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1、正交矩阵及其应用The orthogonal matrix and its applicalion 专 业: 数学与应用数学作者: 指导老师: 学校二一 摘 要正交矩阵是数学研究中的一类重要的工具, 它的应用非常广泛. 本文从以下主要例举了正交矩阵的三大应用: 正交矩阵在线性代数中的应用、正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用、正交矩阵在物理中的应用. 关键词: 矩阵; 正交矩阵; 标准正交基; 集合; 特征根; 行列式AbstractOrthogonal matrix is the mathematical study of an important class of tools, it is w
2、idely used. This article cites the following main four orthogonal matrix applications :orthogonal matrix in linear algebra, Orthogonal matrix topology and Modem Algebra, orthogonal matrix the application of physics.Keywords: matrix; orthogonal matrix; orthonormal basis; a collection of eigenvalues;
3、determinant目 录摘 要IAbstractII0 引言11 正交矩阵的定义及其简单性质11.1 正交矩阵的定义及其判定11.2 正交矩阵的性质12 正交矩阵的应用22.1 正交矩阵在线性代数中的应用2 2.2 正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用82.3 正交矩阵在物理中的作用11参考文献150 引言正交矩阵是一类重要的实方阵, 由于它的一些特殊性质, 使得它在不同的领域都有着广泛的应用, 也推动了其它学科的发展. 本文从正交矩阵的定义以及其性质入手, 来探讨它的四大应用即: 正交矩阵在线性代数中的应用、正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用、正交矩阵在物理中的应用. 1 正交矩阵的定义及其简
4、单性质1.1 正交矩阵的的定义及其判定定义1.11 阶实矩阵, 若满足, 则称为正交矩阵.判定1 为正交矩阵.判定2 为正交矩阵.判定3 为正交矩阵.1.2 正交矩阵的性质设为正交矩阵, 它有如下性质:性质15 , 存在, 并且也为正交矩阵;性质25 ,也是正交矩阵;当时, , 即;当时. , 即.性质35 若也是正交矩阵, 则都为正交矩阵.证明 性质1 显然, 所以也是正交矩阵. 性质2 , 显然为正交矩阵.由,当时, , 即;当时, , 即;所以为正交矩阵.性质3 由可知,故为正交矩阵. 由性质1, 性质2推知均为正交矩阵.正交矩阵的性质主要有以上几点, 还有例如它的特征值的模为1, 且属
5、于不同特征值的特征向量相互正交; 如果是它的特征值, 那么也是它的特征值, 另外正交矩阵可以对角化, 即存在复可逆矩阵, 使其中为的全部特征值, 即. 这些性质这里就不再证明了.2 正交矩阵的应用2.1 正交矩阵在线性代数中的应用在正交矩阵中,有一类初等旋转矩阵,我们也称它为Givens矩阵. 这里, 我们将利用正交矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积, 给出化欧空间的一组基为标准正交基的另一种方法. 设向量 , 令, 则称阶矩阵 i列 j列为初等旋转矩阵.初等旋转矩阵, 是由向量的第两个元素定义的, 与单位矩阵只在第行和第列相应的四个元素上有差别.设是由向量定义的初等旋转矩阵, 则有如下的性
6、质: 是正交矩阵; 设, 则有; 用左乘任一矩阵,只改变的第行和行元素（用右乘任一矩阵,只改变的第列和列元素）. 证明 , 故, 是正交矩阵. 由得定义知, 用左乘向量, 只改变的第两个元素, 且所以左乘, 使的第个分量非负, 第个分量为0, 其余分量不变. 根据 及矩阵乘法即可以得出结论. 引理 2.1.17 任何阶实非奇异矩阵, 可通过左连乘初等旋转矩阵化为上三角矩阵, 且其对角线元素除最后一个外都是正的.定理 2.1.17 设是阶正交矩阵 若, 则可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积, 即; 若, 则可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵, 即, 其中是初等旋转矩阵.证明 由于是阶正
7、交矩阵, 根据引理1知存在初等旋转矩阵使这里是阶上三角阵, 而且得对角线上的元素除最后一个外都是正的, 所以有 (2.1)由是正交矩阵和(2.1)式得 即 (2.2)设 其中,则由上式得所以 (2.3)于是由(2.1)(2.3)式得 当时, ; 当时, .记, 是初等旋转矩阵, 故定理1结论成立.引理 2.1.27 设, 秩, 则可以通过左连乘初等旋转矩阵, 把变为的形式, 其中是阶上三角阵, 是矩阵.证明 由引理2知, 其中是阶正交矩阵, 是阶上三角阵, 又根据定理1知:其中是初等旋转矩阵. 当时, 令 当时, 于是有显然, 是阶上三角阵, 当时与除最后一行对应元素绝对值相等、符号相反外,
8、其余元素对应相等. 当时, 所以由、知本定理的结论成立.设是欧式空间的子空间的一组基, 记是秩为的矩阵.若满足定理2的条件, 则存在初等旋转矩阵使 (2.4)且所以 (2.5)由(2.4)、(2.5)两式知, 对做同样的旋转变换, 在把化为的同时, 就将化成了, 而的前个列向量属于子空间.综上所述可得化欧式空间的子空间的一组基:为一组标准正交基德方法为: 由已知基为列向量构成矩阵; 对矩阵施行初等旋转变换, 化为, 同时就被化为正交矩阵, 这里是阶上三角阵; 取的前个列向量便可得的一组标准正交基.显然, 上述方法是求子空间的一组标准正交基的另一种方法.下面, 我们通过实例说明此方法的应用.例
9、2.1.1 求以向量为基的向量空间的一组标准正交基.解 矩阵对分块矩阵依次左乘, 其中得则取则就是由得到的的一组标准正交基.2.2 正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用全体阶正交矩阵作成的集合, 记为, 从代数和拓扑的角度来看, 我们可以证明它构成一拓扑群, 并且进一步证明它是不连通的紧致lie群.(1) 构成拓扑群在证明构成拓扑群之前, 先介绍一下相关的概念. 定义 2.2.13 设是任一集合, 是的子集构成的子集族, 且满足:1、 结合与空集属于;2、 中任意个集的并集属于;3、 中任意有穷个集的交集属于;称是上的一个拓扑, 集合上定义了拓扑, 称是一个拓扑空间.定义 2.2.23 如果是一个
10、拓扑空间, 兵赋予群的机构, 使得群的乘法运算 ;求逆运算 ;是连续映射, 就称为拓扑群.根据上面的定义, 我们分三步来实现证明全体阶正交矩阵作成的集合构成拓扑群. 全体阶正交矩阵作成的集合构成一拓扑空间. 全体阶正交矩阵作成的集合构成一群. 全体阶正交矩阵作成的集合构成一拓扑群.证明 设表示所有具有实元素的阶矩阵作成的集合, 以表示的一个代表元素. 我们可以把等同于维欧氏空间, 也就是将对应于的点.是点集的子集族, 则和都属于,中任意个集的并集属于,中有穷个集的交集也属于, 可以验证构成一拓扑空间, 从而成为一拓扑空间. 是所有实元素的阶正交矩阵, 所以是的子集合, 于是由的拓扑可以诱导出这
11、个子集合的拓扑, 从而构成的一个子拓扑空间. 10 由于矩阵的乘法满足集合律, 所以 20 30 所以正交矩阵作成的集合对于乘法运算可构成一群. 对于中的拓扑空间的拓扑, 定义矩阵乘法设, 则乘积的个元素是现在具有乘积空间(个因子)的拓扑, 对于任何满足的, 我们有投影映射, 将和的乘积映为它的第个元素. 现在是和的元素的多项式, 因此连续, 投影映射是连续的,从而证明映射是连续的. 因为具有的子空间拓扑, 是的一个子拓扑空间,且由正交矩阵的性质及上面的讨论知, 映射也是连续的.中的矩阵可逆,定义求逆映射,. 由于合成映射, 将映为的第个元素, 由正交矩阵的性质, , 所以, 即, 的行列式及
12、的代数余子式都是内元素的多项式, 且, 所以为连续的, 而投影映射为连续的, 所以求逆映射为连续的.至此, 又是一个拓扑空间,并且构成群, 对群的乘法与求逆运算都是拓扑空间的连续映射, 因而所有阶正交矩阵作成的集合构成一拓扑群, 称它为正交群.(2) 是紧致lie群在证明之前我们知道以下有关的定义和定理.定义 2.2.34 设为拓扑群, 的拓扑为维实(或复)解析流形, 且映射 为解析流形到上的解析映射, 则称为维lie群.定理 2.2.14 欧氏空间内的有界闭集是紧致子集.证明 (所有具有实元素的阶矩阵作成的集合), 对应维欧氏空间的点,可作为维欧氏空间. 的行列式为元素的解析函数, 为中的开
13、子集. 这时, 按诱导拓扑可以知道为解析流形, 且关于矩阵的乘法和求逆运算均解析, 故为维lie群. 为的闭子集, 按诱导拓扑为子流形, 为lie群.为了证明紧致, 根据定理内容, 只要证明等同于时, 相当于内的有界闭集. 设, 由于有 对于任意的,定义映射 则为系列各集合的交集 由于都是连续映射, 所以上述每个集合都是闭集. 因此是的有界闭集, 这就证明了的紧致性.在拓扑结构上是紧致的lie群, 我们称为紧lie群, 所以是紧lie群.(3) 是不连通的定义 2.2.43 设是一个拓扑空间, 中存在着两个非空的闭子集和, 使和成立, 则称是不连通的.证明 我们再设是所有行列式为1的正交矩阵构
14、成的集合, 为所有行列式为-1的正交矩阵构成的集合. 因为是连续映射, 而我们知道单点集是的闭集, 在连续映射下, 任何一个闭集的原象也是闭集, 所以也为闭集,为的闭集, 同理, 我们也可以证明是闭集, 因为 ,而和是闭集, 有不连通的定义我们可以直接证明是不连通的.2.3 正交矩阵在物理中的应用任意刚体运动都对应一个正交矩阵, 三维空间一条曲线经过刚体运动, 其曲率和挠率是不变的, 称它们为运动不变量. 下面, 我们来考察曲线作刚体运动时的量.设曲线与曲线只差一个运动, 从曲线到曲线的变换为 (2.6)其中是三阶正交矩阵, 是常数.对(2.6)两边求n阶导数得从而有 (2.7)因为A是正交矩
15、阵, 所以也有 (2.8)另一方面, 由一阶, 二阶, 三阶导数, 可作成矩阵两边取行列式, 由得现在取可类似地讨论.因为 (2.9) (2.10)(2.7)代入(2.9)的右边得 （2.11）因(2.9)与(2.10)右边相等, 有(2.10)右边与(2.11)式右边相等得由正交矩阵的性质2知, 且由将上面三式左右分别平方相加=+=写成矢函数, 即得于是我们可推得这里的分别是曲线的曲率与挠率.致谢 本文是在 的指导和帮助下完成的, 在此对汪老师表示衷心的感谢!参考文献1 张凯院, 徐仲矩阵论同步学习辅导M. 西安: 西北工业大学出版社, 2002. 10160-1642 赵大成等物质机构M人
16、民教育出版社 1982.9 219-2263 熊金城. 点集拓扑讲义M. 高等教育出版社, 1998.5 110-111, 193-195 4 严志达等. Lie群及其lie代数M. 高等教育出版社, 1985.10 16-17 5 戴立辉. 正交矩阵的若干性质M. 华东地质学院学报, 2002.9 第25卷第31期 267-2686 刘钊南正交矩阵的作用M. 湘潭师范学院学报, 198711-167 刘国志. 欧氏空间子空间的标准正交基德全新方法Givens变换法J. 抚顺石油学院学报, 1996.3 16卷1期 78-81 8 张焕玲. 一种求欧氏空间子空间的标准正交基的新方法J.山东科学
17、,1996.3 9卷1期 14-16 9 陈少白. 空间曲线的刚体运动基不变量J. 武汉科技大学学报, 2003.12 26卷4期 424-42610 Fuzhen zhang, Matrix Theory, Springer, 1999.11 Horn R A, Johnson C R. 1989. Matrix Analysis(矩阵分析), 杨奇. 天津:天津大学出版社12 D J Field What is the goal of sensory coding？4(1994).13 M Heiler. C Schnorr Learning sparse representations by non-negative matrix factorization Matrix factorization and sequential cone programming7 (2006).
