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1、关于多项式矩阵秩的恒等式及其推广孙季华（莆田学院数学系 指导老师：杨忠鹏）摘要：本文主要从胡付高1的一个定理出发，把定理的条件加以弱化，推导出更一般的关于多项式矩阵秩恒等式的结论，利用矩阵的秩和线性变换的秩关系简单的证明了线性变换在互素多项式下直和分解的结论，同时对5的一个猜想给出了证明。关键词：互素 线性变换 直和 核 二次矩阵Abstract：This paper deduces a more general conclusion about rank identities of the polynomial matrix, which is based on a theorem of h
2、u fugao.and the condition of the theorem has been weakened.Acorrding to the relations between the rank ot the matrix and the rank of the linear transformation,the conclusions of the direct sum decomposition of the linear transformation under the relatively prime polynomials has been proved easily.Me
3、antime the conjecture of the literature5 has been proved.Keywords: relatively prime linear transformation direct sum nucleus quadratic matrix0符号说明及引言 矩阵的秩的研究是高等代数的一个重要内容，本文在参考文献1的一个定理出发对多项式矩阵的秩做进一步的讨论，结合矩阵的知识，分块的初等变换法得到一个更为精确的结论，本文更重要的是利用矩阵和线性变换的秩关系，从而更加简单的证明了线性变换在互素多项式下直分解的结论，并加以推广得到相关的结果，本文进一步对文献5
4、的一个尚未解决的猜想给以提出来并加以证明。 用P表示数域、分别表示数域P上一元多项式和n阶矩阵的集合，表示矩阵A的秩，E表示单位矩阵，约定与分别表示首项系数为1的最大公因式和最小公倍式。表示复数域上所有n阶矩阵的集合，表示线性变换，= ，表示线性变换的值域，表示的维数。一 预备定理我们首先引入本论文用到的基本定理引理1.1（见10，第16页）中的两个多项式互素的充分必要条件是存在中的多项式使。引理 1.2 （见10，第48页）设，首项系数都为1则引理1.3 设，则证明 ：由引理1.1可知，存在多项式使得将上面两式相乘得再由引理1.1得引理 1.4，则其中证明：由引理1.3，反复引用引理1.3可
5、得。在反复引用引理1.3可得 因为，由引理1.1存在，使得，即再由引理1.1得引理1.5知，两两互素且，令，则证明：设，只需证明即可，则因为两两互素根据引理1.3得=，即，所以且同理，又引里1.3得，因为，所以，显然故所以。引理1.6是的一些子空间，则是直和。证明：，都有于是。零向量表示法唯一，若零向量表示法不唯一则有 。于是这与矛盾 所以零向量的表示法是唯一的，由直和的定义推出引理1.7设是n维线性空间V的线性变换，则的一组基的原像及的一组基合起来就是V的一组基，且有二主要结果定理2.1设且，则证明:设 （1.1）因为，（1.2）所以（1.3），（1.4）（1.5）由试（1.1）（1.5）对
6、矩阵做分块的初等变换=则又引理1.2知= 所以推论设，若，令,则定理2.2 设，则证明： (1.6)因为所以 (1.7)所以（1.8）由（1.6）（1.8）对矩阵做分块的初等变换=则由引理1.2知所以推论设，且，则推论设，而分别是与的最大公因式和最小公倍式又设，则 （1.9）证明 由知，存在，使得且，又有公式，得。故有推论得由此既得（1.9）成立推论2.2.3设，且，则证明：由推论既得推论2.2.3成立推论2.2.4设，且两两互素。，又设.则。证明: 因为两两互素，所以由引理1.4得，即也两两互素，下面用数学归纳法来证明时显然成立.当时由推论2.2.3显然成立.假设时成立当时由于两两互素所以有
7、推论2.2.3得 得可见当时等式成立，所以上述定理成立。推论2.2.5设，若两两互素，则证明：只要令，即可。在文献3中的定理1线性变换在互素多项式下核的直和分解结论给出的证明很繁杂，运用上述定理的推论2.2.5可以简单的证明出来，下面给出新的证明。定理 ，且两两互素，；是数域P上的n维线性空间V的一个线性变换，则，2）若，有证明：先证，事实上：因为，设，由引理1.5 知所以存在使得（2.3）即，则由（2.3）知，记，则，所以故（1）成立。（2）事实上，所以=+即，故（2）成立。所以设为V的一组基，且所以,即得，i=1,2,t因为dim=方程组AX=0的解空间的维数= 所以dim= （2.4）同
8、理dim=，i=1,2,t.所以由定理2推论2.2.5知即 （2.5）把（2.5）代入（2.4）得由引理1.6得2）另一方面有即所以推论2.3.1，且两两互素，令，是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，则证明：由，及定理2.3可得。三 应用定理2.3的证明在直和分解里面是比较简明扼要，能够对文献4中的线性空间按线性变换的特征值分解成不变子空间的直和的一个定理更简便的得出来。定理如下：命题1 P线性空间V的线性变换A的特征多项式为，它可分解因式为：其中互不相等，都是正整数，则V可分解成A的不变直空间的直和：其中，是单位变换证明：依题显然（2.6） 因为为的特征多项式 所以且 设 则由定理2.3
9、得由（2.6）知.命题 2设，对任意的两两互异的数,则证明 取则两两互素，有由定理2.2的推论2.2.5得。利用命题2的结论可以进一步推广到二次矩阵的秩等式上。定义设存在，使得，则是二次矩阵。若，则由命题2得当时，A为幂等矩阵。当时，A为对和矩阵当时，A为斜幂等矩阵。当 时,A为数量对和矩阵。命题，且，如果，则证明：用分块的初等变换来证明，所以当不全相等时，这一步的证明在5 只是一个猜想并没有给出证明，下面用归纳法和分块矩阵的初等变换得以证明出来。命题4设，且如果则=+其中 证明：用数学归纳法 当t=3时有命题3成立。 假设t=s时成立，则=+ 当t=s+1时，=+下面用分块的初等变换来证明所
10、以=+=所以命题4成立。结束语：本论文是在认真研究阅读胡付高的文献1的文章和有关的多项式矩阵的秩的恒等式及应用的文章之后，查阅大量相关资料的基础上，对文献1的定理条件进一步弱化，而得出更一般的多项式矩阵秩的恒等式，并推导出一些相关的有用的结论，本文突出的是借助矩阵的秩和线性变换秩对应关系，从而解决了线性变换在互素多项式下直和的分解的证明，利用互素多项式矩阵秩的恒等关系式从而把最近的一些文献二次矩阵的性质加以推广，本文还有一个重要的地方就是把文献1中尚未解决的猜想，提出来并用分块的初等变换加以证明。本文不仅是在原来研究内容上的拓宽，研究程度上的深入，在研究方法上，所得结果都有创新之处.致谢： 衷
11、心感谢我的导师杨忠鹏老师，本文是在他的悉心指导下我的论文才能顺利完成，感谢杨忠鹏老师在平日繁忙的工作中抽出时间帮我指点迷津，帮助我精心点拨，开拓研究思路和热忱的鼓舞，杨老师以渊博的知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风和对科研的献身精神给我留下了刻苦铭心的印象，这些使我受益匪浅，本论文从选题到完成，每一步都是在导师的指导下完成的，倾注了导师的大量的心血，在此，谨向杨忠鹏教授表示崇高的敬意和衷心的感谢！还要感谢同组的同学丽美和国祥的帮助，最后还要感谢曾经教育和帮助过我的所有老师，衷心的感谢为评阅论文而付出宝贵时间和辛勤劳动的老师。参考文献：1胡付高，曾玉娥.一类矩阵多项式秩的恒等式与应用J.山
12、东大学学报：理学版，2008，43（8）2林国钦，杨忠鹏，陈梅香.矩阵多项式秩的一个恒等式及其应用J.北华大学学报：自然科学学报，2008，9（1）：5-8.3黄堃 ，杨锦伟.线性变换在互素多项式下核的直和分解及应用J.平顶山学院报，2008，23.4梁庆光.线性空间直和分解一个定理的证明的教学建议J.赣南师范学院报.5余世群.关于一类矩阵秩的恒等式及其推广一文的注记 J.武汉科技学院学报，2006，19，106Marek Aleksiejczyk.On properties of quadratic matrices.11/2(2000),239-2487邹晓光.互素多项式矩阵的秩的一个简单结论及其应用.金华职业技术学院学报.2006，6（1）8王廷明，黎伯堂.一类矩阵秩恒等式的证明J.山东大学学报：理学版，2007，42（2）9胡付高.一类矩阵秩的恒等式J.大学数学，2007，23（3）：164-161.10北京大学数学系几何代数教研室.高等代数M.第23版.北京：高等教育出版社，2003.205，208.
