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1、第1章 宽带激光传输的相关理论和数值算法本章首先给出宽带激光的基本传输方程，接着介绍宽带激光线性和非线性传输的基本理论，并将某些理论进行适当推广，然后阐述求解宽带光束线性和非线性传输的相关数值算法。1.1 二维傅里叶变换与逆变换变换 (1.1)逆变换(1.2)其中(x, y)为空间坐标，(fx, fy)为空间频率坐标。1.2 基本传输方程考虑光的波动性，光的传输满足Maxwells 方程组(1.3)其中f 和J分别表示介质中的自由电荷密度和传导电流密度，E、D、B、H分别表示电场强度、电位移矢量、磁感应强度和磁场强度，它们由物质方程联系(1.4)式中P和M分别表示极化强度和磁化强度，e0和m0
2、分别表示真空中的介电常数和磁导率。对于无源介质f =0, J= 0, M = 0，用算符作用于方程，并结合方程得到(1.5)式中m0e0=1/ c2，c为真空中的光速。利用关系，得一般的波动方程(1.6)式中P=PL+PNL，其中 PL和PNL分别为表示介质特性的线性极化强度和非线性极化强度。波动方程是光波传输所满足的最基本的方程。1.3 宽带激光线性传输的相关理论在线性介质中，P为常量，方程表示的波动方程可化为标量的Helmholtz方程(1.7)其中k为波数，定义为这里，n是介质的折射率。在真空(n=1)或均匀介质(n1)中传播的任何单色光的扰动的电场复振幅必须满足上述关系。1.3.1 宽
3、带激光脉冲的线性传输方程对于宽带激光束，各种波长成分的光投射到入射面上的相幅矢量的振幅变化是一致的，尽管空间任意两点可有不同的固定相对相位，但它们的绝对相位随时间的变化方式是相同的，在出射平面上各个脉冲响应的变化也是一致的，因此可按复振幅相加 109 。这样，我们可以借鉴单色光束的传输规律，研究宽带激光束的传输特性。1.3.1.1 傍轴近似传输方程首先考虑波长为的单色光的自由空间传输规律。在菲涅耳傍轴近似下，标量亥姆霍兹方程的解可近似为Huygens-Fresnel衍射积分公式，其表达形式有两种形式 109，第一种形式是卷积形式，表示为(1.8)式中E1和E2分别是输入平面x1y1和输出平面x
4、2y2上的光场，z为光的传输距离。利用卷积的性质，得到(1.9)其中和分别表示二维傅里叶变换和逆变换，为传递函数(1.10)它描写菲涅耳衍射区内的传播的效果，这个式子的第一个指数因子代表一个总体的相位延迟，第二个指数因子代表相位弯曲。方程表示，输出光场为输入光场的傅里叶变换与传递函数的乘积的傅里叶逆变换。Huygens-Fresnel积分公式的另一种表达形式为(1.11)式中右边的积分表示输入场E1(x1，y1)与一个二次相位因子expi/z(x12+y12)的乘积在空间频率坐标(x2/z，y2/z)的二维傅里叶变换。Huygens-Fresnel积分公式的这两种表达形式在数值计算中有着不同的
5、用途，例如，在Fresnel数F(=w2/z，其中w为光腰)1时，使用第一种表达形式效果较好，在Fresnel数F1时，使用第二种表达形式效果较好。1.3.1.2 角谱传输理论由傅里叶变换的基本概念可知，对一随时间变化的信号作傅里叶变换，可求得该信号的频谱分布，同样，若对任意平面上的复光场分布作二维傅里叶变换，则可求得光信号的“空间频谱”分布。各个空间频率的空间傅里叶分量，可以看作是沿不同方向传播的平面波。因此，把“空间频谱”称为平面波的角谱。考虑波长为的光波沿着z方向投射到平面x1y1上，z=0处光场为E1(x, y;) 的频谱函数为A0(fx, fy;)，则函数E1(x, y;)在x1y1
6、平面上的二维傅里叶变换为109(1.12)其傅里叶逆变换为(1.13)上式是把频域函数A0傅里叶变换为空域函数E1，也可理解成空域函数E1可以展开成以空间频率为变量的系列基元函数expi2(xfx+yfy)之和。又因为以方向余弦(, , )传播的单位振幅的平面波的方程为容易看出该方向余弦与空间频率的关系(1.14)基于这个原因，函数称为光场E1(x, y;)的角谱。同样地，在输出平面x2y2上令A (fx, fy;)为输出函数E2(x, y;)的角谱，根据标量的亥姆霍兹方程，角谱的传输满足方程109(1.15)式中circ为圆域函数。可以看到，波传播现象的传递函数为(1.16)这样，输出光场E
7、2(x, y; )与输入光场E1(x, y; )仍由方程关联，可以作为光束的非傍轴传输。1.3.1.3 单色光线性传输方程对宽带激光传输的推广对于宽带激光，输出电场还是波长或角频率的函数，将上述单色光传输理用于宽带激光的传输，最后的输出场为所有输出单色光复电场振幅的叠加，设光束的带宽为，中心波长为0，若仅考虑光场的空间分布，则有 (1.17)若还要考虑光场随时t的变化，则有(1.18)其中E2(x, y;)E2(x, y;)。1.3.2 宽带激光脉冲通过单透镜的传输方程众所周知，透镜对两焦平面上的单色光具有Fourier变换性质。对宽带激光，Kempe等人得到了光从透镜前侧传输到透镜后距离为z
8、的近似结果110，这里重新考虑一般的情况，并得出精确解。设光的波长为时透镜的焦距为f，光通过透镜的传输如图2-1所示。假定光束在距离d0上的传输满足菲涅耳近似，由方程得(1.19)式中k=k()是真空中的波数。而在傍轴近似时透镜后侧的场Ul可表示为111(1.20)n=n()表示与波长有关的透镜折射率，式中焦距f的计算公式为111(1.21)为与透镜孔径有限大小有关的光瞳函数，定义为(1.22)-R2Ui(xi,yi)Ul(x,y)Ul(x,y)Uo(xo,yo)zd0dzR1图1-1光通过透镜传输的示意图利用Huygens-Fresnel衍射积分求透镜后距离为z的平面上场振幅分布Uo(xo,
9、yo)，有：(1.23)若光束截面线度小于透镜孔径，忽略方程中的因子后代入得(1.24)可见，上述被积函数内的二次相乘因子在时不能相消。将代入并整理得(1.25)对x、y积分化简后得到(1.26)其中(1.27)式忽略了expik(d0+z)相位因子，表示原场乘以一个二次相位因子后在空间频率坐标(xo/zl，yo/zl)上的傅里叶变换，虽然这种变换不是准确的，但具有非常广泛的意义，可用于非像传递空间滤波器、计算色差、研究透镜后任一平面上的场幅或光强分布等。另一方面，考虑宽带激光束，设投射到透镜上的光束是带宽为中心波长为0的对称型宽带激光束，将方程中的Uo(xo, yo)改写为Uo(xo, yo
10、; )，进行叠加后并取平均值得到 (1.28)上式描述了凸透镜对宽带激光束的变换特性。1.3.3 宽带激光通过空间滤波器的传输波长为的光束对应的像传递空间滤波器如图2-2所示，它的光束输入、输出平面分别在两透镜的焦平面上。f10f 20f 10f20Ein L1 filter L2 Eout图1-2 单级空间滤波器 (SSF)理想的单色光束可以满足像传递，但对于宽带脉冲，由于透镜的色散，焦距随频率或波长的变化而变化，宽带脉冲中最多只有一种频率的光能进行像传递，因此现有的透镜变换公式不适合宽带脉冲传输的空间渗滤器，必须考虑更普遍的情形。考虑色散效应的空间滤波器我们称之为色散空间滤波器。对中心波长
11、为0宽带脉冲，设透镜L1和L2的焦距分别为f10和f20，滤波小孔安装在L1与L2的共焦平面上，入射场与出射场分别为与中心波长相对应的L1的前焦面和L2的后焦面。在方程、中取d0=z=f10或f20，f=f1或f2，用方程描述透镜L1和L2的特性，将l分别写成l1和l2，有(1.29)f1或f2分别是透镜L1和L2随波长而变化的焦距。可见，l1和l2分别表示了透镜L1和L2的色散关系。将方程应用于透镜L1和L2后再进行线性叠加，并取平均值得到 (1.30)其中d1和d2分别表示了透镜L1和L2的厚度，T(x/f10，y/f10)是滤波小孔的透射函数，定义为(1.31)方程表示光通过透镜L1进行
12、一次Fourier变换，由小孔进行滤波，最后由透镜L2再进行一次Fourier变换而得到输出光场。由于透镜的色散，宽带激光仅在=0时才能实现理想的空间滤波。同样，最后的输出场为(1.32)注意，上面给出的宽带激光传输理论主要考虑的是输出光束的空间特性，若考虑的是时间特性或时空耦合特性，应将输出场中的波长改写为频率，然后进行一次Fourier逆变换。1.4 宽带激光非线性传输的相关理论单色光束传输问题时可以略去群速度色散项，为标准的非线性Schrdinger方程为88(1.33)式中是横向Laplace算符。注意，由于“本地时间坐标”隐含于方程，因此方程也适用于准单色光束情况。宽带脉冲光束的非线
13、性传输不同于普通窄带(准单色)的高功率激光传输，其差别主要有两点:第一是脉冲光谱成分中不同波长的光波衍射的强弱程度不一样，导致所谓的时空耦合形象，对光束的展宽、聚焦，以及小尺度自聚焦过程等都有影响；其二，脉冲的光谱宽度与激光增益带宽可以相比，所以必须考虑不同光谱成分的增益差别，以及脉冲光谱的窄化现象。同时，激光脉冲光束在传输过程中由于时空耦合也会导致脉冲光束的形状改变。具体考虑到高功率激光驱动器的要求，典型脉冲时间为Tp=1-5ns，对应的变换极限带宽为1.632103-0. 3264103nm。按照目前的设计，宽带脉冲是通过ps级超短脉冲展宽后得到ns级脉冲，所以脉冲带有巨大的频率啁啾，典型
14、约103-104。对于这种带有大啁啾的脉冲光束，其沿时间维的相位变化是非常快的。1.4.1 慢演化波近似非线性传输方程光学中传输方程在描述脉冲变化时起着非常重要的作用。包含几个脉冲周期长周期飞秒脉冲己经在理论和实验上广泛研究。Brabec等人从方程出发通过慢演化波近似(slowly-evolving-wave approximation(SEWA)推导了一个三维的非线性传输方程24，理论上甚至可以描述单周期脉冲的传输，并且说明了慢变包络近似和SEWA之间的差别。(1.34)其中(1.35)及(1.36)对Kerr介质的话，当脉冲很短时g不得不考虑Raman效应（self-frequency s
15、hifting(SFS)）的影响，此时为(1.37)其中为非线性折射率的Raman效应因子。方程右边各项分别表示衰减、衍射、群速度和色散(Group-velocity dispersion, GVD)、以及非线性自聚焦，为自陡峭项（self-steepening(SS)）。1.4.2 慢演化波近似非线性传输方程的进一步简化在近似条件|1-01/0|S时，用方程表示的系数fn和gn均恒等于0，于是方程无限项的和变成了有限项，取前N1项，得到离散HT和IHT分别为(2.5) 为了减少方程右边求和符中数据相乘的次数，分别定义向量G(m)和F(n)为(2.6)于是方程进一步简化为(2.7)其中cnm为
16、(N1)(N1)变换矩阵C的矩阵元，表示为(2.8)由方程和容易看出矩阵C的一些特性：C是正交矩阵，满足CCT=CC=I（I表示单位矩阵），其行列式detC的值等于1；C是单参数S的函数，CC(S)，S不同，矩阵C中元素的值不同，所以如何选择S以使C成为正交矩阵对提高该算法的精度非常重要。通过数值分析，取SjN+1(jN+1是0阶Bessel 函数的第N+1个零点)变换矩阵C最接近正交矩阵，为进一步提高精度，我们利用矩阵C的性质对jN+1进行修正得到S，其修正表达式为(2.9)我们通过数值方法计算|detc|-1|的值来验证方程的修正效果，取N10，k分别为0和2，计算的结果分别为8.5710
17、-4和8.1610-5，而SjN+1时的结果为2.2110-2。可见S按方程取值C更接近于正交矩阵，其中k为调整精度的参数，它只跟抽样点数N有关。为了确定k的值，我们编制了N分别从2到500计算|detC|-1|最小值所对应的k的程序，结果发现(算符表示取整运算)时|detC|-1|取最小值或接近于最小值，k的这个取值可作为读者在应用上的参考。将方程代入Parseval定理：(2.10)并结合方程得到Parseval定理的离散形式为(2.11)这就意味着DQDHT算法在空间域与空间频率域能量同样是守恒的，适合反复变换。2.3 算法的测试与验证我们用C+语言编程对DQDHT算法的正确性与精度进行
18、测试，根据C为实对称矩阵，对数据的存储采用三角矩阵形式，可以分别节省N(N+1)/2个双精度型存储单元的存储空间，这用C+语言编程是非常容易实现的。关于Bessel函数及其导数的零点可以参考文献计算127，也可以直接用常用的数值方法解非线性方程求解，只要通过几次迭代，就可以得到很高精度的结果。首先我们用连续函数f(r)=r2exp(-r2)作为输入函数对DQDHT算法进行测试，它在0,)上的0阶HT的精确表达式为(2.12)以g ()作为基准，用g*()表示DQDHT算法的变换值，在空间频率域定义绝对误差为|g-g*|，并分别用MaxE表示最大绝对误差，MinE表示最小绝对误差，MeanE表示
19、平均误差|g-g*|/N，取b=(S/2) 0.5，一次DQDHT的计算结果如表2-1所示：表2-1 f(r)的DQDHT值与精确值的绝对误差N10203040MinE2.710-91.710-168.310-181.310-18MaxE1.910-75.210-142.810-161.910-16MeanE5.110-89.410-159.710-177.810-17可见，对于连续函数，当抽样点数N很小时DQDHT算法都有很高的精度，随着N的增加，精度更高。图2-1表示函数g()的精确值与经过101次DQDHT后的结果比较，计算中抽样点数N100。在图2-1(a)中，实线表示精确值，圆点线表
20、示DQDHT的数值结果，可见两者非常一致；图2-1(b)表示它们之间的误差随空间频率的变化，由图可知，整个频率范围内误差均是极小的，相对而言，只有在在低频的小范围内误差大一些，取绝对值后得到的最小绝对误差、最大绝对误差和平均误差分别为2.1710-17、1.8010-13和6.8010-15。从这些结果看出：即使是最大误差，也与计算机精度同数量级（C+双精度型数值精度为15位小数）。同时该算法的执行速度也是快的，在P1.5GHz的CPU，512MB内存的PC机上执行程序，DQDHT算法经过101次变换花费的时间仅0.031s，抽样点在128以内时，它比快速Hankel变换速度更快。可见，同FF
21、T一样，DQDHT算法经过多次变换是不会丢失精度的，而且程序执行速度也快。图2-1 g()的精确值与函数f(r)经过101次DQDHT后的结果比较其次，我们用top-hat函数f(r)=1 (0rb)，作为输入函数，其0阶HT的精确表达式为(2.13)图2-2(a)给出了“top-hat”函数经过一次DQDHT后与精确变换值的比较，计算中空间域截断半径b=5，抽样点数N200，空间频率域截断半径在20.025附近。图中实线表示精确值，点线表示数值结果，由图看出DQDHT的变换值与精确变换值符合的很好。准离散Hankel变换(QDHT)123 算法是以前HT算法中精度最高的，分别计算top-ha
22、t函数经过一次DQDHT和QDHT后的数值结果与精确值绝对误差的对数绘于图2-2(b)，计算参数同上。从图2-2(b)看出，整个空间频率范围内DQDHT算法得到的曲线(圆点线)均位于QDHT算法得到的曲线(方点线)的下方，表示基于Dini级数展开的DQDHT算法比基于FourierBessel级数展开的QDHT算法的精度更高，绝对误差的对数前者小于-5.02，而后者大于-3.39。图中17.13处出现了最小值-10.46，这是因为“top-hat”函数的HT值在2.0后接近于0（见图2-2(a)），我们通过数值计算论证，发现“top-hat”函数的HT的精确值在此处及其附近更接近0，因此QDH
23、T后的数值结果与精确值绝对误差的对数在17.13处出现了最小值。图2-2 (a)“top-hat”函数经过一次DQDHT后与精确变换值的比较，(b)它们之间绝对误差的对数随空间频率半径变化的比较，其中b=5，N2002.4 DQDHT方法在光束传输中的应用2.4.1 DQDHT处理光传输问题的有效性在光传输系统中，光束在传输过程中一般要经过各种不同的组件和不同的介质，这就需要对光束的传输进行分步计算，将前一步的输出作为下一步的输入。在周期性介质和非线性介质中尤其如此，而且要进行数以千计次反复计算。对于每一步传输的计算一般使用二维Fourier变换对，对于圆柱对称系统，采用Hankel变换可大大
24、提高计算速度，但对Hankel变换的计算精度要求更高。也就是说，Hankel变换算法应用于光束传输，尤其是非线性传输中，要求其对输入函数进行大量的Hankel变换对后，函数形状保持不变。这里以超Super Gaussian啁啾光束为例，来证明DQDHT处理光传输问题的有效性。设初始m阶超Gaussian啁啾光束为(2.14)其中E0、w和c分别是超Gaussian光束的振幅、束宽和啁啾。分别取E01, w1, m=20, c0.01，横向抽样点数N=256，空间域截断半径b5。为了准确地考察DQDHT算法对应用于光传输的可行性，我们考察了光束强度和能量随Hankel变换对的次数的变化，计算结果
25、绘于图2-3和图2-4。图2-3给出了20阶超Gaussian啁啾光束随Hankel变换对次数的变化。图2-3 (a)表示轴上DQDHT的结果(圆点线)与初始光强(方点线)的比较，可以看出，随着Hankel变换对次数的增加，光束传播轴上的光强与初始光强基本一致；图2-3(b)表示光束的总能量随Hankel变换对数的变化，图上的水平直线说明光束的总能量在传输过程中保持基本不变。图2-4 (a)为3阶超Gaussian啁啾光束经过500个Hankel变换对后的剖面光强与初始剖面光强的比较，其中方点线表示初始剖面光强，圆点线表示3阶超Gaussian啁啾光束经过500个Hankel变换对后的剖面光强
26、，可见它们的分布是几乎完全一样的；图2-4 (b)是它们之间的绝对误差的对数，随着半径的增大误差越来越小，最大误差为10-10量级，最小误差为10-25量级，进一步说明DQDHT算法具有极高的精度。图2-3 20阶超Gaussian啁啾光束随Hankel变换对次数的变化，(a)轴上DQDHT的结果与初始光强的比较；(b)光束的总能量随Hankel变换对数的变化图2-4 (a)3阶超Gaussian啁啾光束经过500次Hankel变换对后与初始光强的比较；(b)它们之间的绝对误差的对数2.4.2 线性传输将DQDHT算法应用于实际的光束线性传输中，光束传输算法采用方程(2.15)和(2.16)。
27、将厚度均为4cm折射率分别是n1=1和n2=1.5的两种平板线性介质交替紧密排列，用光束在每一块介质中的传输取代上述的Hankel变换对，500步的传输中传输距离为2000cm。取初始超高斯(Super Gaussian)啁啾光束参数E02 =1.0GW/cm2，w=1cm，c0.01/cm2，波长=1053nm，分别用DQDHT和二维快速傅里叶变换(2DFFT)两种方法计算20阶超高斯啁啾光束的传输结果如图2-5和3-6所示，其中抽样点数分别为256和512512。图中可见两种方法计算的结果几乎没有差别。在同样的PC机上运行程序用2DFFT方法需要时间114.22S，而用DQDHT方法只需要
28、1.19S。这就充分说明，对圆对称光传输问题完全可以用DQDHT方法取代2DFFT，效率可以极大地得到提高。图2-5 分别用DQDHT和2DFFT两种方法计算20阶超高斯啁啾光束通过500块交替排列的介质的轴上强度随传输距离的变化关系图2-6分别用DQDHT和2DFFT两种方法计算20阶超高斯啁啾光束通过500块交替排列的介质后的剖面强度分布2.4.3 非线性传输另外，我们以稳态自聚焦为例验证DQDHT算法处理光束非线性传输问题的有效性。在旁轴近似下，Kerr介质中光束传输满足方程(2-31)非线性Schrdinger，采用方程(2.17)表示的非线性传输算法，线性和非线性算符、分别定义为(2
29、.18)我们分别用二维快速Fourier变换(2DFFT)和DQDHT计算方程(2-31)，并将它们的结果进行比较。考虑Gaussian光束的传输，设m=1，E02 =1.0，w=2.5，c0，波长=1.32，n0=1，n2=0.02，这儿E02和n2的绝对单位是不重要的，重要的是它们的积。取传输距离z为25，传输步数为500，抽样点数分别为512512和257，计算结果如图2-7和3-8所示。由图2-7看出，光束在z=21.75处崩塌即形成自聚焦点，并且整个传输过程中两种方法计算的结果是一致的；由图2-8进一步看出两种方法计算的结果仅在焦点处有微小差别。在同样的PC机上运行程序用2DFFT方法需要时间764.68s，而用DQDHT方法只需要3.76s。这就充分说明，对圆对称光传输问题完全可以用DQDHT方法取代2DFFT，效率可以极大地得到提高。图2-7 光束传输轴上强度随传输距离的变化关系比较图2-8 焦点及其附近光强分布比较(a)焦点z=21.75处，(b)焦点前z= 21.00处2.4.4 结论利用Dini级数展开，导出了0阶Hankel变换在任意有限区域内的离散表达式，得到了DQDHT算法。0阶Bessel函数的导数的第一个零点为0，这时径向坐标r=0， DQDHT算法利用此特性解决了计
