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1、毕业设计（论文）外文资料翻译题 目：多分辨率分析 连续小波变换TITLE:MULTIRESOLUTION ANALYSIS & THE CONTINUOUS WAVELET TRANSFORM院 系：电气信息工程系专 业：通信工程姓 名：赵春艳学 号：20071501103【指导教师评语】评定成绩： 教师签章： 年 月 日多分辨率分析 连续小波变换多分辨率分析虽然时间和频率分辨率的问题是一种物理现象（海森堡测不准原理）无论是否使用变换，它都存在，但是它可以使用替代方法分析，称为信号多分辨率分析（MRA）。MRA，如它的名字一样，分析了不同分辨率不同频率的信号。每个频谱分量不能得到同样的解决是因
2、为在STFT的情况下。MRA是为了在高频率时，能够得到良好的时间分辨率和较差的频率分辨率，而在低频率时，能够得到良好的频率分辨率和较差的时间分辨率而设计的。这种方法是十分有意义的，特别是当手头的信号高频成分持续时间短和低频成分持续时间长时。幸运的是，在实际应用中所遇到的信号往往是这种类型。例如，下面显示了这种类型的信号。它有一个贯穿整个信号相对较低的频率分量，而在信号中间有一个短暂的、相对较高的频率成分。连续小波变换连续小波变换作为一种替代快速傅里叶变换办法来发展，克服分析的问题 。小波分析和STFT的分析方法类似，在这个意义上说，就是信号和一个函数相乘，它的小波，类似的STFT的窗口功能，并
3、转换为不同分段的时域信号。但是，STFT和连续小波变换二者之间的主要区别是：1、Fourier转换的信号不采取窗口，因此，单峰将被视为对应一个正弦波，即负频率是没有计算。 2、窗口的宽度是相对于光谱的每一个组件变化而变化的，这是小波变换计算最重要的特征。 连续小波变换的定义如下：公式3.1从上面的方程可以看出，改变信号功能的有两个变量，和s，分别是转换参数和尺度参数。psi(t)为转化功能，它被称为母小波。母小波一词得名是由于如下所述的两个小波分析的重要性质：这个词意味着小波浪。小指的条件是本（窗口）函数的有限长度的（紧支持）。波指的条件是这个函数是振荡的。这个词意味着母波在支持不同类型波的转
4、型过程中起主要作用，或者叫母小波。换句话说，母小波是产生其他窗口功能的原型。这个术语的解释和它在STFT中的意义一样，它关系到窗口的位置，因为窗口是通过信号转换而来的。这个词，很明显，对应变换域的时间信息。但是，我们没有一个频率参数，因为我们之前STFT。相反的我们具有放缩参数，它定义为$ 1/frequency $。这个词的频率是留给STFT的。下一节对放缩参数进行了更详细的描述。放缩小波分析中的参数放缩类似地图使用参数。正如在地图中，高尺度对应一个非详细的整体视图（信号），低尺度对应的详细视图。同样，在频率方面，（高比例）低频率对应的信号整体信息（即通常跨越整个信号），而（小比例）高频率对
5、应一个信号中的一个隐藏模式的详细信息（通常持续时间相对较短的时间）。余弦信号的对应，下图例子中给出不同尺度。图3.2幸运的是在实际应用中，（高频率）低比例的信号不持续存在于整个信号中，他们的不同如图所示，但是他们通常会在尽可能短的时间内爆发，或者尖峰时刻。高比例（低频率）信号通常会贯穿于整个信号之中。放缩，作为一个数学运算，无非是扩张或压缩信号。更大尺度对应扩张（或伸出）信号而小尺度对应压缩信号。图中给出的信号都是同一个余弦信号产生的，他们是经过放缩功能之后的扩张或压缩的版本。在上面的数字中，S = 0.05是最小的比例，和S = 1是最大的比例。在数学方面的功能，若f（t）是一个给定的函数，
6、f（st）都对应一个版本，若s1则f(t)对应压缩版本；若s 1，规模扩张的信号，s1，压缩信号。在本文中都将采用这种解释。连续小波变换计算消费物价指数在这一节将解释上述方程。设x（t）是要分析信号。母小波选择作为进程中的所有窗口的原型。所有被使用的扩张（或压缩）和移出母小波版本的Windows。有许多是用于此目的的职能。有两个候选函数： Morlet小波和墨西哥帽函数，他们是为小波分析的例子是在本章稍后使用。 一旦选择了母小波开始计算S = 1和连续小波变换为S，体积更小，大于“ 1”所有值计算。然而，在信号的不同，一个完整的转换通常没有必要。对于所有的实际目的，信号是带限的，因此，在变换的
7、尺度有限区间计算通常就足够了。在这项研究中，使用了一些为有限区间的价值观，如将在本章后面介绍。 为方便起见，该过程将开始从规模S = 1和将继续为S，即增加值，分析将开始着手从高向低频率。这第一个值将对应到最压缩的小波。而S值增加，小波会扩张。 小波被放置在一开始即时间对应为0，在小波函数尺度“1”乘以信号，然后对所有次积分。该整合的结果再乘以数量不变1/sqrtS的。乘法是为了让转换后的信号将在每一个规模相同的能量能源正常化的目的。最后的结果是转换，即价值，对连续小波变换在时间价值为零，规模为S=1。换句话说，它是值对应的tau =0，在时间尺度平面s=1。在S=1的小波规模为，然后向右转向
8、tau，在本地令t=tau，上面的公式计算得到在t=tau，在时频平面S=1。 此过程反复进行，直到小波到达信号结束。对于一个上述规模的时间尺度平面上的点s=1现在完成。然后，S是增加了一个较小的值。请注意，这是一个持续变换，因此，无论是tau和S必须不断递增。但是，如果这种转换需要由计算机计算，那么这两个参数是由一个足够小的步长增加。这对应于采样时间尺度的模型。重复上述过程的每一个价值秒每一个给定值计算的S填补了当时规模平面对应一行。当过程是为完成一切所需的值，信号的连续小波变换已计算完毕。下面的数字说明了整个过程的步骤：图3.3在图3.3中，信号和小波函数列的头有四个不同的值。该信号是在图
9、3.1所示的信号被截断的版本。规模值是1，对应的最低规模，或最高频率。注意它是如何紧凑（蓝色窗口）。它应为最高频率分量的信号存在，在狭窄。小波函数的四个不同的位置都显示在图中分别为s=2,s=40,s=90,s=140。在每一个位置，它是乘以信号。显然，该产品是非零只有在信号的下降，对小波支持区域，它是零别处。通过将及时小波，信号是局部的时间，通过改变s的值，信号在尺度（频率）的本地化。 如果信号的频谱组成部分，对应于当前值（这是在这种情况下，s=1），此次与在此位置存在频谱分量信号小波产品给出了一个比较大的值。如果频谱分量对应到目前的价值不在于信号目前，产品的价值会比较少，或零。图3.3信号
10、在s=1，t= 100ms的窗口的宽度频谱分量。 连续小波变换在图3.3信号将产生约时间尺度大值低100毫秒，和其他地方的小值。另一方面，对于高频率，连续小波变换将给予较大的值几乎信号的整个持续时间，因为低频率在任何时候都存在。图3.4图3.5图3.4和3.5说明了他们对尺度值分别为S = 5和S = 20处理的过程相同。注意窗口宽度是如何随规模越来越大（降低频率）的变化而变化的。作为窗口宽度的增加，转换从低频率的部分开始。因此，每个比例和每次转换时间（间隔），一个时间尺度平面点都要被计算。在一个尺度计算中构建时间尺度平面的行，并在不同尺度的计算中构的时间尺度平面的列。现在，让我们来看一个例子
11、，看看小波变换到底是怎样进行的。注意图3.6所示的是一个非平稳信号，这和STFT时所举的例子类似，但在不同的频率。如图所示，信号包含四个频率分量分别是30赫兹，20赫兹，10赫兹和5赫兹。图3.6图3.7是连续小波变换这个信号（简称CWT）。请注意，轴线是平移和尺度，而不是时间和频率。然而，平移是和时间严格相关的，因为它表示母小波的位置。母小波变换可以被看作是时间，在t = 0时结束。但是，尺度完全是另一回事。请记住，规模参数方程3.1的s本来就是频率的倒数。换句话说，无论我们怎么说，关于小波变换的性质的频率分辨率，它的逆都将会在时域信号中出现小波变换的特征。图3.7注意，图3.7为小规模相对
12、应的更高的频率，即作为规模增大，因此，在零附近有鳞片图的一部分，实际上对应于最高频率分析，频率下降，而高比例对应到最低频率。请记住，有30赫兹的信号分量（最高频率），它作为第一最高频率，这在0到30范围内进行变换；然后是20 赫兹分量，第二最高的频率，等等。 5 赫兹分量出现在平移轴的最后（如预期），较高比例（低频率）再次出现按预期方式。图3.8现在，回顾一下这些属性：不同于STFT的其中有一个在任何时候和频率不变的变换方法，WT具有在高频率时有良好的时间分辨率和较差的频率分辨率，而在低频率时有良好的频率和较差的时间分辨率。为了更好地说明该决议的性质图3.8从另一个角度显示了在图3.7相同的变
13、换：在图3.8，低尺度（高频率）有较好的时间分辨率规模决议（窄规模，它的意思是没有任何含糊的、精确的规模），对应的频率分辨率较差。同样，低尺度具有较高的频率分辨率（宽规模，它意味着任何信号绝对的精确值），对较低的频率信号有更好的频率分辨率。 在图3.7和3.8轴正常化，并应据此进行评估。粗略地讲平移轴100点对应到1000ms，并将尺度轴150点对应到40赫兹频带（在变换时平移轴和尺度轴均不符合秒、赫兹，他们只是在计算样本数）。时间和频率分辨率在本节中，我们将采取的小波变换在该决议的性能一探究竟。请记住，该决议的问题是我们从STFT的切换为WT最主要的原因。 图3.9说明是常用的解释时间和频率
14、的决议应得到解释。图3.9中的每个方块对应于小波变换在时频平面上的价值。请注意，箱子有一定的非零区，这意味着，在时频平面上某一点的值不可知的。所有在时频平面的落在一个盒子内的点用一个WT值来表示。图3.9让我们来仔细看看在图3.9：首先要注意的是，虽然箱子的宽度和高度变化，但面积是恒定的。这是每个方块代表一个时频平面上平等的部分，但给予不同比例的时间和频率。请注意，在低频时，箱子的高度短（相当于更好的频率决议，因为有准确频率值），但它们的宽度较长（对应的时间分辨率差，因为有确切时间值）。以更高频率的箱子减少宽度，即获得更好的时间分辨率，以及箱子的增加，即高度，频率分辨率越来越穷。 本节结束前，
15、值得一提的是如何区分看起来像STFT的案件。回想一下，在短时Fourier变换的时间和频率分辨率是窗口的分析，这是整个分析选择，即时间和频率是不变的决议一旦确定宽度。因此，时频平面构成中的STFT的案件广场。 无论箱子的尺寸，所有箱子的地区，短时傅立叶变换和WT两者是相同的，由海森堡的不平等决定。作为一个总结，一个区域是每个窗口（STFT的）或母小波（简称CWT）固定的功能，而不同的窗口或母小波，可能会导致不同的领域。然而，各地区要低界的1 / 4 pi的。也就是说，我们不能降低我们希望尽可能由于海森堡的测不准原理的箱子等领域的要求。另一方面，对于一个给定的母小波箱子尺寸是可以改变的，同时保持
16、该地区的相同。这正和小波变换一样。小波理论：一种数学方法本节介绍了小波分析理论的主要思想，这也可以认为是对信号分析技术，最根本的概念。FT定义使用基函数的傅里叶分析和重建功能。向量空间中的每一个向量可以写成在该向量空间基础上的向量的线性组合，即一些常数乘以数的向量，然后通过采取求和的产品。信号的分析牵涉到这些常量数字（变换系数，或傅立叶系数，小波系数等）的合成，或重建，对应的计算公式的线性组合。 这个主题中所有的定义及相关定理都可以在Keiser的书中找到，是一个很好的指导，但是要想对小波函数是如何工作的有一个专业的理解，必须要了解小波理论的基本原则，入门级的知识。因此，这些信息将提交本节。
17、基矢注意：大部分的方程，包括希腊字母。这些字母在文本中明确用了自己的名称，如tau, psi, phi等。对于大写字母，名字的首字母被大写，如Tau, Psi, Phi等。此外，下标由下划线表示，上标是由字符表示。另外请注意，所有的字母或字母的名字用黑体字代表向量，一些重要的点也以粗体写表示，但意思应该能从上下文中理解。 一个向量空间V的基础是线性无关的向量，这样，任何V中的向量v可以作为此基础上编写的一套向量的线性组合。可能有一个以上的向量空间的基础。不过，他们都具有相同数目的载体，这个数字是作为向量空间的维数而闻名。对于两维空间的例子中，将有两个向量的基础。公式3.2公式3.2显示了如何把
18、任意的向量v作为载体b_k和相应的系数线性组合表nuk。 这个概念，在向量的形式给出，可以很容易地推广到功能，取代基向量b_k与基础功能phi_k(t)，及一个具有函数f(t)功能的向量v。公式3.2就变成：公式3.2a复指数（正弦和余弦）函数是FT的基础功能。此外，他们是正交函数，为重建提供一些优良特性。 设f（t）和g（t）是两个函数在L 2 a，b（L 2 a，b表示在区间a，b上的平方可积函数的集合）。两个函数的内积定义为公式3.3：公式3.3根据上述内积的定义，连续小波变换可以被看作是与基础功能psi_(tau ,s)(t)测试信号的内积公式3.4其中公式3.5这个CWT的定义表明，
19、小波分析是一种基于函数（小波）和信号本身具有相似性的措施，这里的相似性是指在相同的频率成分的相似。连续小波变换系数的计算指的是对信号的小波在目前规模的亲密关系。 这进一步明确了在一定规模上的信号相关性的小波前面的讨论。如果信号的频率有一个相应于当前规模的重要组成部分，那么，在目前的尺度小波（基础功能）将类似或接近在这个特定的位置发生频率分量的信号。因此，连续小波变换系数的计算在这个时间范围将是一个平面点比较多。内积、正交性和正交归一性两个V，w是指正交，如果他们的内积为零向量：公式3.6同样，两个函数的f $和$g$也可以说成是互相正交的，如果他们的内积为零：公式3.7一组向量集合v_1，v_
20、2，., v_n据说是正交的，如果他们是两两正交对方，都长“1”，则可以表示为：公式3.8同样，功能phi_k（t），设置k= 1,2,3 ,.，如果说是正交的公式3.9和公式3.10或者等价公式公式3.11其中，delta_ 是吉隆坡克罗内克函数，定义如下：公式3.12如上所述，可能有一个以上的基函数（或向量）集。其中尤其重要的是，正交基函数（或载体）为他们在寻找的分析提供了很好的性能系数。该正交基允许在一个非常简单和直接的方式使用这些正交性系数进行计算。对于正交基，系数，mu_k，可以计算公式3.13与函数f（t）可以由公式3.2_a然后通过替换mu_k重建系数。这就产生公式3.14正交基
21、可能无法使用各种应用类型，而其中一个广义的版本，双正交基都可以使用。“双正交”一词，是指两个函数是互相正交的，但各自没有形成一个不同的正交设置。然而，在一些应用中，双正交基也可能无法应用，如在框架使用中。框架构成了小波理论的重要组成部分，有兴趣的读者可参考Kaiser的书前面提到的。继在第2章的STFT相同的顺序，介绍下连续小波变换的一些例子，在例子中给出的数字是产生于计算连续小波变换写的一个方程。在我们结束这一节，我想介绍常用的两个母小波的小波分析。墨西哥帽小波定义为高斯函数的二阶导数：公式3.15这是公式3.16Morlet小波定义为：公式3.16a其中是调制参数，和比例参数影响窗口的宽度
22、。实例下面给出的所有例子都对应于现实生活中的非平稳信号，这些信号来自一个数据库，该数据库包括事件相关正常人群的电位，及阿尔茨海默氏症患者。由于这些都是不喜欢的简单的正弦波测试信号，它不是那么容易解释。它们显示在这里只是为了给出一个想法，即现实生活中CWTs是怎样的。下面的图3.11所示的信号属于一个正常人，以下是它的CWT：图3.11对于轴上的数字对我们是没有意义的。这些数字只是表明， CWT是在350变换和60级平面尺度位置计算的。最重要的一点要注意的是，这里的计算并不是真正的连续重，因为它是在明显位置有限数的计算。这只是一个连续小波的变换，这是这个页面稍后解释有关离散版本。但是请注意，这并
23、不是本教程第四部分的主题-离散小波变换（DWT）。图3.12图3.13和上图相同的转换，从不同的角度为更好的显示效果图3.13图3.14为事件确诊患有阿尔茨海默氏症的病人的相关电位图3.14图3.15显示了其连续小波变换图3.15这是另一种观点从不同的角度图3.16小波合成连续小波变换是一种可逆的变换，只要满足方程3.18。幸运的是，这是一个非限制性规定。如果方程3.18得到满足，连续小波变换是可逆的，即使基函数一般都是不正交的。重建可能是使用下面的重建公式：公式3.17 小波逆变换公式其中C_psi是一个常量，取决于所使用的小波。该重建的成功取决于这个叫做受理的常数，受理满足以下条件：公式3
24、.18 受理条件方程这里 psihat(xi) 是 FT 的psi(t)，方程3.18意味着psihat(0) = 0，这是公式3.19如上所述，公式3.19并不是一个非常严格的要求，因为许多小波函数可以找到它的积分是零。要满足方程3.19，小波必须振荡。连续小波离散化转型：级数在当今世界，电脑是用来做最计算（或者，好.几乎所有的计算）。很明显，无论是FT，还是短时傅里叶变换，还是CWT的实际计算使用分析方程，积分，等是不行的，因此有必要离散变换。正如FT和STFT，做这仅仅是采样时频（规模）面最直观的方式。同样直观，统一采样的采样率，直觉上听起来这似乎是最自然的选择。然而，在野生情况下，规模
25、变化可用于降低采样率。在较高的规模（低频率），根据Nyquist的规则，采样率可以降低。换句话说，如果时间尺度需要与一个在规模s_1的N_1采样率采样，可在同一平面的N_2采样的采样率，在规模s_2，在那里，s_1 F2）和N_21和tau_00。请注意，如何进行离散变换是依赖于规模与s_0。连续小波函数公式3.22公式3.23通过插入S = s_0 J和tau= k.s_0 j.tau_0。如果psi_(j,k)构成一个标准正交基，小波变换成为系列公式3.24公式3.25一个级数要求psi_(j,k)不是正交，双正交，或框架。如果psi_(j,k)不是正交，方程3.24变为公式3.26这里h
26、at psi_j,k*(t)，要么是双双正交的基础或双画面（请注意，*表示共轭）。如果psi_(j,k) 为正交或双正交，变换将非多余的，因为如果他们在那里形成一个框架，该转换将是多余的。另一方面，这是很容易找到比它的帧是找到正交或双正交基地。以下类推可以清除这个概念。考虑于特定对象的前瞻性的全过程。人类的眼睛首先确定粗的看法，对眼睛的距离为对象而定。这相当于调整尺度参数s_0（- J）的。当您在一个非常密切的对象很详细，j为负，大（小规模，高频率，分析信号中的细节）。移动头（或眼睛）非常缓慢，非常小的增量（角度，距离，对正在观看的对象而定），对应于tau= k.s_0 j.tau_0小的值。
27、请注意，当J为负，大，它对应于微小变化时，tau（高采样率）和大的变化s_0 -J（小规模，高频率，其中采样率较高）。尺度参数可以被看作是放大了。可以多低采样率，仍然是允许的信号重建？这是最主要的问题需要回答的优化过程。最方便的值（在编程方面）被发现是“2”对应s_0和“1”对应tau。显然，当取样率被强制为尽可能低，可用正交小波的数量也在减少。 连续小波变换，已经于本章的例子实际上是给定信号的小波系列。被选中的参数根据信号。由于重建是不必要的，有时采样率远低于临界值，其中s_0介于2至10，tau_0从2变化到8个不同的例子。本教程到此结束第三部分。我希望你现在有一个什么样的小波变换的基本理
28、解是一回事。不过有一件事情留下要讨论的。即使离散小波变换可以在计算机上计算，此计算可能从几秒钟到几个小时，任何地方你的信号大小和分辨率要而定。一个令人惊讶的快速算法是实际可用来计算的小波变换信号。离散小波变换（DWT）的介绍了本教程的最后一章第四部分。让我们相遇在压轴节目，好吗？MULTIRESOLUTION ANALYSIS & THE CONTINUOUS WAVELET TRANSFORM MULTIRESOLUTION ANALYSISAlthough the time and frequency resolution problems are results of a physica
29、l phenomenon (the Heisenberg uncertainty principle) and exist regardless of the transform used, it is possible to analyze any signal by using an alternative approach called the multiresolution analysis (MRA) . MRA, as implied by its name, analyzes the signal at different frequencies with different r
30、esolutions. Every spectral component is not resolved equally as was the case in the STFT. MRA is designed to give good time resolution and poor frequency resolution at high frequencies and good frequency resolution and poor time resolution at low frequencies. This approach makes sense especially whe
31、n the signal at hand has high frequency components for short durations and low frequency components for long durations. Fortunately, the signals that are encountered in practical applications are often of this type. For example, the following shows a signal of this type. It has a relatively low freq
32、uency component throughout the entire signal and relatively high frequency components for a short duration somewhere around the middle.THE CONTINUOUS WAVELET TRANSFORMThe continuous wavelet transform was developed as an alternative approach to the short time Fourier transform to overcome the resolut
33、ion problem. The wavelet analysis is done in a similar way to the STFT analysis, in the sense that the signal is multiplied with a function, it the wavelet, similar to the window function in the STFT, and the transform is computed separately for different segments of the time-domain signal. However,
34、 there are two main differences between the STFT and the CWT: 1. The Fourier transforms of the windowed signals are not taken, and therefore single peak will be seen corresponding to a sinusoid, i.e., negative frequencies are not computed. 2. The width of the window is changed as the transform is co
35、mputed for every single spectral component, which is probably the most significant characteristic of the wavelet transform. The continuous wavelet transform is defined as followsEquation 3.1As seen in the above equation , the transformed signal is a function of two variables, tau and s , the transla
36、tion and scale parameters, respectively. psi(t) is the transforming function, and it is called the mother wavelet . The term mother wavelet gets its name due to two important properties of the wavelet analysis as explained below: The term wavelet means a small wave . The smallness refers to the cond
37、ition that this (window) function is of finite length ( compactly supported). The wave refers to the condition that this function is oscillatory . The term mother implies that the functions with different region of support that are used in the transformation process are derived from one main functio
38、n, or the mother wavelet. In other words, the mother wavelet is a prototype for generating the other window functions. The term translation is used in the same sense as it was used in the STFT; it is related to the location of the window, as the window is shifted through the signal. This term, obvio
39、usly, corresponds to time information in the transform domain. However, we do not have a frequency parameter, as we had before for the STFT. Instead, we have scale parameter which is defined as $1/frequency$. The term frequency is reserved for the STFT. Scale is described in more detail in the next
40、section.The ScaleThe parameter scale in the wavelet analysis is similar to the scale used in maps. As in the case of maps, high scales correspond to a non-detailed global view (of the signal), and low scales correspond to a detailed view. Similarly, in terms of frequency, low frequencies (high scale
41、s) correspond to a global information of a signal (that usually spans the entire signal), whereas high frequencies (low scales) correspond to a detailed information of a hidden pattern in the signal (that usually lasts a relatively short time). Cosine signals corresponding to various scales are give
42、n as examples in the following figure .Figure 3.2Fortunately in practical applications, low scales (high frequencies) do not last for the entire duration of the signal, unlike those shown in the figure, but they usually appear from time to time as short bursts, or spikes. High scales (low frequencie
43、s) usually last for the entire duration of the signal.Scaling, as a mathematical operation, either dilates or compresses a signal. Larger scales correspond to dilated (or stretched out) signals and small scales correspond to compressed signals. All of the signals given in the figure are derived from
44、 the same cosine signal, i.e., they are dilated or compressed versions of the same function. In the above figure, s=0.05 is the smallest scale, and s=1 is the largest scale.In terms of mathematical functions, if f(t) is a given function f(st) corresponds to a contracted (compressed) version of f(t) if s 1 and to an expanded (dilated) version of f(t) if s 1 .However, in the definition of the wavelet transform, the scaling term is us
