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1、目录第一章：绪论- 31.1 随机变量-31.2 离散型随机变量及其分布-31.3 连续型随机变量及其分布-4第二章：常见离散型分布及其应用-4 2.1 0-1分布及其应用- -4 2.2 几何分布及其应用-5 2.3 二项分布及其应用-6 2.4 泊松分布及其应用-7第三章：常见连续型分布及其应用-11 3.1 均匀分布及其应用-11 3.2 指数分布及其应用-12 3.3 正态分布及其应用-13参考文献-23常见分布的性质及其应用 张久恩，数学计算机学院 摘 要：在概率论领域里，我们研究的概率分布大体分为两种：离散型概率分布和连续性概率分布。常见的离散型的概率分布有四种-两点分布或（0-1
2、）分布， 几何分布，二项分布以及泊松分布。而常见的连续性概率分布有三种-均匀分布，指数分布，正态分布。这七种常见的概率分布使我们学习概率论的最基本最常见的分布。而这七种分布之间也有相互的联系。两点分布即是一种特殊的二项分布；二项分布在n趋向时近似泊松分布；泊松分布和二项分布在n趋向时也服从正态分布。这七种概率分布因其基础性与常见性，因而在实际生活中应用广泛，特别是工程，医药，财经等领域。 本文先是介绍了一些基本的概率知识，用集合的方法定义一些概率的概念。然后介绍两大类概念分布-离散型概率分布和连续性概率分布。紧接着着重学习研究了上面提到的七种概率分布：（0-1）分布，几何分布，二项分布，泊松分
3、布，均匀分布，指数分布，正态分布及其应用。而正态分布又是我们最为常见研究最多应用最为广泛的概率分布。关键词：离散型概率分布；连续性概率分布；(0-1）分布；几何分布；二项分布；泊松分布；均匀分布；指数分布；正态分布；The quality and application of common probability distributionZhangJiuEn，Mathematics and applied mathematicsAbstract： The distributions which we study in the fields of possibility apparently c
4、lassify as two rates: The discrete distribution and continuous distribution. While two-points distribution or (0-1) distribution, geometric distribution, binominal distribution and poisson distribution are the common four kinds of discrete distributions. And the uniform distribution ,exponential dis
5、tribution and normal distribution are the common three kinds of continuous distributions .These seven types of distributions are the most basic and common distribution we have learned. Whats more ,there is some relation among these distributions. For instance, two-points distribution is a special ty
6、pe of binomial distribution; and binomial distribution similar to poisson distribution when n tends to ; besides, poisson and binomial distribution similar to the normal distribution when n tends to . These seven kinds of distribution are applied widely in the daily life, especially in the fields of
7、 engineering and medicine and finance, due to their fundamental and common quality. We introduce some basic knowledges of possibility firstly, define some concepts of possibility with the methods of set. And then we introduce the two types of possibility distributiondiscrete distribution and continu
8、ous distribution. Lastly, we focus on the study of the seven kinds of distributions discussed above. And the normal distribution is the distribution we study and applied mostly,and also the most commom one. Key words : Discrete Distribution；Continuous Distribution; Two-points Distribution; Geometric
9、 Distribution; Binomial Distribution; Poisson Distribution; Uniform Distribution; Exponential Distribution; Normal Distribution. 第一章 绪论1.1随机变量 在概率论领域里，我们应用集合的相关知识来定义随机变量。首先对一些随机试验，它们的结果可以用数来表示。我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S，样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点。 定义1.1 设随机试验的样本空间为S=e，X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数，且对任意实数
10、x,集合eX(e)x有确定的概率。称X=X(e)为随机变量。 由此可知，随机变量不过是实验结果即样本点和是实验之间的一个对应关系。这与数学分析中熟知的“函数”概念本质是一回事。只不过在函数概念中，函数f(x)的自变量是实数x，而在随机变量的概念中，随机变量X(w)的自变量是样本点w.因为对每一个实验结果w，都有实数X（w）与之对应，所以X（w）的定义域是样本空间，值域即实数轴。1.2离散型随机变量及其分布 本节我们先介绍离散型随便变量及其分布。 定义1.2 定义在样本空间上，取值于实数域上R,且之取有限个或可列个值的变量X=X(w)，称作是一维（实值）离散型随机变量，简称为离散型随机变量。 设
11、离散型随机变量X所有可能值为Xk(k=1,2,),X取各个可能值的概率，即事件X=Xk的概率，为PX=Xk=Pk，k=1,2, (2.2)由概率的定义，Pk满足如下两个条件：（1） Pk0,k=1,2,(2) k=1 我们称（2.2）式为离散型随机变量X的分布律。分布律也可以用表格的形式来表示：XX1X2XnPkP1P2Pn 常见的较重要的离散型随机变量有四种：（0-1）分布，几何分布，二项分布，泊松分布。我们将在下章详尽介绍。定义2.2 设X是一个随机变量，X是任意实数，函数F（x）=PXx,-x。称为X的分布函数。对任意实数x1,x2(x1x2),有Px1Xx2=F(x2)-F(x1)。如
12、果将X看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数 F（x）在X处的函数值就表示X落在区间（-，x】上的概率。 分布函数F(x)具有以下的基本性质：（1） F(x)是一个不减函数，事实上，易知对任意实数x1,x2(x1x2)有F(x2)-F(x1)=Px1Xx20 (2) 0F(x)1, 且F(-)=0 F()=11.3 连续型随机变量及其分布在上节中，已经对离散型随机变量作了一些介绍，下面接着介绍另一种随机变量连续型随机变量。定义3.1 若X（w）是随机变量，F（x）是它的分布函数，如果存在函数P（x），使对任意的x有 F（x）=dy则称X（w）为连续型随机变量，相应的F(x)为连续型分布函数
13、，同时称P(x)是F（x）的概率密度函数或简称密度。由分布函数的性质即可验证任一连续型分布的密度函数P（x）必具有下述性质：（1）P（x）0; (2)dx=1。反过来，任意一个R上的函数P（x），如果具有以上两个性质，即可定义一个分布函数F(x)。常见的连续型随机变量有三种：均匀分布，指数分布，正态分布。我们将在第三章着重研究。 第二章 常见离散型分布及其应用 2.1 （0-1）分布及其应用 设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是 PX=k=pk*(1-p)1-k,k=0,1 (0p0,有PXs+tXs=PXt。事实上，PXs+tXs=P(Xs+t)(Xs)/PXs =PXs+t/PX
14、s=1-F(s+t)/1-F(s)=/ =PXt。这个性质被称为无记忆性。如果X是某一元件的寿命，那么无记忆性表明：已知元件已使用了了s小时，它总共能使用至少s+t小时的条件概率，与从开始使用时算起它至少能使用t小时的概率相等。这即是说，元件对它已使用过s小时没有记忆。具有这一性质是指数分布有广泛应用的重要原因。指数分布常用来描述“寿命”类随机变量的分布，例如家电使用寿命，动植物寿命，电话问题里的通话时间等等。 “寿命”类分布的方差非常大，以致于已经使用的时间是可以忽略不计的。 例如有一种电池标称可以充放电500次（平均寿命），但实际上，很多充放电次数数倍于500次的电池仍然在正常使用，也用很
15、多电池没有使用几次就坏了这是正常的，不是厂方欺骗你，是因为方差太大的缘故。随机取一节电池，求它还能继续使用300次的概率，我们认为与这节电池是否使用过与曾经使用过多少次是没有关系的。 有人戏称服从指数分布的随机变量是“永远年轻的”，一个60岁的老人与一个刚出生的婴儿，他们能够再活十年的概率是相等的，你相信吗？如果人的寿命确实是服从指数分布的话，回答是肯定的。指数分布在可靠性理论与排队论中有广泛的应用。如单位时间内接到电话的呼唤次数、来到公共汽车站的乘客数、来到机场降落的飞机数等在数学（排队论）中称它们是“泊松流”。以机场跑道为例，在到了一架飞机以后，这条跑道就空闲着等待下一架飞机的到来，这段空
16、闲着的时间称为“等待时间”，它的长短是随机的。在公共事业（公共汽车、飞机场等）的设计与规划中，这个“等待时间”太长或太短都是不合理的，因而有必要研究这个“等待时间”的统计规律。下面来说明这个“等待时间”服从指数分布。假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数X服从参数为的泊松分布，求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布。解： 当t 0时由于T是非负随机变量，故 F（t）=PT0=0当t0时，由于事件Tt(t长度的时间间隔内没有发生故障)与事件X=0等价，故 F（t）=PTt=1-PTt=1-PX=0=1-即 F(t)=PTt=于是T服从参数为的指数分布E（）。即“等待时间”服从指数分布。
17、3.3 正态分布及其应用normal distribution 正态分布1若连续型随机变量X的概率密度为 f(x)=/ -，其中为常数，则称X服从参数为的正态分布 或高斯分布，记为XN（2）2 正态分布是概率统计中最重要的一种分布，其重要性我们可以从以下两方面来理解：一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布。一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布。 3标准正态曲线N（0，1）是一种特殊的正态分布曲线，以及标准正态总体在任一区间(a，b)内取值概率 。 由于一般的正态总体 其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体 ，其取值小于x的概率
18、。只要会用它求正态总体 在某个特定区间的概率即可。 4正态分布的数学期望为2其图像特征为在均数处最高以均数为中心，两端对称永远不与x轴相交的钟型曲线有两个参数：均数位置参数， 标准差形状（变异度）参数。正态曲线下的面积分布有一定规律正态分布具有可加性5正态分布是具有两个参数和2的连续型随机变量的分布，第一参数是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(，2 )。 服从正态分布的随机变量的概率规律为取与邻近的值的概率大 ，而取离越远的值的概率越小；越小，分布越集中在附近，越大，分布越分散。正态分布的密度函数的特点是：关于对称，在处达到最大值，在正（负）无穷
19、远处取值为0，在处有拐点。它的形状是中间高两边低 ，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。当=0，2 =1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。6由中心极限定理我们可知：正态分布是二项分布，poisson分布的极限。例如列维-林德伯格中心极限定理指出：设随机变量X1，X2，Xn相互独立同分布，且数学期望和方差存在：E（Xk）=，D（Xk）=20(k=1,2,),则对任意实数x，恒有：=其中是标准正态分布函数。 7正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况
20、下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）。从理论上看，正态分布具有很多良好的性质 ，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等。 又例如在著名的期权定价公式Black-Scholes模型中期权现值公式为C=SN(d1)-EN(d2)。其中d1=ln(S/E)+(R+0.52)t/，d2=d1-。S ：现行股价；E：看涨期权的执行价
