数学与应用数学毕业论文三个三次幂等矩阵线性组合的秩的不变性的一些研究.doc

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1、莆 田 学 院毕 业 论 文 题 目 三个三次幂等矩阵线性 的秩的不变性的一些研究 学生姓名 学 号 专 业 信息与计算科学 班 级 计算062 指导教师 二0一0年五月一日目 录1 引言（2）2 引理（5）3 主要结果及证明（6）结束语 （19）致谢（20）参考文献（20）三个三次幂等矩阵线性组合的秩的不变性的一些研究林丽美( 莆田学院数学系 指导教师:杨忠鹏 )摘要：由于可逆是秩的一种特殊情况，所以，本文将考虑更一般的情况，即从秩的方面来考虑三个非零三次幂等矩阵的线性组合。2008年，黄毅青教授举出了一些反例，说明了当矩阵的幂等次数时，的可逆性与系数的选择无关且的秩与系数的选择无关的这两个

2、性质都没有了。对于黄毅青教授指出的这个问题，在我十分清醒的分析了那些例子之后，总结出了两点：其一、随着幂等次数的增大，系数所满足的条件应当做适当的改变。其二、结论不成立是在矩阵不可交换的前提下提出的。之后阅读了大量的相关文献发现矩阵可交换的这个前提对于幂等次数的矩阵的线性组合的一系列问题的研究都是必要的，所以，本文中所探讨的三个三次幂等矩阵是两两可交换的这个前提是有一定依据的。在这些基础上本文探讨了三个两两可交换的非零三次幂等矩阵的线性组合的秩的不变性的充分条件。由于三个三次幂等矩阵是两两可交换的，所以三个三次幂等矩阵可同时对角化，且对角元素为其特征值。又因为三次幂等矩阵的特征值为0或1或-1

3、，所以由三个三次幂等矩阵的第个特征值构成的三维数组总共有种情况，构成一个集合。本文的证明就是将这27种情况进行分类，然后对于每一类都进行证明，证明的主要思路是或。每个定理都给出了三个两两可交换的非零三次幂等矩阵的线性组合的秩的不变性的充分条件，显然充分条件远远不止这些，还可以进行更深层次的探讨。关键词：三次幂等矩阵 线性组合 秩等式 系数选择 Abstract: Since invertibility is a special case of rank,so this paper will consider the more general situation. In 2008, profes

4、sor NGAI-CHING WONG cited some counter-examples, shows that the nature of the invertibility of not relates with the choice of coefficients and the rank of not relates with the choice of coefficients lost, if matrices is -potents idempotent. For professor NGAI-CHING WONG pointed out this problem, aft

5、er I am very clear in the analysis of those examples, summarized two points: First, with the increase of idempotent number, the conditions of the coefficients satisfied should be appropriate changed. Second, not set up can be proposed under the premise of matrices are noncommutative. We can found th

6、at the premise which matrices are commutative is necessary to the research of a series of questions of the linear combination of matrices with idempotent number after reading a great deal of relevant references, therefore, the premise which three tripotent matrices are commutative pairwise is a cert

7、ain reason. Based on these the paper discussed the sufficient conditions with the invariance of the rank for linear combination of three commute tripotent matrices , that is, ,which andare non-zero complex numbers. Because three tripotent matrices is commute by two, therefore three tripotent matrice

8、s could simultaneous diagonalization and diagonal elements of its eigenvalues. Let be the eigenvalues of , then is diagonalizable and ，, so by the No. eigenvalue of three tripotent matrices constituted three-dimensional array has scenarios in total and then 27 scenarios constituted a set . The 27 ki

9、nds of situations can be classified with the proof of this paper, and then each class to prove it holds. It is that or . Each Theorem is given sufficient conditions with the invariance of the rank for linear combination of three commute tripotent matrices, clearly sufficient condition is far more th

10、an these, these can be deeper study too.Key words: Tripotent matrix Rank of matrices Linear combination Choice of coefficient 1、引言 设为复数域上的阶矩阵集合.,为矩阵的秩。当时，称为三幂等矩阵。对非零，总记，且。统计学中很多方法都涉及到投影阵（幂等阵）或投影算子（幂等算子），而斜投影算子则是回归模型的变量估计中一个特别有用的工具。例如：、二次型服从分布 , （1.1）其中且，是一个服从多元正态分布的维随机变量，其中是单位阵 (见3, 定理5.1.1和4，引理9.1.

11、2)。、是两个相互独立并且服从分布的随机变量的差， （1.2）其中 且，是一个服从多元正态分布的维随机变量，其中是单位阵(见5的定理1)。 更多的相关应用见文3-5和文6-7。因此，近几年来，幂等矩阵、幂等算子以及三次幂等矩阵的研究受到了国内外许多学者的关注，其中幂等矩阵、幂等算子、三次幂等矩阵的线性组合问题是个热点问题，而且得到了一些研究成果。例如：、幂等性2000年，和得到（见8）是幂等阵时的所有情形，当,， 。 仍是幂等矩阵的某些情况甚至所有的情况已经得以研究（见3489101112），其中是非零幂等矩阵。2002年，J.K.Baksalary,O.M. Baksalary和G.P.H.

12、 Styan得到（见 13）是幂等阵的所有情况，当 ， （见3的引理5.6.6）. 2004年， O.M. Baksalary得到了（见 14 ）是幂等阵的所有情形，其中是非零的幂等阵，是正交的，即。 2004年，Jerzy K.Baksalary,Oskar Maria Baksalary和Halim Ozdemir得到（见15）是三次幂等矩阵的充要条件，其中 。若是在复数域上考虑，则Halim Ozdemir和Ahmet Yasar Ozban对8中可交换的幂等矩阵的线性组合仍然是幂等矩阵的充要条件给出了新的证明（见16），并且给出了三个两两可交换的非零幂等矩阵的线性组合仍然是幂等矩阵的充

13、要条件。2005年，J. Benitez和 N. Thome得到（见17）了仍然是幂等阵的充要条件，其中 。 当是实数时，若是幂等矩阵，则只能为2或3（见18）。当和时已经分别做了研究（见813）。 2007年，Oskar Maria Baksalary和 Julio Benitez得到（见18）了复数域上三个幂等矩阵的线性组合（其中两个是可交换的）是幂等阵的所有情形，这篇文章是受到Baksalary14的启发。 18通过与14不同的研究方法，把其中两个幂等矩阵是正交的前提弱化成了这两个幂等阵是可交换的。2007年，Urailuk Singthong and Wiwat Wanicharpic

14、hat对可交换的3个三次幂等矩阵的线性组合的幂等性的研究是成功的（见19）。2009年，Halim Ozdemir, Murat Sarduvan, Ahmet Yacar Ozban和Nesrin Giiler对15的主要定理给出了新的证明（见20中），并且证明了两个可交换的三次幂等矩阵的线性组合是幂等矩阵和三次幂等矩阵时的所有情形。、可逆性2004年，J.K. Baksalary和 O.M. Baksalary得到 (见1，定理1)可逆可逆，当,时； （1.3）2006年，Y.Tian，G.P.H.Styan推广(1.3)得到(见21,定理2.2)，则,. (1.4) 2007年，张俊敏、

15、成立花、李祚得到1) 、可逆可逆， （1.5） 当且，,时；（见22，定理2）2) 、三个三次幂等矩阵的线性组合的可逆性问题（见22，定理4）。即 当可逆时，是可逆的一些情况。由于可逆是秩的一种特殊情况，我们将从一般的情况来研究三个可交换的三次幂等矩阵的线性组合，即研究三次幂等矩阵线性组合的秩。目前还没有文献对两个或两个以上的三次幂等矩阵线性组合的秩做出研究的，所以本文对三个三次幂等矩阵线性组合的秩的研究的意义就更大了。2008年，黄毅清教授举出了一些反例，说明了当矩阵的幂等次数时，的可逆性与系数的选择无关且的秩与系数的选择无关的性质都没有了。对于黄毅清教授指出的这个问题，在我十分清醒的分析了

16、那些例子之后，总结出了两点：其一、随着幂等次数的增大，系数所满足的条件应当做适当的改变。其二、结论不成立是在矩阵不可交换的前提下提出的。之后阅读了大量的相关文献发现矩阵可交换的这个前提对于幂等次数的矩阵的线性组合的一系列问题的研究都是必要的，因此，我们将在对以上总结出的两点中的条件做出适当的改变之后，来讨论三次幂等矩阵线性组合的一些性质。本文在借鉴文献1-5的基础上，给出了两两可交换的三个三次幂等矩阵,的线性组合的秩的不变性的一系列充分条件。作为特例，也可得到三个三次幂等矩阵的可逆的条件。2、引理引理2.1 设为三幂等矩阵,为所有特征值，则可对角化且 ， （2.1）证明 从的化零多项式只有单根

17、, 由23，推论3.3.8知可对角化且（2.1）成立. 引理2.2 设,是两两可交换三幂等矩阵;则对有可逆矩阵使 （2.2）证明 从引理2.1可知都可对角化,再从和23，定理1.3.12知有可逆矩阵使得， （2.3）由（2.3）可得（2.2）. 由引理2.1可得引理2.3 设,都是三幂等矩阵，则，； （2.4）（2.4）中 .3、主要结果及证明定理3.1 设满足；如果对任意全排列 总有，且，则 (3.1)证明 由（2.2）知， 从（2.1），（3.2）和（3.3）知，要使(3.1)成立，只须证明 （3.4）或, （3.5）设, ,则是的一个划分。当时，可知（3.5）成立。 当时， （3.6）且

18、 ， （3.7）由，易知(3.4)成立。当时 ， ， （3.8） 且 ， （3.9）由且，即且，知(3.4)成立。当时 ， ， （3.10）且 ， （3.11）由且，即 （3.12）且 ， （3.13）知(3.4)成立。 若定理3.1中的约束条件，且 ，不完全满足时，则秩等（3.1）不成立。例如：取，,都是三次幂等矩阵，则， （3.14）， （3.15）但是。通过分析例子可知，秩等式不成立的原因是由于在去掉定理3.1中某个条件后两个矩阵和同时相似对角阵后对角元素中非零个数不一样多，那么我们应考虑在去掉这个条件后，适当增加哪些新的条件后可使得两个矩阵和同时相似对角阵中非零个数一样多，即的相似对角

19、阵中第个位置上的数和的相似对角阵中第个位置上的数的对应关系是非零对应非零或零对应零，则下面我们就是去寻找这些新的条件，使得秩等式（3.1）成立。得到了定理3.2 设，为的全排列；如果对任意的非零数，且对于给定的有，则的秩不变。即：（3.1）成立。证明 设，则有，都是的一个划分。所以，对于任意的都有是的一个划分。由定理1证明可知，只需证对于给定的，当，时，(3.4)或（3.5）成立。1)当时 ， （3.16）且， （3.17）由（2.1），（2.4）及且所以(3.4)成立。当时 ， （3.18）且， （3.19）由（2.1），（2.4）及且，所以(3.5)成立。2)当时， （3.20）且， （3

20、.21）由（2.1），（2.4）及且，所以(3.4)成立。当时 ， （3.22）且， （3.23）由（2.1），（2.4）及且，所以(3.5)成立。3) 当时 ， （3.24）且， （3.25）由（2.1），（2.4）及且，所以(3.4)成立。当时 ， （3.26）且， （3.27）由（2.1），（2.4）及且，所以(3.5)成立。 定理3.3 设，为的全排列；如果对任意的非零数，且， ， ，则的秩不变。即：（3.1）成立。证明 设，则有是的一个划分。所以，是的一个划分。由定理1证明可知，只需证当且时，(3.4)成立。当时 ， （3.28）且， （3.29）由（2.1），（2.4）及且，所以(

21、3.4)成立。当时 ， （3.30）且， （3.31）由（2.1），（2.4）及且，所以(3.5)成立。 定理3.4 设，为的全排列；如果对任意的非零数，且对于给定的有，则的秩不变。即： （3.1）成立。证明 设，则有，都是的一个划分。所以，对于任意的都有是的一个划分。由定理1证明可知，只需证对于给定的当，时，(3.4)成立。1)当时 ， （3.32）且 ， （3.33）由（2.1），（2.4）及，且，所以(3.4)成立。当时， （3.34）且， （3.35）由（2.1），（2.4）及且，所以(3.5)成立。2) 当时 ， （3.36）且， （3.37）由（2.1），（2.4）及，且，所以(3

22、.4)成立。当时， （3.38）且， （3.39）由（2.1），（2.4）及且，所以(3.5)成立。3)当时 ， （3.40）且， （3.41）由（2.1），（2.4）及，且，所以(3.4)成立。当时， （3.42） 且， （3.43）由（2.1），（2.4）及且，所以(3.5)成立。 定理3.5 设，为的全排列；如果对任意的非零数，且对于给定的有， ， ，则的秩不变。即：（3.1）成立。证明 设，则有，都是的一个划分。所以，对于任意的都有是的一个划分。由定理1证明可知，只需证对于给定的当，时，(3.4)成立。1)当时 ， （3.44）且 ， （3.45）由（2.1），（2.4）及，且，所以(

23、3.4)成立。当时， （3.46）且， （3.47）由（2.1），（2.4）及且，所以(3.5)成立。2)当时 ， （3.48）且 ， （3.49）由（2.1），（2.4）及，且，所以(3.4)成立。当时， （3.50）且， （3.51）由（2.1），（2.4）及且，所以(3.5)成立。3)当时 ， （3.52）且， （3.53）由（2.1），（2.4）及，且，所以(3.4)成立。当时， （3.54）且， （3.55）由（2.1），（2.4）及且，所以(3.5)成立。 定理3.6 当时，则，显然有的秩的不变性。当时，则，显然有的秩的不变性。当时，则，显然有的秩的不变性。当时，则，显然有的秩的不

24、变性。 定理3.7 设，为的全排列；对于给定的有，且，则的秩不变。即： （3.1）成立。证明 设， 则有，都是的一个划分， 是的一个划分。所以，对于任意的都有是的一个划分。由定理1证明可知，只需证对于给定的当，时，(3.4)成立且且时，(3.4)成立。由定理3.3和定理3.4中的证明可知，结论成立。 定理3.8 设，为的全排列；对于给定的有，且，则的秩不变。即： （3.1）成立。证明 设，则有，都是的一个划分，都是的一个划分。所以，对于任意的都有是的一个划分。由定理1证明可知，只需证对于给定的当，且，时，(3.4)成立。由定理3.2和定理3.4中的证明可知，结论成立。 定理3.9 设，为的全排

25、列；对于给定的有， 且，或，则的秩不变。即： （3.1）成立。证明 设，则有，都是的一个划分，对于任意的都有是的一个划分且对于任意的都有是的一个划分。所以，对于任意的都有是的一个划分且对于任意的都有是的一个划分。由定理1证明可知，只需证对于给定的当，或，时，(3.4)成立，即：，时，(3.4)成立。由定理3.2和定理3.4中的证明可知，结论成立。 由以上给出的各个定理可知，各个定理中的系数所满足的条件都是秩等式（3.1）成立的充分条件而不是必要条件。结束语由于本文研究的问题在统计学上有广泛的应用，所以研究此类问题是有一定价值的。已有的文献讨论的大都是幂等矩阵线性组合的幂等性，可逆性等方面的问题

26、，有少部分文献研究了三次幂等矩阵线性组合的幂等性、可逆性、对合性问题，可逆作为秩的特殊情况且秩本身又是矩阵的一个重要性质，但对于三次幂等矩阵线性组合的秩的方面的研究几乎没有涉及。所以本文的不同就是从矩阵的秩出发，研究三个三次幂等矩阵的线性组合的秩，通过系数所满足的条件，进一步来判定秩的不变性。在分析黄毅清教授指出的问题之后，在本文中加上了两两矩阵可交换的这个前提，在阅读大量相关文献之后发现这个前提对于幂等次数的矩阵线性组合的一系列问题的研究都是必要的，所以本文引进这个前提是有一定依据的。本文所采用的方法主要是三次幂等矩阵可同时对角化与对集合进行划分。给出了矩阵的线性组合的秩等式成立的多个充分条

27、件，每个条件都是新颖的，而且其定理证明的主要思路，也是根据其本身矩阵的特性来决定的，主要是秩等式成立即等价于或。从定理3.1中的条件逐步过渡到定理3.2-3.9中的条件，这些条件之间有一定的联系，但是其之间的区别是更加明显。若是把定理3.2-3.9中与定理相区别的条件去掉，则结论是不成立的，即秩等式不成立。所以，本文中所有定理的条件都是充分不必要的。但本次论文并没有把所有的情况都讨论完全，可在此基础上得到更多的关于三次幂等矩阵的线性组合的秩等式成立的充分条件，还可进一步讨论其充分必要条件，也可平行的探讨次幂等矩阵的线性组合的秩等式成立的充分条件和充分必要条件。三个三次幂等矩阵线性组合的研究包括

28、了对于二个三次幂等矩阵线性组合的研究，有兴趣的人可以把定理中的三次幂等两两可交换的条件去掉或弱化掉来考虑问题。致谢本课题在选题及研究过程中都得到了杨忠鹏老师的悉心指导着手课题之初，杨老师为我指点迷津，明确了课题研究的方向和内容；课题研究当中，杨老师关心论文进程，精心点拔，帮助我拓宽思路并鼓励我大胆创新杨老师尽职尽责的精神，一丝不苟的作风，严谨求实的态度，不仅是我在研究该课题的榜样，也将是我一生为人处世的榜样至此，对他表示由衷的感谢数学系的领导和老师为我提供了良好的学习条件，谨向各位同仁表示诚挚敬意和谢忱感谢我的同学四年来对我关心和帮助。参考文献1 J.K. Baksalary, O.M. Ba

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