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1、基于马氏链的教学质量评估的数学模型A Mathematic Model of Teaching Quali-ty Evaluation Based On Markov Chain 摘 要本文通过建立数学模型对教学质量进行评估，应用马尔科夫链分析法考虑学生的原始状态，在同一标准下把、教师学生的初始成绩分成五个等级，确定出状态空间，然后根据施教后的成绩，求出一步转移概率，建立一步转移概率矩阵，最后根据马尔科夫链的遍历性求出极限分布对每一等级赋予分数，对教学效果的定量指标加权平均，由所得的数学期望来评价教师的教学质量，这种方法克服了学生原有基础存在差异的问题.转移概率矩阵集中反映了教学质量、教学条件
2、、学风及社会环境等等因素的影响，的极限状态说明，这些因素稳定时，教学效果在这些条件的影响下可能达到的程度，且这一可能达到的程度与学生原有的基础无关由极限分布可以对极限状态下各等级人数进行预测，通过分析使教师获取教学的反馈信息，以对自己的教学方式进行反思和调整，促进教学水平的提高 对马氏链模型进行改进，在求得一步转移概率矩阵后，定义学生成绩“进步度”，即学生进步的程度（退步时进步度为负值），把握学生成绩的整体进步、退步情况，同时也消除了基础差异的因素通过计算进步矩阵和效率值又能对教学效果进行评价，且与马氏链模型所得的结论一致，同时还能得到一些很有参考价值的教学反馈信息关键词：马尔科夫链；转移概率
3、矩阵；遍历性；教学质量评估；极限分布ABSTRACTIn this thesis, we study a mathematical model which can evaluate the quality of teaching. We analysis the original state of the student by Markov chain, In the same standard, we divided the students who tought by teacher A and teacher B respectively into five levels by init
4、ial achievement, then determine the state space. We calculate the one step Transition probability matrix according to the students achievement that after teaching, and obtain the Limit distribution by Markov chain Ergodicity. The quantitative index of teaching weighted average by given every level s
5、cores, so we can evaluate the teaching quality according to the mathematical expectation. This method overcome the problem of students basis difference, therefore, Transition probability matrix reflects the quality of teaching, teaching conditions, style of study and social environment, and so on. L
6、imit distribution shows teaching effectiveness may reach when these factors are stable, and it have nothing to do with the students basis difference. By analyzing the feedback information, teachers can adjust their teaching style, and improve the teaching quality.To improve the Markov chain model, w
7、e define progress degree,which is the extent of the student progress (the progress degree is negative when regress). From the progress degree we can learn the overall progress of students achievement, and it also eliminates the factor of basis difference. We can evaluate the teaching quality by calc
8、ulate the progress matrix and the value of efficiency, and its conclusion is similar to the model of Markov chain, we can also get some valuable feedback information.Keywords: Markov chain; Transition probability matrix; Ergodicity; Teaching evaluation; Limit distribution目 录前 言1页第一章 马氏链基本理论2页1.1马尔科夫
9、过程及其概率分布2页1.1.1马尔科夫性及其马尔科夫过程2页 1.1.2马儿科夫链及转移概率2页1.1.3转移概率矩阵3页1.2遍历性3页第二章 问题的分析5页第三章 模型的建立与求解6页3.1模型的建立6页3.2实例求解8页3.3成绩的分析及结论9页3.4模型的改进11页第四章 模型的评价13页参考文献14页附 录15页致 谢17页前 言教学过程是学生获取知识、培养能力的过程，学习成绩的好坏是他们获取知识培养能力的直接反映，也是对教师教学质量的一种检验.在学校的教学管理中，常常需要对各任课教师的教学效果进行质量评估或对教学工作的质量进行评价，常以学生的考试成绩为依据，以平均分的高低或平均分的
10、提高程度来衡量教学效果的优劣事实上，这是比较片面的，因为这种方法没有考虑到学生原有的基础存在差异的问题，因此仅用教师在任课期间学生的考试成绩来直接评估教师的教学质量是不科学、不公正的如何科学公正的评价一个教师的教学效果，是一个关系到能否公正评价一个教师的劳动，能否调动教师的积极性，不断提高教学质量的大问题因而需要寻求一种客观公正地、定量的评价教师教学效果的方法这种方法应排除评价人的主观因素，应是一个客观的量，反映教师教学的内在规律的量，而考核一个教师的教学效果主要看在教师的主导作用下，在教学的一个较长的过程中，学生知识掌握和能力提高的程度因而，可以依据链的无后效性来建立一种能排除学生的基础差异
11、因素的教学质量评估模型，用某教师施教后的学生成绩的变化情况来刻画教师的教学效果第一章 马氏链基本理论1.1 马尔科夫过程及其概率分布1.1.1马尔科夫性及其马尔科夫过程马尔科夫性（无后效性）：过程（或系统）在时刻所处的状态为已知的条件下，过程在时刻所处状态的条件分布与过程在时刻之前所处的状态无关.通俗的说，就是在已经知道过程“现在”的条件下，其“将来”不依赖与“过去”马尔科夫过程：设随机过程的状态空间为如果对时间的任意个数值,在条件，,下的条件分布函数恰等于在条件下的条件分布函数，即则称过程具有马尔科夫性或无后效性，并称此过程为马尔科夫过程1.1.2 马尔科夫链及转移概率马尔科夫链：时间和状态
12、都是离散的马尔科夫过程称为马尔科夫链，简称马氏链，记为，它可以看作在时间集上对离散状态的马氏过程相继观察的结果转移概率：记链的状态空间马尔科夫性通常用条件分布律来表示，即对任意的正整数和，有其中记，称条件概率为马氏链在时刻处于状态条件下，在时刻转移到状态的转移概率由于链在时刻从任何一个状态出发，到另一时刻，必然转移到各状态中的某一个，所以当转移概率只与及时间间距有关时，把它记为，即并称此转移概率具有平稳性同时也称此链是齐次的或时齐的在马氏链为齐次的情形下，称转移概率为马氏链的步转移概率1.1.3 转移概率矩阵转移概率组成的矩阵称为马氏链的转移概率矩阵.易知，此矩阵的每一行元之和等于一当时记为一
13、步转移概率，由它们组成的一步转移概率矩阵且具有以下性质：；1.2 遍历性齐次马氏链的状态空间为，若对于所有，转移概率存在极限或 则称此链具有遍历性又若，则同时称为链的极限分布有限链的遍历性的一个充分条件:定理1.2.1设齐次马氏链的状态空间为,是它的一步转移概率矩阵，如果存在正整数,使对任意的，都有，则称此链具有遍历性，且有极限分布,它是方程组或即的满足条件，的唯一解注：方程组中仅个未知数是独立的，而唯一解可用归一条件确定 在定理的条件下，马氏链的极限分布又是平稳分布意即，若用作为链的初始分布，即，则链在任一时刻的分布永远与一致事实上有第二章 问题的分析由于学生的成绩呈正态分布，将某位教师全体
14、的施教对象某次考试成绩分成个等级，把教师的较长教学过程分为两个阶段（第一学期期末，第二学期期末）例如：当时就是把某位教师的全体学生考试成绩分成五个等级，常见有：为优秀（分以上）；为良好（分）；为中等（分）；为及格（分）；为不及格（分以下）应用马尔科夫链从学生的等级转移情况对教师的教学效果进行评价和比较，这种等级变化是离散的状态变化，这样考虑比较符合客观实际记状态向量为各个等级学生占学生总人数之比，并用状态概率分布向量来表示，记为，其中,且把表示成一个齐次链，就可以分析当变化时状态向量的变化规律，这样就可以由链的无后效性建立起不受学生原有基础差异影响的教学质量评估数学模型设学生总人数为，初始考试
15、成绩第等级的人数为定义初始状态向量：有了初始状态向量后，可以如下定义反映某教师的学生成绩在施教后转移变化情况的转移概率矩阵，记为，其中表示相对于初始成绩的下一次（施教后）的学生成绩从等级转移到第等级的人数，的第行元素反映的是学生成绩在初始成绩的第等级向下一次考试成绩的第等级转移的概率，显然，定义为：，即由上面的定义可知，是一个齐次链，则由方程可知：对，有写成矩阵形式：故可得，的极限状态分布为齐次链在平稳状态下的概率分布根据链的无后效性，系统的极限状态与系统的初始状态无关，即与无关，一切由转移概率矩阵决定，因此，转移概率矩阵集中反映了教学质量、教学条件、学风及社会环境等等因素的影响，的极限状态说
16、明，这些因素稳定时，教学效果在这些条件的影响下可能达到的程度，且这一可能达到的程度与学生原有的基础无关第三章 模型的建立与求解3.1 模型的建立3.1.1 划分成绩等级将学生的考试成绩划分为五等：为优秀（分以上）；为良好（分）；为中等（分）；为及格（分）；为不及格（分以下）计算第一次考试后个等级学生人数占总人数的比例作为状态向量，记为：，其中为学生总人数，为等级的学生人数3.1.2 计算转移概率矩阵第二次考试后，用表示学生成绩由等级转移到等级的学生人数从而得到转移概率矩阵 其中3.1.3 计算极限分布由有限链的遍历性，建立方程组解得极限分布：表示经过长期的教学活动后，学生成绩在各个等级的极限分
17、布3.1.4 成绩分析以为权重，对每一等级赋予分数，对教学效果的定量指标加权平均，由所得的最终平均成绩（教学期望值）来评价教师的教学质量，同时对甲、乙两班的成绩进行分析，对这两种方法所得的结果进行比较，体现出马氏链模型对教学质量评估的客观性和科学性3.2 实例求解学校的教学管理中常常要对教师的教学质量进行评估，下面以学院专业由、两位教师所担任的两个班的核心课程课程一学年的成绩为例，应用以上模型进行教学质量的评估在同等条件下，安上述划分方法划分成绩等级，并列出了他们的学生考试的初始成绩、（百分制）和施教后的成绩、以及对应的状态转移列表，分别为、表(详细数据见附录)、两教师的施教学生人数可以不同，
18、在表中的最后一列的有序实数对表示由初始成绩从第等级转移到了施教后的第等级表学号初始成绩施教成绩状态转移表学号初始成绩施教成绩状态转移由转移表的最后一列“状态转移”中，分别计算出在表中相同出现的频数从而得到对应的频数矩阵：用频率表示转移概率，即，可得相应的转移概率矩阵：由于教学过程具有遍历性，因此存在极限分布，设极限分布为：,则它是方程组： 和 的解解得极限分布： 3.3 成绩分析及结论在稳定的状态下：甲班的优秀率为，良好率为，中等率为，及格率为，不及格率为；乙班的优秀率为，良好率为，中等率为，及格率为，不及格率为两个班在稳定状态下各个等级的人数为： 为了说明两位教师的教学质量的定量指标，可以先
19、给教师的教学质量指标等级预先确定分值，若设优秀为，良好为，中等为，及格为，不及格为，对最终状态做定量分析，得到最终平均成绩，即、教师的教学期望值： 可见,故教师的教学质量好于教师.经过一段时间的教学之后，学生的成绩都有所变化，从甲、乙两班的两次成绩来看，甲班第一学期的平均分为，第二学期的平均分为，乙班第一学期的平均分为，第二学期的平均分为，甲班两学期的平均分都要高于乙班，甲班第二学期的平均分比第一学期低了，乙班第二学期的平均分比第一学期低了，显然甲班成绩退步的幅度比乙班大，但这些指标都不能作为最后的评价标准，而应用马尔科夫链方法进行评估教师的教学质量则更为客观科学通过建立马儿科夫链模型计算可以
20、看出，经过一段时间之后，两个班的最终平均成绩为，在充分考虑了两个班基础的同时，对、两名教师的教学质量进行更为客观的评价，即教师的教学质量好于教师另一方面，由于所选的课程是该专业的核心课程，也是考研的专业课之一，所以该课程的成绩在一定程度上能反映考研的情况.甲、乙两班毕业时考研成绩（不包括跨专业考研的学生）：甲班参考学生报考院校初试总分核心课程成绩北京科技（211）华南师范（211）海南大学（211）未上线不及格乙班参考学生报考院校初试总分核心课程成绩电子科技（985）华南师范（211）海南大学（211）甲、乙两班毕业参加考研的人数较多，但成绩不太理想.一班有参加考试，上线人数有两人：一人考上北
21、京科技大学（总分），其中核心课程成绩分，总分和核心课程成绩都特别优秀，另一位考华南师范（），其中核心课程成绩为分，属于优秀等级，这与甲班稳定状态下的优秀人数（）相符；乙班有人参加考试，上线人数只有三人，这也和乙班稳定状态下的优秀人数（）大体相符.参加考研的学生当中核心课程以上的共两人，甲、乙班各一人，这也与模型计算所得的结果（两班优秀人数各一人）一致. 在此建议学校领导及部门：一方面要加强教学管理和学风建设，学生第二学期成绩普遍下滑主要由于学风不好造成的，学生刚步入大学保持有较高的积极性，由于学校教学管理不严学风又不太好，学生的学习积极性下降，导致总体成绩退步；另一方面要加强优秀生的培养，提升
22、学校的考研率.由于考研是优秀毕业生的选拔考试，而、的授课方式限制了优秀生的提升空间，导致该本科班的考研成绩不理想，整体考研率.教师在授课的时候应该提高教学的深度和难度.3.4 模型的改进为了能更加客观准确地评价两位教师的教学质量，对前面所建立的马尔科夫链模型进行少许改动在求出学生的一步转移概率矩阵后，利用学生的“进步度”，即学生进步还是退步的问题，也就是关心一个班或一个年级学生的成绩是进步大于退步，还是退步大于进步，把握整体进步情况现假设把等级学生培养成等级学生就是进步.根据前面的结果可建立如下模型：以前面的例子为例，假设其考试所使用的评分标准一致第一学期期末两个班所选的核心课程测试的各等级状
23、态向量（优秀，良好，中等，及格，不及格 ），经过一段时间教学后两个班学生的成绩都有所变化，通过第二学期期末考试，我们得到了两个班成绩的转移概率矩阵（注:具体矩阵在前面的计算中已经得到，这里不做重复计算) 下面我们求出两个班的进步度矩阵：定义进步度的效率值：表示班第一学期期末成绩状态等级为的学生的进步度效率值，则班整体的进步度效率值为:通过计算得：由以上计算可得：甲班前三个等级的学生成绩都有不同程度的退步，其中优秀等级学生退步比较严重，但后两个等级的学生成绩上升明显，特别是等级状态为及格的学生进步幅度较大，由此说明甲教师的授课方式很适合及格等级的学生，但这种授课方式限制了优秀生的提升空间，导致前
24、三个等级的学生成绩普遍退步，致使该班的平均分下降乙班前三等级的学生也普遍退步，良好的学生退步比较明显，后两等级的学生有一定的进步，但不如甲班进步的明显，两老师的授课方式都不太容易培养优秀生，且不能迎合大部分的学生，所以两班的平均成绩都有不同幅度的下降，由于老师授课方式比老师更能适应三、四等级的学生，所以总体来说老师的教学效果要比老师好，这与前面方法得到的结论一致从改进后的马尔科夫链方法上还可以看出两个班的教学效率的高低及各个等级状态的进步退步情况第四章 模型的评价本文通过建立数学模型对教学质量进行评估，通过实例分析可以看出，随机过程的齐次马尔科夫链可以对对教学质量进行客观有效的评估在教学质量评
25、估过程中，由于学生的基础差异，仅依靠学生成绩直接来评价教师的教学效果是不科学公正的，马氏链模型有效地克服了这一点在对教师的教学水平的考察分析中，由于模型中的转移概率矩阵包含着大量有用信息，这使我们能从中得到学生成绩在各等级之间的变化状况，并且从模型中可以得到体现教学效果的各类数据，可以使教师对自己的教学实践做出自我检验，从而有针对性的采取各种措施，探索教学规律，改进教学方法，提高教学水平，在教学方面进行自我完善本文的模型为从事教学活动的教师提供了一种实用的方法通过对马尔科夫链模型的改进，使得该模型对教学质量的评估更为合理，与以前文献使用马尔科夫链在教学效果评价中的应用相比，避免了可能因前后价值
26、状态不一样而构建的可疑转移概率矩阵，以及使用极限状态向量来解决实际问题的弊端，进一步计算得到教学进步度效率值、，通过比较、可以跟更直观的对教师的教学质量进行评价在这里所用的马尔科夫链，考虑了转移概率矩阵构建的意义，并充分利用了马尔科夫链中一步转移概率矩阵的基本特征，准确的从转移概率矩阵中提炼出变化信息，无需过多的假设条件，所建立的模型简单、合理和实用，所得的结果也符合马氏链模型的结果，且能从中得到一些更有参考价值的指标，如：各等级状态学生的进步度及整体进步度效率和等这对评价教学质量具有重要的意义参考文献1 盛骤，谢式千,潘承毅.概率论与数理统计（第三版）M.北京：高等教育出版社,2000:35
27、43682 张街马尔科夫链的一个应用J.长春光学精密机械学院报，1994，17（3）：44493 阮晓青,周义仓.数学建模引论M.北京：高等教育出版社，2005:354 王梓坤,杨向群.生灭过程与马儿可夫链M.北京：科学出版社,2005:3540.5 耿建军,焦德杰.基于马氏链的统计分析的教学评估方法J聊城大学学报（自然科学版）,2002,19（4）：971006 张民悦.教学质量评估的一类数学模型J.甘肃工业大学学报,2000,26（2）：92977 惠淑荣.马尔科夫链在教学评价中的应用J.高等农业教育，2009,10: . 附 录 表:学号初试成绩施教成绩状态转移1686344292771
28、3355664867023565714368171237688542883662497261341063614411696344127761341377853214937413157184321685782317786834189281121978763320677543216061442286892223898422249297112586732326636144278088222860614429787233306061443175763332782935338068243471613435706134第一学期期末平均成绩：，第二学期期末平均成绩： 表:学号初试成绩施教成绩状态转移1607
29、3432968512376693446680425887923660484578392218746734972643410758432119395111272653413626144146670431560614416777433176268441881612419837423209087122178803222717333238262242589692425676444266884422767684428606344297370333061674431556654326540453365694434627643358687223693931137836424第一学期期末平均成绩：，第二学期期末平均成绩：
