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1、本 科 生 毕 业 论 文（ 2013 届 ）题 目： 数学模型在人口问题中的应用 系 别： 数学学院 专 业： 数学与应用数学 班 级： 二 班 作者姓名： 学号： 指导教师： 职称： 学历： 论文成绩： 2013 年 5 月目 录摘 要.IIAbstract.II1引言.12数学模型在人口问题中的应用.1 2.1马尔萨斯模型在人口问题中的应用.1 2.2 Logistic模型在人口问题中的应用.12.3偏微分方程模型在人口问题中的应用.23结束语.6致谢语.6参考文献.6指导教师评语.评阅人评语.数学模型在人口问题中的应用数学学院2009级2班 摘 要:在高新技术领域,数学模型几乎是必不可
2、少的工具,它作为一种研究问题的手段和方法被广泛应用于生产、工作和生活等各个领域,可称是解决问题的有效手段.本文将探究的是数学模型在人口问题中的应用.文章共介绍了三种数学模型在人口预测中的应用, 马尔萨斯模型、Logistic模型、偏微分方程模型.其中,马尔萨斯模型可进行短期人口预测, Logistic模型可进行长期人口预测,考虑年龄结构的偏微分方程模型可进行更为深入精准的人口预测.这是一个具有理论意义和实际价值的探究课题.关键词:马尔萨斯模型；Logistic模型；偏微分方程模型；人口问题 Application of Mathematical Models inProblem of Popu
3、lation Class2, 2009, College of Mathematics Li QiumeiAbstract:In high speed technology field,mathematical model is one of essentical tools. It as one of the methods of investigating problems is used extensively in producing,living,working,and son on. And it is a valuable method in dealing with probl
4、ems.The dissertation will investigate the application of mathematical models in problem of population.And the article suggests three kinds of mathematical models, malthus model, logistic model,and partila equation model.Among them,the malthus model can go on forecasting population in short time;The
5、logistic model can go on forecasting population in long time;And the partila differential equation model that considers the structure of age can go deep into forecasting population . This is a question for study or discusstion that has a great theory meaning and realistic meaning.Key words: malthus
6、model; logistic model; partila differential equation model; problem of population1引言我国是一个人口大国,人口问题一直是制约着我国发展的重要因素.随着社会经济的快速发展,以及人口的发展变动趋势,人口问题在我国的经济增长进程中已经占据了十分重要的位置.近几十年来,人们建立了多种数学模型,如AR模型、离散方程模型、Rogers模型、时间序列模型等.随着时代的发展,受到人口政策、文化教育、经济发展水平和医疗卫生条件的影响,人们的教育关念、生育观念、各年龄段的死亡率也发生了变化,中国的人口发展出现了新特点,例如人口老龄化
7、加速、出生率降低等.因此,我们要建立不同的数学模型,考察特定数学模型在人口问题中的应用.本文将利用马尔萨斯模型、Logistic模型、偏微分方程模型逐层递进分析以此来讨论数学模型在人口问题中的应用.2数学模型在人口问题中的应用2.1马尔萨斯模型在人口问题中的应用人所共知的最简单的人口增长模型是：记今年人口为,年后人口为,年增长率为,则 (1)显然,这个公式的基本条件是年增长率保持不变. 200多年前英国人口学家马尔萨斯调查了英国100年的人口统计资料,得出了人口增长率不变的假设,并据此建立了著名的人口指数增长模型.记时刻的人口为,当考察一个国家或一个较大地区的人口时,是一个很大的整数.为了利用
8、微积分这一数学工具,将视为连续可微函数.记初始时刻时的人口为.假设人口增长率为常数,即单位时间内的增量等于乘以,于是得到满足微分方程 (2)由这个方程很容易解出 (3) 时,此式表示人口将按指数规律随时间无限增长,称为指数增长模型.马尔萨斯模型又称指数增长模型.历史上马尔萨斯模型与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据可以很好地吻合,迁移加拿大的欧洲移民后代人也大致符合这个模型,这是因为在这些情况下,人口增长率是常数这个基本假设大致成立.这就是说,马尔萨斯模型只适用于短期人口预测,且不考虑任何因素对人口问题的影响.2.2 Logistic模型在人口问题中的应用随着时间的推移,人口增长到一定数量后
9、增长率就会下降,这是由于自然资源、环境条件等因素对人口增长起着阻滞作用,并且随着人口的增加,阻滞作用越来越大.因此,就不能再利用马尔萨斯模型解决人口问题.为此,我们建立了适合进行长期人口预测的阻滞增长模型Logistic模型.Logistic模型考虑的阻滞作用主要体现在对人口增长率的影响上,使得随着人口数量的增加而下降.若将表示为的函数,则此函数应为减函数.于是，方程(2)可以写作 (4)对的一个最简单的假设是,设为的线性函数,即 (5)这里称为固有增长率,表示人口很少时（理论上是时）的增长率.为了确定系数的意义,引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量,称为人口容量.当时人口不在增长,即
10、增长率,代入(5)式得,于是,将代入方程(4)得 (6)方程(6)右端的因子体现人口自身的增长趋势,因子则体现了资源和环境对人口增长的阻滞作用.显然,越大,前一因子越大,后一因子越小,人口增长是两个因子共同作用的结果,(6)式称为阻滞增长模型.如果以为横轴,以为纵轴作出方程(6)的图形,可以分析人口增长速度随着的增加而变化的情况,从而大致地看出的变化规律（如图1）. 图1 阻滞增长模型曲线2.3偏微分方程模型在人口问题中的应用上述的马尔萨斯模型和Logistic模型都是针对人口总数和总的增长率的数学模型,不涉及年龄结构.事实上,在人口预测中人口按年龄的分布状况是十分重要的,因为不同年龄人的生育
11、率和死亡率有着很大的差别.因此,在考虑年龄结构的人口模型中,除了时间变量外,年龄是另一个变量.而使人口数量和年龄结构变化的因素不外乎出生、死亡和迁移.基于上述两种模型,我们又给出了考虑了年龄结构的偏微分方程模型在人口问题中的应用.出生、死亡和迁移等因素是影响人口数量和结构变化的因素.为简便起见,这里我们只考虑自然地出生与死亡,不计迁移等社会因素的影响.为研究任意时刻不同年龄的人口数量,引入人口的分布函数和密度函数.时刻年龄小于的人口称为人口分布函数,记作,其中均为连续变量,设是连续、可微的.时刻的人口总数记作,最高年龄记作,理论推导时设.于是,对于非负非降函数,有 (7)人口密度函数定义为 (
12、8)表示时刻年龄在区间内的人数.记表示时刻年龄为的人的死亡率,其含义是表示时刻年龄在内单位时间死亡的人数.为了得到满足的方程,考察时刻年龄在内的人到时刻的情况.他们中活着的那部分人的年龄变为.而在这段时间内死亡的人数为.于是 (9)上式可写作 (10)当可微时就可得到 (11) 这是人口密度函数的一阶偏微分方程,其中死亡率为已知函数.方程(11)有两个定解条件：初始密度函数记作；单位时间出生的婴儿数记作,称为婴儿出生率.可由人口调查资料得到,是已知函数；则对人口预测和控制起着重要作用,后面将对它进一步分析.将方程(11)及定解条件写作 (12)这个连续型人口发展方程描述了人口的演变过程,从这个
13、方程确定出密度函数之后,立即可以得到各个年龄的人口数,即人口分布函数 (13)方程(12)的求解过程比较复杂,这里只给出一种特殊情况下的结果.在社会安定的局面下和不太长的时间内,死亡率大致与时间无关,于是可近似地假设.这时方程(12)的解为 (14)这个解在平面上有一个浅显的解释：图2中对角线将平面分为两部分,在区域,完全由年龄为的人口初始密度和这些人的死亡率决定；而在区域,则由未来的生育状况及死亡率决定.图2 平面上的生育率和生育模式：在方程(12)或解(14)中和可从人口统计数据得到, 也可由粗略估计.这样,为了预测和控制人口的发展情况,人们主要关注和可以用作控制手段的就是婴儿出生率了.下
14、面对作进一步分解.记女性性别比函数为,即时刻年龄在的女性人数为,将这些女性在单位时间内平均每人的生育数记作,设育龄区间为,则 (15)再将定义为 (16)其中满足 (17)于是 (18) (19)由(18)式可以看出,的直接含义是时刻单位时间内平均每个育龄女性的生育数.如果所有育龄女性在她育龄期所及的时刻都保持这个生育数,那么也表示平均每个女性一生的总和生育数,所以称为总和生育率（简称生育率）或生育胎次.从(16),(17)两式及的含义可以看出,是年龄为的女性的生育加权因子,称生育模式.在稳定环境下可以近似地认为它与无关,即.表示了在哪些年龄生育率高,哪些年龄生育率低.图3给出了的示意图,表明
15、附近生育率最高.由人口统计资料可以知道当前实际的.作理论分析时,人们常采用的的一种形式是借用概率论中的分布 (20)并取,这时有 (21)可以看出,提高意味着晚婚,而增加意味着晚育.图3 生育模式的示意图这样,人口发展方程(12)和单位时间出生的婴儿数的表达式(19),构成了我们的连续型人口模型.模型中死亡率函数、性别比例函数和初始密度函数可以由人口统计资料直接得到,或在资料的基础上估计,而生育率和生育模式则是可以用于控制人口发展过程的两种手段.可以控制生育的多少,可以控制生育的早晚和疏密.我国的计划生育政策正是通过这两种手段实施的.上述模型只考虑了出生与死亡两种因素对人口数量和结构变化的影响
16、,在此基础上,我们把迁移等社会因素对人口数量和结构变化的影响也考虑进去.记（当时,表示迁入率；当时,表示迁出率）表示时刻年龄为的人的迁移率.于是,有 (22)上式可写作 (23) 当可微时,就可得到 (24) 这是人口密度函数的一阶偏微分方程,其中死亡率和迁移率均为已知函数.同方程（11）一样,方程（24）也有两个定解条件：初始密度函数记作；单位时间出生的婴儿数记作,称为婴儿出生率.可由人口调查资料得到,是已知函数；对于在解决方程（11）时,已经进行了详细的解析.将方程（22）及定解条件写作 (25)其中,为育龄区间,的实际取值区间为.这样,我们就得到了考虑了出生、死亡和迁移三种因素对人口数量
17、和结构变化影响的人口问题的偏微分方程模型方程(25). 通过上述三种数学模型的介绍,偏微分方程人口模型明显较马尔萨斯人口模型和Logistic人口模型研究的深入,适宜运用在要求较高的专业研究中.人口增长受多种因素影响,任何一种模型都不能完整地预测其发展情况,具体采用何种模型,应该按照实际情况加以选择,如能将各种定性和定量模型有机地结合起来将是比较理想的预测方法. 3结束语总之,在不同因素的影响下,依据影响因素建立特定的数学模型可解决人口预测问题.上述三种数学模型逐层解决了人口总的增长率、自然资源和环境条件、年龄结构三种不同因素影响下的人口问题,为人口问题的预测和控制提供了有效的可行方案.致谢语
18、感谢xxx老师在论文写作过程中对我的悉心指导,也感谢曾经在论文写作上对我有过帮助的同学！ 参考文献 1姜启源等编.数学模型M.北京:高等教育出版社,2001,1.2王勇. Logistic人口模型的求解问题J.哈尔滨商业大学学报,2006,22(5):58-59.3阎慧臻. Logistic模型在人口问题中的应用J.大连工业大学学报,2008,27(4):333-335.4杨丽霞等编.数学模型在人口预测中的应用J.长江流域资源与环境学报,2006,15(3):287-291.5何春.马尔萨斯人口模型在广州市人口预测中的应用J.广东工业大学学报,2010,27(3):31-34.6华东师范大学数学系.数学分析M.3版.北京:高等教育出版社,2001.7李秋红,何先平等编.数学模型在人口增长中的应用J.太原师范学院学报,2008,7(2):55-56.8东北师范大学微分方程教研室.常微分方程M.2版.北京:高等教育出版社,2005,4.
