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1、第四章 自适应数字滤波器,4.1 引言 4.2 LMS横向自适应滤波器 4.3 LMS格型自适应滤波器 4.4 LS自适应滤波 4.5 自适应滤波的应用,4.1 引 言,自适应数字滤波器自适应数字滤波器的应用本章讨论的主要内容,1、自适应数字滤波器,维纳滤波存在的问题：适用于平稳随机信号的最佳滤波；维纳滤波器的参数是固定的；必须已知信号和噪声的有关统计特性。,自适应的概念是从仿生学中引伸出来的，生物能以各种有效的方式适应生存环境。实际上，自适应滤波器是一种能自动调节本身的单位脉冲响应h(n)以达到最优化的维纳滤波器。,自适应数字滤波器：利用前一时刻已获得的滤波器参数等结果，自动地调节现时刻的滤
2、波器参数，以适应信号与噪声未知的或随时间变化的统计特性，从而实现最优滤波。,维纳滤波器的输入输出关系,自适应滤波器原理图,e(n)=d(n)-y(n),自适应滤波器H(z)的系数根据误差信号，通过一定的自适应算法，不断地进行改变，使输出y(n)最接近期望信号d(n)。实际中，d(n)要根据具体情况进行选取。,图 4.1.3 自适应线性组合器,图 4.1.4 横向FIR结构的自适应滤波器,自适应滤波器的特点：滤波器的参数可以自动地按照某种准则调整到最佳滤波，是一种最佳的时变数字滤波器；实现时不需要任何关于信号和噪声的先验统计知识；具有学习和跟踪的性能。,2、自适应数字滤波器的应用,1967年由美
3、国B.Windrow 及Hoff等人提出自适应数字滤波算法，主要用于随机信号处理。自提出以来，自适应滤波器发展很快，在各个方面得到了广泛的应用：系统模型识别；通信信道的自适应均衡；雷达与声纳的波束形成；消除心电图中的电源干扰；噪声中信号的检测、跟踪、增强和线性预测等。,自适应滤波器分类：FIR自适应滤波器、IIR自适应滤波器 最小均方误差（LMS）自适应滤波器、最小二乘（LS）自适应滤波器 横向结构、格型结构,3、本章讨论的主要内容,主要内容：LMS自适应滤波器、LS自适应滤波、自适应滤波的应用；分析思路：根据LMS或LS准则，求得自适应滤波器的最佳单位脉冲响应w(n)，或者说求其最佳的滤波器
4、加权系数wj。,4.2 LMS自适应滤波器,本节讨论的主要问题及方法LMS自适应滤波器的基本原理最陡下降法Widrow-Hoff LMS算法 LMS算法的收敛性质,1、本节讨论的主要问题及方法,讨论的主要问题：LMS自适应滤波器的基本原理、最佳权系数的求解方法（最陡下降法和Widrow-Hoff LMS算法）。分析方法：,2、LMS自适应横向滤波器的基本原理,e(n)=d(n)-y(n),LMS自适应横向滤波器的基本原理：自适应数字滤波器的单位脉冲响应h(n)受误差信号e(n)控制；根据e(n)的值而自动调节，使之适合下一刻(n+1)的输入x(n+1)，以使输出y(n+1)更接近于所期望的响应
5、d(n+1),直至均方误差 达到最小值；y(n)最佳地逼近d(n)，系统完全适应了所加入的两个外来信号，即外界环境。注意：x(n)和d(n)两个输入信号可以是确定的，也可以是随机的，可以是平稳的随机过程，也可以是非平稳的随机过程。从图中可见：自适应数字滤波器是由（普通数字滤波器+相关抵消回路）构成。,表示成矩阵形式：,式中,误差信号表示为,利用LMS准则求最佳权系数和最小均方误差 误差信号被用来作为权系数的控制信号。均方误差（性能函数）为,上式表明，当输入信号和期望信号是平稳随机信号时，均方误差信号Ee2j是权系数的二次函数，它是一个中间上凹的超抛物形曲面，是具有唯一最小值的函数。,图 4.2
6、.5 二维权矢量性能表面,调节加权系数W使均方误差最小，相当于沿超抛物形曲面下降到最小值。在数学上，可用梯度法沿着该曲面调节权矢量的各元素得到均方误差Eej2的最小值。,用 表示Eej2的梯度向量，用公式表示如下：,为求最佳权系数，令 即,当滤波器的单位脉冲响应取最佳值时，其误差信号和输入信号是正交的。,可以得到,最佳权矢量W*：,均方误差将取最小值：,或者将上式取转置，用下式表示：,例 一个单输入的二维权矢量自适应滤波器如图 所示，图中输入信号与期望信号分别为,求：该滤波器的最佳权矢量和最小均方误差。,两个权的自适应滤波器,解：（1）、计算相关矩阵Rxx和Rdx,（2）、求梯度向量,（3）、
7、求最佳权矢量和最小均方误差：,3、最陡下降法,存在问题：自适应滤波过程是寻求W*的过程，需要知道Rxx和Rdx。解决方法：采用最优化的数学算法最陡下降法（Steepest Descent Method），搜索性能函数表面寻找最佳权系数。,自适应过程的物理意义,最陡下降法的递推公式,其中,是一个控制稳定性和收敛速度的参量，称之为收敛因子。方向是性能函数下降最快的方向，因此称为最陡梯度下降法。,Ee2(j)与W的关系在几何上是一个“碗形”的多维曲面。,收索方向为梯度负方向，每一步更新都使目标函数值减小。,4、Widrow-Hoff LMS算法,存在问题：采用最陡下降法递推求最佳权系数W*时，关键是
8、如何适时地求得（或估计得）？解决方法：由Widrow等人提出，采用梯度的估计值代替梯度的精确值。,LMS算法的权值计算 LMS(Least Mean Square)算法的梯度估计值用一条样本曲线进行计算，公式如下：,因为,所以,对梯度估计值求统计平均，得到,上式说明梯度估计值是无偏估计的，梯度的估计量在理想梯度j附近随机变化。,最陡下降法的递推公式修改为：,权系数也是在理想情况下的权轨迹附近随机变化的,搜索方向为瞬时梯度负方向，不能保证每一步更新都使目标函数值减小，但总趋势使目标函数值减小。,图 4.2.8 FIR第i个支路的控制电路,图 4.2.8 LMS自适应滤波器总计算框图,5、LMS算
9、法的收敛性质,对加权矢量取统计平均：,将Rxx进行分解，得到,Rxx=QTQ,=QTRxxQ,其中，Q称为正交矩阵或特征矩阵，是由特征值组成的对角矩阵，用下式表示：,其中,欲使上式收敛必须满足,收敛条件还可以表示为,LMS算法加权矢量是在最陡下降法加权矢量附近随机变化的，其统计平均值等于最陡下降法的加权矢量。,值对收敛稳定性和收敛速度影响很大，首先必须选择得足够小，使之满足收敛条件，同时，它还影响收敛速度。,加权矢量的收敛性质,W*,W,Wj,W,Eej2,性能函数和最小均方误差分别为：,令=Ee2j,则,又,最陡下降法的过渡过程,可得,令,V=W-W*=v1,v2,vNT,V称为偏差权向量，
10、它表示权向量对最佳权向量的偏差。这样性能函数可以表示得更简单：,在上式两边都减去W*,并令Vj=W j-W*,得到,Vj+1=I-2RxxVj,因为,所以,将Rxx进行分解，得到,Rxx=QTQ,=QTRxxQ,其中，Q称为正交矩阵或特征矩阵，是由特征值组成的对角矩阵，用下式表示：,由此可得,令,得到最陡下降法的性能函数递推公式：,假设起始值是V0，可得到上式的递推解为,当。且 随 增加的衰减比 快一倍。,下面用二维权矢量的情况说明它的几何意义。对于二维权矢量情况，有下面公式：,图 4.2.5 二维权矢量性能表面,图 4.2.6 等均方误差的椭圆曲线族,权矢量的过渡过程：,第i个权系数递推方程
11、是,令,上式说明第i个分量v i按指数规律变化，其时常数为,i=1,2,3,N,因为一般取得比较小，可以近似得到,i=1,2,3,N,因为,所以,得到,式中,i=1,2,3,N,第i个权矢量的时间常数为,性能函数的过渡过程：,性能函数的时常数，即自适应学习的时间常数为,最终的收敛要取决于最慢的指数过程，它的时常数最大，对应最小的特征值，公式如下：,稳态误差和失调系数 存在问题：实际中，工作于实时的自适应算法，权系数不能完全收敛于最佳值，只是其平均值可以收敛到最佳值。这是由于采用梯度的估计值代替梯度值而产生的估计误差。,解决方法：引入失调系数M进行描述，其定义为,上式说明，和输入功率加大都会增加
12、失调系数。,跟踪能力越好，曲线稳态越接近横轴。,图 4.2.10 LMS算法稳态误差,上式说明，当选择足够长的，M可以做到任意小。但当 一定时，M随着权数目N的增加而增大。另一方面，越小，收敛也会越快。如此，便产生了动态特性和静态特性的矛盾，这就要求我们在收敛速度和失调量间取得适当的折中。一般而言，迭代次数选择为。,例 设M=10%（一般M=10%可以满足大多数工程设计的要求）并设N=10，问应该取多少次迭代数？解：,按经验实际迭代次数应取100（=10滤波器长度N）或取,图 4.2.11 LMS算法的学习曲线,4.3 LMS格型自适应滤波器,本节讨论的主要内容及方法预测误差滤波器预测误差格型
13、滤波器LMS格型自适应滤波器,1、本节讨论的主要内容及方法,讨论的主要内容：前、后向横向预测误差滤波器、预测误差格型滤波器和LMS格型自适应滤波器主要方法：基于前、后向横向预测误差滤波器，导出预测误差格型滤波器,2、线性预测误差滤波器,前向预测误差为,将前向预测误差用 表示，上式重写为,前向预测误差滤波器,将上式用矩阵方程表示为,其Yule-Walker方程式为：,假设前、后向预测器具有相同的系数，则后向预测误差为,后向预测误差用 表示，上式可写为：,后向预测误差滤波器,前、后向预测误差滤波器的系数函数之间的关系是,为了求解前、后向预测误差滤波器的最佳系数，需要解Yule-Walker方程，求
14、解方法采用Levinson-Durbin算法。,Levinson-Durbin的一般递推公式如下：,其中，kp称为反射系数。2p和2p-1是预测误差的均方值，因此1-k2p必须大于等于0，这样kp应要求满足下式：,由上式可知，预测误差随递推次数增加而减少。,3、预测误差格型滤波器,由预测误差滤波器导出格型滤波器 将前面已推导的前向预测误差公式重写如下:,将系数ap,k(k=1,2,3,p)的递推公式代入上式，并令kp=ap,p，得到,由此，便可得到前向预测误差的递推公式，即,类似地，得到后向预测误差的递推公式为,对于p=0的情况，得到,图 4.3.5 全零点格型滤波器,格型滤波器的性质(1)各
15、阶后向预测误差相互正交。用公式表示如下：,(2)平稳随机序列可由自相关函数或反射系数表征。(3)前向预测误差滤波器是最小相位滤波器，即它的全部零点在单位圆内。后向预测误差滤波器是一个稳定的最大相位滤波器，全部零点在单位圆外。,4、LMS格型自适应滤波器,在满足预测误差的均方值最小的准则下，最佳自适应格型滤波器求解关键在于计算出反射系数。其方法有：,采用使前、后向预测误差功率的和为最小的原则求反射系数。公式为,即,可以得到,实际计算时，上式中的统计平均值用时间平均计算，公式为,对于复信号情况，公式为,如果输入数据为x(i),i=0,1,2,n，当p=1时，,这里,因此,当p=2时，,其中,以此类
16、推，可以得到 的具体计算公式为,这种算法必须从低阶推起，要求较大的存储时间，有较大的计算延迟，使应用受到限制。,采用梯度算法计算反射系数,其中，,将上式代入前一式中，得到,式中，=2，为步长因子。,4.4 最小二乘自适应滤波,本节讨论的主要内容及方法最小二乘（LS）滤波递推最小二乘（RLS）算法,1、本节讨论的主要内容及方法,主要内容：讨论一种以误差的平方和最小作为最佳准则的误差准则最小二乘准则，及其递推算法。分析方法：,2、最小二乘滤波,最小均方误差(LMS)滤波（统计分析法）,最小二乘(LS)滤波（精确分析法）,最小二乘的基本问题 已知n个数据x(1),x(2),x(n)，采用M个权的FI
17、R滤波器对数据进行滤波，假设期望信号为d(i)，,滤波器的输出 是对期望信号d(i)的估计,n时刻的估计误差为,图 4.4.1 M个权的FIR滤波器,误差信号的平方加权和为,为了后面叙述方面，引入一些符号。,e(n)=e(1),e(2),e(n)T,d(n)=d(1),d2),d(n)T,XM(n)=xM(1),xM(2),xM(n),应用这些符号，期望信号的估计、估计误差和误差信号能量分别为,式中,为了推导简单起见，取=I，则误差信号能量重新表示为,要使(n)取得最小值，满足,引入M维向量pM(n)以及MM维矩阵RM(n)，,可得wM(n)的最小二乘估计wLS(n),若rankXM(n)M,
18、则wM(n)不能唯一辨识。,当 存在时，最小二乘的估计值 为,最小二乘估计的误差信号能量min为,最小二乘估计的模型描述,令误差信号能量为J，并取加权矩阵=I，则,3、递推最小二乘法(RLS),基本思想：新的估计值是在老的估计值的基础上修正而成的。,最小二乘递推算法的关键是得到修正项的表达式,递推最小二乘法(RLS),根据最小二乘估计式,用a(i)表示第i步迭代时A的取值，Ak表示前k步A的数值构成的向量。定义一个变量P：,其中,那么,k-1时刻的估计值为,上式两边同时左乘P-1(k-1)，得,定义q(k)为,根据矩阵反演公式,由此可得,最小二乘递推算法：,4.5 自适应滤波的应用,自适应抵消
19、器自适应陷波滤波器自适应逆滤波自适应信号分离器,1、自适应抵消器,自适应滤波器的重要特性：能有效地在未知环境中跟踪时变的输入信号，使输出信号达到最优。自适应噪声抵消器，利用干扰源的输出，通过一个数字滤波器，最佳地估计出干扰值，从而从混有干扰的输入中减去干扰估值，实现了干扰与信号相当完善的分离。输入：原始信号（含信号与噪声），参考信号（与待抵消噪声信号相关）；输出：无噪声信号,图 4.5.1 自适应对消系统,对消原理原始输入端：dj=sj+n0,n0是要抵消的噪声，并且与s不相关；参考输入端：xj=n1，n1是与n0相关、与s不相关的噪声信号；系统的输出：zj=dj-yj；滤波器的传输函数可以根
20、据系统的输出信号自动调整，假定s,n0,n1是零均值的平稳随机过程,输出信号的均方值,由于s与n0,n1不相关，因此s与yj也不相关，则,性能分析 参考输入端噪声与原始输入端噪声相关性；参考输入端存在一定的有用信号。,由此可知，原始信号进来什么信号，出来什么信号，这时自适应滤波器关闭。要使其完成自适应噪声抵消任务，则参考输入必须与被抵消信号相关。,若n0与 n1不相关，其与yj也不相关，则,参考输入端存在一定的有用信号 当有信号分量泄漏到参考输入中时，噪声的抵消能力可以通过比较输入端的信噪比、参考输入端的信噪比及输出端的信噪比数值大小来评价。,噪声抵消后，输出端信号为sout(n)=spri(
21、n)-sref(n)，噪声为 nout(n)=npri(n)-nref(n),其功率谱分别为,噪声抵消前，原始输入端的信号为spri(n)=s(n)，噪声为npri(n)=v(n)，其功率谱分别为,参考输入端信号 spri(n)=s(n)*g(n),噪声为nref(n)=v(n)*h(n)，其功率谱分别为,输入端的信噪比为,参考输入端的信噪比为,输出端的信噪比为,参考输入端的总功率为,参考输入端与原始输入端的互功率为,由此可得，一个自适应对消器的稳态解为,结论：只要参考输入端的信噪比足够小，输出就可以得到好的信噪比。即泄露到参考输入端的有用信号越少，抵消效果越好。,在参考输入端存在信号s时，自
22、适应抵消器输出端的信号分量将比原始输入端的信号分量有一定损失，损失大小用D(z)表示：,3.应用 1)消除心电图中的电源干扰,2)胎儿心电监护,其中原始输入a(t)=f(t)+m(t)+n(t)f(t):胎儿心脏产生信号m(t):母亲心脏产生信号n(t):噪声干扰信号（主要由肌肉起的，有时称“肌肉噪声”）。,采用自适应噪声抵消器消除胎儿心电图中母体心脏信号（干扰）。一般采用：四个普通胸导（每路信号相同）记录母亲心跳，作为参考输入信号。经过自适应噪声抵消器处理后，母亲心脏干扰信号被显著消弱，胎儿心声可辨。,图 3.5.5 胎儿心电的监护（a）胸部导联心电（参考输入）；（b）腹部导联的心电（原始输
23、入）；(c)自适应对消器的输出,2、自适应陷波器（NF）,当需要抵消掉的噪声是单色干扰（即单一频率的正弦波干扰）时，这样的系统称为自适应陷波器(Notch Filter,简称NF)，又称为点阻滤波器。,自适应谱线增强器：将正弦波与宽带噪声分离开来，并提取正弦信号。,陷波器的理想频率特性,图 4.5.6 自适应单频率噪声抵消器,d(n)=s(n)+cos(0nT),y(n),采用LMS准则求其稳态时的传输函数 假设输入信号为d(n),输出信号为e(n)，自适应滤波器的输出之和为y(n)，设采样间隔为T，系统的原始输入端信号为,d(n)=s(n)+cos(0nT),参考输入端的x1(n)和x2(n
24、)为,误差信号为,两个自适应滤波器的输出为,应用LMS迭代方法，更新权向量在n+1时刻的取值为,自适应陷波器的传输函数为,自适应陷波器的幅频和相频特性自适应陷波器的两个零点为,由|z0|=1,可以知道零点位于单位圆上。,当C21 时，得到极点的极坐标近似表示式,图4.5.7 陷波器的零极点图,当c21时，极点靠近单位圆，从零极点图可以粗略确定3dB带宽为,因此可以通过改变C2来调节3 dB带宽，使陷波器的缺口的肩部可以任意窄。,（量纲为角频率）,为取样角频率，,3、自适应逆滤波,自适应均衡器与自适应解卷积问题都可归结为用自适应的方法求逆滤波系统的问题。自适应均衡器用以补偿信道干扰的影响，使接收信号与发送信号完全一致。,图 4.5.9 自适应逆系统的类型(a)无延迟的；(b)有延迟的,xk=sk*pk+nk,minE2k,pk,图 4.5.10 自适应逆系统的FIR实现(a)在单位圆外有一个极点的逆滤波器的冲激响应h(-)(n)的特性；(b)经过时延的h(-)(n)特性,求解图（b）中自适应逆系统的最佳权向量。假设系统噪声与信号是独立的，则输入功率为,d端与x端的互功率谱为,其中，G(z)表示d到x的传输函数，G(z)=zP(z),没有噪声时,最佳传输函数为,最佳传输函数为,4、自适应信号分离器,图 4.5.11 自适应信号分离器,5、自适应预测器,图 4.5.12 自适应预测,
