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1、目录摘要41前言 52 复化梯形公式的提出背景53复化梯形公式的算法原理 6 3.1复化梯形公式的主要思想63.2复化梯形公式的计算方法63.3复化梯形公式的积分余项64算法流程图75 C语言算法程序86算法实现6.1算法实例96.2利用MATLAB计算误差的例子117总结138参考文献13摘要利用若干小梯形的面积代替原方程的积分，利用微元法，可以求出坐标面上由函数与坐标轴围城的图像的面积的近似值。设将求积区间分成等份，则一共有个分点，按梯形公式计算积分值，需要提供个函数值。整个区间上的复化梯形公式即 利用复化梯形公式计算和函数，此外也通过实例分析运用这种方法会产生怎样的误差。关键字：分点 函
2、数值 一、 前言在工程计算中，某些定积分的近似值被广泛应用。我们在求一些具体的数值时，往往对精度的要求很高，用求积公式计算精确度的方法有很多，各有优缺点。通过对几种常见的方法加以比较，得出一些具体的选择方法，为提高计算精确度减少了很多复杂的运算。像复化梯形公式适用对精度不高的运算， 比复化梯形公式计算复杂，但结果比复化梯形求积公式计算的精确度要高，更适应精确度的运算，龙贝格计算积分时，不仅可以减少运算量，也可以提高近似值的精确度。此次主要讨论复化梯形的一些知识。二、 复化梯形公式的提出背景根据人们所熟知的微积分基本定理，对于积分,只要找到被积函数的原函数，便有下列Newton-Leibniz公
3、式：.但实际使用这种求积方法往往有困难，一方面的原函数不易求得 ,或非常复杂像有很多的被积函数，例如，等等，找不到用初等函数表示的原函数；另一方面,函数 是用函数表形式给出而没有解析式 , Newton-Leibniz公式也不能直接运用，这时就采用定积分的数值计算方法 ,以解决定积分的近似计算。此外在一些应用中数值求积公式的应用不仅在近似计算本身 ,在初等数学中 ,某些数列求前 n项之和公式的推导颇为繁琐 ,应用复化梯形公式可方便地导出这些公式。复化梯形公式用牛顿Newton-Leibniz公式来计算的值的前提是 :的原函数能够求出。当 的原函数不易求出或找不到时 ,希望用一个易于求原函数的函
4、数来近似代替被积函数 ,从而得到定积分的近似计算公式。下文中梯形公式就是常用的近似计算公式。由定积分的几何意义可知，梯形的面积近似的代替曲边梯形的面积。如果在整个区间上，只用单独一个梯形，由求梯形面积公式算出的结果为：T=（b-a）/2*f(a)+f(b)作为的近似值，往往达不到精度要求，因此通常采用的方法是细分求积区间。 三、复化梯形公式的算法原理3.1复化梯形公式的主要思想： 利用小梯形的面积代替原方程的积分，利用微元法，可以求出坐标面上由函数与坐标轴围城的图像的面积的近似值，符合了计算机计算存储的思想。设将求积区间分成等份，则一共有个分点，按梯形公式计算积分值，需要提供个函数值。在区间内
5、插入一列分点,使a= L L =b,相邻两分点间的距离h= -称为步长。均取等步长，即这里 代表步长，分点为，3.2复化梯形公式的计算方法：每个小区间上梯形公式是注意，这里 代表步长，分点为，整个区间上的复化梯形公式是即 3.3复化梯形公式的积分余项： ，由于 ，且 故存在使所以复化梯形公式的积分余项为即 , 四、算法流程图： 五、C语言算法程序#include#include#includeusing namespace std;#define N 400float F(float x) x=exp(x) ; return (x ) ;int main()float a,b,xN,sum,T
6、;int n,i;printf(please input n=);cinn; printf(please input a=);cina; printf(please input b=);cinb; for(i=0;in+1;i+)xi=a+i*(b-a)/(float)n;sum=0; for(i=1;in;i+)sum=sum+F(xi);T=(b-a)/(2*(float)n)*(F(x0)+F(xn)+2*sum);coutT= Tendl;return 0;六、算法实现6.1算法实例 实例一：利用复化梯形公式计算函数，在以1为下界，2为上界，把区间分为2等分（复化梯形公式计算在的值）。
7、解：运行程序(1) 显示出 “please in put n=” ,“please in put a=” ,“please in put b=”,依次输入数据，回车。(2) 显示结果如下图：注：此时；在程序中对应的语句为x=exp(x) ;所求的函数可以定义为其他函数得出目标函数的结果。 实例二：利用复化梯形公式计算函数，求在以1为下界，2为上界，把区间分为2等分（复化梯形公式计算在的值）。解：运行程序(1) 显示出 “please in put n=” ,“please in put a=” ,“please in put b=”，依次输入数据，回车。待添加的隐藏文字内容1(2) 显示结果如
8、下图：注：此时；在程序中对应的语句为x=sin(x)/x ;所求的函数可以定义为其他函数得出目标函数的结果。 6.2利用MATLAB计算误差的例子：function f=fx(x)f=x.2; 首先建立被积函数，以便于计算真实值。a=0; 积分下线b=1; 积分上线T=; 用来装不同n值所计算出的结果for n=2:10; h=(b-a)/n; 步长 x=zeros(1,n+1); 给节点定初值 for i=1:n+1 x(i)=a+(i-1)*h; 给节点赋值 end y=x.2; 给相应节点处的函数值赋值 t=0; for i=1:n t=t+h/2*(y(i)+y(i+1); 利用复化梯
9、形公式求值 end T=T,t; 把不同n值所计算出的结果装入 T中endR=ones(1,9)*(-(b-a)/12*h. 2*2); 积分余项（计算误差）true=quad(fx,0,1); 积分的真实值A=T-true; 计算的值与真实值之差（实际误差）x=linspace(0,1,9);plot(x,A,r,x,R,*) 将计算误差与实际误差用图像画出来注：由于被积函数是x.2，它的二阶倒数为2，所以积分余项为：(-(b-a)/12*h. 2*2)上图是利用复化梯形公式所画出的误差。其中：红线是计算误差，号是实际误差。-0.0017是计算误差。0.0417、0.0185、0.0104、
10、0.0067 0.0046、0.0034、0.0026、0.0021、0.0017是n值分别为2到10的实际误差。七总结这种求积公式计算比较容易，但是往往因为合理的选取比较困难，同时精确度不高，因此适用于对精确度要求不高的运算，梯形积分公式的方法计算的结果还是有一定的误差。学习这种算法我懂得了一些积分方法，同时对C语言和MATLAB的运用有了一定的累积，同时也有了一些其他方面的感想。虽然个人编程方面的知识非常有限，不过当我朝着这方面努力的时候，我感觉自己是满足而且充实的。正如人生一样，没有付出就不可能有回报，一分耕耘一分收获，而对于年轻的我们来说，唯有努力和付出才能最终到达成功的彼岸。 八.参考文献1张韵华编写. 数值计算方法与算法 （第二版）科学出版社，2006.2苏州大学出版数学编写组.数学（第三版）苏州大学出版社，2003.3 刘卫国著. MATLAB程序设计与应用（第二版） 高等教育出版社，2006.4 桂德怀编.高等应用数学(第二版)苏州大学出版社，2007.
