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1、对采空区渗流流场和瓦斯浓度场控制微分方程的分析本论文以煤矿采空区瓦斯所带来的安全隐患为背景，以偏微分方程理论为基础，通过对采空区渗流流场和瓦斯浓度场控制微分方程的分析，将偏微分方程的有限差分法应用到采空区流场的数值计算中，重点求解了采空区的瓦斯浓度分布。本论文总共分成四部分对问题进行讨论。首先，主要对煤炭资源在能源上的重要地位，煤炭在开采过程中所发生的安全事故和国内外对减轻瓦斯存在所带来的隐患在领域中所进行的研究状况进行了概述。其次，对与采空区流场相关的基础理论进行分析，其中针对流体力学中的质量守恒，动量守恒，能量守恒等定理引出了文中的连续方程，动量方程和能量方程等一组控制方程。而根据控制方程
2、所涉及的瓦斯浓度变量可以得到浓度场方程。再次，对偏微分方程的有限差分法进行了简单介绍，本论文重点就是用该方法求解浓度场方程。最后，则是用介绍的有限差分法进行数值计算的求解过程，该部分对流场控制方程用有限差分法进行的数值计算构成了本论文的核心内容。关键词 采空区 有限差分 瓦斯浓度场 数值计算 AbstractThis paper brought by coal gob gas in the safe hidden trouble as a background, based on the PDE theory as a foundation, and through the analysis
3、of seepage flow field and gob gas concentration field control differential equation, the PDE of the finite difference method is applied to the numerical calculation of gob flow field, focus on solved the gob gas concentration distribution. This paper divides into four chapters in total for the discu
4、ssion. At the first is the overview of coal resources of the important position as the main energy, the accident occurred in the process of mining coal and the study conducted in the field at hone and abroad to reduce hidden dangers posed by the existence of gas. At the second is related of analysis
5、 of the basic theory about flow field with the gob, which for the basic theory about mass conservation, momentum conservation, energy conservation etc in fluid mechanics raised the continuous equation and energy equations, momentum equations etc a group of control equations. And according to the con
6、trol equations of gas concentration variables can be obtained concentration field equations. Then the finite difference method of PDE were a brief introduction, the key of this paper is use this method to solve the concentration field equations. Finally, it is the solving process of numerical calcul
7、ation with finite difference method, at the part using finite difference method of numerical calculation for control equations constitutes the core content of this paper. Key words Gob The finite difference Gas concentration field Numerical calculation 目 录摘 要IAbstractII第1章 绪 论11.1 研究背景11.2 国内外研究现状21
8、.3 本论文主要工作4第2章 采空区流场介绍52.1 采空区流场的数学模型52.2 多孔介质模型62.3 采空区渗流控制方程82.3.1 连续性方程（质量守恒方程）82.3.2 动量守恒方程92.3.3 能量守恒方程112.3.4 组分输运方程122.3.5 控制方程的通用形式13第3章 偏微分方程的有限差分法153.1 有限差分基本思想153.2 用Taylor级数展开方法建立差分格式16第4章 瓦斯分布浓度场求解194.1 物理模型区域网格剖分194.2 求解压力场和速度场204.2.1 压力场问题分解204.2.2 差分法求解压力场214.2.3 差分法求解速度场234.3 求解瓦斯浓度
9、场24结 论27致 谢28参考文献29ContentsAbstractIAbstractIIChapter 1 Pretace11.1 Background of Reseach11.2 Current Research at Home and Abroad21.3 This Subject Mainly Contents4Chapter 2 The Introduction of Gob Flow Field 52.1 The Gob Flow Field of Mathematical Model52.2 Porous Media Model62.3 The Seepage Control
10、 Equation of Gob Area82.3.1 The Continuous Equation (Mass Conservation Equation)82.3.2 The Momentum Conservation Equation92.3.3 The Energy Conservation Equation112.3.4 The Component Transport Equation122.3.5 The General Form of Control Equation13Chapter 3 The Finite Difference Method of Partial Diff
11、erential Equations153.1 The Basic Idea of Finite Difference Method153.2 Taylor Series Expansion Method Used to Establish Difference Scheme16Chapter 4 Solution Concentration Field of Gas Distribution194.1 Physical Model Regional Mesh Subdivision194.2 Solving the Pressure Field and Velocity Field204.2
12、.1 Problem Decomposition of the Pressure Field204.2.2 Solving the Pressure Field with Finite Difference Method214.2.3 Solving the Velocity Field with Finite Difference Method234.3 Solving the Gas Concentration Field24Conclusion27Acknowledgments28References29第1章 绪 论1.1 研究背景众所周知，煤炭是现代工业的“粮食”，而在像我国这样其它
13、资源相对匮乏而煤炭资源比较丰富的发展中国家，煤炭更是国民经济和社会发展的基础。长期以来，煤炭在我国一次能源生产结构和消费结构中均占70左右。截至到2010 年煤炭仍占60左右，2050年仍将占到50以上。由此可见，煤炭在今后相当长的一段时期内仍将是我国经济发展的主要依赖能源。2000年我国煤炭总产量为9.9亿吨, 2001年为11亿吨 , 2005年煤炭产量尽管达到19.5亿吨 ,但仍不能满足社会经济发展的需求。当前，国民经济的快速增长对煤炭工业的发展提出了更高的要求。因此，必须确保煤炭工业持续、稳定、健康地发展 何学秋.中国煤矿灾害防治理论与技术M.徐州:中国矿业大学出版社, 2006。我国
14、煤矿工业开采方式主要是井工开采，生产条件复杂，生产事故频发，所以安全生产是煤炭生产的头等大事，对煤炭生产起着保证、支撑和推动的作用。从建国初到现在，煤炭开采行业一直是我国严重生产事故频发的行业，部分生产事故甚至还造成大量的人员伤亡，因此保证煤矿职工的生命安全是煤炭工业可持续发展的前提。 据统计，我国每年因瓦斯爆炸造成的重大事故死亡人数约2000人，占煤炭行业工伤事故死亡人数的40左右，占全国重大事故伤亡人数的70 -80。而瓦斯事故多发生在采煤工作面，因为采煤工作面是瓦斯集中涌出的区域，容易引起瓦斯超限。采煤工作面的瓦斯来源主要有以下4个 兰泽全,张国枢.采空区瓦斯浓度场数值模拟J.煤炭学报,
15、 2007, 34(02): 26-30：采落煤瓦斯涌出；放落煤瓦斯涌出；工作面煤壁瓦斯涌出；采空区瓦斯涌出，这4 部分瓦斯的多少除主要取决于煤层本身瓦斯含量外，还与开采强度密切相关。而采空区瓦斯涌出受产量和采出率的影响，采出率越小则采空区瓦斯涌出越大。调查表明，综放工作面的采出率只有55% - 80% ，采空区的大量遗煤将使采空区瓦斯涌出量显著增加。采煤工作面上隅角瓦斯超限问题如一把利剑悬在煤炭企业的头上，是我国煤炭安全生产的第一大难题。在工作面所在的巷道，由于工作面和与其相联结的采空区之间很难有较好的密封效果，因而漏风显著。通常采空区的漏风主要从工作面进风口附近流入，而工作面上隅角则是采空
16、区的漏风汇，采空区的瓦斯就是经漏风风流携带从漏风源流入漏风汇的。同时由于工作面上隅角风流容易形成局部漩涡，再加上瓦斯气体的升浮效应，采空区流出的瓦斯容易在上隅角处汇聚，造成瓦斯超限，严重威胁工作面的正常生产。因此预测、模拟和计算矿井采空区瓦斯浓度流场，分析瓦斯在采空区中的运移规律和浓度分布对保证煤炭企业的安全生产、提高煤炭企业的经济效益均具有重大现实意义。1.2 国内外研究现状1.采空区渗流力学研究现状采场由工作面和相邻的采空区组成，进入采场的风流绝大部分经过工作面达到回风流中，而一小部分进入采空区，形成采空区漏风风流。采空区是由开采过程中遗留的煤炭和冒落的破碎岩石组成的多孔介质空间，对采空区
17、中的气体流动、浓度分布、氧化反应和温度分布等内容的研究，涉及渗流力学、岩石力学、采矿及安全工程等多学科，但主要是渗流力学理论的研究 章梦涛等.煤岩流体力学M.北京:科学出版社, 1995 。渗流力学是研究流体在多孔介质内运动规律的科学，自1856年法国工程师达西（Darcy） 提出线性渗流定律以来，渗流力学一直在不断发展，并与其他学科交义而形成许多新兴的边缘学科。由于其理论范围广、学科多、且研究人员无法进入采空区、研究难度大，至今尚未形成独立、完善的学科体系。瓦斯渗流力学研究瓦斯在煤层、采空区等多孔介质内的运动规律，是多学科相互交义、渗透的边缘学科。采空区气体流动理论涉及：线性瓦斯流动理论、非
18、线性瓦斯流动理论等。2.线性瓦斯流动理论的发展渗流力学最先在水利工程、水的净化和地下水资源开发等部门应用；20世纪20年代，渗流力学开始成为石油和天然气开发工业的理论基础；20世纪40年代末，随着采矿业的发展，控制瓦斯成为当时研究的关键技术之一。线性瓦斯渗流理论认为，煤层内瓦斯运动基本符合线性渗透定律达西定律(Darcys law)。20世纪60年代，周世宁等人从渗流力学角度出发，认为瓦斯的流动基本上符合达西定律，把多孔介质的煤层看成一种大尺度上均匀分布的虚拟连续介质，在我国首次提出了瓦斯流动理论线性瓦斯流动理论，对我国瓦斯流动理论的研究具有极为重要的影响 孙培德,鲜学福.煤层瓦斯渗流力学的研
19、究J.自然科学报, 2005,05: 57-58。20世纪80年代，瓦斯流动理论的研究主要是修正和完善瓦斯流动的数学模型。1984年，郭勇义结合相似理论，研究了一维瓦斯流动方程的完全解，采用朗格缪尔方程描述瓦斯的等温吸附量，提出了修正的瓦斯流动方程式。1986 年，谭学术认为应用瓦斯真实气体状态方程更符合实际，提出了修正的煤层瓦斯渗流方程。1986年起，孙培德进一步修正和完善了均质煤层的瓦斯流动数学模型，发展了非均质煤层的瓦斯流动数学模型，提出的新的线性瓦斯流动模型比国内外三大典型模型更接近实际。1989年余楚新、鲜学福四认为煤层中参与渗流的瓦斯量只是可解吸的部分量，在煤体瓦斯吸附与解吸过程完
20、全可逆的条件下，建立起了瓦斯渗流的控制方程。20世纪80年代初以来，应用计算机研究瓦斯流场内的压力变化规律成为主流。80年代初，魏晓林、李英俊应用计算机研究了瓦斯流动；文献 魏晓林.煤层瓦斯流动规律的实验和数值方法的研究J.粤煤科技,1981,02(12): 39-43结合煤矿实际问题，用有限差分法(PDE) ，首次对瓦斯流场中压力分布及其流量变化实现了数值模拟，成功地预测了流场内瓦斯压力变化规律。1989年，文献 C.Yu and X.Xian. Analysis of gas seepage flow in coal beds with finite element methodC. Sy
21、mposiums of 7th international conference of FEM inflow Problems, USA,1989用有限单元法(FEM)、1990年文献 C Yu and X.Xian.A boundary element method for inhomogeneous medium ProblemsC.Proceedings:2nd worldcongs.On computational mechanics. Stuttgart, FRG, 1990用边界单元法(BEM)对瓦斯渗流进行了数值模拟3.非线性瓦斯流动理论国外许多学者对线性渗流定律Darcys l
22、aw是否完全适用于均匀多孔介质中的气体渗流问题做了大量的研究，归纳出达西定律偏离的原因为：(1)流量过大；(2)分子效应；(3)离子效应；(4)流体本身的非牛顿态势等。一般认为，达西定律只能适用于线性阻力关系的层流运动，当渗流速度或压力梯度增大时，由于惯性力的增加，支配层流的粘阻力渐渐失去其主控作用，使得渗流速度与压力梯度的直线关系变化为曲线。总起来说，作为达西定律上限的临界雷诺数Re 约在l-10之间，或确切一些说等于5。著名的流体力学家EM . Allen给出 EM.Allen.Systems of conservation lawsJ.Comm Pure Appl Math,1960：将
23、达西定律用于描述从均匀固体煤中涌出瓦斯的试验，结果导致了与实际观测不符合的结论。1984 年，日本国北海道大学教授通口澄志在大量试验研究的基础上提出了瓦斯流动的幂定律。1991年文献经过实验研究，提出考虑克式(Klinkenber)效应的修正形式的达西定律一一非线性瓦斯渗流规律，并建立了相应的瓦斯流动数学模型，指出了达西定律的适用范围9 毛昶熙.渗流计算分析与控制M.北京:中国水利水电出版社,20039。在非线性的达西定律基础上研究和发展瓦斯流动理论是有意义的探索方向之一。1.3 本论文主要工作关于煤矿中瓦斯的赋存一直是煤炭开采过程中最大的安全隐患，为了有效防患瓦斯事故，该领域专家长期以来做出
24、了不懈的努力与探索。本文计划通过对采空区流场控制方程的了解，对涉及浓度场的方程运用有限差分的数值解法来考察采空区瓦斯浓度分布规律。将数值解与瓦斯浓度的预警值进行比较，若有数值达到预警值，则找出该值的区域位置，在什么时候出现的该值等，以便能较好的确定瓦斯抽放量、抽放时间等参数，有效地提高瓦斯抽放效果，消除或减轻瓦斯爆炸威胁，提高工作面安全水平。本论文从生活实际和理论分析出发，结合数值计算中的有限差分法对瓦斯浓度分布进行计算的思路，将课题分成以下4个步骤进行了讨论。(1)论文针对研究的背景，对煤炭在开采过程中所发生的安全事故和国内外为减轻瓦斯隐患在涉及领域中所进行的研究现状进行了概述。(2)对采空
25、区流场相关的基础理论进行分析，其中针对流体力学中的质量守恒，动量守恒，能量守恒等定理引出了文中的连续方程，动量方程和能量方程等一组控制方程，根据控制方程所涉及的瓦斯浓度变量得到了浓度场方程。为浓度分布的求解提供理论方程模型。(3)对偏微分方程的有限差分法进行简单介绍，包括向前差分、向后差分和中心差分。本论文重点是用中心差法求解浓度场方程。(4)论文最后一部分用介绍的有限差分法进行数值计算，对控制方程用有限差分法进行的数值计算是本论文的核心内容。第2章 采空区流场介绍2.1 采空区流场的数学模型通常将采空区视为由松散煤体与岩层混合体组成的多孔介质, 其中的流场可以应用多孔介质渗流模型。由于松散煤
26、体及冒落岩层中的孔隙通道极不规则，气体在其中的流动状态非常复杂。为了抓住问题的主要矛盾，需要对问题进行简化处理。本论文对采空区漏风流场及瓦斯运移的研究基于如下几条基本假设：(1)采空区渗透率不随时间变化，即采空区固体骨架不可压缩。(2)采空区渗透率各向同性假设。由于采空区冒落岩石堆积的随机性，通常无法区分来自哪个方向的孔隙发育更大，因此将采空区某处的冒落介质视为各向同性。(3)线性渗流假设。通常采空区漏风速度很小，只是在靠近工作面的有限区域风速较大。因此就整个采空区而言，其中气体的流动整体上符合线性渗流规律，即达西定律。(4)采空区气体不可压缩假设。通常工作面两端的压差不大，采空区的漏风速度很
27、小，因此可近似认为采空区气体为不可压缩气体。(5)采空区气体粘性恒定假设。采空区各处的气体组分各异，因此实际采空区各处的气体粘性系数也是不同的。本文为方便起见，假设采空区各处流体粘性系数相同。(6)二维流场假设。通常采空区冒落高度相对于采空区的长度和宽度而言很小，因此可将采空区流场视为二维流场。(7)采空区温度恒定假设。温度变化对采空区气体粘性、气体密度等均有影响。本文为了方便起见，假设采空区各处温度恒定，这样本论文将不考虑传热问题。 (8)采空区瓦斯扩散系数恒定假设。采空区各组分之间是互相扩散的，任意两种组分之间的扩散系数都随着组分的浓度变化而变化。本文主要关心瓦斯在混合空气中的扩散系数，为
28、方便起见，假设瓦斯的扩散系数保持不变。(9)稳态流动假设。实际采空区随工作面的推进其中各处的物理量发生变化。当工作面推进速度比较均衡、工作面风量波动不大时，在一个矿压周期内，采空区内距离工作面相同位置的各种物理量基本保持不变，即稳态流动。多孔介质模型及采空区渗流控制方程是采空区流场数值模拟的理论基础。2.2 多孔介质模型1.多孔介质的定义简单说来，多孔介质是指含有大量孔隙的固体。也就是说，是指固体材料中含有孔隙、微裂隙等各种类型毛细管体系的介质。从渗流角度来定义多孔介质时，还需要规定从介质一侧到另一侧有若干连续的通道，并且孔隙和通道在整个介质中有着广泛的分布。概括起来可用以下几点来描述多孔介质
29、10 J.贝尔著,李竞生,陈崇希译.多孔介质流体动力学M.北京:中国建筑工业出版社,198310: (1)多相物质占据一部分空间，在多相物质中至少有一相不是固体，它们可以是气相或液相。固体相称为固体骨架。在多孔介质范围内没有固体骨架的那一部分空间叫做孔隙空间。(2)在多孔介质所占据的范围内，固体相应该遍及整个多孔介质。在每一个表征体元内必须存在固体相。多孔介质的一个基本特点是固体骨架的比面较大。这个特点在很多方面决定着流体在多孔介质中的性状。多孔介质的另一个主要特点是构成孔隙空间的孔隙比较狭窄。(3)至少构成孔隙空间的某些孔洞应当互相联通。互相联通的孔隙空间也叫做有效孔隙空间。就流体通过多孔介
30、质流动而言，不联通的孔隙可以视为固体骨架部分。实际上，相互联通的孔隙空间的某些部分对流体在多孔介质中的流动也可以是无效的。例如，孔隙可以是死端孔隙，即只有一条狭缝和相互联通的孔隙空间联系着的盲孔隙。在这样的死端孔隙中，几乎不发生流动。因此，有效孔隙空间不应包含盲孔隙部分。2.多孔介质的特征多孔介质的主要特征是它的孔隙度、渗透性等。(1)孔隙度孔隙率通常多孔介质的结构是非常复杂的，不可能精确地描述这些孔隙表面的几何形状，也很难确切地阐明孔隙空间所包含的流体及其与固体表面相互作用所出现的有关微观物理现象，为了克服这些困难，首先把孔隙度定义为一个连续函数。定义多孔介质中任意一点处的孔隙率为： (2-
31、1)式中， 为围绕点取的一个包含足够多孔隙的体元，为内孔隙的体积，称为表征单元体REV 。表征单元体方面必须比单个孔隙的体积大得多，即应该包含足够数量的孔隙；另一方面，它必须比整个流场的尺寸小得多，以便它能代表所讨论的点P 处的物理量。把孔隙介质看作连续介质，实际上是指孔隙率是平滑变化的。设点临近有点则有： (2-2)这样就把孔隙率定义为空间点的函数。上面所定义的孔隙率是从体元出发定义的，确切地说称为体孔隙率。类似的可以定义多孔介质内一点处的面孔隙率(也称透明度）和线孔隙度。可以证明，三者是相等了，因而只要定义一个孔隙率就足够了。(2)渗透性多孔介质的渗透性用渗透率来衡量，即渗透率是多孔介质对
32、流体的渗透能力。渗透率是依赖Darcy定律而被定义的，Darcy定律可以表述为11 周世宇,林伯泉著.煤层瓦斯赋存与流动理论M.北京:煤炭工业出版社, 199911： (2-3)式中，为渗流表面速度（superficial velocity ) ，单位m /s , k 为渗透率，单位；为压力梯度；为流体的动力粘性系数，单位只Pas ；K 为渗透系数(或水力传导系数)，单位/ Pas。达西定律表征了多孔介质中的一种速度与压力梯度之间的线性关系。需要指出的是，渗透率k 仅与多孔介质的组成结构(颗粒大小、形状、排列等)有关，与其中的流体性质无关；而渗透系数K 则不但与多孔介质的组成结构有关，而且还与
33、其中的流体的动力粘性有关。另外，渗流表面速度是指全断面上的平均流速，并非断面上孔隙中的平均流速(physical velocity )，二者之间的关系为：(n为多孔介质的孔隙率)现有文献中关于渗透率的计算公式，多为经验性的和半经验性的，各种公式的普遍形式是： (2-4)式中，为孔隙率因数，为形状因数，为某种粒径、有效粒径等。2.3 采空区渗流控制方程流体流动要受物理守恒定律的支配，采空区渗流也不例外。基本的守恒定律包括：质量守恒定律、动量守恒定律、能量守恒定律。如果流动包含有不同成分(组元)的混合或相互作用，系统还要遵守组分守恒定律。如果流动处于紊流状态，系统还要遵循附加的紊流输运方程。2.3
34、.1 连续性方程（质量守恒方程）任何流动问题都必须满足质量守恒定律。该定律可以表述为：单位时间内流体微元体中质量的增加，等于同一时间间隔内流入该微元体的净质量。按照这一定律，可以得出质量守恒方程(mass conservation equation )12 张廷芳著.计算流体力学M.大连:大连理工大学出版社, 2007.412： (2-5)引入矢量散度符号，上式可以写成： (2-6)以上三式中， 为流场的密度，为时间，为速度矢量，、分别为流速在、方向上的速度分量。上面给出的是瞬态三维可压缩流体的质量守恒方程。若流体处于稳态，则密度不随时间变化，式(2-5)变为： (2-7)若流体不可压缩，则密
35、度为常数，式（2-5）变为：=0 (2-8)根据2.1节的基本假设，采空区漏风流场属于二维粘性不可压缩流体的稳态流动，这样其连续性方程可简化为：=0 (2-9)2.3.2 动量守恒方程动量守恒定律也是任何流动系统都必须满足的基本定律。该定律可以表述为：微元体中流体的动量对时间的变化率等于外界作用在该微元体上的各种力之和。该定律实际上是牛顿第二定律。按照这一定律，可导出、三个方向的动量守恒方程(momentum conservation equation )12: (2-10) (2-11) (2-12)式中，p是流体微元体上的压力；，：分别是垂直于微元体三个互相垂直的微向的应力，称为正应力(n
36、ormal stresses)，其余的6 个是因分子粘性作用而产生的作用在微元体表面上的切应力(shearing stresses)，正应力和切应力都属于表面力(surface force)；，是微元体上的体力(body force)，若体力只有重力，且Z轴竖直向上，则O，= O，= 。式(2-10)、(2-11)、(2-12)是对任何类型的流体（包括非牛顿流体）均成立的动量守恒方程。对于牛顿流体，应力与流体的变形率成比例，有： (2-13) (2-14) (2-15) (2-16) (2-17) (2-18)式中，是动力黏度(dynamic viscosity), 是第二黏度(second
37、viscosity)，一般可取。将式(2-13)- (2-18)代入式(2-10)- (2-12)，整理得： (2-19) (2-20) (2-21)式中， ，符号,是动量守恒方程的广义源项，而其中的、的表达式如下： (2-22) (2-23) (2-24)一般来讲，、是小量，对于粘性为常数的不可压缩流体，=0。方程(2-19)- (2-21)的展开形式为： (2-25) (2-26) (2-27)式(2-19)- (2-21)及(2-25)- (2-27)是动量守恒方程，简称动量方程(momentum equations)，也称作运动方程，还称为Navier -stokes 方程。对于采空区
38、渗流来说，其动量方程通常是通过试验获得压力与速度的耦合关系，然后依据该关系对标准动量方程(2-25)- (2-27)进行简化，常见的几种简化模型有二项式模型和指数模型： (2-28) (2-29)式中，为方向的压力梯度，为的渗透系数，为多孔介质的方向粘性阻力系数，为方向惯性阻力系数。在式(2-28)和(2-29)中b=0，m=1，则这两式变为著名的达西定律： (2-30)类似地在y方向有 (2-31) 当渗透系数各向同性时，有；进一步地，当渗透系数均质时，K不随空间位置而变化，是一个常量；否则当渗透系数非均质时，K是空间位置的函数，即。2.3.3 能量守恒方程能量守恒定律是包含有热交换的流动系
39、统必须满足的基本定律。该定律可表述为：微元体中能量的增加率等于进入微元体的净热流量加上体力与表面力对微元体所做的功。该定律实际上是热力学第一定律。流体的能量E通常是内能、动能和势能P三项之和，我们可针对总能量E建立能量守恒方程。但是，这样得到的能量守恒方程并不是很好用，一般是从中扣除动能的变化，从而得到关于内能的守恒方程。而内能与温度T之间存在一定的关系，即，其中是比热容。这样，可以得到以温度了为变量的能量守恒方程( energy conservation equation )12 : (2-32)该式可写成展开形式： (2-33)其中，是比热容，为温度，k为流体的传热系数，为流体的内热源及由
40、于粘性作用流体机械能转换为热能的部分，有时简称为粘性耗散项。通常将式(2-32)或式(2-33)简称为能量方程(energy equation)。综合各基本方程(2-5)、(2-25)、(2-26)、(2-27)和(2-32)，发现有、六个未知量，还需要补充一个联系和的状态方程(state equation)，方程组才能封闭： (2-34)该状态方程对理想气体有： (2-35)其中R是摩尔气体常数。虽然能量方程是流体流动与传热问题的基本控制方程，但对于不可压流动，若热交换量很小以至可以忽略时，可不考虑能量守恒方程。根据2.1节的恒温假定，本文不考虑传热问题，也就不需要解能量守恒方程，这里为了流
41、动方程的完整性，将能量方程一并列出。2.3.4 组分输运方程采空区气体通常视为瓦斯与空气的混合物，这样，采空区渗流流体的组成在空间上有所变化，流体运动的参数除速度、压力等以外，还必须考虑表示组分变化的参数，而每一种组分都需要遵守组分质量守恒定律。对于一个确定的系统而言，组分质量守恒定律可表述为：系统内某种组分质量对时间的相对变化率，等于通过系统界面净扩散通量与通过化学反应产生的该组分以及以离散相加入的该组分的生产率之和。根据组分质量守恒定律，可写出组分s的组分质量守恒方程(species mass -conservation equation)12: (2-36)将组分守恒方程各项展开，式(2
42、-36)可改写为： (2-36)式中，为组分的质量分数，是该组分的质量浓度，为该组分的扩散系数，为系统内部单位时间内单位体积通过化学反应产生的该组分的质量，即生产率，为以其它方式加入到系统的该组分的生产率。式(2-36)左侧第一项、第二项，右侧第一项和第二项、第三项，分别称为瞬态项、对流项、扩散项、源项和反应项。该方程左端包含了流体运动速度，表明运动介质中组分的转移不仅仅依赖于组分的分子扩散，而且还依赖于流体运动所引起的对流扩散。这种对流扩散的作用，取决于空间各点的流体速度。所以，运动流体中的浓度场依赖于速度场。另外，由于浓度场的存在，会使各点流体的密度、黏度不同，可能出现附加的自然对流以及分
43、子扩散流，从而影响原有的速度场。可见，运动流体中的速度场和浓度场是相互耦合的。严格来说，不能单独进行研究，必须联立求解运动方程和扩散方程。但是在一定条件下，为使问题简化，常认为浓度场依赖于速度场，而速度场受浓度场的影响较小，可以忽略不计。因而，通常是先研究速度场，然后在已知的速度场基础上研究浓度场，这样通过求解组分输运方程可得浓度场。2.3.5 控制方程的通用形式为了便于对各控制方程进行分析，并用同一程序对各控制方程进行求解，现建立各基本控制方程的通用形式。比较4 个基本控制方程(2-5)、(2-19)- (2-21)、(2-32)和(2-36)，可以看出，尽管这些方程中因变量各不相同，但它们
44、均反映了单位时间单位体积内物理量的守恒性质。如果用表示通用变量，则上述各控制方程都可以表示成以下通用形式： (2-38)其展开形式为： (2-39)式中，为通用变量，可以代表、等求解变量；为广义扩散系数；S 为广义源项。式(2-38)中的各项依次为瞬态项(transient term)、对流项(convective term)、扩散项(diffusive term)和源项(source term)。对于特定的方程，具有特定的形式，下表给出了三个符号与各特定方程的对应关系。表2-1 控制方程通用函数表符号方程连续方程100动量方程能量方程组分方程所有控制方程都可以经过适当的数学处理，将方程中的因
45、变量、时变项、对流项和扩散项写成标准形式，然后将方程右端的其余各项集中在一起定义为源项从而化为通用的微分方程，这样只需要考虑通用微分方程(2-39)的数值解，写出求解方程(2-39)的源程序，就足以求解不同类型的流动及传热问题。对于不同的，只需要重复调用该程序，并给定和S 的适当的表达式以及适当的初始条件和边界条件，便可求解。第3章 偏微分方程的有限差分法3.1 有限差分基本思想用有限差分法求解微分方程数值解方法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解13 陈辉,李文宇,著.数值计算方法M.哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社, 20093，也就是把求
