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1、 编号 莆田学院毕 业 论 文课题名称：关于一类矩阵秩的恒等式猜想的注记系 别 数学系 学生姓名 学 号 专 业 数学与应用数学 年 级 03级 指导教师 2007 年 6 月目 录摘 要IIAbstractIII原创性声明（学生）IV原创性声明（指导老师）V0引言10.1 记号说明10.2 研究现状11 预备知识22 主要定理及证明23 猜想1与猜想2的解决84 猜想的应用9参考文献12致 谢13关于一类矩阵秩的恒等式猜想的注记摘 要采用分块矩阵，初等变换以及数学归纳法，证明了文献1中提出的猜想并对这个猜想进行推广。探讨Sylvester不等式的等号成立问题，从而得到矩阵秩的和与矩阵乘积的秩
2、两者之间的关系。【关键词】分块矩阵 初等变换 矩阵秩The Remark to The Speculation of A Class of Matrix Rank IdentitiesAbstractBy using the block matrix, the elementary transformation as well as the mathematical induction, we had proven the speculation in the literature 1 and generalized the it .We discussed the question that
3、 made the Sylvester inequality be equal, thus obtained the rela- tionship between the sum of the rank of matrix and the rank of the product of matrix.【Key Words】 Block matrix; Elementary transformation; Matrix rank莆田学院学士学位毕业论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集
4、体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。学位毕业设计（论文）作者签名：日期： 年 月 日 莆田学院学士学位毕业论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在本人的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。指导教师签名：日期： 年 月 日0 引言0.1 记号说明本文使用以下记号：表示矩阵的秩；表示矩阵是数域上的阶矩阵；表示矩阵是复数域上的阶矩阵；表示数域上
5、多项式环；表示相应阶数的单位矩阵.0.2 研究现状本文所研究是矩阵秩的恒等式问题。众所周知，Sylvester不等式是矩阵秩的一个著名的结果，在求矩阵秩的相关问题中处于重要的地位，我们感兴趣的是其不等式何时取等号。如果Sylvester不等式能取等号，这将是一个很好的公式。文献1将Sylvester不等式中的矩阵限定为的形式，给出矩阵秩的一些恒等式结果并提出下列猜想：猜想1 设，当满足适当条件时，则猜想2 设且，当满足适当条件时，则其中是关于的多项式。2007年文献2将讨论的数域限制在复数域上，然后利用矩阵的Jordan标准形的性质证明了猜想1是正确的。Jordan标准形是个很好的研究工具，但
6、是它也存在局限性即Jordan标准形仅在复数域中有效。本文讨论的数域将不作限制，采用分块矩阵的性质及初等变换证明猜想1成立，进而证明猜想2亦成立，并对相关的矩阵的恒等式作进一步推广。1 预备知识引理13（著名的Sylvester不等式） 设则引理23 初等方阵从左边乘以矩阵A相当于对A作初等行变换. 初等方阵从右边乘以矩阵A相当于对A作初等列变换. 初等变换不改变矩阵的秩.引理34 设则 则引理42 设 两两可交换,那么当可逆时,引理55 设 ，若且矩阵的特征值全不为，则。2 主要定理及证明定理1 设，,当两两互异时,那么等价于证明 （采用数学归纳法） 当t=2时所以等价于故当t=2时结论成立
7、. 当t=3时， 所以等价于故当t=3结论成立. 假设对所有结论成立，则有等价于于是存在可逆矩阵使得=那么当 时， 由于互不相同，那么多顶式为两两互素。根据带余除法定理6知其中且.（若，则，这与两两互素矛盾）因此，矩阵多项式,. 等价于故所以当 时结论成立。即定理1得证。定理2 设 两两可交换。那么当可逆时, 等价于。其中 证明 证明过程同定理1。3 猜想1与猜想2的解决猜想1 设，,当两两不相同时,则有证明 由定理1可知 由引理3可得，即猜想1得证。注 由此可知猜想1正确性。对猜想1文献2也给出的证明，但文献2讨论的数域仅仅限制在复数域内，而本文对猜想1的讨论可以不受数域限制。猜想2 设且
8、且为两两, 则有，其中是关于的多项式。证明 由猜想1可知，当为两两互异时，不妨设其中因为,所以故其中都是关于的多项式。 所以，猜想2是正确的。4 猜想的应用命题1设， ，若时，必满足的特征值全不为，那么证明不妨设两两互异,而且的特征值全不为。于是矩阵多项式皆为可逆矩阵。由猜想1及引理5可知 由 两式相加得则故有即命题1得证。命题2 设,两两可交换且当可逆时, 证明 由引理3可知由定理2及引理2可知故结论得证。注明 猜想1将不等式中的矩阵限定为的形式, 命题2把不等式中的矩阵推广为的形式。命题3 设,，且互不相同，则证明 令，则由于且互不相同，所以，是两两互素，根据猜想1可知故命题成立。参考文献
9、1 李书超等.一类矩阵秩的恒等式及其推广J.武汉科技大学学报(自然科学版), 2004.3,27(1):9698 2 王廷明等.一类矩阵秩恒等式的证明J.山东大学学报(理工版)J. 2007.2，42（3）:43453 张贤科等.高等代数学M.北京：清华大学出版社,19974 樊恽,钱吉林等.代数学辞典M.武汉：华中师范大学出版社，1994.12 5 姚慕生.高等代数M.上海：复旦大学出版社，2002.86 北京大学数学系几何与代数教研室数学组编.高等代数(第二版)(M).北京:高等教育出版社,1988.37 李师正.高等代数解题方法与技巧M.北京：高等教育出版社，2004.28 方炜.关于矩阵秩的一个不等式的注记J.黄山学院学报，2005.7 ,7（3）：789 蒋永泉.互素多项式在矩阵秩中的应用J.徐州师范大学学报(自然科学版),2004.9,22(3):7173致 谢本文是在杨忠鹏教授悉心指导下完成的。杨教授以其严谨求实的教学态度、高度的敬业精神和孜孜以求的工作作风对我产生重大影响。在论文的选题、资料查询及定稿过程中，给予我无私的帮助和悉心的指导。另外，我还要特别感谢陈梅香老师和林国钦同学他们对这篇论文创作提供了很大的帮助,使我得以顺利完成论文。最后，再次对关心、帮助我的老师和同学表示衷心地感谢。在此我还要感谢数学系所有课任老师,感谢他们四年来的栽培与爱护。
