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1、题目：图像的小波分析去噪课程：数字信号处理学期：2011-2012-1班级：姓名：学号：教师：日期：2012-01-01摘 要：介绍了小波分析去噪的基本原理，研究了基于小波变换的图像去噪法并进行了试验验证。结果表明，与常用的图像去噪方法相比，小波去噪法可以很好的保留图像的细节信息，性能优于其他方法。关键词：图像 噪声 小波分析 去噪Abstract:Basic principle of denoising based on waved analysis is introd-uced,image denoising based on waveelet transformation is stud
2、ied and e-perimented.The result shows that it is better in keeping details of image compared with other methodsKeywords:image noise wavelet analysis denoising1 引 言图像在采集、传输和转换中常常受到外部环境的干扰。图像中夹杂了噪声和混响干扰，不仅使得图像质量下降，影响了图像的视觉效果，而且给图像的进一步处理也带来了不便。为了减轻噪声对图像的干扰，避免误判和漏判，去除或减轻噪声是必要的工作。2 图像去噪的常用方法常见的去除噪声的方法有邻域
3、平均法，滤波器法等。下面简介绍几种图像去噪方法。（1）邻域平均法的处理方法。设一幅图像平滑后的图像为，它的每个象素的灰度值由包含在制定邻域的几个象素的灰度值的平均值决定。将受到干扰的图像模型化为一个二维随机场，一般噪声属于加性、独立同分布的高斯白噪声。若定义信噪比为含噪图像的均值与噪声方差之比，则含噪图像经平滑后，其信噪比将提高 倍（ N 为邻域中包含的象素的数目）。可见，邻域平均所用的邻域半径越大，信噪比提高越大，而平滑后图像越模糊，细节信息分布不明显。（2）时域频域低通滤波法对于一幅图像，它的边缘、跳跃部分以及噪声都为图像的高频分量，而大面积背景区和慢变部分则代表图像低频分量，可以设计合适
4、的低通滤波器除去高频分量以去除噪声。在时域通常采用图像与低通卷积模板相卷积的方法得到去噪后的图像，主要步骤为：（a）将模板在图中依次移动，使模板中心与图中某个象素的位置重合；（b）将模板在系数与模板下对应的象素相乘；（c）将所有乘积相加；（d）将该值赋给与模板中心重合的象素点；特别的，当模板的每个值均为1 时，即为邻域平均情况。对于频域的情况，如图1 所示。 图1 频域低通滤波器去噪原理图1 中，为含噪图像，为其傅里叶变换，为平滑后图像的傅里叶变换，通过H，使F(u,v)的高频分量得到衰减。理想的低通滤波器的传递函数满足下列条件： （1）式中 非负是从点到频率平面原点的距离，即 （2） （3）
5、中值滤波低通滤波在消除噪声的同时会将图像中的一些细节模糊掉。中值滤波器是一种非线性滤波器，它可以在消除噪声的同时保持图像的细节。中值滤波的主要步骤如下：（a）将模板在图中依次移动，使模板中心与图中的某个象素的位置重合；（b）读取与模板对应的各象素的灰度值；（c）将这些灰度值从小到大排序；（d）找出中间值赋给对应模板中心位置的象素；可以看出，中值滤波器主要功能就是让与区域周围象素值接近的值取代与周围象素灰度值的差别比较大的象素的灰度值，从而可以消除孤立噪声点，即所谓的椒盐噪声。由于它不是简单区域均值，因此产生的模糊度比较小。中值滤波器适用于处理噪声点激励情况。（4）自适应平滑滤波自适应平滑滤波能
6、根据图像的局部方差调整滤波器的输出。局部方差越大，滤波器的平滑作用越强。它的最终目标是使恢复图像f*(x,y) 与原始图f(x,y) 的均方误差最小。自适应滤波器对于高斯白噪声的处理效果比较好，其主要步骤为：（a）大小为 的模板在待处理图像中移动,使模板中心与图中某个象素位置重合；（b）读取与模板相对应各象素的灰度值；（c）此点灰度值的均值： （3） 方差： （4） （d）计算 (5)（e）将此值赋给对应模板的中心点位置的象素点。自适应滤波去噪法中，主要是维纳滤波器，该方法的滤波效果比线性滤波器效果要好，对保留图像的边缘信息部分和其他高频部分很有用，但是计算量较大，对具有白噪声的像滤波效果最佳
7、。下面给出利用几种方法得到的图像的去噪试验结果。图2 是跨度为100 米的湖底地貌图，湖底地质主要为淤泥。图3 是含有高斯白噪声的图像，它明显掩盖了图像的纹理特征， 图2 原始图像 图3 被噪声污染的图像 图4 邻域均值滤波器后图像 图5 维纳滤波后图像 图6 加椒盐噪声后图像 图7 中值滤波后图像图4 和图5 分别为邻域均值法和维纳滤波对图像的去噪结果，图6 是含有椒盐噪声的图像，图7 为利用中值滤波的去噪效果。从图5 中可以看出，维纳滤波在去除图像中高斯噪声的同时，可以很好地保持图像的纹理特征，而对于邻域均值滤波器，在去除噪声的同时，对图像的局部信息进行了平均处理，导致图像变得模糊，使原始
8、图像的一些纹理、边缘和细节信息被破坏。椒盐噪声为图像中的点噪声，也即为信号中的冲击信号，中值滤波可以明显的去除椒盐噪声。图7 可以明显地看出中值滤波对椒盐噪声有很好的滤除作用。3 基于小波变换的图像去噪研究小波变换作为一种多分辨率分析方法，具有信号“显微镜”的美称。近年来一直受到人们的关注。图像去噪是小波应用范围中的一个部分，噪声主要分布在高频区域，但同时图像的细节也分布在高频区域。在传统的基于傅氏变换的信号去噪方法中，当信号和噪声的频带重叠部分小时可以轻易地不损失信号的条件下去除噪声，但是当重叠区域很大时这种方法就无能为力了。由于图像细节和噪声分布在高频段，利用传统去噪方法可能破坏图像的细节
9、信息，利用小波分析理论，可以构造一种既能降低图像噪声，又能保持图像细节信息的方法。3.1 小波分析去噪的基本原理和方法小波分析去噪法的基本思想在于小波变换将大部分有用信号的信息压缩而将噪声的信息分散。对信号进行小波分解，就是把信号向是平方可积的实数空间）空间各正交基分量投影，即求信号与各小波基函数之间的相关系数，亦即小波变换值。由于局部信号的小波分解系数仅仅在一些尺度上有较大的值，而噪声的分解系数则广泛分布于各尺度上，所以噪声与局部信号在小波分解后呈现出完全不同的特性。基于这个特点，对含噪局部信号进行小波分解与重构就可以达到去噪的目的。一般地，函数（信号）的局部奇异性用李普西兹（Lipschi
10、tz）指数来描述，简称lip指数，亦称奇异性指数。定义一个函数在 处是一致李普西兹a ，当且仅当存在一个常数K，使得在的某一邻域内的任意一点x ，均有 （6）如果式(6)对所有的 都成立，则称f(x)在区间上一致李普西兹。由上式定义不难看出，函数在某一点的李普西兹指数越大，则在该点函数越光滑。函数在某处有间断或某阶导数不连续，则称该函数在此处有奇异性，该点就为函数的奇异点。函数的局部奇异性与小波变换的渐近衰减之间的关系可以描述如下：设， 为 上的闭区间， ，则f (x) 在上一致李普西兹a的充要条件是存在常数A和对有 （7）其中为(x)在尺度s上的小波变换，设，则上式变为 （8）两边取对数 （
11、9）由此可知，如果函数的Lipschitz 指数，则该函数的小波变换的系数将随着尺度的增大而增大。反之，若，则函数的的小波系数将随着尺度增大而减小。一般来说，函数在某一点的李氏指数表征了该点的奇异性大小， 越大，该点的光滑度越高。通常信号的Lipschitz 指数大于零，即使是不连续的奇异信号，只要在某一领域内有界，如阶跃函数，也有。然而，噪声所对应的Lipschitz 指数，由式(9)易得，信号和噪声在不同尺度的小波变换下呈现的特性截然相反。随着尺度的增大，信号所对应的小波变换幅值是增大的，而噪声对应的小波变换幅值减小。我们可以利用这个特点，在不同的分解尺度上设定一定的阈值，将小于给定阈值的
12、极大模值点认为是噪声的小波变换，将其置于零；反之大于该阈值的极大模值点认为是由信号的小波变换引起的，将它们保留。最后将阈值处理后的小波系数通过小波逆变换重构信号，这样就达到了去噪的目的。3.2 自动阈值计算采用上述原理，基于小波进行去噪采用的主要方法即为小波萎缩法。它根据比较大的小波系数一般是以实际信号为主，而比较小的系数则很大程度上是噪声的事实，可通过设定合适的阈值，首先将小于阈值的系数置于零，而保留大于阈值的小波系数，然后经过阈值函数映射得到估计系数，最后对估计系数进行逆变换，就可以实现去噪和重建。阈值萎缩方法中的两个基本要素是阈值和阈值函数。阈值的确定在阈值萎缩法中是最关键的。目前使用的
13、阈值可以分成全局阈值和局部阈值两类。其中，全局阈值是对各层所有小波系数或同一层内的小波系数都是一致的；而局部自适应阈值是根据当前系数周围的局部情况来确定阈值，它不一定根据系数的绝对值来考虑，可以从别的方面如概率和模糊隶属度方面考虑。实验结果表明局部阈值比全局阈值对信号的适应能力好，但是需要较为繁琐的计算。目前应用最多的还是全局阈值。以下简单介绍两种固定阈值：（1）1992年Donobo和Johnstone提出了统一阈值（简称DJ 阈值）其中， 为噪声标准方差， N 为信号的尺寸或长度。这是在正态高斯噪声模型下，针对多维独立正态变量联合分布，对维数趋向无穷时的研究提出的结论，即大于该阈值的系数含
14、有噪声信号的概率趋于零。（2）最大最小阈值：和DJ 阈值一样，它也是一种固定阈值，它产生一个最小均方误差的极值，计算公式为： (10)在阈值萎缩中，阈值函数体现了对几种系数的不同处理策略以及不同的估计方法，阈值函数主要分为如下两种：一是硬阈值函数，二是软阈值函数。硬阈值的处理过程为 (11)软阈值处理的过程为 (12)经过上述原理阐述，下面简要叙述一下小波去噪的步骤：（1）选择小波和小波分解的层次，对含噪信号进行小波分解产生含噪的小波系数。（2）阈值选择。每一层均选择一个阈值，并对各层系数用软（硬）阈值进行处理。（3）对经过阈值量化的小波系数进行小波重构，就可得到去噪后的信号值。用来进行去噪处
15、理的小波函数，一般我们选择形状不对称而且同系小波之间互相正交的小波。实践证明，Daubechies 小波、symlet 小波、Lemarie 小波等均符合这一要求，而且db2 和db8 小波是进行局部信号提取与分析的首选类型。3.3 小波去噪结果与分析对上述去噪方法进行试验验证。为了体现上述方法的优越性，突出保持图像细节信息的特点，我们采用细节信息比较明显的湖底声纳图像，如图8 所示。我们采用不同的小波函数对含有噪声的图像进行了去噪并给出了实现结果。图9 是在原始图像中加入零均值的高斯白噪声后的含噪图像。图10 为两阶coiflet 小波去噪后图像5，图11 是三阶Daubechies小波去噪
16、后图像。可以看出小波去噪后的图像能很好的保持原始图像的细节信息，有利于进一步的处理。小波去噪法对服从高斯分布的噪声有较好的去噪能力。利用小波进行去噪时，选用不同的尺度和小波基会直接影响处理效果，所以在应用小波进行去噪时要根据实际情况选择小波基、尺度和阈值处理函数来达到实际的需求。图8 原始图像 图9 含噪声图像 图10 coif小波去噪图像 图11 db3去噪图像4 结 论从试验的结果来看，自适应滤波去噪效果比线性滤波要好，对保留图像的边缘信息和高频部分很有用，对含有白噪声的图像滤波效果最佳；中值滤波对椒盐噪声有很好的滤除作用；小波去噪对服从高斯分布的噪声有很好的去噪效果，并且可以很好地保留原
17、图像的细节信息。参考文献1 吴玉莲, 王鹏, 冯象初. 基于中值滤波和偏微分方程的图像去噪J. 福建电脑, 2008,(2): 12-17.2 陈华, 陈婷, 谢敏. 基于小波包分析二次阈值去噪图像复原方法J. 光学技术, 2008, (2): 2-6.3 张晶晶, 方勇华. 基于Contourlet. 变换的遥感图像去噪新算法J. 光学技术, 2008, (3): 40-44.4 许心瑜, 张忠治, 刘拥军. SAR 图像的小波阈值去噪研究J. 装备环境工程, 2008, (1): 37-41.5 刘浩,尹忠科,王建英.Daubechies 提升小波在图像去噪中的仿真研究J. 计算机仿真, 2008, (1): 53-57.
