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1、基于PID的多变量解耦控制分析 第1章 绪论11 多变量系统介绍控制理论的发展经历了经典控制理论现代控制理论和非线性智能控制理论三个发展阶段经典控制理论和现代控制理论研究的是线性时不变系统的控制问题非线性控制理论和智能控制理论则能解决传统控制理论不能很好解决的问题本文主要研究多变量解耦控制在工业过程控制中多为内部结构比较复杂有多个输入和多个输出存在一定耦合作用的系统如图11所示输入量为 输 出量为 在这样的系统中为了使各个被控量满足生产要求往往需要设置若干个控制回路而这些控制回路之间就可能相互影响相互关连相互耦合其中任何一个回路的控制作用发生变化将同时会影响其它控制回路中被控制量也发生变化它的
2、各个被控制量之间也互有影响在对某一输出量进行控制时必然使所有输出量都产生波动其结果是使控制过程延长震荡加剧影响系统的稳定性所以在设计系统时必须注意工艺过程中各参数间相关的情况不然若按各参数相互独立而分别设置相应的控制回路的话轻则系统不能很好工作影响产品质量重则甚至发生严重生产事故在工业过程控制中要求系统能够安全稳定地运行有较好的调节性能能以较小的误差跟踪设定值的变化或使误差为零因此需要对耦合系统进行解耦7 12 多变量解耦控制概况多变量系统的解耦控制大体分为三类传统解耦控制自适应解耦控制以及智能解耦控制传统的多变量系统的解耦控制是采用微分几何的方法利用反馈将多变量系统化为从外部看完全解耦的线性
3、系统这种方法要求被控对象必须用精确的数学模型来描述因此难于实现自适应控制以PID控制理论为基础的控制方法可以对多变量系统进行解耦控制这种控制有多种类型数字PID控制方法通过计算机控制系统可根据采样时刻的偏差计算控制量自适应PID控制方法能够认识环境条件的变化并自动校正控制动作使系统能够达到最优或次优的控制效果模糊控制不要求掌握受控对象的精确数学模型而根据人工控制规则组织控制决策表然后由该表决定控制量的大小单神经元PID控制具有自学习和自适应能力而且结构简单易于计算8 13 MATLAB语言简介MATLAB具有强大的编程功能和易操作交互式计算环境MATLAB语言可以被认为是一种解释性语言在其工作
4、空间用户可以在MATLAB的命令窗口中键入一个命令就可以直接进行数学运算也可以应用MATLAB语言编写应用程序运行程序及跟踪调试程序MATLAB中含有极为丰富的专门用于控制系统分析与设计的函数还可以实现对线性系统的时域或频域分析设计与建模SIMULINK是MATLAB软件的扩展它是实现动态系统建模和仿真的一个软件包它与MATLAB语言的主要区别在于其与用户的交互接口是基于WINDOWS的模型化图形输入其结果是使得用户可以把更多的精力投入到系统模型的构建而不是语言的编程上所谓模型化图形输入是指SIMULINK提供了一些按功能分类的基本的系统模块用户只需知道这些模块的输入输出及模块实现的功能而不必
5、考查模块的内部是如何实现的通过对这些基本模块的调用在将它们连接起来就可以构成所需要的系统模型5 14本课题的任务本课题的任务是在PID控制的基础上进行多变量系统的解耦控制算法研究并利用MATLABSIMULINK对所研究的算法进行数字仿真2 PID多变量解耦控制自从计算机进入控制领域以来用数字计算机代替模拟计算机调节器组成计算机控制系统不仅可以用软件实现PID控制算法而且可以利用计算机的逻辑功能使PID控制更加灵活数字PID控制在生产过程中是一种最普遍采用的控制方法21 PID控制原理在模拟控制系统中控制器最常用的控制规律是PID控制模拟PID控制系统原理框图如图21所示系统由模拟PID控制器
6、和被控对象组成图21 模拟PID控制系统原理框图PID控制器是一种线性控制器它根据给定值rint与实验输出值youtt构成控制偏差 21PID的控制规律为 22或写成传递函数的形式 23式中比例系数积分时间常数微分时间常数 简单来说PID控制器各校正环节的作用如下 比例环节成比例地反映控制系统的偏差信号偏差一旦产生控制器立即产生控制作用以减少偏差 积分环节只要用于消除静差提高系统的无差度积分作用的强弱取决于积分时间常数越大积分作用越弱反之则越强微分环节反映偏差信号的变化趋势变化速率并能在偏差信号变得太大之前在系统中引入一个有效的早期修正信号从而加快系统的动作速度减少调节时间1 222 PID控
7、制算法com 位置式PID控制算法 计算机控制是一种采样控制它只能根据采样时刻的偏差值计算控制量因此在计算机控制系统中连续PID控制算法不能直接使用需要采用离散化方法采用数字PID控制器由于计算机控制是一种采样控制它只能根据采样时刻的偏差值计算控制量因此式22中的积分和微分项不能直接使用需要进行离散化处理按模拟PID控制算法的算式22现以一系列的采样时刻点kT代表连续时间t以和式代替积分以增量代替微分则可作如下近似变换 24式中 T采样周期显然上述离散化过程中采样周期T必须足够短才能保证有足够的精度将式24代入式22可得离散的PID表达式为 25 式中 采样序号 第K次采样时刻的计算机输出值
8、第K次采样时刻输入的偏差值 第K-1次采样时刻输入的偏差值 积分系数 微分次数由z变换的性质式25的z变换式为 26由26便可得到数字PID控制器的Z传递函数为 27由于计算机输出的uk直接去控制执行机构如阀门uk的值和执行机构的位置如阀门开度是一一对应的所以通常称式25或式26为位置式PID控制算法图22给出了位置式PID控制系统示意图 图22 位置式PID控制系统这种算法的缺点是由于全量输出所以每次输出均与过去的状态有关计算时要对进行累加计算机运算工作量大而且因为计算机输出的对应的是执行机构的实际位置如计算机出现故障的大幅度变化会引起执行机构位置的大幅度变化这种情况往往是生产实践中不允许的
9、在某些场合还可能造成重大的生产事故因而产生了增量式PID控制的控制算法com 增量式PID控制算法所谓增量式PID是指数字控制器的输出只是控制量的增量当执行机构需要的是控制量的增量例如驱动步进电动机时可由式25导出提供增量的PID控制算式根据递推原理可得 28用式25减式28可得 29式中 式29称为增量式PID控制算法可以将式29进一步改写为 210式中它们都是与采样周期比例系数积分时间常数微分时间常数有关的系数 图23 增量式PID控制系统框图可以看出由于一般计算机控制系统采用恒定的采样周期T一旦确定了只要使用前后3次测量值的偏差即可由式29或式210求出控制增量采用增量式算法时计算机输出
10、的控制增量对应的是本次执行机构位置例如阀门开度的增量对应阀门实际位置的控制量即控制量增量的积累需要采用一定的方法来解决例如用有积累作用的元件步进电动机来实现而目前较多的是利用算式通过执行软件来完成从整个系统而言位置式与增量式控制算法并无本质区别或者仍然全部由计算机承担其计算或者一部分由其它部件去完成增量式控制虽然只是算法上作了一点改进可是却带来了许多优点由于计算机输出增量所以误差动作时影响小必要时可用逻辑判断的方法去掉手动自动切换时冲击小便于实现无扰动切换此外当计算机发生故障时由于输出通道或执行装置具有信号的锁存作用故能仍然保持原值算式中不需要累加控制增量的确定仅与最近K次的采样有关所以较容易
11、通过加权处理而获得比较好的控制效果但增量式控制也有不足之处积分截断效应大有静态误差溢出的影响大因此在选择时不可一概而论一般认为在以晶闸管作为执行器或在控制精度要求高的系统中可采用位置控制算法而在以步进电动机或电动阀门作为执行器的系统中则采用增量式控制算法1223 多变量PID解耦控制通过PID控制可实现多变量控制图2-4给出一个二变量PID控制系统框图该系统由两个PID控制器构成控制算法为 211式中T为采样时间 图24 二变量PID控制系统框24 仿真程序及分析com 多变量PID控制的MATLAB语言仿真仿真实例设有耦合二变量耦合被控对象设采样时间T 1s给定输入为单位阶跃输入即当输入指令
12、为R1时的响应曲线如图25所示当输入指令为R2时的响应曲线如图26所示 图25 响应曲线R 10 图26 响应曲线R 01仿真程序PID Controller for coupling plantclear allclose allu1_1 00u1_2 00u1_3 00u1_4 00u2_1 00u2_2 00u2_3 00u2_4 00y1_1 0y2_1 0x1 00x2 00x3 00kp 0020ki 0050kd 00001error_1 00ts 1for k 111500time k ktsStep SignalR 10R 01PID Decouple Controlleru
13、1 k kpx1 1 kdx2 1 kix3 1 u2 k kpx1 2 kdx2 2 kix3 2 u u1 k u2 k if u1 k 10 u1 k 10endif u2 k 10 u2 k 10endif u1 k -10 u1 k -10endif u2 k -10 u2 k -10endCoupling Plantyout1 k 10 1y1_1 2 08y1_1u1_202u2_3 yout2 k 10 1y2_1 2 09y2_103u1_3u2_2 error1 k R 1 -yout1 k error2 k R 2 -yout2 k error error1 k erro
14、r2 k -Return of PID parameters-u1_4 u1_3u1_3 u1_2u1_2 u1_1u1_1 u 1 u2_4 u2_3u2_3 u2_2u2_2 u2_1u2_1 u 2 y1_1 yout1 k y2_1 yout2 k x1 error Calculating Px2 error-error_1 ts Calculating Dx3 x3errorts Calculating Ierror_1 errorendfigure 1 plot timeR 1 ktimeyout1k hold onplot timeR 2 ktimeyout2k xlabel t
15、ime s ylabel rinyout com 多变量PID控制的Simulink仿真仿真实例设有耦合二变量耦合被控对象设采样时间T 1s给定输入为单位阶跃输入即响应曲线如图27图28图29图210所示 图27 响应曲线 10 图28 响应曲线 10 图29响应曲线 01 图210响应曲线 01通过仿真后的系统响应曲线可以看出多变量PID解耦控制算法可以进行有效的解耦控制当一个输入量发生改变时另一个输出通过调节趋于稳定不受影响仿真程序的Simulink主程序chap6_2mdl如图211所示 图211 PID控制的Simulink仿真程序S函数控制子程序chap6_2smfunction s
16、ysx0strts exp_pidf txuflag switch flagcase 0 initializations sysx0strts mdlInitializeSizescase 2 discrete states updates sys mdlUpdates xu case 3 computation of control signal sys mdlOutputs txu case 1 4 9 unused flag values sys otherwise error handling error Unhandled flag num2str flag end when fla
17、g 0 perform system initialization function sysx0strts mdlInitializeSizessizes simsizes read default control variablessizesNumContStates 0 no continuous statessizesNumDiscStates 3 3 states and assume they are the PID componentssizesNumOutputs 1 2 output variables control u t and state x 3 sizesNumInp
18、uts 2 4 input signalssizesDirFeedthrough 1 input reflected directly in outputsizesNumSampleTimes 1 single sampling periodsys simsizes sizes x0 0 0 0 zero initial statesstr ts 1 0 sampling period when flag 2 updates the discrete states function sys mdlUpdates xu T 1sys u 1 x 2 u 1 T u 1 -u 2 T when f
19、lag 3 computates the output signals function sys mdlOutputs txu kp 002ki 005kd 00001sys kpkikdxsys kpx 1 kix 2 kdx 3 被控对象的Simulink仿真子程序由简单的Simulink模块和离散S函数组成如图212所示 图212 被控对象的Simulink仿真子程序S函数被控对象子程序chap6_2plantmfunction sysx0strts mm_model_nl txuflagT switch flagcase 0 Initialization sysx0strts mdlI
20、nitializeSizes T case 3 evaluation of outputs sys mdlOutputs u case 1 2 4 9 undefined flag values sys otherwise error handling error Unhandled flag num2str flag end when flag 0 initialization processed for the system function sysx0strts mdlInitializeSizes T sizes simsizes read the default templates
21、for the system variablessizesNumContStates 0 no continuous statessizesNumDiscStates 0 6 discrete states x1-x3sizesNumOutputs 2 control variable u k and PID parameterssizesNumInputs 6 7 input signalssizesDirFeedthrough 1 inputs are needed in output evaluationsizesNumSampleTimes 1 single sampling peri
22、odsys simsizes sizes setting of system variablesx0 zero states and 01 for initial weightsstr ts T 0 T is the sampling period for the systemfunction sys mdlOutputs u sys 08u 1 u 3 02u 6 1u 1 2 09u 2 03u 4 u 5 1u 2 2第3章 单神经元PID解耦控制神经元作为构成神经网络的基本单位具有自学习和自适应能力而且结构简单而易于计算而传统的PID调节器也具有结构简单调整方便和参数整定与工程指标联系
23、密切等特点若将这两者结合则可以在一定程度上解决传统PID调节器不易在线实时整定参数难于对一些复杂过程和参数慢时变系统进行有效控制的不足31 神经网络基础com 神经元模型人脑神经元是组成人脑神经系统的最基本单元人的大脑皮层神经元数目在量级神经元由细胞体及其发出的许多突起构成突起的作用是传递信息作为输入信号的若干个突起称为树突作为输出端的突起只有一个称为轴突树突与轴突一一对接从而把众多的神经元连成一个神经元网络在对人脑神经元进行抽象简化后得到一种称为McCulloch_Pitts模型的人工神经元对于第i个神经元是神经元接收到的信息为连接强度称之为权利用某种运算把输入信号的作用结合起来给出它们的总
24、效果称之为净输入用来表示根据不同的运算方式净输入的表达方式有多种类型其中最简单的一种是线性加权求和即此作用引起神经元i的状态变化而神经元i的输出是其当前状态的函数g称之为活化函数state of activation这样上述模型的数学表达式为 31 32式中 神经元i的阀值如果考虑输出与输入的延时作用式32可修改为 33对于不同的应用所采用的活化函数也不同应用于控制中的神经元所采用的活化函数有下列三种 简单线性函数 神经元的活化函数 连续取值各神经元构成的输出矢量y由输入矢量X与连接矩阵W加权产生输出为 34 线性阀值函数硬限幅函数 这是一种非线性函数输出只取两值如1与-11或0当净输入大于某
25、一阀值时输出取1反之取-1这一特性可用符号函数表示 35 Sigmoid函数S型函数 神经元的输出是限制在两个有限值之间的连续非减函数其表达式为 36可以通过改变值的大小来调整曲线的曲率函数的最大值和最小值分别取为1和-1若欲使函数的最大值和最小值分别取为1和0则可作简单的坐标变换用以下函数表示 37当构成神经网络的神经元采用非线性活化函数并动态运行时就形成了一个非线性动态系统1com 神经网络的拓扑结构神经元的连接形式神经网络是由若干个上述的神经元以一定的连接形式连接而成的复杂的互连系统神经元之间的互连模式将对神经网络的性质和功能产生重要的影响应用于不同的领域时互连模式有着繁多的种类下面介绍
26、两种常用于控制系统中的网络结构一前馈网络 网络可以分为若干层各层依次排列第i层的神经元只接受第i-1层神经元的输出信号各神经元之间没有反馈前馈网络可用一有向路图表示输入节点没有计算功能只是为了表示输入矢量各元素值以后各层节点表示具有计算功能的神经元称为计算单元每个计算单元可以有任意个输入但只有一个输出它可送到多个节点作为输入输入节点层与输出节点层统称为可见层而其他中间层称为隐含层这些神经元称为隐单元二反馈网络在反馈型神经网络中每个节点都表示一个计算单元同时接受外加输入和其他节点的反馈输入甚至包括自环反馈每个节点也都直接向外部输出第i个神经元对于第j个神经元的反馈与第j第i神经元的反馈的连接加权
27、系数是相等的即18com 神经网络的学习规则学习是神经网络的主要特征之一学习规则是修正神经元之间连接强度或加权系数的算法使获得的知识结构适应周围环境的变化在学习过程中执行学习规则修正加权系数在工作期内由学习所得的连接加权系数参与计算神经元的输出学习算法可分为有监督学习和无监督学习两类有监督学习是通过外部教师信号进行学习即要求同时给出输入和正确的期望输出的模式对当计算结果与期望输出有误差时网络将通过自动调节机制调节相应的连接强度使之向误差减少的方向改变经过多次重复训练最后与正确的结果相符合无监督学习则没有外部教师信号其学习表现为自适应于输入空间的检测规则其学习过程为对系统提供动态输入信号使各个单
28、元以某种方式竞争获胜的神经元本身或其相邻域得到增强其他神经元则进一步被抑制从而将信号空间分为有用的多个区域常用的三种主要规则是 无监督Hebb学习规则 Hebb学习是一类相关学习它的基本思想是如果有两个神经元同时兴奋则它们之间的连接强度的增强与它们的激励的乘积成正比用表示单元的激活值输出表示单元的激活值表示单元到单元的连接加权系数则Hebb学习规则可用下式表示 38式中 学习速率 有监督的Delta学习规则 在Hebb学习规则中引入教师信号将式38中的换成期望输出与实际输出之差即为有监督学习的Delta学习规则 39 上式表明两神经元间的连接强度的变化量与教师信号和实际输出之差成正比 有监督H
29、ebb学习规则将无监督Hebb学习规则和有监督Delta学习规则两者结合起来组成有监督Hebb学习规则即 310这种学习规则使神经元通过关联搜索对未知的外界作出反应即在教师信号的指导下对环境信息进行相关学习和自组织使相应的输出增强或削弱上面分别介绍了单神经元的结构神经网络的互连形式以及神经网络的学习规则等内容将这些内容有机地结合起来就可以形成各种实用的神经网络12com 单神经元控制算法转换器的输入为设定值和输出转换器的输出为神经元学习控制所需要的状态量这里 311为性能指标或递进信号K为神经元的比例系数K 0神经元通过关联搜索来产生控制信号即 312式中为对应于的加权系数单神经元自适应PID
30、控制器正是通过对加权系数的调整来实现自适应自学习功能的加权系数的调整可以采用不同的学习规则从而构成不同的控制算法 采用有监督Hebb学习算法的单神经元PID控制器考虑到加权系数应和神经元的输入输出和输出偏差三者的相关函数有关因此在采用有监督Hebb学习算法是有 313 314式中 递进信号随过程进行逐渐衰减 输出误差信号 类似于式3-9中的 学习速率 c常数0c 1将式314代入式313中有 315如果存在函数对求偏微分有则式315可写为 316上式说明加权系数的修正是按函数对应于的负梯度方向进行搜索的应用随机逼近理论可以证明当常数c充分小时可以收敛到某一稳定值而且与其期望值的偏差在允许范围内
31、为保证这种单神经元自适应PID控制学习算法式312和式315的收敛性和鲁棒性将上述学习算法进行规范化处理后可得 317式中 比例积分微分的学习速率这里对比例P积分I微分D分别采用了不同的学习速率以便于根据需要对各自对应的加权系数分别进行调整其取值可先由现场实验或仿真来确定且取c 0 采用以输出误差平方为性能指标的单神经元PID控制器首先引入性能指标函数 318使加权系数的修正沿着的减小方向即对的负梯度方向搜索调整可以有更加明确的物理意义 关于的梯度为 319所以的调整量为 320式中 i IPD学习速率 利用式311的定义并将式312代入式320后可得 321 由于在PID控制算法中通常未知可
32、以近似用符号函数取代由此带来的计算不精确的影响可通过调整学习速率来补偿 对上述算法进行规范整理后可得学习算法如下 322式中同式311这种控制器的特点是学习算法物理意义明确计算量小但是由于在性能指标函数中仅有输出误差平方项因而容易出现为满足性能指标函数而引起控制增量过大的现象这在实际控制中一般是不允许的若采用强制性控制律限幅则会对整个学习算法带来不利影响采用以为性能指标的单神经元PID控制器针对上面算法的不足设性能指标函数为 323式中 时刻过程的输出 时刻过程的参考输入d 过程总滞后PQ输出误差和控制增量的加权系数 设被控过程方程为 324使加权系数的修正是沿着的减小方向即对的负梯度方向搜索
33、调整则的调整量为 325式中 学习速率 零初态时过程输入端加单位阶跃时输出响应的第一个值可通过实验获得 在上式的推导中使用了未规范化的式312对单神经元的输出进行规范化并进行归纳可得学习算法如下 326式中同式311在实际计算中不可能测到一般可用代替或采用系统辨识技术获得过程的预测模型后计算得出上述三种单神经元自适应PID控制器学习算法的运行效果与可调参数等的选取有很大关系通过大量实例仿真和实控结果总结出以下参数调整规律初始加权系数可以任意选择K值的选择一般K值偏大将引起系统响应超调过大而K值偏小则使过渡过程加长因此可先确定一个增益K再根据仿真和实控结果调整学习速率的选择由于采用了规范化学习算
34、法学习速率可取得较大选取K使过程的超调不太大若此时过程从超调趋向平稳的时间太长可增加若超调迅速下降而低于给定值此后又缓慢上升到稳态的时间太长则可减少增强积分项的作用对于大时延系统为了减少超调应选得大一点加权系数PQ的选择加权系数P的大小决定了输出误差项在优化性能指标中所占的比重对系统的稳定也有直接影响可由仿真和实控结果来决定其大小加权系数Q是用来限制控制增量出现过量现象的但其取值也不宜过大以免使过程时间拖长一般Q常选得比较小1232 单神经元PID解耦控制通过单神经元PID控制可较好地实现对多变量解耦控制图31给出了二变量单神经元PID控制系统框图该系统由两个单神经元PID控制器构成 图31
35、二变量单神经元PID控制系统框图单神经元自适应控制器是通过加权系统的调整实现自适应自组织功能权系数的调整是按有监督Hebb学习规则实现的以第一个单神经元PID控制器为例控制算法及学习算法为 327式中 分别为比例积分微分的学习速率为神经元的比例系数对比例积分微分分别采用了不同的学习速率以便对不同的权系数分别进行调整值的选择非常重要越大则快速性越好但超调量大甚至可能使系统不稳定当被控对象时延增大时值必须减小以保证系统稳定值选择过小会使系统的快速性变差33 仿真程序及分析com单神经元PID控制的MATLAB仿真仿真实例设有耦合二变量耦合被控对象设采样时间T 1s给定输入为单位阶跃输入即采样单神经
36、元PID控制取为第二个神经元的比例系数当输入指令为时的曲线如图32所示当输入指令为时的响应曲线如图33所示 图32 响应曲线R 10 图33 响应曲线R 01仿真程序chap6_3mSingle Neural Net PID Decouple Controller based on Hebb Learning Algorithm to adjust kpkikdclear allclose allxc1 000xc2 000xiteP 040xiteI 040xiteD 040Initilizing kpki and kdRadom Valuewkp1_1 randwki1_1 randwkd
37、1_1 randwkp2_1 randwki2_1 randwkd2_1 randwkp1_1 03150wki1_1 11615wkd1_1 14948wkp2_1 02067wki2_1 06365wkd2_1 04996error1_1 0error1_2 0error2_1 0error2_2 0u1_1 00u1_2 00u1_3 00u1_4 00u2_1 00u2_2 00u2_3 00u2_4 00y1_1 0y2_1 0ts 1for k 111500time k ktsStep SignalR 10R 01- Calculating practical output -Co
38、upling Plantyout1 k 10 1y1_1 2 08y1_1u1_202u2_3 yout2 k 10 1y2_1 2 09y2_103u1_3u2_2 error1 k R 1 -yout1 k error2 k R 2 -yout2 k For Variable1Adjusting NNC Weight Value by adopting hebb learning algorithm wkp1 k wkp1_1xitePerror1 k u1_1xc1 1 P wki1 k wki1_1xiteIerror1 k u1_1xc1 2 I wkd1 k wkd1_1xiteD
39、error1 k u1_1xc1 3 D xc1 1 error1 k -error1_1 P xc1 2 error1 k I xc1 3 error1 k -2error1_1error1_2 D wadd1 k abs wkp1 k abs wki1 k abs wkd1 k w111 k wkp1 k wadd1 k w122 k wki1 k wadd1 k w133 k wkd1 k wadd1 k w1 w111 k w122 k w133 k k1 016 u1 k u1_1k1w1xc1For Variable2Adjusting NNC Weight Value by adopting hebb learning algorithm wkp2 k wkp2_1xitePerror2 k u2_1xc2 1 P wki2 k wki2_1xiteIerror2 k u2_1xc2 2 I wkd2 k wkd2_1xiteDerror2 k u2_1xc2 3 D xc2 1 error2 k -error2_1 P xc2 2 error2 k
