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1、数学建模论文题 目 人口预测及控制问题；学校寝室楼值班的人员分配问题；雨量预测方法的评价学 院 理 学 院 专业班级 数 学 084学生姓名 成 绩 2010年12月15日摘要中国是人口大国，人口的预测问题始终是关系到社会和谐发展的关键因素之一。首先建立指数增长模型和阻滞增长模型分析人口增长；然后考虑限制人口增长的人为因素和自然因素，包括资源、空间等；最后利用MathCAD软件作拟合，并预测出今后20年齐齐哈尔人口数如下表： 单位：万人年2009201020112012201320142015201620172018人数5987600.33601.88603.4160491606.39607.
2、8560929610.7612.120192020202120222023202420252026202720282029613.5614.83616.17617.49618.79620.08621.35622.60623.83625.1626.3关键词： 人口预测、控制、mathcad、拟合正文：人口预测及控制问题中国是人口大国，人口的预测问题始终是关系到社会和谐发展的关键因素之一。一些发展中国家的人口出生率过高，越来越严重地威胁着人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋于零，甚至变为负数，造成劳动力短缺，也是不容忽视的问题。由于我国20世纪50-60年代人口政策方面的事务，不仅造成人口数
3、量增长过快，而且年龄结构也不合理，使得对人口增长的严格控制会导致人口老龄化问题严重。因此在首先保证人口有限增长的前提下实弹控制人口老龄化，把年龄结构调正到适合的水平，是一项长期而又艰巨的任务。一、模型假设1)：不考虑迁移等社会因素，生存空间等自然资源的制约,意外灾难等因素对人口变化的影响；2)：假设社会稳定，死亡率与时间无关，特别2005年以后不发生变化； 3)：存活率、生育率仅与年龄段有关； 4）：一个育龄女性仅生育一个女婴，一个男性对应于一个男婴；5)：每年的出生人口性别比例为均值（稳定值），即不随育龄女性的年龄的变化而变化；6）：人口总和生育率不变；二、指数增长模型最简单的人口增长模型：
4、设今年人口为，k年后人口为年增长率为r （保持不变），则 （1）考虑t到时间内人口的增量，有 令 ，得到x(t)满足微分方程 （2）解得 （3） 三、阻滞增长模型人口增长到一定数量后增长率下降有自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻碍的作用，并且随着人口的增长，阻滞作用越来越大。设人口增长两率r(t)，则方程（2）为 （4）设r(x)为线性函数，即 （5）这里r称固有增长率，S为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）当时人口数量不再增长，即增长率，代入（5）式得到，于是有 （6） 将（6）代入方程（4）得 （7）dx/dtx0xmxm/2xmx0xm/2四、人口发展方程人口分布函数（年龄的
5、人口）人口密度函数 人口总数最高年龄 （1）人口密度函数定义为 （2） 表示时刻t年龄在区间内的人数。为时刻t年龄r的人的死亡率 （4） 人口分布函数 （5）（5）式的解 （6）在tr区域，及死亡率决定。五、生育率和生育模式为了预测和控制人口的发展状况，我们要关注的就是婴儿出生率f(t)。记女性性别比函数为k(r,t)，将这些女性在单位时间内平均每人的生育数记作b(r，t)设育龄区间为，则 （7） （8） 其中满足 （9）于是 （10） （11）表示平均每个女性一生的总和生育率，称为总和生育率或生育胎次。h(r，t)是年龄为r的女性的生育加权因子，在稳定环境下可以近似的认为与t无关，即=。0
6、， (12) 取，有 （13）这样方程（5）和表达式（11）就构成了连续型人口模型。模型中死亡率函数、性别比函数和初始密度函数可由人口统计资料直接得到，而生育率和生育模式可以用于控制人口发展过程。可以控制生育的多少，可以控制生育的早晚和疏密。六、人口指数1、 人口总数N(t) （14）2、 平均年龄R(t) （15）3、 平均寿命S(t) 即平均存活时间 （16）4、 老龄化指数 （17）5、 依赖性指数 （18） （19）其中和分别是男性和女性有劳动能力的年龄区间，L(t)式全体人口中有劳动能力的人数，所以依赖性指数表示平均每个劳动者要供养的人数。七、利用MathCAD作拟合 参考文献：1姜
7、启源 谢金星 叶俊，数学建模（第三版），高等教育出版社，2003.82齐齐哈尔经济统计年鉴20023张晓丹 堵秀凤 李祥林等，数学实验，北京航空航天大学出版社，2002附表：齐齐哈尔市历年总人口统计(1949-2001)(年底数)2001年12月31日采集年份总人口按性别分按非农业.农业分男女非农业农业1949177304498372878931637450713985371950184246010062268362344229861419474195119003731032566867807429075147129819521994393108163690975750658314878101
8、953216178711958369659516346021527185195422382201213494102472669421415440061955231946212585261060936698128162133419562564819140723711575828059171758902195726415611433184120837787367517678861958276130314930711268232897144186416219592842306152485913174471013230182907619602942084156991913721651014898192
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11、258606623934911354505362505219775021773260348024182931360796366097719785058324261667924416451382357367596719795108052263381424742381482282362577019805144604264638924982151509604363500019815180035266241525176201541030363900519825228241268472025435211563002366523919835224341268586225384791581414364292
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13、829096360440619925435832278260926532231843019359281319935433828277685026569781855554357827419945421451277624626452051887570353388119955435376278755126478251906568352880819965469061279518026738811922973354608819975510023281601926940041943240356678319985502357280385726985001931434357092319995537279281
14、9028271825119407733596506200055961912852315274387619655323630659200156005382854790274574819767863623752注：单位：人摘编自齐齐哈尔经济统计年鉴2002摘要随着气象事业现代化建设的快速发展，雨量预报对指导农业生产和城市工作和生活有重要作用，近年来，随着社会经济的不断发展，预报方法对于提高气象服务水平，增强防灾减灾能力具有重要意义。首先，本文对我国某地区的多个网格点进行分析，搜索出2491 个网格点中对站点影响比较大的几个网格点，再用搜索出来的几个网格点的预测数据加权求出一个预测数据（雨量），进而
15、和该站点实测数据进行比较，来评价两种6 小时雨量预报方法的准确性。其次，找到可接受范围内的网格点后，我们计算网格点和这些观测站点间的距离。再得到各观测站点和等距网格点之间的距离后，将各观测站点按距离从小到大排序后保存，用Matlab 编程求得结果11034, 10591,3758, 4102,113, 145,方法一的为：17, 方法二的为：56,2, 19, 0, 11, 0 0可以看出方法一的报错率低，相对报错等级差小，公众应该更满意使用方法一进行降雨量的预报。关键词：预测降雨量矩阵，实测降雨量矩阵，报错率。雨量预测方法的评价一、问题的重述与分析1、问题的重述随着气象事业现代化建设的快速发
16、展，雨量预报对指导农业生产和城市工作和生活有重要作用，但如何准确、及时地对雨量作出预报是一个十分困难的问题，近年来，随着社会经济的不断发展，预报方法对于提高气象服务水平，增强防灾减灾能力具有重要意义，因此，广受世界各国关注。我国某地气象台和气象研究所正在研究6 小时雨量预报方法，即每天晚上20 点预报从21 点开始的4 个时段（21 点至次日3 点，次日3 点至9 点，9 点至15 点，15 点至21 点）在某些位置的雨量，这些位置位于东经120 度、北纬32 度附近的5347 的等距网格点上。同时设立91 个分布不均匀的观测站点实测这些时段的实际雨量。气象部门提供了41 天的用两种不同方法的
17、预报数据和相应的实测数据（预报数据在文件夹FORECAST 中，实测数据在文件夹MEASURING 中）。现在我们所关心的问题就是：（1） 对气象部门提供的大量数据（预报数据和实测数据），怎样进行合理、有效地分析，进而建立数学模型，来评价两种6 小时雨量预报方法的准确性；（2） 气象部门将6 小时降雨量分为6 等：0.12.5 毫米为小雨，2.66 毫米为中雨，6.112 毫米为大雨，12.125 毫米为暴雨，25.160 毫米为大暴雨，大于60.1毫米为特大暴雨。所以，若按此分级向公众预报，如何在评价方法中考虑公众的感受？2、问题的分析我们从题目中了解分析到：气象台每天晚上20 点预报从21
18、 点开始的4 个时段（21点至次日3 点，次日3 点至9 点，9 点至15 点，15 点至21 点）在某些位置的雨量，这些位置位于东经120 度、北纬32 度附近的5347 的2491 个等距网格点上。同时设立91 个分布不均匀的观测站点实测这些时段的实际雨量。由于网格点比较多，且每个网格点的位置是以经度和纬度表示处在一定的区域，所以我们把纬度看作x 轴，经度看作y 轴，采用Matlab 图形处理功能的基本绘图命令plot画出散点图（图一），程序见附录一。从图中可以分析看出，气象部门提供了在2491 个网格点上41 天4 个时间段的大量预报数据（雨量），并且同样给出了91 个观测站点的实测数据
19、（雨量）。所以我们想通过网格点上的预报数据来预测实测站点的数据。然而，观测站点集中在所有网格点的中央部分，而四周是大量的距离比较远的网格点。因此，通过搜索出2491 个网格点中对站点影响比较大的几个网格点，再用搜索出来的几个网格点的预测数据加权求出一个预测数据（雨量），进而和该站点实测数据进行比较，来评价两种6 小时雨量预报方法的准确性。在向公众预报时，采取一种合理、准确的预测方法，增加雨量分等级预报的同级率，能对公众起到良好的出行指导作用，使人们对雨量预报有更深的理解，更多的关注。二、模型的基本假设和符号说明1、模型假设（1） 观测站点的设置是不均匀的；（2） 题中网格是等距的正方形网格（所
20、谓“正方形网格”是指每个格子都是正方形的网格；网络点是指纵线和横线的交叉点）；（3） 一个x 轴、y 轴分别为纬度和经度的坐标，通过把点的纬度和经度分别看作横坐标和纵坐标，用欧氏距离计算公式 来作为两点之间的距离。（4）点到观测站点的距离越短，则对观测站点的雨量影响越大；（5） 单个网格点到观测站点距离倒数与所取的4 个网格点到观测站点倒数之和的比为它的权值；（6）雨量用毫米做单位，小于0.1 毫米视为无雨；2、符号说明X(i = 1,2,2491) : 第i个网格点及其对应的纬度和经度 (i = 1,2,91) : 第i个观测站点及其对应的纬度和经度 可接受度数差与第i个观测站点的距离最小的
21、前4个网格 点的对应权矩阵与第i个观测站点的距离最小的前4个网格点的距离矩阵 欧氏距离的计算公式 第j个时段里，与第i个观测站点的距离最小的前4个网格点的预测降雨量矩阵 M=第i个观测站点的第j个时段预测降雨量矩阵(I=) (i = 1,2,.,91,j = 1,2,.,164) 第个i观测站点的第个j时段实测降雨量矩阵 预报偏差率S: 预报偏差率的算术平方根（准确性指数） 统计方法的预报数据与实测数据处在同一级别、相差1 级、相差2 级、相差6 级的频数三、模型的建立及求解（一）问题（1）及其求解算法：1根据题意，气象部门提供了41 天用两种不同方法的预报数据和相应的实测数据，每种预报方法都
22、有大量的预测数据。为了评价两种6 小时雨量预报方法的准确性，我们采用网格点上的预报数据来预测观测站点的数据，再来和实际测得的数据相比，判断其准确性。以坐标为基准点，给定一个可接受度数差e（在求解中取(e = 0.25，可搜索得到9 至19 个网格点),对任意的(i = 1,2,91)，搜索其任一个观测站点在纬度和经度都上下增加e的正方形内的所有等距网格点。若网格点X(m,n)纬度和经度在同时满足和时，即认为该网格点是可接受范围内的网格点。2找到可接受范围内的网格点后，我们计算网格点和这些观测站点间的距离。再得到各观测站点和等距网格点之间的距离后，将各观测站点按距离从小到大排序后保存，我们用Ma
23、tlab 编程求得结果（见附录二）。3各观测站点和等距网格点之间的距离从小到大排序后，为了更好地用网格点的预报雨量来预测观测站点的雨量，我们取前4 个到观测站点距离最小的等距网格点。根据欧氏距离的倒数加权的方法，先算出前4 个网格点到观测点的距离，再分别对它们求倒，则4 个网格点分别到观测站点的权重为它们之间距离的倒数。权的计算公式为： , (其中i=1,2,.91, 1,2,3,4)为了预测各观测站点在某月某日某个时段的雨量值，我们采用距离的倒数加权的方法，取出4 个等距网格点分别在某月某日某个时段的雨量值，然后分别乘以它们各自对观测站点的权重，再求和就为预测降雨量。预测降雨量的计算公式：每
24、个时段中，每个观测站点对应有4 个网格点预测雨量值，可计算出1 个观测站点预测雨量值，91个观测站点，164个时段就可计算出一个第i个观测站点的第个j时段预测降雨量矩阵M=( i=1,2,.,91, j= 1,2,.,164)这里我们用Matlab 编程 求得两个方法对应的预测降雨量矩阵（见附录三）。4将两个方法对应的预测降雨量矩阵分别与实测降雨量矩阵进行比较，分析出哪一个的准确性高。这里我们用计算出预报偏差率的算术平方根作为一个准确性指数，来辨别准确性的高低。取预测降雨量矩阵和实测降雨量矩阵M=( i=1,2,.,91, j= 1,2,.,164) 和实测降雨量矩阵(i = 1,2,.,91
25、, j = 1,2,.,164)。则有：预报偏差率计算公式： (i=1,2,.,91,j=1,2, ,.164)取中的元素，计算预报偏差率的算术平方根当S 越小，准确性越高。这里我们用Matlab 编程求得两个方法（见附录四）求得：预报偏差率的算术平方根（即准确性指数）：方法一的为： = 102.8755 方法二的为： = 726.75222 所以可以反映出第一种方法比第二种方法准确性高。（二）问题（2）及其求解由题意可得：气象部门将6小时降雨量分为6 等：0.12.5 毫米为小雨，2.66 毫米为中雨，6.112 毫米为大雨，12.125 毫米为暴雨，25.160 毫米为大暴雨，大于60.1
26、 毫米为特大暴雨。为了比较91 个观测点的预报数据与实测数据之间量级上的差别，分别将降雨量的预报值和实测值按大小划分成7 个级别后，分别记为：0，0.10，0.1，2.51，2.6，62，6.1，123，12.1，254，25.1，605，60.1，6。然后分别统计预报数据与实测数据处在同一级别、相差1 级、相差2 级、相差3 级、相差4 级、相差5 级、相差6 级的频数，并计算出对应频率。把两个方法对应的预测降雨量矩阵（题一中已计算出）与实测降雨量矩阵转化为对应的等级矩阵，将两个方法对应的预测等级矩阵分别与实测等级矩阵进行比较，分别统计预报数据与实测数据处在同一级别、相差1 级、相差2 级、
27、相差3 级、相差4 级、相差5 级、相差6 级的频数。我们通过Matlab 编程求解（见附录四），得出结果：11034, 10591,3758, 4102,113, 145,方法一的为：17, 方法二的为：56,2, 19, 0, 11, 0 0并计算出频率：方法一频数方法二频数方法一频率方法二频率11034105910.739346020.70966229375841020.251809170.271859291131450.00757170.0097158917560.00113910.003752352190.000134010.0012731201100.000737070000表一由
28、表一中和图二可以看出方法一的报错率低，相对报错等级差小，公众应该更满意使用方法一进行降雨量的预报。四、模型的误差分析1、在可接受度数差范围内搜索与各个观测站点距离最近的网格点取的较少，如1 个点时，则不能很好地测出预测雨量，具有一定的偶然性。2、当与各个观测站点距离最近的网格点取的比较多，如15 个点时，则每个点都有一定的权重，具有大面积的网格点来测雨量，这对与观测站点较近的网格点来说是很不公平的。所以，我们为了得到较为合理的结果，在本模型中取与各个观测站点距离最近的4 个网格点。五、模型的评价1、本模型利用欧氏距离计算方法，对等距网格点和观测站点之间的距离进行了求解，简单明了，通俗易懂。2、
29、本模型综合运用了多种方法对问题进行求解。其中欧氏距离倒数加权的方法对预测观测站点的雨量起到了极为重要的作用。3、利用算术平方根方法来反映预报数据的偏差率，以及在数据的准确性方面有着非常高的精度。六、模型的推广此模型是针对均匀网格的雨量预报方法的评价，而大多数数值天气预报模式都是采用这种单一均匀的网格来进行计算。从60 年代开始逐步研究使用不同格距的网格作预报，也就是变网格预报模式。变网格(又称其为非均匀网格)能减轻网格之间差异带来的问题，而且以平缓渐变的网格为优。设计有限区域变网格模式的计算方案，可采用坐标变换使不均匀网格变成均匀网格再进行计算；或利用人工构造变网格，用有限元法求解等。对于有限
30、区域，如重点考虑某一局地天气，在模式中使用嵌套网格技术是最常见的方法，它是将更细的网格嵌套在所关心区域的粗网格上，以此来提高局地空间分辨率。但是嵌套网格技术存在一个缺陷，那就是在内边界附近，由于网格距的突变而导致空间截断误差的突变，造成波动由粗网格进入细网格(或相反)时产生较严重的折射、反射和寄生波现象。虽然现在对变网格研究较多，但投入业务使用的只有加拿大气象中心和法国气象局。本文是将原来均匀网格的MM4 模式改造成非均匀变网格模式，然后建立一套投入业务使用的客观分析系统、变网格数值预报系统、预报资料图形显示系统和网络自动化传输资料系统等。下图三给出了变网格和均匀网格500hPa高度场预报的均
31、方差随预报时间的演变图。从图中可看出，两种网格模式预报的均方差都是随着预报时间的增加而增加的，变网格预报的均方差小于均匀网格预报的均方差，这说明变网格数值模式在天气形势预报上也是优于均匀网格的。均方差10gpm0.00.53.02.52.01.51.03.54.012243648均匀网络变网络预报时效/小时 图三1999 年8 月8 日08 时均匀网格和变网格所以本系统经过实际数值预报检验，得到在基本没有增加计算量的情况下，变网格数值预报模式对所关心区域的环流形势和局部天气系统的预报明显优于传统的均匀网格预报，证明了变网格数值预报是提高数值预报准确率的一种非常有效的手段，开展变网格数值预报的研
32、究和应用是非常有意义的。参考文献1 王沫然编，Matlab 与科学计算，第二版，电子工业出版社，北京，2003。2 姜启源等编，数学模型，高等教育出版社，2003。3 李火林等编，数学模型及方法，江西高校出版社，1997。4 毛恒青等编，简化典型相关预测模型面雨量中期预报试验，气象。5 毛恒青，李小泉.我国夏季降水与前期太平洋海温场关系的典型相关分析.南京气象学院学报，1998，21(1)：130137.6 曾庆存，李荣凤.不等距差分格式的计算紊乱问题.大气科学，1982，6(4)：345354.附录*注意：运行时需按步骤进行，中途不可清除Matlab 中的变量.*1。运行程序二。（搜索实测站
33、点周围在可接受度数的网格点，然后根据距离长短排序并保存）2。选择对应编号的文件，导入Y-降雨量53*47 的数据，修改编号:M1(k,编号)=sum; %M1 在第一个程序中定义了，算第二个方案时M1 换为M2运行程序三。（根据模型利用距离的倒数加权计算每天每个时段预测的结果）3。修改:M1 算第二个方案时M1 换为M2运行程序四（预测矩阵与实测矩阵的数据分析）1、附录一、等距网格点和观测站点的散点分布图程序x=纬度； % x 是由文件夹FORECAST 中lat 文件的数据生成的一个纬度值矩阵,x大小为53*47y=经度； % y 是由文件夹FORECAST 中lon 文件的数据生成的一个经
34、度值矩阵,y大小为53*47lat=32.9833 33.3000 33.6667 33.8000 33.4833 33.0333 33.233333.7667 33.3833 33.2000 32.1000 32.3000 32.0000 32.6833 32.800032.9333 32.4167 32.3333 32.2000 32.8667 32.1833 32.5333 32.383332.3333 32.0667 31.8000 31.9500 31.3333 31.5667 31.7000 31.083331.9833 31.7500 31.7667 31.9500 31.433
35、3 31.3667 31.2667 31.883331.6500 31.5833 31.4167 31.0667 31.1500 31.9000 31.1000 31.400031.3667 31.6167 31.2000 31.0500 31.2333 31.4667 30.3000 30.850030.6833 30.9333 30.3000 30.6167 30.0833 30.8833 31.1333 30.983330.9667 30.2333 30.0500 30.8500 30.8500 30.7833 30.0000 30.533330.5167 30.6333 30.2333
36、 30.2000 30.8833 31.1333 31.0000 30.933330.6167 30.2667 30.0667 30.7333 30.0333 30.2500 29.8667 29.716729.7833 29.8167 29.7000 29.9667;lon=118.5167 118.8500 119.2667 119.8000 119.8167 119.0333 119.3000120.2500 120.1500 120.4833 118.2667 118.3000 118.8000 119.0167 119.4500119.8333 119.4167 119.9333 1
37、20.0000 120.3167 119.4667 120.4500 120.5667121.1833 121.6000 121.6667 118.8500 118.3833 118.5000 118.5167 118.1833119.5833 119.5500 119.9333 119.1667 119.4833 119.8167 120.6333 120.2667120.7333 120.3167 120.9500 120.4333 120.6333 121.2000 121.3667 121.4833121.2500 121.4500 121.4333 121.7833 121.5333
38、 121.1000 118.1333 118.3167118.4000 118.7500 118.5333 118.9833 118.5833 119.4167 119.1833 119.8833119.6833 119.7000 119.9500 120.0833 120.9000 120.7333 120.6333 120.0667120.6833 120.5333 120.1667 120.3167 121.1667 121.1167 121.2500 121.4833121.0833 121.2167 121.1500 122.4500 122.1000 122.1833 118.43
39、33 118.2833118.1833 119.6833 120.2500 121.7500;plot(lat,lon,dk,x,y,.g);xlabel(纬度,FontWeight,bold);ylabel(经度,FontWeight,bold);legend(实测站点,网格结点)axis(27 36 117 125 )3、附录二搜索观察站点周围最近的结点以及根据距离长短排序a=经度； % a 是由文件夹FORECAST 中lon 文件的数据生成的一个经度值矩阵,a大小为53*47b=纬度； % b 是由文件夹FORECAST 中lat文件的数据生成的一个纬度值矩阵,b 大小为53*47c=经度，纬度; % c为91 个实测站点对应的经度和纬度,c 大小为91*2g=zeros(91,20);e=0.25; % e 为可接受度数差for k=1:91m=1;for i=1:53for j=1:47if abs( b(i,j)-c(k,1)=e&abs(a(i,j)-c(k,2)=e % 在可
