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1、潍坊学院数学与信息科学学院数学建模实训论文实训题目：列车餐饮价格问题学生姓名、专业、班级：1、信息与计算科学 2008级1班2、 信息与计算科学 2008级1班3、 信息与计算科学 2008级1班指导教师： 2010年12月目录摘要2一、问题重述3二、问题分析3三、问题假设3四、符号说明3五、模型建立与求解451模型一：452模型二：6六、模型分析9七、参考文献10八、附录1081 附录一：1082 附录二：10摘要本文通过分析火车上盒饭和方便面的销售情况，对实际火车上快餐销售进行摸拟，根据价格与销售量的关系，运用供求理论建立微分方程模型，求解微分方程，从理论上求解出盒饭和方便面的销售量与价格
2、之间的函数关系。再利用数学公式：效益 销售量单价，计算出火车快餐销售的最大利润。对于本题，先找出盒饭和方便面销售量与价格之间的函数关系。设和分别为价格上涨时，盒饭和方便面的销售量减少率，和是盒饭和方便面的成本价，根据微分方程模型，得到盒饭销售量与价格的函数关系：，同理，亦可得出方便面销售量与价格的函数关系：。故总收入为： 由于盒饭和方便面的销售量减少率和是未知的，首先假设和是固定值，可以根据总收入的函数公式求出一个最大利润。而根据实际情况，价格较低时，销售量减少率较小；然后随着价格的增大，销售量减少率也增大，直到价格增大到一定程度时，销售量减少率趋于稳定，由此利用一个分段函数表示出价格与销售量
3、减少率之间的关系。根据该分段函数与总收入的函数，最终确定收入和价格的函数关系：，从而得出合适的盒饭价格为12元，方便面价格为4.8元，最大利润为310.7元。关键词：火车快餐、微分方程、供求理论、销售量减少率一、问题重述长途列车由于时间漫长，列车需要为旅客提供一天三餐。由于火车上各方面的成本高，因此车上食物的价格也略高。T238次哈尔滨到广州的列车，每天早餐为一碗粥、一个鸡蛋及些许咸菜，价格10元；中午及晚上为盒饭，价格一律15元。由于价格偏贵，乘客一般自带食品如方便面、面包等。而且列车容量有限，因此提供的用餐量及食品也是有限的，适当提高价格是正常的，但不能高得过头。假如车上有乘客1000人，
4、其中500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人；另外，车上还可提供每餐100人的方便面。根据实际情况设计一个价格方案，使列车在用餐销售上效益最大。二、问题分析根据需求的定义以及我们自然的认识，商品价格越低，人们的需求量越大，因此，我们可以把需求函数近似的看做向右下方倾斜的曲线，也就是价格与需求量之间存在着反向变动的关系，即，在其他条件不变的情况下，需求量随着价格的上升而减少，随着价格的下降而增加。火车提供快餐只是火车的次营业务，因此火车运行商不可能把精力都投放到快餐的供给上来，而且火车车厢容量有限，这样火车快餐供给量基本上是稳定的。但是火车乘客的数量较大，他们对快餐的需求量大大
5、超过了火车快餐的供给量。这样在市场价格情况下，就造成了火车快餐的供不应求。人们对火车快餐的需求量大于其供给量，如果火车快餐保持原价的话，就会出现争抢的局面，而且不利于火车运营商获取超额利润。在这种情况下，火车运营商一方面为了获取超额利润，另一方面为了火车平安稳定的运行，他都要将价格提高。随着价格的慢慢提高，从收入低的旅客们开始慢慢地减少对火车快餐的需求。火车快餐价格提的越高，人们的需求量越小，直到达到供给与需求的均衡点，这样就造成了火车上快餐的价格远远的高于市场上快餐的价格。而选择消费火车快餐的群体一般是那些收入较高或中等收入的群体。三、问题假设1、 列车上每餐只提供盒饭和方便面两种食物。2、
6、 每位乘客每餐只需要一盒盒饭或一袋方便面。3、 火车快餐每餐的成本是固定不变的。四、符号说明单个盒饭的价格单袋方便面的价格盒饭价格上涨时，销售量减少率方便面价格上涨时，销售量减少率盒饭价格为时，每餐盒饭销售量方便面价格为时，每餐方便面销售量总收入固定成本五、模型建立与求解51模型一：因为在火车上，餐饮量不会受到外界太多影响，所以每餐的餐饮销售量不会有太大偏差，所以只考虑一顿饭的总收入；且每餐成本稳定为，这样要求最大收益只需考虑一顿饭的最大收入即可。1、首先找出销售量与价格之间的函数关系：当盒饭的价格由上涨到时，销售量的减少量为 对上式整理得： 当为盒饭成本价时，因为此时需求量大于供应量，故而所
7、有的盒饭都卖光，此时，于是建立方程组：解方程组（1.3）得盒饭销售量与价格之间的函数关系：大体图像如下： 图1盒饭价格与销售量的关系同理，可以求得方便面销售量与价格之间的关系：当为方便面成本价时，于是有：上式的图像大致为：图2 方便面价格与销售量的关系注：（1.4）和（1.6）式中的和分别表示盒饭和方便面的成本价，在此假设，。则固定成本。2、求出销售量与价格之间的函数关系后再求一顿饭的总收入。总收入=价格销售量将（1.4）和（1.6）式代入（1.7）式得：要想求总收入的最大值可以分别求出盒饭、方便面的收入最大值和。对（1.9）和（1.10）式分别求收入对价格的导数：时；时当时，则单调递增；当时
8、，则单调递减，所以时达到最大点。同理时达到最大点。由此要确定最大收入，就要知道销售量减少率，求列车快餐的最大收入，可以运用调查问卷的形式来确定销售量减少率和的值。例如：若盒饭销售量减少率，则制定盒饭价格，此时盒饭收入最大元；同样方便面销售量减少率，则制定方便面价格，此时方便面收入最大元。最大利润=最大收入-固定成本，得最大利润=2923-=2923-2300=623元。52模型二：由（1.9）和（1.10）式知总收入与快餐的价格及减少率有关。因为不同的消费者对于商品价格的承受能力是不同的，即不同的价格对应的销售量减少率是不同的。所以下面讨论价格与减少率之间的关系。要确定价格上涨时对销售量减少率
9、的影响，就要考虑消费者的需求和购买行为及价格上涨时消费者的承受能力。由于价格较低时，可以承受的消费者人数较多，此时减少率较小；而当价格慢慢上升超出大部分消费者承受价格的范围，人数减少的速度增快，即减少率增大；当价格增大到一定程度时，所能消费者的承受能力基本稳定，减少率趋于稳定。根据分析可画出减少率与价格的大致图像： 图3价格与减少率的关系假设价格与减少率之间存在函数关系：根据实际假设当盒饭价格为成本价时，盒饭全部卖出，则盒饭的销售量减少率;当盒饭价格时，减少率达到最大值；当时，将稳定不再发生变化，如下图：图4 盒饭价格与减少率的关系从而得,所以同样假设当方便面价格为成本价时，方便面全部卖出，则
10、方便面的销售量减少率；当方便面价格时，减少率达到最大；当时，将稳定不再发生变化，如下图：图5 方便面价格与减少率的关系从而得：， 所以将（2.1）式代入（1.9）式得： 将（2.2）式代入（1.10）得：对求导，当时 取得极值。运用MALAB软件（程序详见附录一）画出盒饭总收入与价格曲线： 图6 盒饭总收入与价格的关系由图知时取得最大值，即将盒饭价格定为12元时，总收入取得最大值为2215.5元。同理对求导，当时取得极值。运用MALAB软件（程序详见附录二）画出方便面总收入与价格曲线： 图7 方便面总收入与价格的关系由图知时取得最大值，即将方便面价格定为4.8元时，总收入取得最大值为：395.
11、2元。总收入，最大利润元。六、模型分析 模型一是通过建立微分方程得到价格与销售量之间的关系，再根据收入=价格销售量，得到收入与销售量减少率及价格之间的函数关系。该模型的销售量减少率假设为稳定值，可以通过市场调查得出。该模型简单扼要，容易理解，但没有考虑到销售量减少率可能会随着价格的变动而改变。模型二考虑了该因素，进而对模型一进行改进，先求出销售量减少率与价格的变动关系，然后将减少率函数代回模型一，得出总收入与价格的函数关系。模型二较复杂，计算量比较大。整体模型没有考虑到对没有卖出的快餐进行降价销售的情况，而且也没考虑到火车上还提供其他的食物。七、参考文献1罗守权、卓岩.经济学原理.北京：首都经
12、济贸易大学出版社，2004，第一版2高希均、林祖嘉.经济学的世界.北京：生活.读书.3陈仲常、蒲艳萍.经济学理论与实践.重庆大学出版社.2002，第一版八、附录81 附录一：c=10:0.1:40;W11=200.*c.*exp(0.02.*c-0.2).*(10-c);W12=200.*c.*exp(0.2.*(10-c);W1=(c10).*W11+(c20&c40).*W12;plot(c,W1)82 附录二：c=3:0.1:20;W21=100.*c.*exp(0.06.*c-0.18).*(3-c);W22=100.*c.*exp(0.36.*(3-c);W2=(c=3).*W21+(c9&c20).*W22;plot(c,W2)
