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1、古塔变形情况的分析与改进【摘要】 “盛世修古建”随着我国经济实力的不断发展，古建的保护和改善也成为了国家所关注的事。因为自然灾害所带来的影响，使古建发生了不同的形变。本案例研究的是古塔变形的问题，要求是在自然的影响下对古塔的变形进行假设和分析。而对本文所提出的问题，我们采用了数据的平均与分析处理，倾斜、弯曲、扭曲各因素之间相互独立互不影响和模型的大胆想象与小心求证使我们得出了该塔具体的倾斜，弯曲，扭曲的情况。通过对问题的假设及分析求解中，我们所建立的模型简单且改进措施方便，并且能推广到更多的古塔保护问题上，具有很大的优势。最后我们组员结合对本次数学建模的学习，实践，写出了我们的感想。我们的理解
2、阐述了数学建模的概念，步骤以及我们在此过程中遇到的问题。【关键词】数据分析 投影 线性规划 函数 对比影响 措施、问题重述由于长时间承受自重，气温，风力等各种作用，偶然还要受地震，飓风的影响，古塔会产生各种变形，比如倾斜，弯曲，扭曲等。为保护古塔，文物部门需要适合时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。管理部门委托测绘公司先后于1986年7月，1996年8月，2009年3 月和2011年3月对该塔进行了4次观测。根据附件1提供的4次观测数据，讨论以下问题；1.给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。2.分
3、析该塔倾斜，弯曲，扭曲等变形情况。3.分析该塔的变形趋势。、符号说明职工工资总额，元；2000-2024年职工工资总额，元；、模型假设1.假设第一问中所得的图为八边形 ； 2.假设塔的变形过程中倾斜，弯曲，扭曲是互不影响的；3.假设在倾斜过程中没有弯曲与扭曲，在扭曲过程中没有倾斜与弯曲，在弯曲过程中没有扭曲与倾斜。、问题分析1. 对于问题一，是一个数据平均处理问题，它涉及到许多变量及假设。假设附件1给出的每层8个数据均选在塔的方位所测，并且这8个点恰好能够成一个平面，若要求塔的中心相当于求这几个面的中心，再将其连接所得就是塔的中心。2.对于问题二，可认为是三个小问，即分别研究古塔的倾斜，弯曲，
4、扭曲三种情况。我们先采取从整体到部分的情况，倾斜是指基础两端点倾斜方向的沉降差与距离的比值，而弯曲即可看成是将塔中心分别投影在面XOZ与面YOZ上，最后将中心投影在面XOY上即可得到扭曲变形情况。最后应用线性回归的方法看倾斜，弯曲，扭曲三种变形情况中哪种变形更严重或者任二种或三种都存在，进而我们建立一个通俗易懂的模型来给予解决及改进。3.根据给定的四次数据推测古塔倾斜、弯曲、扭曲的变化趋势。、问题求解问题一1.由附件（1）所测的四次数据可得此塔的大致形状如下图，其中（1986年用蓝色绘制；1996年用绿色绘制；2009年用黄色绘制；2011年用红色绘制）并将四个图画在同一个空间中，可以更清晰的
5、看出此塔的每年变形情况。从而更有利于我们分析此塔的变形情况。（用MATLAB画图程序见附录（一）2.对第一层坐标分析得此图。（用MATLAB画图程序见附录（二）由上图可知该图形并非为平面八边形结构，而是一个空间不规则的图形，而现在我们假设它为规则规则几何体来求解，由所学知识可知，规则的几何图形他的重心即为中心，由几何重心公式： 可得出1986年的中心坐标数据（见如下表格），而用拟合的方法得到的数据（见如下表格）。（用MATLAB程序见附录（三）1986（算数中心）1986（拟合中心）xyzxyz566.66475522.71051.787375566.665522.7091.787375566
6、.71963522.668387.32025566.7225522.6717.32025566.7735522.6272512.75525566.7786522.63512.75525566.81613522.5943817.07825566.8226522.60617.07825566.86213522.5591321.7205566.8698522.57521.7205566.90838522.5243826.23513566.9185522.54426.23513566.94675522.5081329.83688566.9521522.52729.83688566.98425.522.
7、4923833.35088566.9846522.5133.35088567.02175522.4763836.85488567.0176522.49336.85488567.05688522.4623840.17213567.0476522.4840.17213567.1045522.42344.44088567.1013522.43944.44088567.15175522.3836348.71188567.1552522.39848.71188567.085522.7402952.83429567.1767522.45752.83429综上所述：可知1986年的中心坐标不论是用算术平均还
8、是用拟合的方法得到的数据非常接近，因而此塔接近于一个标准几何体，从而我们可以认为每一层的8个点连接起来相当于一个八边形，所以我们假设1中的该图形为八边形成立。因为以上数据可以证明该塔近似接近于一个规则几何体，所以该塔每层的重心近似可以看作各塔层中心，由通用公式可以得出该塔中心的通用方法。并通过计算，我们分别得出了1986、 1996 、2009 、2011年的塔各层的中心位置如下：19861996xyzxyz1566.66475522.71051.787375566.665522.71021.7832566.71963522.668387.32025566.7205522.66747.3146
9、33566.7735522.6272512.75525566.7751522.625612.75084566.81613522.5943817.07825566.8183522.592217.07515566.86213522.5591321.7205566.8649522.556321.7166566.90838522.5243826.235125566.9118522.52126.22957566.94675522.5081329.836875566.9506522.504229.83238566.98425522.4923833.350875566.9884522.488133.3454
10、9567.02175522.4763836.854875567.0265522.471436.848310567.05688522.4623840.172125567.062522.457240.167611567.1045522.42344.440875567.1102522.417344.435412567.15175522.3836348.711875567.1578522.377548.707413567.085522.7402952.834286567.0912522.73452.8320092011xyzxyZ1566.7268522.70151.7645566.727522.70
11、141.763252566.764522.66937.309566.7642522.6697.29053566.8001522.638412.73225566.8004522.638712.726884566.8293522.613217.06975566.8297522.612717.0525566.8604522.586621.70938566.861522.58621.703886566.9471522.534226.211566.9478522.533526.20457566.9792522.512329.82463566.98522.511529.8178567.0305522.47
12、9733.33988567.0313522.478833.336639567.0816522.446636.84375567.0825522.445736.8222510567.137522.393740.16113567.1381522.392640.1441311567.1799522.354744.43263567.181522.353544.4248812567.2225522.31648.69975567.2238522.314748.6838813567.2712522.271552.81838567.2725522.270152.81313由上述数据可得出每年该塔的中心，为了方便
13、比较，我们把中心图和塔模型结合起来得到下列模型问题二根据第2小问很明显我们可以得出我们应该分别研究古塔的倾斜、弯曲、扭曲三种情况。我们首先采取从局部到整体的情况，倾斜是指基础的两端点倾斜方向的沉降差与其距离的比值。1）我们先取1986年中心坐标建立一个空间三维图。（用MATLAB程序见附录（四）由上图看出此塔有倾斜的可能，那么我们就可以把这四次的中心坐标图形建立在一个空间里面得出下图，其中（1986年用蓝色绘制；1996年用绿色绘制；2009年用黄色绘制；2011年用红色绘制）并将四个图画在同一个空间中，可以更清晰的看出此塔的每年变形情况。（用MATLAB程序见附录（五）由上图我们很明显可以看
14、出1986年和1996年的两条倾斜线几乎重合，2009年和2011年的两条倾斜线几乎重合，而1986年和1996年与2009年和2011年相比可得出这两组线明显发生了角度的倾斜，所以上图就证明了该塔一点发生了倾斜。2）弯曲，即不直。可以分为形变弯曲及空间弯曲。当杆件受到与杆轴线垂直的外力或在轴线平面内的力偶作用时，杆的轴线由原来的直线变成曲线，这种变形叫弯曲变形。曲率处处不为零的空间称为弯曲空间。所以我们下面就应该求出该塔中心的曲率。两点间空间距离为方程： 由附件1的数据带入以上的函数可以得出，层于层之间的距离，然后再把该距离与竖线构成的夹角成为i，所得数据如下：年份1986199620092
15、011倾斜余角10.01250.01270.00890.0089倾斜余角20.01250.01260.00880.0087倾斜余角30.01250.01260.00890.0091倾斜余角40.01250.01270.00880.0088倾斜余角50.01280.0130.02250.0226倾斜余角60.01160.01170.01070.0108倾斜余角70.01160.01170.01730.0173倾斜余角80.01160.01190.01740.0175倾斜余角90.01140.01150.02310.0231 倾斜余角100.01450.01470.01360.0136 倾斜余角1
16、10.01440.01450.01350.0136前11层的平均数0.0125360.0126910.0139550.014倾斜余角120.08780.08780.0160.01612层的平均数0.0183260.0184690.0141120.014154由上表中的1986年的前11个数据得出倾斜角的余角函数图如下，上图函数为:Y=0.0001x+0.0119由此方法可得1996年，2009年，2011年的图，如下： 上图函数为:Y=0.0001x+0.0121上图函数为:Y=0.0009x+0.0087上图函数为：Y=0.0009x+0.0087由这四个函数图我们可以明显分析出，此曲率处处
17、不为零且成函数方程，所以可以得出此塔必定弯曲。注：由1到11层建立函数的四张图函数图，与函数方程；没有用第12层的数据，因为第12层的数据误差较大，可能原因为地震、风蚀等自然所造成塔的缺陷，所以没有用第12层的数据。3）指实际物体受到外力作用而改变原来的形态。物理学中可指空间在质量等因素影响下发生的变化，称为扭曲。该塔如果只是倾斜和弯曲，那么中心点投影图的四条线就应该在一条直线上，如图，其中（*表示第1986年；o表示第1996年；+表示第2009年；d表示第2011年）（用MATLAB程序见附录（六）。该图很明显不重合在一条直线上而是分开的，所以得出该塔必定发生了扭曲。 问题三由第2小题的第
18、2）小问可得前11层的四年的平均倾斜余角（1=0.012536；2=0.012691；3=0.013955；3=0.014000），可得1986年的塔与地面的角度1=89.987464；1996年的塔与地面的角度2=89.987309；2009年的塔与地面的角度3=89.986045；2011年的塔与地面的角度4=89.986000；由1、2、3、4、可以得出下图：Y=-0.0006x+89.9880 由 Y=-0.0006x+89.9880可以推测出往后几年塔的倾斜角。、保护措施为了提高该塔的稳定程度，我们采取了以下措施：1.增大梁的抗弯强度；2.减小梁的跨度或改变梁的支座条件；3.改善载荷的分布情况；4.在塔弯曲的内部地下埋一些石灰粉，按时给地上洒些水，石灰粉遇水产生大量的热量并膨胀，这样能使塔保持平衡，更有利于对古塔的保护。附 录
