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1、第 4 章 数据分布特征的测度,4.1 集中趋势的度量 4.2 离散程度的度量4.3 偏态与峰态的度量,Statistic,学习目标,度量集中趋势的统计量度量离散程度的统计量度量偏态与峰态的统计量各统计量的的特点及应用场合用Excel计算描述统计量,数据分布的特征,4.1 集中趋势的度量,4.1.1 分类数据：众数4.1.2 顺序数据：中位数和分位数4.1.3 数值型数据：平均数4.1.4 众数、中位数和平均数的比较,集中趋势(central tendency),一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值不同类型的数据用不同的集中趋势测度值低层次数据的测度值
2、适用于高层次的测量数据，但高层次数据的测度值并不适用于低层次的测量数据,4.1.1 分类数据：众数(mode),1.定义:一组数据中出现次数最多的变量值2.特征：适合于数据量较多时使用不受极端值的影响一组数据可能没有众数或有几个众数主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据,分类数据的众数(例题分析),解：这里的变量为“饮料品牌”，这是个分类变量，不同类型的饮料就是变量值 所调查的50人中，购买碳酸饮料的人数最多，为15人，占总被调查人数的30%，因此众数为“可口可乐”这一品牌，即 Mo碳酸饮料,顺序数据的众数(例题分析),解：这里的数据为顺序数据。变量为“回答类别”甲城市中对住房表示不满
3、意的户数最多，为108户，因此众数为“不满意”这一类别，即 Mo不满意,众数(不惟一性),无众数原始数据:10 5 9 12 6 8,一个众数原始数据:6 5 9 8 5 5,多于一个众数原始数据:25 28 28 36 42 42,4.1.2 顺序数据：中位数和分位数,中位数(median),定义：排序后处于中间位置上的值,特点：不受极端值的影响主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能用于分类数据各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即,中位数,位置确定,顺序数据的中位数,解：中位数的位置为(300+1)/2150.5 从累计频数看，中位数在“一般”这一组别中 中位数为 Me=一般,数值型
4、数据的中位数,【例】9个家庭的人均月收入数据原始数据:1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630排 序:750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位 置:1 2 3 4 5 6 7 8 9,中位数 1080,数值型数据的中位数,【例】：10个家庭的人均月收入数据排 序:660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位 置:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,四分位数(quartile),定义：排序后处于25%和75%位置上的值,特点：不受极端值的影响计算公式,顺序数据的四
5、分位数(例题分析),解：QL位置=(300)/4=75 QU位置=(3300)/4=225 从累计频数看，QL在“不满意”这一组别中；QU在“一般”这一组别中 四分位数为 QL=不满意 QU=一般,数值型数据的四分位数,【例】：9个家庭的人均月收入数据(4种方法计算)原始数据:1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630排 序:750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位 置:1 2 3 4 5 6 7 8 9,4.1.3数值型数据：平均数,统计应用一种测量的平均数比单个的测量更可靠,下面是NIST的时间与正确时间的10
6、个误差数据(秒)长期来讲，对时间的度量并没有偏差。NIST的秒有时比BIPM的短，有时比BIPM的长，并不是都较短或较长。尽管NIST的测量很准确，但从上面的数字还是可以看出有些差异。世界上没有百分之百可靠的度量，但用多次测量的平均数比只用一次测量的结果可靠程度会更高。这就是BIPM要结合很多原子钟的时间的原因,平均数(mean),定义：也称为均值，是一组数据相加后除以数据的个数而得到的结果，是集中趋势的最常用测度值。特点：一组数据的均衡点所在易受极端值的影响有简单平均数和加权平均数之分根据总体数据计算的，称为平均数，记为；根据样本数据计算的，称为样本平均数，记为x,简单平均数(Simple
7、mean),设一组数据为：x1，x2，xn,平均数,平均数?,加权平均数(Weighted mean),设各组的组中值为：M1，M2，Mk 相应的频数为：f1，f2，fk,加权平均,加权平均数(例题分析),4.1.4众数、中位数和平均数的比较,众数、中位数和平均数的关系,众数、中位数、平均数的特点和应用,众数不受极端值影响具有不惟一性数据分布偏斜程度较大且有明显峰值时应用中位数不受极端值影响数据分布偏斜程度较大时应用平均数易受极端值影响数学性质优良数据对称分布或接近对称分布时应用,4.2 离散程度的度量,4.2.1 分类数据：异众比率4.2.2 顺序数据：四分位差4.2.3 数值型数据：方差和
8、标准差4.2.4 相对离散程度：离散系数,一则笑话,如果你一只脚放在摄氏 1 度的水里，另一只脚放在摄氏 79 度的水里，平均水温 40 度，你会感觉很舒服？显然，只了解变量的集中趋势是不够的！,甲、乙两学生某次考试成绩列表,甲、乙两学生的平均成绩为80分，集中趋势一样，但是他们偏离平均数的程度却不一样。乙组数据的离散程度大，数据分布越分散，平均数的代表性就越差；甲组数据的离散程度小，数据分布越集中，平均数的代表性越大。,离中趋势（离散程度）,数据分布的另一个重要特征反映各变量值远离其中心值的程度(离散程度)从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度不同类型的数据有不同的离散程度测度值,分类数
9、据：异众比率,异众比率(variation ratio),1.定义：非众数组的频数占总频数的比例，是对分类数据离散程度的测度。2.计算公式为,3.用于衡量众数的代表性,异众比率(例题分析),解：在所调查的50人当中，购买其他品牌饮料的人数占70%，异众比率比较大。因此，用“碳酸饮料”代表消费者购买饮料品牌的状况，其代表性不是很好,顺序数据：四分位差,四分位差(quartile deviation),1.定义：对顺序数据离散程度的测度，也称为内距或四分间距，是上四分位数与下四分位数之差 Qd=QU QL2.特点：反映了中间50%数据的离散程度不受极端值的影响 用于衡量中位数的代表性,四分位差(例
10、题分析),解：设非常不满意为1,不满意为2,一般为3,满意为 4,非常满意为5。已知 QL=不满意=2 QU=一般=3四分位差为 Qd=QU-QL=3 2=1,数值型数据：方差和标准差,极差(range),定义：一组数据的最大值与最小值之差特点：对数值型数据离散程度的最简单测度值易受极端值影响未考虑数据的分布,R=max(xi)-min(xi),3.计算公式为,平均差(mean deviation),定义：各变量值与其平均数离差的绝对值的平均数特点：能全面反映一组数值型数据的离散程度 数学性质较差，实际中应用较少,3.计算公式为,未分组数据,组距分组数据,平均差(例题分析),平均差(例题分析)
11、,含义：每一天的销售量与平均数相比，平均相差17台,方差和标准差(variance and standard deviation),定义：各变量值与其平均数离差平方和的平均数，称为方差，方差的平方根称为标准差。均是数据离散程度的最常用测度值。反映了各变量值与均值的平均差异根据总体数据计算的，称为总体方差(标准差)，记为2()；根据样本数据计算的，称为样本方差(标准差)，记为s2(s),总体方差和标准差(Population variance and Standard deviation),未分组数据,组距分组数据,未分组数据,组距分组数据,方差的计算公式,标准差的计算公式,样本方差和标准差(s
12、ample variance and standard deviation),未分组数据,组距分组数据,未分组数据,组距分组数据,方差的计算公式,标准差的计算公式,样本标准差(例题分析),【例】计算计算9名员工的月工资收入的方差和标准差 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630,方差,标准差,样本标准差(例题分析),样本标准差(例题分析),含义：每一天的销售量与平均数相比，平均相差21.58台,相对位置的度量：标准分数,标准分数(standard score),1.定义：变量值与其平均数的离差除以标准差后的值，也称为z分数。2.特点：对某一个值在一组数据
13、中相对位置的度量可用于判断一组数据是否有离群点(outlier)用于对变量的标准化处理3.计算公式为,标准分数(性质),z分数只是将原始数据进行了线性变换，它并没有改变一个数据在该组数据中的位置，也没有改变该组数分布的形状，而只是使该组数据均值为0，标准差为1,经验法则,经验法则表明：当一组数据对称分布时约有68%的数据在平均数加减1个标准差的范围之内约有95%的数据在平均数加减2个标准差的范围之内约有99%的数据在平均数加减3个标准差的范围之内,相对离散程度：离散系数,例 某车间某小组有6个工人，分别带了1个徒工，其日产量（件）数列如下：甲组（6个工人组）：62 65 70 73 80 82
14、乙组（6个徒工组）：8 13 17 19 22 24由以上资料可以算出：甲组平均数为：,乙组平均数为：,通过观察可以看出甲组离散程度较小，平均数更具有代表性，但进一步计算，甲组标准差为：,7.97（件）,5.91（件）,乙组标准差为：,计算结果发现。甲组标准差大于乙组标准差，似乎可得出甲组平均数比乙组平均数代表性差的结论，这与事实不符。究其原因，是因为两组数据的水平不一样，不能用标准差来判断平均数的代表性。,应进一步计算数据离散的相对程度，这个相对指标就是离散系数。,离散系数(coefficient of variation),1.定义：标准差与其相应的均值之比2.特点：对数据相对离散程度的测
15、度消除了数据水平高低和计量单位的影响用于对不同组别数据离散程度的比较3.计算公式为,就上例，我们来计算标准差系数。,因为,的代表性高，即甲数列的离散程度小。,离散系数(例题分析),【例】某管理局抽查了所属的8家企业，其产品销售数据如表。试比较产品销售额与销售利润的离散程度,离散系数(例题分析),结论：计算结果表明，v1v2，说明产品销售额的离散程度小于销售利润的离散程度,4.3 偏态与峰态的度量,4.3.1 偏态及其测度4.3.2 峰态及其测度,偏 态,偏态(skewness),统计学家Pearson于1895年首次提出 数据分布偏斜程度的测度.偏态系数=0为对称分布.偏态系数 0为右偏分布
16、偏态系数 0为左偏分布偏态系数大于1或小于-1，被称为高度偏态分布；偏态系数在0.51或-1-0.5之间，被认为是中等偏态分布；偏态系数越接近0，偏斜程度就越低,偏态系数(coefficient of skewness),根据原始数据计算根据分组数据计算,偏态系数(例题分析),偏态系数(例题分析),结论：偏态系数为正值，但与0的差异不大，说明电脑销售量为轻微右偏分布，即销售量较少的天数占据多数，而销售量较多的天数则占少数,峰 态,峰态(kurtosis),统计学家Pearson于1905年首次提出数据分布扁平程度的测度峰态系数=0扁平峰度适中峰态系数0为尖峰分布,峰态系数(coefficien
17、t of kurtosis),根据原始数据计算根据分组数据计算,峰态系数(例题分析),结论：偏态系数为负值，但与0的差异不大，说明电脑销售量为轻微扁平分布,数据的描述统计量,本章小结,度量集中趋势的统计量度量离散程度的统计量度量偏态与峰态的统计量各统计量的的特点及应用场合用Excel计算描述统计量,结 束,THANKS,人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。,
