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1、本 科 毕 业 设 计题目应用于微加速度传感器的自适应滤波器设计 学生姓名： 王 彬 斌 专 业： 电子科学与技术 指导教师： 黄 静 完成日期： 2013年6月 诚 信 承 诺 书本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签 名： 日 期： 本论文使用授权说明本人完全了解南通大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容。(保密的论文在
2、解密后应遵守此规定)学生签名： 指导教师签名： 日期： 摘 要 分析了加速度传感器和滤波器的发展现状、未来趋势及基本结构。微加速度传感器作为一种常用的重要惯性传感器，在各个领域都有着广阔的应用前景。 介绍了自适应滤波器的理论基础，进行了自适应滤波器的两种结构无限冲激响应(IIR)和有限冲激响应(FIR)的比较。重点介绍了两种自适应滤波算法最小均方误差(LMS)算法和递推最小二乘(RLS)算法，并对其详细的分析。最后阐述了使用MATLAB及其组件进行自适应滤波器设计及仿真的具体方法，对LMS算法进行程序仿真，使用Simulink对自适应滤波器进行模型仿真，然后从仿真图中观察算法的收敛特性及自适应
3、滤波器的滤波效果。关键词: 微加速度传感器,算法,自适应滤波器,MATLABAbstract: The development status, future trends and the basic structure of acceleration sensor and the filter is analyzed. As an important inertial sensors, micro-accelerometer have a broad application prospects in various fields. Basic theory of the adaptive fi
4、lter, andthe structure of two kinds of adaptive filter is introduced, also infinite impulse response (IIR) and finite impulse response (FIR)have been compared. Two adaptive filtering algorithms minimum mean square error (LMS) algorithm and recursive least squares (RLS) algorithm is detailed analysed
5、. Finally the method of using MATLAB to design and simulation of adaptive filter is elaborated ,simulation of LMS is programming ,after that using Simulink to built the simulate model of adaptive filter, and to observe the convergence characteristic and the filtering effect of the adaptive filter al
6、gorithm from simulation in the figure.Key words: MEMS acceleration sensor, algorithm, adaptive filter, MATLA目 录摘 要IAbstract:II目 录III第一章 绪 论11.1微机械加速度计11.1.1概述11.1.2微加速度传感器的分类11.2 研究背景及意义21.3 课题研究现状及发展趋势21.4 研究内容及意义3第二章 自适应滤波器的基础理论42.1滤波器的基本概念42.2数字滤波器概述42.3自适应滤波器的原理42.4 自适应滤波器的结构52.4.1无限冲激响应(IIR)滤波器
7、52.4.2有限冲激响应(FIR)滤波器82.4.3 IIR滤波器和FIR滤波器的比较10第三章 自适应滤波算法113.1 最小均方误差(LMS)算法113.2 最小均方差(LMS)算法的性能分析143.3 递推最小二乘法(RLS)算法153.4 递归最小二乘(RLS)算法的性能分析183.5 LMS算法与RLS算法性能比较19第四章 基于MATLAB的自适应滤波器仿真实现与应用204.1 MATLAB语言简介204.2 基于LMS算法的MATLAB的程序仿真204.2.1 Matlab仿真程序204.2.2 仿真结果224.3 自适应滤波器的Simulink仿真234.3.1自适应滤波器仿真
8、模型234.3.2 仿真结果24第五章 工作总结与展望25参考文献26致 谢27第一章 绪 论1.1微机械加速度计1.1.1概述传感器是一种检测装置，能感受到被测量的信息，并能将被测量按一定规律变换成为电信号或其他形式的信号输出，以满足信息的传输、处理、存储、显示、记录和控制等要求。对于本人所涉及的微加速度传感器是把加速度信号变为差分电容信号，直接检测加速度信号是不容易的，而检测差分电容的大小相对比较容易。传感器技术是当今信息社会的重要技术基础，几乎所有自动控制系统，一切现代化仪器、设备都离不开传感器，并且由于各种设备不断小型化和集成化所以要求传感器技术也有相应的发展，总的来说传感器的发展趋势
9、是：沿用传统的作用原理和某些新效应，优先使用晶体材料，采用微机械加工技术和微电子技术，从传统的结构设计转向微机械加工工艺的微结构设计，研制成微机械系统传感器。1.1.2微加速度传感器的分类微加速度传感器按照检测原理分类，可以分为电容式加速度传感器、压电式加速度传感器、压阻式加速度传感器和热传导加速度传感器等。(a)电容式加速度传感器电容式加速度传感器是当质量受加速度作用运动而改变质量块与固定电极之间的间隙进而使电容值变化，通过检测电容变化量可以检测加速度。(b)压阻式加速度传感器 压阻式加速度传感器是利用了半导体的压阻效应。压阻效应是指当半导体受到应力作用时，由于载流子迁移率的变化，使其电阻率
10、发生变化的现象。该传感器一般做成悬臂结构，其末端有一质量块，上面还有一个半导体电阻，当悬臂受外界加速度作用是产生一个应力，阻值随之变化。(c)压电式加速度传感器压电式加速度传感器是利用压电陶瓷或石英晶体的压电效应工作的，当加速度计振荡时，通过质量块施加在压电元件上的力也随之改变。当需要测量的振动频率远远低于加速度计的固定频率时，力的变化与被测加速度成正比。1.2 研究背景及意义微机械加速度传感器是微机电系统的一个重要应用，微机电系统是一种结合机械和电子的半导体技术，它将传感，处理与执行融为一体，除了是传统机械在尺寸上缩小，还可以使机械和电子高度集成。数字信号处理是一门新兴学科，涉及众多领域。上
11、至国民经济，下至生活日常，处处有其身影，由此可见其重要性。人们对其研究也日渐深入，各种研究成果也早早应用的现实生活中，造福人类社会。 数字信号处理理论与技术的发展，主要是由于电子计算机与大规模集成电路的大量生产和广泛应用，替代了原来的模拟信号处理中的线性滤波和频谱分析所应用的模拟计算机和分离元件L、C、R线性网络，高度发挥了计算技术和数字技术相结合的特色和优越性。特别是微处理器和微型计算机技术日新月异的发展，将更加利于电子仪器与电子技术应用系统向着小型化、自动化、数字化及多功能化等方向发展，促使他们成为智能化的电子系统。现在，包括数字滤波在内的数字信号处理技术正以惊人的速度向纵深和高级的方向发
12、展，据估计这种趋势还要持续一个较长的时期，未来的发展可能会比过去的进程更为激动人心，必将引起某些领域的飞跃性转折。1.3 课题研究现状及发展趋势 数字滤波器的设计是数字信号处理领域内的一个重大的进展。在本世纪40年代末，就有许多人探讨过数字滤波器的可行性，而到50年代时人们开始研究数字滤波等相关问题。最终对于数字滤波器的完完整整的正式理论体系直到60年代的才开始初步形成。在此期间，各式各样数字滤波器应运而生，其中有些数字滤波器运算误差小，有些计算速度快，而有些两种特性都拥有。并且数字滤波器的各种逼近与实现方法不断被研究处理，还有非常全面详细的比较了递归与非递归这两种类型的滤波器，将数字滤波器的
13、基本概念和理论统一起来。 自适应滤波器是一种特殊的数字滤波器。通过不断研究关于自适应滤波的基本理论，其理论体系日渐完善，而近些年来针对自适应滤波器的主要研究方向是算法与硬件之间的实现。对于算法的研究重点放在了对算法速度和精度的上的优化，且多数运用 C 语言、等模拟仿真软件对算法进行构建模型并修改。对于自适应滤波算法的研究是当今自适应信号处理中最为活跃的研究课题之一。Windrow提出的自适应滤波系统的参数能自动的调整而达到最优的状况，且在设计时，只需知道很少或者几乎不需一点关于信号与噪声的先验统计知识。与一般意义上的滤波器不同，自适应滤波器的冲激响应或滤波参数受外界因素影响而变化，经过一段时间
14、的自动调节收敛达到最好的滤波效果。自适应滤波器的本身拥有一个重要的自适应算法，该算法可以根据输入信号、输出信号及参考信号遵循一定准则修改滤波参数，使得其自身能够有效地追踪外界因素的改变。因此，自适应数字滤波器拥有很好的自学习、自动追踪能力和算法的简易实现性等特点。随着信息化的进程加快和计算机科学与技术、信号处理理论与方法等得到了迅猛的发展，待处理的数据量变得非常庞大，且对时效性和精确度方面的要求越来越严格。这些从移动通信技术我们可以很明显的感觉到， 1G时代的信息处理技术仅可以传输语音的模拟通信， 2G时代的到来我们除了传输语音之外还可以传送数据的GSM、TDMA以及CDMA，当2.5G时代来
15、临时传送的数据种类就更加丰富，例如语音、数据、收发邮件、简短视频、网页浏览、图片、彩信、MMS的GPRS和CDMA2001X，现在正在进行研究与测试阶段的可以传输音乐、图片与视频流等各种媒体文件，并提供囊括网页浏览、视频会议、电子商务的3G通信及正在研发中的可以传输质量比和流畅度都非常高的视频流与多种实时流媒体业务的4G通信。随着数字处理系统的功用在现代科技社会越来越广泛的应用，人们对数据的传输与相关信号处理速度的要求也不断提高。1.4 研究内容及意义 微机械加速度传感器作为一类重要的惯性器件，在各个领域都有着广泛的应用。本文先对微加速度传感器做了必要介绍，其次重点研究了自适应滤波器的结构及算
16、法，最后使用合适的滤波器结构及算法设计一个自适应滤波器，通过软件进行滤波仿真，体现数字滤波器的优越性。 如何从高背景噪声中提取出微弱信号，一直是信号处理研究的重点和难点,可以说在很多地方都要涉及到小信号检测，所以本论文利用自适应滤波器检测小信号(滤噪声)可以推广到许多其它地方。第二章 自适应滤波器的基础理论2.1滤波器的基本概念 滤波器是一种用来消除干扰杂讯的器件，将输入或输出经过过滤而得到纯净的交流电。按通过信号的频段，我们可推导出最常见的滤波器类型：低通、高通、带通、带阻滤波器。滤波器中，把信号可以通过的频率范围，称通频带或通带；相反，当信号受到较大的衰减或完全被抑制的频率范围称为阻带；通
17、带与阻带间的边界频率称为截止频率；理想的滤波器在其通带内的电压增益固定不变，在阻带内的电压增益为零；实际滤波器的通带和阻带之间存在一定频率范围的过渡带。对于特定频率的频点或此频点以外的频率进行有效过滤的电路，称之为滤波器。2.2数字滤波器概述数字滤波器处理的是离散的数字信号，可以通过差分方程、单位取样响应以及系统函数等表达。我们可以用框图表示研究滤波器的实现方法，这样更加直观。可以使用不同的数字网络去实现给定的输入输出间的关系。忽略量化因素的影响时，这些不同的表达方法是一样的；而虑及量化因素的影响时，这些不同的表达方法在性能上的差别就会体现出来，由此可见运算结构的重要性。对于同一个系统函数H(
18、z)，不同的运算结构对系统的精确度、误差、稳定性、经济性和运算速度等众多重要性能会产生一定的影响。IIR滤波器与FIR滤波器在结构上有各自的特点，在设计时需综合考虑。2.3自适应滤波器的原理 自适应滤波器的工作原理是根据外界环境的变化，利用相关算法来改变滤波器的参数和结构。一般情况下，自适应滤波器的内部构造无需更改。其系数是通过相关算法不间断且时时更替改变的，即自适应滤波系数自发的不间断地适应参考信号，从而以获得所需要的响应。关于自适应滤波器它的首要特点是它可以在完全不了解的外界中有效的进行滤波，能追踪输入信号的不断更新变化的特点。通常信号或者噪声的特性是无法通过现有技术预知的，仅使用滤波系数
19、不变的IIR和IIR滤波器无法达到最佳滤波的效果。而自适应滤波器不需要关于输入信号的先验知识，计算量小，特别适用于实时处理。所以，为追踪不断改变的信号与噪声，自适应滤波器的设计很有必要。图2.1 自适应滤波器结构的一般形式自适应滤波器有参数可调的数字滤波器和自适应算法组成。在图2.1中，n表示迭代次数， 是输入信号，是输出信号， 将与期望信号相比较，计算得到误差信自适应滤波器由参数可调的号。根据和的值并借助自适应算法修改自适应滤波器的权系数，最终目的就是使最小。不断的重复上述过程并从而使滤波效果达到最佳状态。且一旦外界输入信号改变时，滤波器能自动追踪信号的变化，并根据算法调整权系数，使滤波再次
20、回到最近滤波状态，从而使得自适应这个过程得到实现。2.4 自适应滤波器的结构2.4.1无限冲激响应(IIR)滤波器图 2.2 自适应IIR滤波器结构框图图2.2为自适应IIR滤波器的基本结构，表示输入，为输出，通过预测误差，递归算法调整IIR滤波器的系数，以使遵循某一规则无限接近。其中是表述滤波器拥有零点与极点转移函数系数的参数。滤波器的误差是按照均方误差或着递归最小二乘准则来使得最小化，从而更改的IIR系数使与期望响应无限接近。式(2.1)是图2.2的差分方表达式： (2.1)很明显，这里，是需要调整，而下标“e”表示方程误差法以区别输出误差方法。图2.3 方程误差结构形式 由式(2.1)可
21、以发现，该滤波器由两个输入单个输出组成。两个输入为原始输入与期望输入，其中并没反馈到输入端。因此，是滤波器系数的线性函数，在很大程度上化简了梯度类的算法，由于，是系数的函数， 故对滤波器系数的导数不是递归的，这也便于运算。通过延迟算子，表达式(2.1)可用更简便的方式来表达，式中，多项式表示时变滤波器： (2.2)且有： ， (2.3) ， (2.4)这里，不能忽略的是中是从下界m=1开始进行求和的，因此只依靠的延迟样本，且在任何瞬间时态发现自适应滤波器的零点该形式的表达方法都可以应用。方程误差同样是数字滤波器系数的线性函数，因此， 的均方函数是系数的二次函数。假使数据的相关矩阵不是奇异，而且
22、只有唯一的最小点，这使得方程误差自适应IIR数字滤波器在很大程度上更加趋向于自适应的FIR数字滤波器。自适应FIR数字滤波器因是个严格意义上的全零点模型，而方程误差自适应IIR滤波器将反向数字滤波器级联到B(n,q)后面，就成为了一个零点极点模型，这是区别这两者最主要的特征。式(2-1)也可如下表示： (2.5)式(2.5)具有线性回归的特点，其中系数矢量和信号矢量的长度都是M+N-1，是带估量的参数，是回归矢量，可如下表示： (2.6) (2.7)式(2.6)、(2.7)的表达形式使得能够通过参数估计的方法来对滤波器系数进行优化，例如使用LMS算法、RLS算法和最大似然参数估计均方误差等方法
23、。 根据前面所介绍的IIR滤波器的传递函数可表示为： (2.8)假设滤波器有m个零点，n个极点，且滤波器参数可调，这样H(z)可写为： (2.9)图2.4画出了滤波器的一般结构，其输入为x，输出为u。图2.4 IIR滤波器的一般结构因此滤波器输出可表示为以下形式： (2.10)2.4.2有限冲激响应(FIR)滤波器图2.5是FIR横向型滤波器的一般结构。图2.5 横向型滤波器的结构示意图这种结构的横向滤波器，由无限多的按横向排列的延迟单元及抽头系数构成，抽头间隔等于码元周期，每个抽头的延时信号经加权后送入一个相加电路后输出。根据延迟级数所决定的有限个存储单元，可将这种结构归为有限冲激响应滤波器
24、或横向滤波器。 FIR(横向性滤波器的工作原理，如图2.5所示，其中： -自适应滤波器的输入 -自适应滤波器的冲激 相应： -自适应滤波器的输入： (2.11) LMS算法是普遍使用的一种算法，该算法容易实现且性能稳定且受到普遍的应用。全部滤波器系数更改算法都是通过使逼近,有差别的是这种逼近的评价标准有差异。LMS算法目的是利用对系数的调整，让的值最小，并据此来修改权系数，LMS算法由此得名。的均方值亦称为均方误差(MSE)。 均方误差e定义为： = (2.12) 对于横向结构的滤波器，代入的表达式为： (2-13) 其中是输入信号采样值间的相关性矩阵。是互相关矢量，描述了期望信号与输入矢量间
25、的相互关联性。 当的值最小时，可得最佳状态下的滤波器权系数。它符合式(2.14) 即： (2.14)上式为线性方程组，假如矩阵为满秩，存在，就可获得滤波器权系数的最佳值以满足，可用如下矩阵表示： (2.15) 很明显，上式为的自相关值， 为与互相关值。这里涉及到块对块自适应算法，指在一部分应用里，把输入信号的样本数据分成一样的段(每段称为一帧)，再计算出、的估值得到每段的最佳权系数。、的运算，需已知期望值，在实际计算中较难实现，故此可通过下式进行估算： (2.16) (2.17) 对每次取样值，大部分情况下使用迭代算法解得较佳的权系数，称为采样值对采样值迭代算法。迭代算法能回避运算量很大的和的
26、计算，又能即时求得近似解，所以具有可行性。LMS算法是一种以最快下降曲线为准则开始迭代的算法，即矢量是矢量按均方误差性能平面的负斜率大小调节一个相应增量，如下式所示： (2.18)式中是由系统稳定和迭代运算收敛速度决定的自适应步长。为次迭代的梯度。对于LMS算法为下式的斜率： (2.19)由上式可以发现求解最佳权系数的有两种不同的方法，一个是最陡梯度法。其方式为：设计起始权系数，用计算，直到与误差符合最小误差规定。的计算可用如下表达式： (2.20)上式的取值应满足需要达到的数值。如诺使用来取代前面对的估算，随机梯度法随之产生，这时迭代公式为： (2.21)上式的迭代公式假定滤波器结构为横向结
27、构。对于对称横向型结构也可推出类似的迭代公式，如下式所示： (2.22)2.4.3 IIR滤波器和FIR滤波器的比较 介于上述对两种不同类型结构的滤波器的介绍，FIR滤波器没有反馈回路，所以其稳定性可以忽略；同时，可以任意改变其幅度的特征，并能确保精准的线性相位。所以FIR数字滤波器的突出特点是稳定性还有现行相位的特性。除此之外，它还具有以下优点：线性的设计形式，易于实现的硬件结构；与数字滤波器相比，数字滤波器的阶次偏高，延迟也表3-1 两种滤波器特点比较分析FIR滤波器IIR滤波器设计方法一般无解析的设计公式，要借助计算机程序完成利用AF的成果，可简单、有效地完成设计设计结果可得到幅频特性(
28、可以多带)和线性相位(最大优点)只能得到幅频特性，相频特性未知，如需要线性相位，须用全通网络校准，但增加滤波器阶数和复杂性稳定性极点全部在原点(永远稳定)无稳定性问题有稳定性问题阶数高低结构非递归系统递归系统运算误差一般无反馈，运算误差小有反馈，由于运算中的四舍五入会产生极限环 比相同指标下的数字滤波器大。数字滤波器的首要优点是可在相同阶数时取得更好的滤波效果。但是数字滤波器设计方法的一个缺点是无法控制滤波器的相位特性。由于极点会杂散到稳定区域之外，自适应数字滤波器设计中碰到的一个大问题是滤波器可能不稳定。 综上所述，滤波器和滤波器都具有各自的优点和缺点，但FIR数字滤波器很容易获得严格的线性
29、相位特性，避免被处理信号产生相位失真，不会发生阻塞现象，能避免强信号淹没弱信号，无稳定性问题。第三章 自适应滤波算法 前面一章中对自适应滤波算法已有所提及，在自适应滤波器中算法是必不可少的一部分，在本章中将对LMS和RLS做详尽的分析。3.1 最小均方误差(LMS)算法最小均方算法即LMS算法是B.Windrow和Hoff于1960年提出的。LMS算法是随机梯度算法族中的一员，其显著特点是它的简单性，这算法不需要计算有关的相关函数，也不需要进行矩阵求逆运算。横向结构是自适应滤波器最普通的应用。滤波器的输出信号y(n)如下 (3.1)误差信号： (3.2)将式3.2表示成向量形式，如下 (3.3
30、)误差序列为 (3.4)其中T为转置矩阵，n是时间指针，N是滤波器次数。是期望信号向量，是输出信号向量。使用输入向量和误差信号来改变自适应滤波器的最小化标准的相关系数。显然，自适应滤波器控制机理是用误差序列遵照某种规则和算法对自适应滤波器系数wi(n)，i=1，2，N进行调整的，最后让自适应滤波的目标函数变得最小，从而达到最佳的滤波状态。 (3.5) (3.6)本章节使用的标准是最小均方误差即式（3.5），其中E为算子期望。使用式（3.4）代替y（n），式子(3.5)可用式(3.6)表示。其中，是输入信号的自相关矩阵，是互相关向量，道出了和间的相关矢量关系。由式(3.6)可见，自适应滤波器的代
31、价函数是一个延迟线抽头系数的二次函数。当矩阵和矢量己知时，可通过自适应滤波器的权系数矢量w直接计算得出其解。 最优解最小化的最小均方误差，来至解式(3.7) (3.7) 使用式(3.6)对w求它的偏导数，让其等于零，假如矩阵满秩，可以得到代价函数最小的最佳自适应滤波系的数如下： (3.8)对于LMS算法梯度v(n)通过假设平方误差。2(n)作为公式(3.7)的MSE来预测。因此，梯度预测可以单一化表示为: (3.9)事实上，经常使用2u取代u，w(n)是自适应滤波器在n时的滤波系数或权矢量。 (3.10)上式表示在n+1时得到的滤波系数或权矢量。自适应步长使用u来控制算法的稳定性和收敛率。这种
32、瞬时估计是无偏的，因为它的期望值E和最陡下降法的梯度矢量相等。以任意初始向量w(0)来开始，向量w(n)集中在最佳解决方法w0，假如选u (3.11) (3.12)为矩阵R的最大特征值，受限制于式（3.12），Tr是指示矩阵的轨迹，是平均输入功率。对于自适应信号处理最需要注意的是收敛速度，其决定了滤波器追踪不稳定信号的能力。仅当最慢的权集中一点时权向量才收敛。这个过程经历最长的时间为： (3.13)LMS算法超过最小均方误差的是： (3.14)是最小均方误差在稳态时的最小值。自适应LMS算法，利用时间n=0时的滤波系数矢量为任意的初值w(n)，随后进行计算，过程如下所示:l)根据n时的滤波系数
33、估值w(n)，输入信号x(n)及期望信号d(n)，计算误差信号e(n): (3.15)2)通过递归法计算w(n)的更新估值。3)对n加1操作，回到一，重复式（3.15）计算，直到误差稳定下来。综上，自适应LMS算法简单，它既不需要计算输入信号的相关函数，又不要求矩阵之逆。因而得到了广泛的应用。3.2 最小均方差(LMS)算法的性能分析LMS算法的性能准则是采用瞬时平方误差性能函数|e(k)|2代替均方误差性能函数E|e(k)|2，其实质是以当前输出误差、当前参考信号和当前权系数求得下个时刻的权系数。其输出信号输出误差及权系数的计算公式为： (3.16)为迭代次数，M为滤波器的阶数。表示第时刻的
34、输入信号矢量式中，式中，表示参考信号的信号矢量： (3.17)表示时刻的输出信号，表示k时刻的输出误差，W(k)表示时刻权系数矢量： (3.18)表示LMS算法步长收敛因子。自适应滤波器收敛的条件是： (3.19)其中是输入信号的自相关矩阵R的最大特征值。控制了算法稳定性和自适应速度，如果很小，算法的自适应速度会很慢；如果很大，算法会变得不稳定。所以它的取值需在收敛速度与失调间取一个中间值，使收敛速度和稳态达到一个平衡点。在LMS算法中，步长因子的取值对算法的性能有着非常重要的影响，这些影响包括：算法的稳定性、算法的收敛速度、算法的扰动和失调。将讨论两点关于该算法的收敛速度：第一，对一个特定的
35、信号环境，收敛速度和步长因子有何关系。第二，信号环境本身的特性，对收敛速度有何影响。从收敛速度的角度考虑，步长因子应该尽可能大，再看信号环境，即的特性对算法收敛性能的影响如果当特征值的分布范围较大，即最大特征值和最小特征值之比较大时，公比的取值幅度也将比较大，算法的总的收敛速度将会变得比较慢。传统的LMS算法结构并不复杂、计算量小且稳定性好，因此在噪声消除、系统辨识及信号处理等领域被普遍的使用。但是在收敛速度、跟踪速度和权失调噪声之间，固定不变的步长的LMS自适应算法的要求是相互矛盾的，为解决这一难题，各式各样的变步长LMS的算法被人们研究出来。尽管改进后算法的原理不尽相同，但基本上都遵循该调
36、整原则：即在收敛的初始阶段或未知系统参数发生变化时，步长应当较大一些，如此收敛速度将达到一个比较快的程度；而在算法收敛后，为了使稳态失调噪声最小，不论主输入端的干扰信号有多大调整都应该保持较小小的数值。3.3 递推最小二乘法(RLS)算法前面讨论的基于最小均方误差(MMSE)准则的自适应算法LMS算法收敛速度较慢，对非平稳性信号的适应性较差。为了克服上述缺点，可以采用最小二乘(RLS)准则，在每时每刻，对所有已输入信号重估其误差，并使各误差的平方和最小。这是个在现有约束条件下利用了最多可利用信息的准则，是在一定意义上最有效、信号非平稳性能也最好的准则。理论和实验都表明，最小二乘估计的性能优于基
37、于MMSE准则的算法。RLS算法是最小二乘滤波的基础算法，该算法事实上是FIR维纳滤波器的某种时间递归表达形式，其严格遵守最小二乘准则。主要特点是收敛速度快，因此非常广泛的应用在实时系统辨别、时间序列和快速信道均衡的分析中。但其特别不好的一面是每次进行迭代时所需的计算量非常大，对于N阶的横向自适应滤波器，其运算量在N的平方次数量级。而LMS算法的运算量是在N数量级。RLS算法是一种快速收敛的算法，该算法判决依据是直接处理接受数据，使其二次性能指数函数最小，而前面所述的LMS算法则是使平方误差的期望值最小。设计出的自适应滤波器，经过改变滤波器可调参数，让根据之前的观测样本而得到的观测信号在某种程
38、度上无限逼近原始信号。此时，一方面，恢复误差： (3.20)另一方面，可以将视作为的预测。所以预测误差可以如下表示： (3.21)对于自适应滤波器的设计自然是希望使恢复误差最小。但是因为原始信号s(n)未知，因此是不可以经过计算或是观测得出的。而与这个相反的是，却是可以通过测量得到的，它与恢复误差的关系为： (3.22) 而噪声序列n(n)是独立的，因此不可观测的恢复误差的最小化等价于可观测的预测误差e(n)的最小化。具体的，考虑到 (3.23) 的最小化。式中，为遗忘因子，通常取01。由 (3.24)可得到等价关系式： (3.25)若令： (3.26) (3.27) 则式(3.25)可简写为
39、： (3.28)假定不是奇异的，则： (3.29)这就是滤波器滤波参数的公式，这里记作，是因为是时变的。式(3.27)叫做最佳滤波器系数的Yule-Walker 方程。依据式(3.29)来改变滤波器参数有两个难点。一个是，需要矩阵求逆及矩阵乘法等运算，故而要很大的运算量。另一个是，与之间没有交叉联系，不能达到根据预测误差来改变滤波器参数的最终目的。预测误差由 (3.30)表示。注意到和式(3.30)，用与式(3.30)相乘得到： (3.31)为简化，构建与的关系，我们可以认为时刻及其以前时刻的滤波器参数相同，即： . 如此，利用式(3.27)及上述假定，就有 (3.32)另一方面，为简化的表达，这里可以认为遗忘因子。这相当于，只有本时刻的结果被记忆下来，而将以前的各时刻的结果全部遗忘。从而，有下列的简化结果： (3.33)将式(3.31)和(3.32)代入(3.29)，则得 (3.34)式(3.34)描述了一个滤波器参数受其输入误差控制的自适应滤波算法，被称作递归最小二乘(RLS)。为了实现递推计算，还要解决逆矩阵的递推计算问题。为此，我们先引入一个著名的结果矩阵求逆引理。矩阵求逆引理：若是非奇异的，则： (3.35)由的定义式(3.22)，显然有 (3.36) 对它应用矩阵求逆引理，得： (3.37)综上所分析，递归最小二乘法自适应滤波(RLS)算
