数学建模论文基于层次分析法与模糊评价的宿舍评估模型.doc

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1、基于层次分析法与模糊评价的宿舍评估模型摘 要本文基于宿舍在学生教育和培养中的重要作用，着重就校舍的建设成本、运行成本、收费标准、人均面积、使用方便、互不干扰、采光和通风、人员疏散和防盗等因素来对其经济性、舒适性、安全性 评判。在选择数据的时候就影响各个因素的次级因素进行了细致的筛选，对于数据的采用二级层次分析法计算指标权重，即通过层次分析法对各个层次的影响因素对上一级因素的影响来确定上一级的权重。再通过运用计算出来的权重，运用模糊数学对各个宿舍的经济性，舒适性，安全性，进行综合评判。关键词:层次分析法、模糊评判、宿舍设计方案 、一、问题的重述和分析学生宿舍事关学生在校期间的生活品质, 直接或间

2、接地影响到学生的生活、学习和健康成长。学生宿舍的优劣主要从使用面积、住宿费用、设施配置和完善的管理四方面评估。如何使学生在低经济负担的情况下住到宽敞、使用方便和安全的宿舍呢？针对此问题，我们初步判断这是一个较复杂的评价模型，而就题目中的四幅设计图进行了指标量化，发现其层次性异常明显，因此优先考虑采用层次分析法来建立数学模型，又考虑到单纯的的层次分析模型去评判宿舍设计的优劣，其中主观因素所占比重较大，可能导致结果偏差过大！因此，决定去除过于主观的看法，而去除主观的看法用模糊评价方法为佳，但其权重难以确定。就权重判断的方法，主要有专家评估法、问卷调查法、层次分析法，而这些方法里面层次分析法是最佳的

3、。故决定引入模糊评判模型，通过多层次分析法来确定权重，再通过对经济性、舒适性、安全性进行模糊评判。这样两个模型的综合使用既降低了多次使用层次分析法带来的主观影响，又克服了多层次的评判弊端。而在进行模糊评价时，考虑到学生和学校考虑的侧重点不同，因此我们分别将经济性侧重于从校方考虑，舒适性和安全性则以学生为主要考虑因素进行了综合评判。二、模型假设1、 使用公用设备期间没有高峰和低谷时期，采用人均占有量来衡量；2、 忽略刮风对宿舍通风差异性的影响；3、 忽略楼的高度对楼的通风采光的影响4、 忽略由于公用设施造成的防盗系数的下降，即功能保持不衰退；5、 宿舍楼内所用公用设备都正常工作且被合理使用；6、

4、 忽略如一楼、顶层带来影响的特殊性，均按一般层之一考虑且楼层高度和所处位置均一致；7、 忽略宿舍的墙体的厚度，直接采用所给面积数据进行整理和运算；三、符号说明:：经济性指标 ：舒适性指标 :安全性指标；：建设成本；：运行成本；：收费标准；：由建房面积、：设备齐全等级；：建房面积、：设备齐全等级、：总人数；：人均面积；：使用方便；：互不干扰；：采光面积；：通风；：人均马桶个数、：人均水龙头个数、：人均沐浴头个数、：其他设施；：人员疏散；：防盗系数；：人均走廊面积、：人均楼梯面积、：楼梯的宽度、：走廊的宽度；：单个宿舍人数、：宿舍间关联个数；四、模型的建立与求解经济性指标：由建设成本、运行成本、收

5、费标准三个因素来评判。 建设成本：由建房面积与设备齐全等级（设备齐全度是用于评判设施成本的重要指标，设备越齐全所投入的设施费用越多）决定。 运行成本：由建房面积、设备齐全等级及总人数决定。由于建房面积管理的难易程度、设备齐全度决定了设施维护费用的多少、总人数越多使管理难度加大，运行费用会相应的增加 收费标准：我们取河北省的规定的收费标准，二人间2400元每生每年，四人间1200元每生每年，六人间800元每生每年，八人间600元每生每年。舒适性：由人均面积、使用方便、互不干扰、采光、通风五个因素评判.人均面积：=总住房面积/总人数 ；使用方便：由人均马桶个数、人均水龙头个数、人均沐浴头个数、其他

6、设施决定。（考虑到其他设施差异过大的特性，其确定时我们采用的原则是存在这项设施则为1，不存在则为0的方法，共计9项） 互不干扰：我们采用寝室之外人均面积，即住房总面积减去楼梯、宿舍的面积后再除以学生总人数。采光面积 ：取各个方向窗户的面积的折算值（向南为1、东西方向为0.6、向北为0.3）与走廊面积的总和；通风：以宿舍阳台（仅宿舍阳台，无其他房间的通风考虑）为参考折算得到宿舍通风的平均面积；安全性由人员疏散与防盗系数两个因素来评判人员疏散：由逃生时的实际情况而确定，人均走廊面积决定楼道人逃生时的面积、人均楼梯面积、楼梯的宽度、走廊的宽度；防盗系数：由单个宿舍人数、宿舍间关联个数决定。以实际情况

7、为例，宿舍总人数越多人员越复杂则防盗系数越低，而宿舍关联的个数越多则盗贼越容易进入作案； 我们对经济性、舒适性、安全性这三个问题的处理。首先，对于经济性的三个主要因素：建设成本、运行成本、收费标准从图纸上找到它们的评判数据，对于收费标准，我们根据河北省收费标准可以得到，但是对于建设成本、运行成本，由于数据的不足，我们无法直观表达，例如：对于建设成本，我们可以直接利用从图纸上得到的建筑总面积和设施的多少来决定，可是面积和设施的比例又无法确定，又不能随便的给一个比值，对于这个问题上我们用层次分析法得到权重，然后再用模糊评判的方法得到四种设计方案在此方面的综合评判，用这个结果作为上一级模糊评判的值。

8、我们利用这个方法解决在解决这个问题是遇到的所有类似的问题。这个就是我们建的模型。一、对我们整理的数据的分层处理首先就评价学生宿舍设计方案的三个主要因素：经济性、舒适性、安全性进行分层。对于经济性：第一层包括三个因素，即；第二层包括5个因素，即，各层因素的实际意义和关系如图1所示。经济性建设成本运行成本收费标准设备齐全等级建房面积设备齐全等级建房面积总人数图1对于舒适性：第一层包括5个因素，即；第二层包括四个因素，即，各层因素的实际意义和关系如图2所示。舒适性马桶个数水龙头个数沐浴间个数其他设施人均面积使用方便互不干扰采光通风图2对于安全性：第一层包括2个因素，即；第二层包括6个因素，即，各层因

9、素的实际意义和关系如图3所示。防盗系数宿舍间关联个数宿舍人数人员疏散人均楼梯面积人均走廊面积楼梯的宽度走廊的宽度安全性图3二、利用层析分析法计算指标权重。（一） 方法原理（1） 构造判断矩阵采用美国运筹教授T.L.Saaty教授提出的19标度发对不同评价指标进行两两比较，构造判断矩阵。此过程将思维数量化，有关19标度法比率标度及其内容见表1。Saaty 的1 9 标度法标度含义1表示两个元素相比具有同样的重要性3表示两个元素相比,前者比后者略微重要5表示两个元素相比,前者比后者明显重要7表示两个元素相比,前者比后者强烈重要9表示两个元素相比,前者比后者极端重要2 、4 、6 、8表示上述相邻判

10、断的中间值以上各数值的倒数若元素i 与j 比较其相对重要性用上述数值之一标度,则因素j 与i 比较用该数值的倒数标度 表1（2） 确定各指标权重求解矩阵的特征根，找出最大特征根及其对应的特征向量，即得到同一层各指标相对于上一层某指标的相对重要性的权重排序。（3） 进行一致性检验用T.L.Saaty的平均随即一致性指标（见表2）对判断矩阵进行一致性检验。求出判断矩阵的一致性指标，然后根据表2中的随机一致性指标，求出随机一致性比率，如果它小于0.1，则认为判断矩阵具有满意的一致性，否则必须重新调整矩阵，直至具有满意的一致性。平均随机一致性指标RI的值n123456789RI000.580.91.1

11、21.241.321.411.45 表2（二） 权重确定步骤（以舒适性中的第一层求解权重为例）（1） 确定判断矩阵 （2） 求解特征向量。根据方根法求解。 计算判断矩阵每一行元素的乘积。 计算的3次方根。 对向量=作归一化或正规化处理，即则既为所求特征向量。（3） 一致性检验。以上特征向量是否就是合理的权重分配，还需要对判断矩阵进行一致性检验。其方法如下：计算判断矩阵的最大特征值。（是矩阵的横向量的个数）式中，表示的第个元素，且。 得一致性检验，检验使用公式： 带入得 表明判断矩阵具有满意的一致性，因此得各个分量可以作为权 重。（三） 各指标权重的确定根据上述方法，可以计算出各指标（包括经济性

12、中的第二层各指标间的权重，舒适性第一、二层各指标的权重，安全性的第一、二层各指标间的权重）的判断矩阵及权重和一致性检验计算结果如表3表9所示，可以看出各判断矩阵具有满意的一致性，说明建立的各指标判断矩阵是有效的。经济性评估A_判断矩阵权重W一致性检验150.8333=2CI=0CR=00.11/510.1667表3经济性评估A_u判断矩阵权重W一致性检验11/340.2628=3.0324 CI=0.0162CR= 0.02790.1317 0.65861/41/710.0786表4舒适性评估B_v判断矩阵vvvvv权重W一致性检验v13420.4711=4.2148CI=0.1234CR=0

13、.07960.1v1/31420.2720v1/41/4110.1064v1/21/2110.1505表5舒适性评估B判断矩阵Bvvvvv权重W一致性检验v11/32570.2618=5.2634CI=0.0658CR=0.05880.1v313680.4694v1/21/31350.1675v1/51/61/311/20.0494v121/5210.0519表6安全性评估C_w判断矩阵wwwww权重W一致性检验w11/41/21/20.1109= 4.2411CI=0.0804CR=0.09030.1w411/230.3473w22120.3732w21/31/210.1686表7安全性评估

14、C_w判断矩阵www权重W一致性检验w11/50.1667=2CI=0CR=00.1w510.8333表8安全性评估C判断矩阵Cww权重W一致性检验w160.8571=2 CI=0CR=00.1w1/610.1429表9三、运用模糊评价法进行综合评价（一）构造模糊评判模型 模糊评判模型主要由因素级、评判级和模糊关系矩阵组成。（1） 因素集()；（2） 评判集模糊等级构成评判集,要和各因素划分等级数相同。（3） 单因素评判 称为单因素评判矩阵（4） 综合评判 选择模糊评判模型，对于权重，可得综合评判： （二）对舒适性进行处理 （1）因素级 （2）评判集 =，分别为四张设计图Design1、Des

15、ign2、Design3、Design4。（对于以下的所有建立的模糊综合评判模型都用这个评判集） （3）建立单因素评判矩阵 首先对因素集进行综合评判，从设计图中得到如下数据： 因素编号马桶数（个/人）水龙头数（个/人）沐浴头数（个/人）其他设施Design 10.04890.10330.04350Design 20.250.340908Design 30.17540.438605Design 40.16670.666701 对每种因素进行归一化得到： 设计图因素Design1Design2Design3Design4马桶0.07630.39000.27360.2601水龙头0.06670.22

16、000.28310.4303沐浴头1.0000000其他设施00.57140.35710.0714 则得到单因素评判矩阵为： 其权重由表4可得： =0.4711，0.2720，0.1064，0.1505 对于模糊模型的选择： 我们认为应该对所有以权重大小均衡兼顾，所以我们选择加权平均模型（，）。 求得综合评判为 =（0.1605，0.3296，0.2597，0.2503）； 再对因素集进行综合评判，从设计图中得到如下数据：因素编号人均面积（人/平方米）使用方便互不干扰采光通风Design 13.20351.3294114.24324.9720Design 26.25005.3107253.02

17、779.076Design 34.48334.6867243.02725.436Design 45.44504.5615243.18702.054 对此数据表中的使用方便因素，用刚得到的综合评价=（0.1605，0.3296，0.2597，0.2503） 为其值。对每种因素归一化得到：设计图因素Design1Design2Design3Design4人均面积0.16530.32250.23130.2809使用方便0.16050.32960.25970.2503互不干扰0.08370.33430.29500.2871采光0.13390.29650.28470.2849通风0.12840.3077

18、0.28660.2773 则得到单因素评判矩阵： 其权重由表6可得：=（0.2618，0.4694，0.1675，0.0494，0.0519）使用加权平均模型（，），求得综合评判为 =0.1459，0.3257，0.2608，0.2676； （四） 对安全性处理（与（三）中相同的处理略去）对因素集进行综合评判，从设计图中得到如下据：号编素因人均走廊面积（人/平方米）人均楼梯面积（人/平方米）走廊的宽度（米）楼梯的宽度（米）Design 10.75390.25132.21.55Design 21.72150.53021.83.6Design 31.89470.60632.80343.6Desig

19、n 42.95910.99642.73.3对每种因素进行归一化得到：素因图计设Design 1Design 2Design 3Design 4人均走廊面积0.10290.23490.25850.4037人均楼梯面积0.10540.22240.25430.4179楼梯的宽度0.23150.18940.29500.2841走廊的宽度0.12860.29880.29880.2739则得到单因素评判矩阵： 其权重由表7可得：=；使用加权平均模型（，），求得综合评判为 =（0.1561，0.2243，0.2774，0.3421）使用处理得到的方式得到： =（0.3500，0.3000，0.2000，0.

20、1500）然后使用得到舒适性的方式得到安全性的综和评判： =（0.1429，0.3000，0.2000，0.3571）（五） 对经济性的处理使用（四）中求的的相同的方法得到，的综合评价为： =（0.1245，0.3476，0.2862，0.2417） =（0.1636，0.3431，0.2718，0.2215）在有建设成本、运行成本、收费标准模糊评判经济性时，我们没有用层次分析的方法得到权重，我们认为在经济性上主观占主要因素，这里我们给出三种情况（权重分别为）：（1）当均衡考虑各因素时，给权重为=（1/3，1/3，1/3），使用得到舒适性的方式得到经济性的综合评判： =（0.1360，0.31

21、02，0.2393，0.3144）（2）当倾向于学生时，给权重=（0.1 ，0.3， 0.6），使用得到舒适性的方式得到经济性的综合评判： =（0.1335，0.2817，0.2062，0.3786）（3）当倾向于校方时，给权重=（0.4 0.4 0.2）时，使用得到舒适性的方式得到经济性的综合评判：=（0.1392，0.3243，0.2552，0.2813）四、模型的推广五、模型的结果及分析六、模型的评价模型的优点 层次分析法与模糊数学在宿舍评估综合应用，可以较大程度上克服评价过程中主观因素过大的影响，通过应用层次分析法可以比较简单的求出权重，对宿舍的各个方面进行评估，全面考虑各个因素的影响

22、，反映各个因素在评价中的重要程度，实例分析表明这种方法是可行的有效地。与一般方法相比，此方法利用层次分析法确定的权重分配更合理，评价结果更可靠，可操作性更强，精度更高，整个评价步骤明确，评判指标量化数据处理部分可以通过编程来实现。 模型的缺点：用模糊分析法求权重的过程中不可避免的会受到主观因素的影响，要想是数据更加精确，可以通过专家打分，层次分析法、模糊评判的方法综合运用，已获得更小误差。还有在模型建立过程中有对一些因素进行忽略的情况，这些因素在一定程度上影响着整个模型的完善性。七、模型的推广此模型可以应用到多级层次评价，能有效的就多层次的问题及权重无法确定的模糊问题进行有效地评价，此模型可以推广到各个领域，如学科水平的评估，管理人员水平的综合评估，参考文献：【1】高治军, 杜嘉，基于层次分析法与模糊评价的学科水平评估，重庆交通学院学报(社科版)2009年9月。【2】常建娥，蒋太立，层次分析法确定权重的研究，武汉理工大学学报信息与管理工程版第29卷，1期。【3】谢季坚，刘承平，模糊数学方法及其应用，华中理工大学出版社，2000年5月。【4】彭放，杨瑞琰，罗文强等，数学建模方法，科学出版社2007年8月。【5】董辰辉，彭雪峰等编著，MATLAB 2008全程指南，电子工业出版社，2009年3月。