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1、数字信号处理实验报告实验二 应用快速傅立叶变换对信号进行频谱分析 2011年12月7日一、 实验目的1、 通过本实验，进一步加深对DFT算法原理合基本性质的理解，熟悉FFT算法 原理和FFT子程序的应用。2、 掌握应用FFT对信号进行频谱分析的方法。3、 通过本实验进一步掌握频域采样定理。4、 了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中正确应用FFT。二、 实验原理与方法1、 一个连续时间信号的频谱可以用它的傅立叶变换表示2、 对信号进行理想采样，得到采样序列3、 以T为采样周期，对进行Z变换4、 当时，得到序列傅立叶变换SFT5、 为数字角频率 6、 已经知道： ( 2
2、-6 )7、 序列的频谱是原模拟信号的周期延拓，即可以通过分析序列的频谱，得到相应连续信号的频谱。（信号为有限带宽，采样满足Nyquist定理）8、 无线长序列可以用有限长序列来逼近，对于有限长序列可以使用离散傅立叶变换（DFT）。可以很好的反映序列的频域特性，且易于快速算法在计算机上实现。当序列的长度为时，它的离散傅里叶变换为： 其中，它的反变换定义为： 比较Z变换式 ( 2-3 ) 和DFT式 ( 2-7 )，令则 因此有 是平面单位圆上幅角为的点，也即是将单位圆等分后的第点。所以是的变换在单位圆上等距采样，或者说是序列傅里叶变换的等距采样。9、DFT是对序列傅里叶变换的等距采样，因此可以
3、用于序列的频谱分析。在运用DFT进行频谱分析的过程中有可能产生三种误差，这里给出三种误差的定性讨论。三种误差：混叠现象、泄露现象、栅栏效应1) 混叠现象 ( 2-6 )式说明序列的频谱是原模拟信号的频谱的周期延拓，周期为。因此当采样频率小于两倍信号（这里指是信号）最大频率时，经过采样就会发生频谱混叠，这使得采样后的信号序列频谱不能真实地反映原信号的频谱。所以在利用DFT分析连续信号的频谱时，必须注意这一问题。避免混叠现象的唯一方法是保证采样速率足够高，使频谱交叠现象不致出现。也就是说，在确定采样频率之前，必须对信号的性质有所了解，一般在采样前，信号通过一个防混叠低通滤波器。2) 泄漏现象 实际
4、中的信号序列往往很长，为了方便我们往往用截短的序列来近似它们，这样可以使用较短的DFT来对信号进行频谱分析，这种截短等价于给原信号序列乘以一个矩形窗函数。 泄漏是不能与混叠完全分离开的，因为泄漏导致频谱的扩散，从而造成混叠，为了减小泄漏的影响，可以选择适当的窗函数，是频谱的扩散减到最小。3) 栅栏效应 因为DFT是对单位圆上Z变换的均匀采样，所以他不可能将频谱视为一个连续函数。这样就产生了栅栏效应，就一定意义上看，DFT来观看频谱就好像通过一个尖桩的栅栏来观看一个图景一样，只能在离散点上看到真实频谱，这样就可能发生一些频谱的峰点或谷点被“尖桩的栅栏”所挡住，不能被我们观察到。减小栅栏效应的一个
5、方法就是借助在原序列的末端添补一些零值，从而变动DFT的点数。这一方法实际上是人为地改变了对真实谱采样的点数和位置，相当于搬动了每一根“尖桩栅栏”的位置，从而使得频谱的峰点或者谷点暴露出来。当然，这是每根谱线所对应的频率和原来的不同了。 综上所述，DFT可以用于信号的频谱分析，但必须注意可能产生的误差，在应用过程中要尽可能减少和消除这些误差的影响。 快速傅里叶变换FFT是为了减少DFT运算次数的一种算法，常用的FFT是以2为基数的，其长度，它的效率高，程序简单，使用也十分方便，当要变换的序列长度不等于2的正整数次方时，可以用末尾补零的方法，使其长度延长到2的整数次方。三、 实验内容及步骤1）观
6、察高斯序列的时域及幅频特性 高斯序列为： 固定信号中的参数p=16、N=32. q=2、10、30 观察时域特性及幅频特性（FFT 点数=256）当q取不同值时，对信号时域及频域特性的影响。q=2 FFT q=10 FFT q=30 FFT 时域：q取值的增大，信号波形变宽，变矮，在最大值处过度变的平缓。频域：信号的频谱向低频靠近。 方差q=2 时，信号变化相对快，高频分量大。 方差q=30时，信号变化相对慢，低频分量大。 因为随着q取值的增大，高斯信号逐渐变得平缓，过渡带变得平滑并延长，从而低频分量增加，高频分量减少。 固定信号中的参数q=10、N=32. p=25、30、32 观察p变换对
7、信号时域及频域特性的影响（注意：p等于多少时，会发生较为 明显的泄露现象，混叠是否也随之出现？）p=25 FFT p=30 FFT p=32 FFT 时域：p取值的增大，信号波形逐渐向右平移。频域：信号的频谱中高频分量逐渐增加，频谱泄漏逐渐明显，并逐渐出现频谱混 叠现象。当p=32时，能力泄漏至旁边的频率，出现较明显的频谱泄漏与频谱混叠现象。 随着p值增大，信号被截断部分增多，截断部分的过渡带过陡，产生高频分量增多，而造成频谱泄漏与混叠。2）观察正弦序列截断正弦序列为：（1）f=0.0625,N=32,FFT点数=32 检查谱峰出现位置是否正确？谱峰的形状如何？ 当FFT点数为32时，频谱为单
8、线谱，只在谱峰处有值，其他位置都为0。（2）f=0.0625,N=32,FFT点数=512 谱的形状如何？ 用频域采样定理分析该现象并分别绘出其幅频特性曲线。 FFT点数为512时除谱峰以外，其他位置也有值。 出现这种现象是由于栅栏效应引起的，导致采样时只采到谱峰与零值点。利用频谱估计频率时，m为谱峰的位置，估计值与实际值一致，所以谱峰的位置正确。（3）f=0.265625 N=32、64 FFT点数=32、64 观察幅频特性曲线，何时从幅频特性曲线上可以观测到原正弦信号的模拟频率？N=32 时域波形 FFT点数=32 FFT点数=64 N=64 时域波形 FFT点数=32 FFT点数=64
9、N=FFT点数=32、64时没有出现单线谱N=FFT点数=64的时候出现单线谱因为当点数为32时，FFT对频域采样点没有采到谱峰位置，而有一定的相位差，其他点采到了各个旁瓣的峰值。而当点数为64点时，正好采样采到谱峰和旁瓣的零点。要使频谱正好采到谱峰，满足。此处，所以64点FFT可以采到谱峰，而32点FFT不可以。（4）f=0.245 N=256 观察时域曲线（注意由于采样引起的假调制现象） 通过选择FFT点数，是否能使该信号频谱出现单线谱？时域波形 FFT点数=64 FFT点数=256 FFT点数=512（5）f=1.96kHz 采样频率Fs=8kHz N=256 此时频谱分辨率是多少? 通
10、过FFT离散谱观察到的的信号模拟频率与实际频率相差多少？1、 当f=0.245时，正弦序列的时域波形发生了假调制现象，这是因为时域点数为，而只有当时，对正弦函数的采样才能在每个周期内采到最大值点，从而出现等幅波。 而当时不能写成这种方式，造成在一个周期内采样时与最大值点有一定的相位差，由于相位的累积，从而造成每个周期内采样最大值的周期性变化，从整体上看即呈现出假调制现象。在这种情况下，由于FFT点数为，因此无法使频谱出现单载波。2、 当利用64点的FFT估计频率时， 频谱分辨率为 实际信号频率为 误差为 当利用256点的FFT估计频率时： 频谱分辨率为 实际信号频率为 误差为 。 当利用512
11、点的FFT估计频率时： 频谱分辨率为 实际信号频率为 误差为 。结论： （1） FFT的点数越多，信号的频谱分辨率越高，利用频谱估计得到的信号频率 与实际的误差越小。（2） 且在增加FFT点数到512时，频谱分辨率增加，但是实际信号频率与模拟频率误差相等，说明已达取该FFT点数范围内的最大精度。3）观察衰减正弦序列衰减正弦序列为： 令 f=0.21875、0.4375、0.5625 N=32 FFT点数=32、256 观察在不同的f取值情况下，谱峰出现的位置、形状，有无频谱混叠和泄漏现象发生，并分析产生现象的原因。f=0.21875 时域波形 FFT点数32 FFT点数64f=0.4375 时
12、域波形 FFT点数32 FFT点数64f=0.5625 时域波形 FFT点数32 FFT点数64 满足Nyquist定理时 ，即f=0.5625时不满足Nyquist定理。随着f的增大，频谱的谱峰逐渐向右平移，两谱峰逐渐向中间靠拢。因为， f=0.4375和f=0.5625频谱图关于对称造成观察到的频谱完全相同，但实际上表示的意义却不相同。f=0.4375时的谱峰位于n=113处，f=0.5625时的谱峰位于n=143处。由于存在泄漏现象，出现了高频分量，虽然在f=0.4375时满足Nyquist定理，但实际上已发生了频谱混叠。4）观察三角波序列和反三角波序列三角波序列为： 反三角波序列为：
13、取FFT点数=8、256 分析三角序列和反三角序列的幅频特性，观察两者的序列形状和频谱的异同点，及对于不同点数FFT幅频特性曲线的变化。三角序列 时域波形 FFT点数8 FFT点数256反三角序列 时域波形 FFT点数8 FFT点数256 FFT点数=8，虽然两者的时域波形不同，但是频域波形却相同，因为二者满足循环移位关系，即，从而，这种现象是栅栏效应引起的。 FFT点数=256，对两序列后续补零，导致二者不再满足循环移位关系，所以频谱不相同。四、 实验总结与分析 （1）利用FFT来估计模拟信号的频率，FFT的点数越多，信号的频谱分辨率越高，利用频谱估计得到的信号频率 与实际的误差越小。要想提
14、高估计精度，应当使FFT点数在允许的范围内尽可能的大。（2）当信号发生截断效应时，会产生高频分量，这种情况下会出现频谱混叠和频谱泄漏现象，截断效应越明显，泄漏越大。（3）对信号抽样时，在满足Nyquist定理的情况下，由于频谱泄漏，会发生频谱混叠，因此，采样频率尽量高。（4）由于栅栏效应使得有些不同的信号的频谱图相同，这种情况可以通过增加FFT点数来判断。 （5）在正弦信号f=0.245 N=256时，观察时域曲线，会产生由采样引起的假调制。 （6）方差q=2 时，信号变化相对快，高频分量大。 方差q=30时，信号变化相对慢，低频分量大。 因为随着q取值的增大，高斯信号逐渐变得平缓，过渡带变得平滑并延长，从而低频分量增加，高频分量减少。 （7）随着p值增大，信号被截断部分增多，截断部分的过渡带过陡，产生高频分量增多，而造成频谱泄漏与混叠。
