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1、本科生毕业论文（设计）半环上的区间值直觉模糊h-理想院 系： 数学学院 专 业： 数学与应用数学 2012年6月2012 Annual Graduation Thesis (Project) of the College UndergraduateInterval Valued Intuitionistic Fuzzy h-ideals of HemiringsDepartment: College of MathematicsMajor: Mathematics and Applied MathematicsGrade: 2008Students Name: Shen TieStudent
2、No.: 200805050149Tutor: Huang Xiaokun（lecturer）June，2012毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名： 日期： 毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解红河学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版有权将论文（设计）用于非
3、赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容保密的论文（设计）在解密后适用本规定 作者签名： 指导教师签名：日期： 日期： 沈 铁 毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单姓名职称单位备注李绍林副教授红河学院数学学院组长黄晓昆讲师红河学院数学学院组员何应辉讲师红河学院数学学院组员刘伟讲师红河学院数学学院组员摘 要本文考虑区间值直觉模糊集理论与半环结构相结合的问题.首先在半环上给出了具有区间边界值的区间值直觉模糊左（右、双）理想和具有区间边界值的区间值直觉模糊h-左（右、双）理想的定义，并对它们的若干性质进行了研究.其次，通过对两个区间值
4、直觉模糊集之间的普通包含关系进行了推广，定义了一种更为一般的关系（），并通过此关系对半环上具有区间边界值的区间值直觉模糊h-左（右、双）理想进行了刻画.本文所获得的有关结论在一定程度上完善和丰富了半环的不确定性理论体系.关键词：半环；区间值直觉模糊集；区间边界值；h-理想ABSTRACTIn this paper, the connection between an interval valued intuitionistic fuzzy sets and a hemiring is considered. The notion of an interval valued intuitioni
5、stic fuzzy left (resp. right, bi-) ideals and the notion of an interval valued intuitionistic fuzzy left (resp. right, bi-) h-ideals with interval valued thresholds of a hemiring are introduced and some related properties of them are investigated. Finally, as an important generalization of the relat
6、ion between two interval valued intuitionistic fuzzy sets, a new ordering relation between two interval valued intuitionistics fuzzy sets are introduced. Using this relation, some equivalent theorems of interval valued intuitionistic fuzzy h-ideals with interval valued thresholds of a hemiring are o
7、btained. Above work improved the uncertainties of the theory of hemirings.Keywords：Hemirings; Interval valued intuitionistic fuzzy sets; Interval valued thres- holds; h-ideals目 录第一章 引言1第二章 预备知识32.1区间值直觉模糊集32.2 半环及其h-理想4第三章 半环上的区间值直觉模糊集的运算6第四章 半环上的区间值直觉模糊h-理想12第五章 小结18参考文献19致谢21第一章 引言半环的理论作为普通环的推广而被提
8、出，目前已经应用到很多领域，比如说应用数学、信息科学等诸多领域1, 2.众所周知，理想在半环的结构理论中占有重要的地位，然而半环的理想与普通环的理想之间存在着较大的差异性，因而其应用也受到了一定的限制.为解决这一问题，Henriksen在半环上定义了一种较为严格的理想k-理想3,随后Lizula又给出了比k-理想更为严格的h-理想4.1965年，美国计算机科学家Zadeh首先提出了模糊集的概念5，Rosenfeld将模糊集理论与代数群相结合，给出了模糊子群的定义，开创了一个新的数学分支模糊代数6.此后，很多学者在代数结构的模糊化方面做了大量的研究工作，获得了大量有意义的成果，其中就包括了很多对
9、于模糊半环的研究.1994年，Dutta介绍并研究了半环的模糊素理想7，接着Ghosh又对半环的模糊k-理想进行了研究，Jin和Zhan则对半环的模糊h-理想进行了深入的讨论8, 9.此外该领域的研究工作同样出现在其他的文献中10-12.模糊集理论已被实践证明在刻画事物的模糊性方面有着不可替代的作用，它在诸多应用科学和理论科学中都取得了巨大地成功.然而随着研究工作的不断深入，模糊集已经不能满足许多实际问题的需要.由于客观事物的复杂性和不确定性，直觉模糊性事物中的隶属度和非隶属度有时很难用精确的实数值表示，而用区间数表示是比较合适的，为此，区间直觉模糊集早在1975年就被人们作为模糊集的推广而引
10、入13, 14.从那时起，区间值模糊集被广泛的应用于数学、信息科学、医学、环境等诸多领域.1989年，为了给出一种能够更为有效地处理直觉模糊性(Vagueness)事物的理论工具，Atanassov和Gargov15又对直觉模糊集进行了推广，提出了区间值直觉模糊集的概念，并且定义了区间值直觉模糊集的一些基本运算法则及运算性质.本文在此基础上，将区间值直觉模糊集应用到半环理论中，给出了半环上的具有区间边界值的区间值直觉模糊左理想和直觉模糊双理想的定义，继而给出了具有区间边界值的区间值直觉模糊h-理想和区间值直觉模糊h-双理想的定义，并对它们的相关性质进行了讨论，重点介绍了具有区间边界值的区间值直
11、觉模糊h-理想和具有区间边界值的区间值直觉模糊h-双理想的若干等价定理.本文共分为五个部分，第一部分为引言，主要介绍一些与本文有关的背景知识和研究现状；第二部分为预备知识，重点回顾一些在本节的讨论中将要使用的一些基本概念和性质；第三、第四部分为本文的核心部分，此两部分首先介绍了半环上的区间值直觉模糊集的运算，并对它的一些运算性质进行了讨论，其次介绍了半环上的区间值直觉模糊左理想与双理想，给出了它们的一些等价关系，进而给出了半环上的区间值直觉模糊h-左理想与区间值直觉模糊h-双理想的定义并讨论了它们的一些性质和等价关系.第五部分为小结，对本文的工作进行了总结和反思，并对后继研究工作进行了展望.第
12、二章 预备知识2.1区间值直觉模糊集本文用表示单位闭区间，即.定义2.116 令，则将中的元素称为上的区间数. 对，规定，则显然有.假设，是两个区间数，规定它们的运算及关系如下：(1)；(2)；(3)且；(4)且；(5)且；(6)；(7).定义2.217 对于区间数，我们规定：(1)；(2)；(3)，.定义2.316 设是一个经典集合，映射称为上的一个区间值模糊集.定义2.415 设是一个非空集合，则称为区间值直觉模糊集，其中，且满足条件在本文中，我们用符号表示上的所有区间值直觉模糊集全体构成的族.定义2.515 设与为两个区间值直觉模糊集，我们定义：(1)；(2)；(3).将定义2.5的(2
13、),(3)进行直接推广，可以得到如下的定义：设，则(1)；(2).2.2 半环及其h-理想定义2.618 非空集和两个分别称为加法和乘法的二运算构成的代数系统称为一个半环，如果它满足：(1)和都是半群，且是交换半群；(2)和满足左右分配律，即，,，,；(3)有一个零元，对任意的均满足,.例2.1 设，规定它的加法和乘法的运算“”和“”如下： 容易验证，与代数运算和构成一个半环.定义2.718 半环的子集称为的一个左（右）理想，如果.半环的子集称为的一个双理想，如果.半环的一个左理想称为一个h-左理想，如果它满足：例2.2 考虑例2.1中的半环，则集合与集合分别是半环的h-理想与h-双理想. 容
14、易看出，半环的h-左理想和h-右理想都是半环的h-双理想.第三章 半环上的区间值直觉模糊集的运算在下文中，为了简单起见，我们用符号表示一个区间值直觉模糊集，此外若无特别说明，总表示一个给定的半环.定义3.1 设,规定与的h-积如下：，(i)当可以表示为时，(ii)当不能表示为时，.性质3.1 设，则.定义3.2 设，规定上的序关系如下：且 .其中，.由定义3.2易知，及满足.则.引理3.1 设且满足.则(1)；(2)；(3).证明 (1)显然，.所以.(2)对任意的，由和，得，.于是，.所以.(3)对任意的，由和，得，.于是 ， .所以.引理3.2 设满足且，且满足与,则(1)；(2).证明
15、(1)对任意的，由和，得，.于是 ， .所以.(2)对任意的，(i)当可表示为时,我们有 ， .所以.(ii)当不能表示为时，由定义有,，于是，不等式与显然成立. 所以.注：引理3.2中的(1)是引理3.1中的(3)的推广.定义3.3 设是一个半环且满足，我们定义上的二元关系：，且.显然，序关系满足反身性、对称性和传递性，因此是上的一个等价关系.定义3.419 设是半环且，定义的h-闭包如下：定义3.5 设是的一个子集，称映射，为集合的区间值特征函数.设是半环且,是的区间值特征函数，记,其中，则是一个区间值直觉模糊集.性质3.2 设是半环且.则(1)当且仅当对满足，均有；(2)；(3).证明
16、设是上的区间值特征函数,是上的区间值特征函数，即，.(1) 假设，则有，所以.(2)由定义2.5与定义3.5立得.(3),若,则有,使,且,即,，于是,进而，即，.因此且,即.注意到上述过程都是可逆的，故也有成立，定理得证.最后给出区间值直觉模糊集的加法运算.定义3.6 设,，规定的和如下(i) 当可以表示为时，(ii) 当不能表示为时，,第四章 半环上的区间值直觉模糊h-理想 对有普通边界值的直觉模糊h-左（右、双）理想进行推广，将得到具有区间边界值的区间值直觉模糊h-左（右、双）理想.定义4.1 设且满足.称为一个具有区间边界值的区间值直觉模糊左理想，如果对，有(A1)；(A2)；(A3)
17、；(A4).例4.1 设，且，满足，考虑例2.1中的半环，定义半环的区间值直觉模糊子集如下：，.不难验证是一个具有区间边界值的区间值直觉模糊左理想.定义4.2 设且满足.称为一个具有区间边界值的区间值直觉模糊双理想，如果对任意的，有(B1)；(B2)；(B3)；(B4)；(B5)；(B6).例4.2 考虑例4.1中的定义，不难验证是一个具有区间边界值的区间值直觉模糊双理想.定义4.3 半环的一个具有区间边界值的区间值直觉模糊左理想(右理想、理想、双理想)称为一个具有区间边界值的区间值直觉模糊h-左理想(h-右理想、h-理想、h-双理想)，如果满足(C1)且 .特别的，半环的一个具有区间边界值的
18、区间值直觉模糊h-左(右、双)理想被称为一个区间值直觉模糊h-左(右、双)理想.引理4.1 设满足条件(C1),满足，(1) 定义4.1中的条件(A3)，(A4)等价于；(2) 定义4.2中的条件(B5)，(B6)等价于；(3) 定义4.1中的条件(A1)，(A2)等价于；(4) 定义4.2中的条件(B3)，(B4)等价于.证明 (1),若不能表示为，则显然若可以表示为时，则由定义4.1中的条件(A3)，(A4)及条件(C1)有， 综上可得，.反之，假设成立.由于对，显然有，于是，我们有 ，因此定义4.1中的条件(A3)，(A4)成立.(2),(3)和(4)的证明与(1)类似.定理4.1 半环
19、的区间值直觉模糊集是的一个具有区间边界值区间值直觉模糊h-左(右)理想当且仅当满足条件(C1)和(1)；(2)().证明 由定义4.1与引理4.1立得.定理4.2 半环的区间值直觉模糊集是的一个具有区间边界值区间值直觉模糊h-左理想当且仅当满足条件(C1)和(1)；(2)；(3).证明 由定义4.1与引理4.1立得.定理4.3 设是半环且，则(1)是的h-左(右)理想当且仅当满足，是的具有区间边界值的区间值直觉模糊h-左(右)理想；(2)是的h-双理想当且仅当满足，是的具有区间边界值的区间值直觉模糊h-双理想.证明 我们仅证明h-左理想的情况，其它情况可类似证明.(1)必要性. 假设是的h-左
20、理想，以下分三步证明是的具有区间边界值的区间值直觉模糊h-左理想.(a)，考虑下列两种情形.情形I：,都属于，则有从而于是有,.情形II：与至少一个不属于，则,.(b)，我们考虑下列两种情形.情形I：,则从而于是有,.情形II：，则，于是,.(c)满足，考虑以下两种情形.情形I：，则，从而有，于是有,.情形II：若中至少一个不属于，则,.充分性.若是的具有边界值的区间值直觉模糊h-左理想，要证明是的h-左理想，我们证明以下三个条件成立.(a),则.由条件(A1)可得，又因为，所以，即.(b)，则.由条件(A3)得，又因为，所以，即.(c)满足，则，由条件(C1)可得，又因为，所以，即.(2)的
21、证明与(1)类似.定理4.4 半环的每一个具有区间边界值的区间值直觉模糊h-左(右)理想都是的具有区间边界值的区间值直觉模糊h-双理想.证明 仅证明h-左理想的情况，h-右理想的情况可类似证明.设是半环一个具有区间边界值的区间值直觉模糊h-左理想，要证明是半环具有区间边界值的区间值直觉模糊h-双理想，只需证明满足定理4.2中的条件(2),(3).由已知，满足条件定理4.1中的条件(1),(2).并注意到，于是根据引理3.5，我们有且.故是半环一个具有区间边界值的区间值直觉模糊h-双理想.第五章 小结本文通过将区间值直觉模糊集概念应用到半环结构理论中，给出了半环的一些特殊的区间值直觉模糊理想，即
22、具有区间边界值的区间值直觉模糊h-左(右)理想和h-双理想，并对他们的一些性质进行了研究.此外，通过对两个区间值直觉模糊集之间的普通包含关系进行了推广，定义了一种更为广泛的关系，并利用此定义，对半环上具有区间边界值的区间值直觉模糊h-左(右)理想和h-双理想的定义进行了描述，给出了区间值直觉模糊左理想和双理想的几个等价条件.本文得到的一些新的结论表明，具有区间边界值的区间值直觉模糊h-理想是具有普通边界值的直觉模糊h-理想的推广，即具有普通边界值的直觉模糊h-理想在一定范围内也满足具有边界值的直觉模糊h-理想的相关条件.然而，本文的工作是将具有普通边界值的直觉模糊h-理想的外延进一步扩大，这在
23、一定程度上丰富了直觉模糊半环理论，但对于具有区间边界值的区间值直觉模糊h-准理想和具有区间边界值的区间值直觉模糊h-素理想，在本文中考虑不足；另外，能否利用具有区间边界值的区间值直觉模糊h-理想来刻画半环的特征？这些方面还需要很多工作待于探讨.因此，作者在以后的工作和学习中将致力于此方面的研究.参考文献1 K. Glazek. A Guide to the Literature on Semirings and their Applications in Mat-hematics and Information Sciences: With Complete Bibliography M. K
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30、 The characterizations of h-hemi- regular hemirings and h-intra-hemiregular hemiringsJ. Inform. Sci., 2008, 178(17): 3451-3464.致谢经过半年多的学习和工作，我终于完成了我的论文.从开始的开题报告，到论文文章的完成，都是在黄晓昆老师的细心指导和严格要求下顺利完成的.衷心的感谢我的指导老师黄晓昆，本毕业论文设计是在他的悉心关怀和精心指导下完成的.毕业设计中的很多思想和方法得益于指导老师的指导和启发，从设计选题到论文写作都倾注了指导老师的巨大心血.本论文设计能顺利完成也归功于
31、各位2008级数学与应用数学专业任课老师的认真负责，使我们能够很好的掌握和应用专业知识，并在论文设计中得以体现.在次向数学学院的全体老师表示由衷的谢意，感谢他们四年来的辛勤栽培.其次要感谢我们的班主任何萍老师，四年的生活相处不久，却从你的身上学到了很多，必将终身受益.老师们教会我们的不仅仅是专业知识，更多的是对待学习、对待生活的态度.感谢我的父母亲，你们是我力量的源泉，是在你们的悉心照料和支持下让我顺利的完成了学业.感谢08级数学与应用数学的所有同学，因为有你们的帮助，我的论文得以顺利的完成.在这四年中我们一起生活，有很多很开心和很难忘的事情，让我们一起把它留在心里.最后感谢数学学院和我的母校红河学院大学四年来对我的栽培.
