第一章 正确理解单调函数的定义11.1 函数单调性定义的通俗解释11.2 函数单调性实现了函数值与自变量大小之间的相互转化11.3 抓住函数单调性定义中的关键词1第二章 单调函数的一般判定方法32.1 定义法32.2 图像法32.3 运算法32.4 复合函数法4第三章 单调函数的其他判定方法53.1 作差法53.2 作商法63.3 利用反函数的单调性73.4 利用和、倍、积、倒函数的单调性83.5 利用复合函数的单调性83.6 换元法93.7 导数法93.8 综合法10第四章 函数单调性在解题当中的应用124.1 比较两个数
2、的大小124.2 证明与正整数有关的命题124.3 解方程134.4 证明不等式134.5 求参数的取值范围14结论16参考文献17致谢18单调函数及其应用学生 XXX 指导教师 XXX摘要 函数单调性是一条重要的数学概念，我们不能忽略对其定义的理解，本文第一章从函数定义的根本上对函数定义及定义的难点进行阐述。抓住函数单调性定义中的关键词，例如：二次函数，在轴左侧是减函数，而在右侧是增函数，所以不能笼统的是增函数或减函数。还要注意：不是任何一个函数都有单调区间的。例如它无单调区间。本文第二、三章对函数单调性的判定方法进行了系统性的归纳。其中最基本，最实用的当为定义法，根据函数单调性的定义，在定
3、义区间取两个不相同的值，然后通过作差，变形，定号，然后得出结论。单调性是函数的一个基本性质，该性质有广泛的应用，本文第四章分别从五个方面对函数单调性的应用进行简要的举例说明。关键词：函数单调性;高中数学;数学概念MONOTONE FUNCTION AND ITS APPLICATIONStudent: Zhu Supervisor: ChenABSTRACT Function Monotonic function is an important mathematical concepts, we cant ignore the understanding of its definition,
4、this chapter from the function definition of a fundamental definition of the function definition and the difficulty to elaborate. Grasp the definition of monotonic function of key words, such as: a quadratic function，Is a decreasing function of the left in the Y shaft, while the right side is an inc
5、reasing function. Also note: there is not a function of any monotone interval.Such as: It is not monotone interval. In the second, chapters on the determination method of monotone functions were systematically summarized. Of which the most basic and useful when the definition of law, according to th
6、e definition of monotonic function, the definition of taking two different range values, and then for worse, deformation, set number, and then draw conclusions. Monotonic function of a fundamental nature is the nature of a wide range of application, this chapter were from the five aspects of the app
7、lication of Function Monotonicity brief.Key words: Monotonic function；High School Math；Mathematical concepts引言函数是高中数学的中心内容，几乎渗透到高中数学的每一个角落，它不仅是一条重要的数学概念，而且是一种重要的数学思想。而函数的单调性则是函数的一条重要性质，它是历年高考重点考查的重要内容，它的应用十分广泛。通过研究函数的单调性可以揭示函数值的变化特性，对于一些学问题，若解题中注意应用函数的单调性，合理巧妙地加以运用，定会带来快捷的解题思路，可以使问题的解决简捷明快。函数的单调性应用很
8、广泛，可以解决很多相关的数学问题。在完成函数单调性概念的意义的建构后，对函数单调性概念的反思辨析也是重要的一环。本文以点带面，在总结前人成果的基础上，在函数单调性定义、函数单调性判定方法、函数单调性应用等方面做出简要的讨论。第一章 正确理解单调函数的定义1.1 函数单调性定义的通俗解释在增函数定义中，“当时，都有”描述了随的增大而增大；减函数定义中，“当时，都”有描述了随的增大而减小。所以增函数就简单而言是在相应区间上“较大的自变量对较大的函数值，较小的自变量对较小的函数值”，即“大对大、小对小”；减函数在相应的区间上“较大的自变量对应较小的函数值，较小的自变量对应较大的函数值”，即“大对小、
9、小对大”。1.2 函数单调性实现了函数值与自变量大小之间的相互转化（1）若函数在某个区间上是增函数，则有，（2）若函数在某个区间上是减函数，则有，1.3 抓住函数单调性定义中的关键词（1）给定“某个区间”：增函数、减函数是相对于某个区间而言的，离开相应区间就根本谈不上增减性。例如对于定义域中单独的一个点函数就没有增减变化，所以不存在单调性的问题。因此函数的单调性是在函数的定义域区间或其子区间上的性质，是局部性质。例如二次函数，在轴左侧是减函数，而在右侧是增函数，所以不能笼统的说是增函数或减函数。还要注意：不是任何一个函数都有单调区间的。例如，它无单调区间。（2）属于该区间的“任意两个”和“都有
10、”：属于该区间，即是两自变量都必须取自给定区间，不能从区间外取。若区间都是闭的，能否取其端点？当然可以。“任意两个”是指不能取特定的值来判断，而“都有”则是说只要，就必须恒有或者恒有。如在区间上，若取定两个特定的值，显然，而，有；取，有。可见不能说在区间上是增函数或者减函数。因此要判断函数在某个区间是增函数或减函数，不能由特定的两个点来判断，必须严格依照定义：在给定区间任取两个，根据他们的函数值和的大小来判断其增减性。（3）函数的两个单调区间一般是不可以取其并集。如：在区间上是单调递减的，并且在上也是单调递减的，只能说和是函数的两个单调递减区间，不能说是原函数的单调递减区间。第二章 单调函数的
11、一般判定方法2.1 定义法用定义判定或证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤：（1）设定：在给定区间上任取两个值，且；（2）作差变形：作差，通过因式分解、配方、分母有理化等方法将差变形为几个最简因式的连乘积或几个非负数的和，即向有利于判断差的符号的方向变形；（3）定号：判断上述差变形后的符号，若不能确定，则可分区间讨论；（4）结论：根据差的符号，得出单调性的结论。即“取值作差变形判断定号得出结论”几个步骤。2.2 图像法要了解函数在某一区间是否具有单调性，从图像上进行观察是一种常见而又较为粗略的方法，但严格的说，它需要根据函数单调性的定义进行证明。2.3 运算法（1）若函数、在公共定义域区间上
12、都是增（减）函数，则任是增（减）函数。（2）若函数、在公共定义域区间上，增，减，则增，减。2.4 复合函数法设在定义域为，的定义域是，值域为，若，则关于的函数叫做函数与的复合函数，叫做中间量。结论1 若函数在区间上是增函数，又函数在区间上是增（减）函数，那么，复合函数在区间上是增（减）函数。结论2 若函数在区间上是减函数，又函数在区间上是减（增）函数，那么，复合函数在区间上是增（减）函数。结论1和结论2可简述为：同增异减。第三章 单调函数的其他判定方法函数的单调性是函数的一个重要特性，它在比较大小、求函数值域(最值)、 方程、解证不等式以及参数取值范围等方面有着广泛的应用，因而它在高中数学和大
13、学数学中均有重要地位运用函数的单调性解题，首先要能迅速判定函数的单调性下面列举八种判定方法，以拓展解题思路，完善认知结构，提高思维效率。3.1 作差法设、是某区间上任意两点，且的正负，确定与的大小，从而判定函数的单调性。这种方法是判定函数的单调性最常用的方法。用定义证明在上的减函数。证明 设、，且，则故在区间上是减函数。已知函数对任意，都有，且时，试判断的单调性。解 令，得令，得设,则所以，故函数在上为减函数。3.2 作商法若在某区间上的值恒正，则可以设，属于某区间，且，利用与1的大小关系，确定与的大小，从而判定函数的单调性。设函数定义在上，对于任意实数，恒有，且当时，。求证：是上的减函数。证
14、明 令，则令，则又，且故对任意设，并设，则故是上的减函数。3.3 利用反函数的单调性如果函数的定义域为区间，值域为区间，且函数存在反函数，则函数在上与函数在区间上具有相同的单调性。例4 函数的反函数是（ ）。是奇函数，在上是减函数是偶函数，在上是减函数是奇函数，在上是增函数是偶函数，在上是增函数解 因函数在上都是增函数，故函数在上是增函数。因，故函数在上是奇函数。又函数与其反函数的单调性相同，且同为奇函数，故选C。3.4 利用和、倍、积、倒函数的单调性为下面叙述方便起见，我们先做如下约定：若恒有，则函数叫做正值函数；若很有，则函数叫做负值函数。在判定函数单调性时常常用到以下几个结论：两个增（减
15、）函数之和仍为增（减）函数。若函数为增（减）函数，则当时函数为增（减）函数，当时函数为减（增）函数。正（负）值函数若为增（减）函数，则其倒数函数为减（增）函数。两个正值增（减）函数之积为增（减）函数，两个负值增（减）函数之积为减（增）函数。例5 讨论函数的单调性。解 函数的定义域为，在此区间上、均为增函数。由（3）知为减函数，由（2）知为增函数，由（1）知函数在区间上为增函数。3.5 利用复合函数的单调性关于复合函数的单调性有下面两个结论：若函数在区间上是增（减）函数，且在上的值域为区间，函数在上是增（减）函数，则复合函数在上是增函数。若函数在区间上是增（减）函数，且在上的值域为区间，函数在上
16、是减（增）函数，则复合函数在上是减函数。上面两个结论简记为“同增异减”。例6 讨论函数的单调性。解 函数的定义域为.令,则函数在区间上为增函数，。在上为减函数，在上为增函数。当时，所以函数在区间上为减函数。当时，。所以函数在区间上为增函数。3.6 换元法换元转化，建立一一对应，通过研究一个新函数的单调性，获得所求函数的单调性。例7 已知函数，写出函数的单调区间。解 设，则当，即时，函数单调递增，递增区间是。当，即时，函数单调递减，递减区间是。3.7 导数法利用导数判定函数的单调性，层次清楚，操作方使，简便易行，且不容易出错。例8 讨论函数在区间上的单调性。解 ，设，则函数在区间上是增函数，函数
17、在区间上单调递增。3.8 综合法数学解题，要“因题定法”。在实际解题时，某些问题需综合多种方法，变通使用，才能优化求解过程。例9 设，判断此函数的单调性，并加以证明。分析 若函数解析式变为则由在区间上为减函数，可以发现在定义域上是减函数。证明 设，则故，函数在上是减函数。第四章 函数单调性在解题当中的应用单调性是函数的一个基本性质，该性质有广泛的应用，主要用于如下几个方面：4.1 比较两个数的大小例1 比较和的大小。分析 从题设的两个对数，便想起了在上是单调增函数，因此只要比较两个真数的大小，原题就可以获解。解 由，解得。当时，有。因函数在上单调递增，故。4.2 证明与正整数有关的命题已知，且
18、，求证。分析 欲证，需证。可令，通过计算，易知是单调函数。由此，原命题迎刃而解。证明 构造函数，因为且，故所以是单调递减函数又所以即4.3 解方程例3 解方程。分析 令，显然，在公共定义域内，是增函数，是减函数。直接验证知。以此为基础，用函数、的单调性即可求出原方程的解。解 设，在公共定义域内，是增函数，是减函数，又显然，所以方程仅有一解。故原方程的解是。4.4 证明不等式在证明不等式中，通过联想构造函数，将常量作为变量的瞬时状态，置于构造函数的单区间内，利用其单调性证明一些不等式，十分便捷。例4 已知、，求证。分析 直接求证非常困难，观察条件及所证明结论不难发现、是对称的，变形所证不等式为，
19、其中。解 构造函数，只需证时恒成立。当时，恒成立。 当时，一次函数在上是单调的。因为所以在上恒大于零。综上，当时，恒成立。4.5 求参数的取值范围例5 已知是奇函数，在实数集上又是单调递减函数，且时求的取值范围。分析 因已知函数是奇函数，将已知不等式移向后可得。根据是减函数脱去，然后由式子特征构造相应单调函数。解 由题设知时因为在上是减函数，故有构造函数，它在上是减函数，值域为，故。综上所述，用函数单调性解题的关键是通过观察、分析、联想、构造一个适当的函数。若构造的这个函数的单调性不明显，则需证明它具有单调性（如例2），然后根据函数的单调性去求解或证明。结论以上内容，说明函数单调性在求最值、解
20、不等式、恒成立及解方程根等问题中的巧用，有些问题，看起来好象与单调性无关，但只要我们注意观察，构造适当的函数，就可应用单调性来解当然解题时往往需要合理地架设“桥梁”，即“化归”，化归是一种重要的解题策略，培养善于转化的能力不可能一蹴而就，需要在牢固掌握函数单调性的定义和性质的基础上进行专门的培养和训练。首先，要注意知识间的沟通与联系，尤其是横向联系，这样才能为灵活解题、善于变换命题打下坚实的基础；其次，当问题感到难于入手时应进行联想，联想是接通思路的桥梁，从不同的角度，不同的方向去审视，容易发现转化的入口处。参考文献1 管宏斌.诠释函数单调性.数理化解题研究2009年第9期2 林明成.函数单调
21、性的判定.高中数学教与学 2008年第9期3 赵欣荣.函数单调性在解题中的应用.立刻考试研究.数学版 2008年8月1日4 宁瑞、李昌勇.函数单调性层次的教学理解.人教版全日制普通高级中学教科书(实验修订本)数学第一册(上).2000年版.致谢衷心感谢我的指导老师XXX教授，他渊博的专业知识，严谨科学的治学态度，精益求精的工作作风，一丝不苟、锲而不舍的精神，和对数学研究的独到见解，对我产生了深远的影响，使我终身受益. 感谢他指引我进入一个崭新的研究方向，感谢他时刻关心着我的论文进度并认真耐心地指导毕业论文，使得本文能够顺利完成. 在陈顺清老师的指引下，我对论文写作有了初步的了解，具有了一定的独立科研能力. 能够成为陈顺清老师的学生，乃人生一大幸事. 在此成文之际，谨向导师陈顺清教授致以我最崇高的敬意和衷心的感谢，并祝XX老师及家人身体健康，生活幸福.感谢四川文理学院的老师和领导，感谢他们在我读书期间所给予的关心和帮助。感谢同窗XXX、XXX、XXX、XXX以及其他师兄妹，非常高兴能与他们一起学习讨论.最后，感谢我的家人，感谢他们对我永远的支持与鼓励！
