《数学与应用数学毕业论文浅谈空间上的幂等算子.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学与应用数学毕业论文浅谈空间上的幂等算子.doc（32页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、摘要幂等算子在算子理论中是具有很多特殊性的一类算子，近年来，许多学者对其进行了研究，并取得一些较好的成果。本文以空间中的幂等算子为主要研究对象。首先，讨论了空间中幂等算子的线性组合的幂等性，并将空间中幂等算子一些结论推广到空间中的幂等算子；其次，在前人所作工作的基础上，进一步讨论了空间中幂等算子的一些基本性质，给出空间中幂等算子的一些等价条件；最后，讨论了空间中幂等算子的谱；并以例题分析的形式说明了幂等算子的应用。本文的讨论虽不够深入，但对泛函分析的进一步学习有积极意义。关键词：幂等元；幂等算子；空间；算子谱；AbstractIdempotent operator is a class ope
2、rator with many special in operator theory, in recent years, many scholars have studied and achieved some good results .In this paper, the main object of study is idempotent operator ofspace. First of all, Discussed the idempotent of linear combinations of the idempotent operator in space , and exte
3、nded some conclusions of idempotent operator in space to space; Secondly, further discussed some basic properties of idempotent operator in space on the basis of previous work, and Given some equivalent conditions; Finally, we discuss the power spectrum of such operators ;and talk about the applicat
4、ions of idempotent operator in the form of examples. Although this discussion is not deep enough, it has positive significance for further study of functional analysis.Keywords: idempotent; idempotent operator; space; spectrum of operator; 目录摘要IABSTRACTII引言1一基本概念1二、空间上的幂等算子线性组合的幂等性4三、空间上的幂等算子10（一）幂等
5、算子的性质及定理10（二）幂等算子的谱16四、幂等算子的等价命题17五、幂等算子的应用23参考文献26谢辞27 引言幂等元是代数中的一个重要概念，也是研究代数结构的重要工具，如在研究线性空间、拓扑空间等代数结构中常常见到幂等元的应用，幂等算子作为特殊的幂等元在算子理论中是最基本的一类算子。借助于幂等算子有些问题会得到简化，算子谱投影、谱分解等一系列理论都建立在幂等算子的基础上。近年来，研究幂等算子问题是一个比较活跃的领域并得到了许多结果，本文仅将空间中的幂等算子一些结论推广到空间，并在前人的基础上讨论了空间中幂等算子的一些基本性质及定理，且经过推理进一步得到一个算子成为幂等算子的充要条件及应用
6、。一基本概念定义1.设是阶矩阵，若,则称为幂等矩阵；一般地，把满足（）的矩阵叫做次幂等矩阵。定义2. 设是实（或复）的线性空间，如果对每个向量,有一个确定的实数，记为与之对应，并且满足：1），且等价于；2）其中为任意实（复）数；3），则称为向量的范数，称按范数成为赋范线性空间。完备的赋范线性空间称为空间。定义3. 设和是两个同为实（或复）的线性空间，是的线性子空间，为到中的映射，如果对任何，及数，成立，则称为到中的线性算子。定义4. 设和是两个赋范线性空间，是的线性子空间到中的线性算子，如果存在常数，使对所有，有，则称是到中的有界线性算子，当=时，称为到中的有界线性算子，简称为有界算子。定义5
7、. 设是空间上的有界线性算子。如果=,则称是（X，）上的幂等算子。一般地，把满足（）的算子叫做次幂等算子。定义6. 设是复线性空间，如果对中任何两个向量,有一复数与之对应，并且满足下列条件：（1），且等价于，；（2），为复数；（3），则称为与的内积，称为内积空间。若按范数完备，则称为空间。定义7. 设是空间到空间中的有界线性算子，存在唯一的，使对任何及，成立则称算子为的伴随算子。定义8. 设是空间到空间中的有界线性算子，若，则称算子为的自伴算子。定义9. 设是空间到空间中的自伴算子，如果，即 ，则称是正算子。定义10. 设是空间，是的闭子空间， 可以唯一地表示成 称是在子空间上的正交投影，简称
8、投影。利用投影，可以定义到上的映射如下：对任一，令，其中是在上的投影，称为到上的投影算子。对算子，如果它的范数1，则称为是压缩的，如果是的一个子空间，则表示的正交补。定义11. 设为空间上的有界线性算子，我们称=.为的零空间，=为的值域。若是双射，这时可以定义从到中的算子：，当。称为的逆算子。定义12. 如果两个幂等算子，满足，则称左垂直或右垂直。定义13. 如果幂等算子左垂直并且也右垂直幂等算子，则称与垂直，记为。定义14. 对的子空间，若， 则称为的不变子空间。二、空间上的幂等算子线性组合的幂等性设是一无限维复可分的空间，表示上的所有有界线性算子。幂等算子的全体是相似不变的.即如果，并且是
9、可逆的，则仍是幂等的。证明：由于，所以是幂等的。通过上面的论述可以看出，如果是一幂等算子，则一定存在一个可逆算子，使得是一个正交投影算子。在空间分解=的条件下，具有如下的算子矩阵形式:,其中是从到的有界线性算子。注意到=,取=，显然是可逆的，且 由此可以看出是一个正交投影算子。首先，我们引入以下引理。引理2.1 设是空间上的有界线性算子，则是正算子的充分必要条件是是上的正算子，是上的正算子，且存在一个从到上的压缩算子，使得=，即 (1)引理2.2 设是一个正算子，如果是算子的不变子空间，则是的约化子空间，也就是说，在空间分解下，具有如下的算子矩阵形式：其中 和是正算子。下面将主要讨论两个幂等算
10、子的线性组合在什么条件下仍保持幂等性，不妨设和是两个幂等算子。由于幂等算子的全体是相似不变的，故我们可以设和中的一个为正交投影。例如，假设是一个正交投影，当然，是一个正算子。在这种情况下，根据引理2.1可知，和关于空间分解具有如下的算子矩阵形式, (2)其中和是正算子，是一个从到上的压缩算子。定理2.1 设,是上的两个不同的非零幂等算子，其中是正交投影，如果，具有如（2）的算子矩阵形式，同时表示形如= (3)的线性组合形式，其中，都不为零，则是幂等的当且仅当下列四种情况之一成立。其中和都不为零。证明: 必要性 若是幂等的，则，计算得 (4)右乘可得 (5)下面分成两种情况进行讨论情形1 假设，
11、则等式（4）可被简化为由于和都不为零，于是,即为第种情况。情形2 假设，则由等式（5）得可以看出是算子的不变子空间。是一个正算子，由引理2.2可知，是算子的约化子空间，因此在空间分解=的条件下，和具有如下的算子矩阵形式, (6)这里的和分别是与上的正交投影。考虑到以及，则我们可以得出=比较上式两边并通过计算可得 (7)假设0，由于0，则由如上条件的第三个等式可得=1.由此根据假设条件0以及（7）式中的第一个等式可以看出，因是正交投影，于是有=1或=-1.如果=1，则=0，于是因此由（7）中第二个等式可得,为第种情况。另一方面，假设=0，则（7）可以简化为如下形式 (8)根据假设条件0以及式子(
12、8)中的第一个等式知，如果=0，则有，于是=1，因此，为第种情况，如果，则由假设及（8）中的第一个等式得注意到以及，故或，如果，则有，于是=0与非零矛盾，如果，则有=，由（8）中第二个等式可得=0，即 ,这与假设和不相同矛盾。充分性：因若则有则，=即=即是幂等的。若，则=，而=所以=，即是幂等的。若，则=，其中，=而=所以= 即是幂等的。若，则其中，=所以=，即是幂等的。证毕。三、空间上的幂等算子以下所论的幂等算子若无特别说明均指空间（，）上的幂等算子。（一）幂等算子的性质及定理性质1. 设为次幂等算子，则的任意正整数次幂也为次幂等算子。证明：设为任意正整数，由，则。性质2. 设是幂等算子，把
13、投影到=上。性质3. 设是幂等算子，的零空间=。证明：=-=0,所以，则，则有所以 =性质4. 设是幂等算子，或者。证明：由算子范数的定义, =，所以，当=0时，性质5. 设是幂等算子，。证明：若，令=则，即若 ，则存在 使性质6. 设是幂等算子，若,则=0。证明：若则且,因是幂等算子，则=,由知=0，所以有=0。性质7. 设是幂等算子，对任意 ，存在 使, 且、 是唯一的。定理3.1：设,是幂等算子，若则证明：若则对任意的都有=,取=,有= =, 取=,有=,而=,从而。充分性显然。定理3.2：若是幂等算子，如果是幂等算子，则=0。证明：若是幂等算子，即,而得，左乘得 再右乘得 即再由知=0
14、。定理3.3 设是幂等算子，若,则=0。证明：由=得，左乘得 再右乘得 即因所以=0下面证由=得，将式子两边左乘得 即 再右乘得 ,即，由式子知。定理3.4 设，是两个幂等算子，则下列条件之一是成为幂等算子的充分条件并且当上述条件之一成立时，有证明：时 下证当1）成立时有对有又因，所以从而，故反之，若则故2）时，对任意的有即若则故反之，若则故时，对任意的有，即 若有,从而,故反之，若则故时，对任意的有，, 即 即 若则故.反之，若则故注：条件2）加上可逆可使1）成为必要条件。证明：时，对任意的有,即。对任意的,因,为幂等算子，则有，即,所以有=。定理3.5 设,是两个幂等算子，则定理3.4中的
15、条件1），2），3）是与同时成为幂等算子的充分条件。证明：若因, 是两个幂等算子，则即是幂等算子。，所以也是幂等的。2）当时，对任意的有， 即 即是幂等算子。,即是幂等算子。时，对任意的有，即,即是幂等算子。定理3.6 设是幂等算子，且满足则也是幂等算子，并且=证明：根据定理3.4有，对任意的有，对有= ,即=定理3.7 设，是一列幂等算子，并且满足 则=也是幂等算子。证明与定理3.6类似。定理3.8 设，是一列幂等算子，并且满足，则存在一个幂等算子。证明：由定理3.6知是幂等的，所以令=即可。定理3.9 设是幂等算子，如果或是幂等算子，则也是幂等算子。证明：如果是幂等算子，则由定理2.5知所
16、以由因此所以是幂等算子。如果是幂等算子，由定理2.5知所以是幂等算子。定理3.10 若是幂等算子，且,则也是幂等的。证明：所以也是幂等的。定理3.11 若是幂等算子，则是幂等算子，且证明：因是幂等算子是幂等算子，对任意存在使，即，即 ，关系 蕴涵了 X 是直和 Ran(P)Ran(I P)。对任意有=0，即,所以综上所述，有定理3.12 设是幂等算子，则是上的幂等算子。证明：因是幂等算子，有=即 .所以是上的幂等算子。（二）幂等算子的谱我们知道空间上的有界线性算子的谱是一个非空的有界闭集，的连续谱为空集。定理3.13 设是空间上的非零算子，则的谱半径证明：由关于谱半径的定理知：而从而于是对任意
17、自然数成立.又因为有界算子，故定理3.14 若是非零的空间上的幂等算子，且则的谱证明：由定理3.13知下面分三种情况讨论：由知存在且，使，故不是一对一的算子，从而其中对任意若则又所以即但故又所以.由此可知于是是可逆的，从而若不是一对一的，则；若是一对一的，且则也有；若是一对一的，且则对任意,存在使,又因.由是一对一的，知，故与矛盾，这说明不可能是一对一且到上。综上有定理3.15 设与分别是非零的空间单位算子与零算子，则结论3.3.1 空间的幂等算子的本征值是0或1。结论3.3.2 若是幂等算子，则其中分别表示对应于本征值1与0的本征子空间。结论3.3.3 若是幂等算子，则四、幂等算子的等价命题
18、定理4.1 设,是两个幂等算子，则=0 证明: 对任意存在使,因=0则,即,故若则对任意的 ,对,从而有,故命题4.1 ,是两个幂等算子，则左垂直。证明：若左垂直，则，所以。若,则对任意的 ,对,从而有,故.定理4.2 若,是两个幂等算子，则。证明： ,是两个幂等算子，且,所以，由此。若，则，所以。定理4.3 设,是两个幂等算子，则+是幂等算子当+是幂等算子时,证明：，所以有 左右分别乘以得 即再由得,从而;即。由有,从而有=所以也是幂等算子。下证对使 反之，对使从而，使 于是：所以综上所述定理4.4 设,是两个幂等算子，则下列条件是等价的：证明：,对任意的有，即对有，使即对，所以,故.定理4
19、.5 若是两个幂等算子，则成为幂等算子且当是幂等算子时证明：是幂等算子，是幂等算子，且也是幂等算子，由定理4.3知：从而有,由定理4.4知等价于,所以成为幂等算子的必要条件是且由可得再由得由此便得：所以也是幂等算子.由于是幂等算子，由定理4.3有而,故有 即 定理4.6 设是幂等算子，如果与同时是幂等算子证明：由定理3.9的证明知如果是幂等算子如果是幂等算子知=如果则 所以与同时是幂等算子.定理4.7 如果,是幂等算子，且满足，则是幂等的充要条件是证明：必要性：如果是幂等的，那么得 =即 =0因为，所以.充分性：从必要性的证明中可以得到如果，那么 =因此是幂等的。引理4.1 设,是幂等算子，则
20、是幂等的。证明：若是幂等的，则通过直接计算得,因此可以得到和,即和，所以可以得到=。由=2,即.若，则= +=,即。引理4.2设是幂等算子，则是幂等的证明：若是幂等的，有,因此=0，有，可得。若，则，即是幂等的。定理4.8 如果两个非零的幂等算子和的差是自伴的，则对于有是幂等的充要条件是下列论述之一是成立的：（1）如果，则；（2）如果和，则；（3）如果和，则；（4）如果和，则。证明：（1）如果，那么，因此根据引理4.2可以得到是幂等的当且仅当。（2）如果和，那么=，因此根据引理4.1可以得到是幂等的当且仅当，又因为，所以。（3）如果和，那么=，因此根据根据引理4.1可以得到是幂等的，当且仅当，
21、又因为，所以。（4）如果和，那么=，因此根据定理4.7可得是幂等的，当且仅当。因为是自伴的，所以=0，因此 。定理4.9 设, 是幂等算子，则与有相同的零空间, 。证明：任意的 ，有=0，乘以后得=0，又因为即得，即,即，同理可证 ，即 =若=对中的任意，构造，因所以，又因为所以由的任意性，故有，同理可证定理4.10 设,是幂等算子，则与有相同的值域=,=。证明：,有，得，同理可得，故与有相同的值域。若，任取,有，故存在，使得，于是 ，由的任意性知=，同理可证=五、幂等算子的应用空间上的幂等算子的性质及运算，可应用于线性代数中有关幂等变换的一类问题，及在逆算子、投影算子与拓扑空间上的应用，以下
22、例子足以说明这一点。例1设是线性空间的两个线性变换，且则有例2 设为线性空间的线性变换，且有,则：及对的线性变换不变的特征值只能是1或0；若用与分别表示对应于特征值1与0的特征子空间，则只有特征值0例3 如果都是幂等算子，证明：（1）是可逆算子，当且仅当和都是可逆算子；（2）是可逆算子，当且仅当和是可逆的。证明：（1）从及中可以得到和都是可逆的，当且仅当是可逆的。（2）从和中可以得到和都是可逆的充要条件是是可逆的。例4 为投影算子的充要条件是：（1）是自伴算子，（2）是幂等算子。证明：必要性：，设，那么，即是自伴算子。故所以= ，即是幂等算子。充分性：令,下证等于到上的投影算子，即证明，为此，
23、先证明是的闭子空间。事实上，即有所以，故。反之，有，所以，故，于是。所以，是的闭子空间其次显然，由于 所以，。故 。即。证毕。以上的例子说明投影算子一定是幂等的，但幂等算子不一定是投影算子。如，设，显然,设=，是一个幂等算子但不是自伴的。定义 设,都是空间的子空间，使,则称与是拓扑互补子空间，称是的拓扑补。注：对于一般的空间，不是关于它的任何子空间都存在与之拓扑互补的子空间，即使是或（）这样好的空间也不行。对于幂等算子，从定义显然,即=。从代数观点看例5 设是空间上的有界线性算子，则是拓扑互补子空间。证明：从的线性和连续性，易知，都是的子空间。若有，则,且0，故=0.可见。对任何,当然有.因是
24、幂等的，所以总之 证毕。 参考文献1 王秀芳.幂等矩阵的性质研究J. 连云港师范高等专科学校学报，2009年9月第3期2 崔新兰.空间上的投影算子及应用J .台州学院学报，2003年6月第25卷第3期3 江泽坚，孙善利.泛函分析M.(第二版) 北京：高等教育出版社，2005年5月.1541604 韩崇昭.应用泛函分析M.北京：清华大学出版社，1990年5月.1161205 朱军辉，程春蕊.幂等矩阵的性质J . 宜宾学院学报，2008年6月第6期 6 宿维军.幂等矩阵与幂等变换J .重庆文理学院学报（自然科学版），2008年4月第27卷第2期7 Conwqy ,J.B.,A Course in
25、Functional AnalysisM,Springer-verlag ,New york,1 9908 Weidmann,J.,Lineav operators in Hilbert SpaceM Springer-verlag ,New york,19809 葛锁网.应用泛函分析基础M.北京：高等教育出版社，1990年10月.17017410 程其襄，张奠宙，魏国强，胡善文，王漱石.实变函数与泛函分析基础M.(第二版), 北京：高等教育出版社，2003.241246 11 杨闻起.k次幂等变换与k次幂等矩阵J .宝鸡文理学院学报（自然科学版），2008年12月第28卷第4期12 陈艳妮.
26、幂等算子线性组合的幂等性J .数学学报，2007年9月第50卷第5期13王鄂芳，石生明.高等代数M. (第三版) 北京：高等教育出版社，2003年7月.273327 谢辞 本文是在导师徐秀娟老师的悉心指导和帮助下完成的，徐老师一直严格认真的指导我，无私的帮助我，让我克服学习和生活上的困难，学到了很多东西，她严谨的治学精神使我受益颇深，一丝不苟的工作态度是我学习的榜样。没有徐老师的关怀、指导就没有本文的完成，在此表示由衷的感谢。 感谢我的母校河北联合大学四年来对我的教育与培养，感谢理学院的各位老师对我的帮助，同时我还要感谢与我一起写论文的同学们，正是在平时的探讨与学习中我们共同提高、共同进步，才使我加深了对知识的理解并最终完成了论文。而且他们给予我学习和生活上许多关怀和帮助。 最后，我还要衷心的感谢我的家人多年来一直给予我的支持与鼓励。
