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1、第六章,两种常用的概率分布,第一节,概率,第二节,二项分布,第三节,正态分布,第一节,?,一、事件及其概率,?,（一）随机事件,概率,概率论：,是从量的方面研究随机现象的统,计规律的科学。,?,随机现象：,是指在相同条件下反复进行观,察或实验，其结果无法事先预定的现象。,?,如：掷硬币，其结果有两个，正面或反面。,在随机现象中出现的各种可能结果，称为,随,机事件，简称事件,。,?,?,在每次试验中一定发生的事件，,称为必然事,件,；而一定不会发生的事件，,称为不可能事,件,。如纯水在标准大气压下零度结冰等。,?,（二）事件的概率,（,事件发生的概率与频率有关）,?,1,、频率：,对于随机事件,
2、A,，如果在,N,次试,验中出现,a,次，则,A,发生的频率记作,F,?,A,?,?,a,N,（,6.1,）,频率满足不等式,0F,（,A,）,1,。若,A,是,必然,事件，则,F,（,A,）,=1,，若,A,是,不可能事件,，则,F,（,A,）,=0,。,2,、经（后）验概率（或统计概率）,计数某事件在一系列试验中发生的次数，然后,计算发生次数与试验总次数的比值得到频率。试验,次数越多，某事件发生的频率会在某个常数上下波,动。当试验次数无穷时该事件发生的频率会与一常,数相等，把这一常数称为某事件的,概率,。（统计定,义）,?,3,、先验（古典）概率,?,试验满足：,试验中各种可能结果（基本事
3、件）,是,有限,的，并且每种结果发生的,可能性是不变,（相等）,时，则某事件发生的概率等于该事件包,含的基本事件数（,K,）除以试验中可能发生的基本,事件总件数（,N,）之商。,P,?,A,?,?,K,N,6.2,?,经验概率,是由计算事件发生的,频率,而得，,先验概,率,是在实践之前利用有关事实,确定,的。前者给出了,概率的,操作性定义,，后者提供了概率的,理论上的基,本定义,。,4,、概率的性质（公理系统）,（,1,）对任一事件,A,，,有,0P,（,A,）,1,。,（,2,）,不可能事件,的概率等于,零,。,（,3,）,必然事件,的概率等于,1,。,5,、小概率事件,在统计推断中，将一次
4、试验中发生的,概率小,于,0.05,的事件，称为,小概率事件,。认为它是一次,试验中同乎不可能发生的事件。,二、概率的两个基本法则,（一）概率的加法法则,两个互不相容（或互斥）事件,A,、,B,之和的概率,等于两个事件分别发生的概率，即,P,(,A,?,B,),?,P,?,A,?,?,P,?,B,?,（,6.3a,）,P,(,A,1,?,A,2,?,?,A,n,),?,P,?,A,1,?,?,P,?,A,2,?,?,?,?,P,?,A,n,?,（,6.3b,）,在一次试验中,不可能同时出现,的事件称为,互不相容事件,。,例,1,在,9,道题中，有,6,道选择题，,2,道是非题，,1,道填,空题
5、，随机抽出一题，求抽出的为是非或选择题的,概率是多少？,?,解：高抽出是非题为事件,A,，抽出选择题为事件,B,，,随机抽一题，只能是抽取三类题中的一题，所以,A,，,B,为互不相容事件,。,“抽出的为是非或选择题”意思,是无论抽得两种题中的哪一种都表示该事件发生了，,因此是求两个事件之和的概率,P,（,A+B,）。,?,P,（,A,）,=2/9,P(B)=6/9,?,所以,P,（,A+B,）,=P,（,A,）,+P,（,B,）,=8/9,（二）概率的乘法法则,两个相互独立事件,A,、,B,之积的概率等于两个事件分,别发生的概率的积，即,P,(,A,?,B,),?,P,?,A,?,?,P,?,
6、B,?,（,6.4a,）,P,(,A,1,?,A,2,?,?,A,n,),?,P,?,A,1,?,?,P,?,A,2,?,?,?,?,P,?,A,n,?,（,6.4b,）,两个相互独立事件,就是指一个事件发生的概率与另,一个事件的发生,无关,，两个事件的,积,就是指,两个事,件同时发生,的事件。,例,2,两道四选一题，凭猜测做对一题的概率是多少？,?,解：设第一题做对为事件,A,，做错为事件,A,，第二,题做对为事件,B,，做错为事件,B,，做对第一题的概,率为,P,（,A,B,），做对第二题的概率为,P,（,A,B,），,所以做对任意一题的概率为,P,（,A,B,）,+,P,（,A,B,）,
7、=P,（,A,）,P,（,B,）,+,P,（,A,）,P,（,B,）,=1/4*3/4+3/4*1/4=3/8,（三）概率分布类型,?,概率分布,（,probability distribution,）,是指对随机变量,取不同值,时的概率的描,述，一般用,概率分布函数,进行描述。,?,依不同的标准，对概率分布可作不同的,分类。,、离散型分布与连续型分布,?,依随机变量的类型，可将概率,分布分为,离散型概率分布,与,连,续型概率分布,。教育统计学中,最常用的,离散型分布,是,二项分,布，最常用的,连续型分布,是,正,态分布,。,、经验分布与理论分布,?,依分布函数的来源，可将概率分布分为,经验分
8、布,与,理论分布,。,?,经验分布,（,empirical distribution,）是指,根据,观察或实验,所获得的,数据,而编制的,次数分布,或,相对频率分布,。,?,理论分布,（,theoretical distribution,）是按,某种数学模型,计算出的,概率分布,。,、基本随机变量分布与抽样分布,?,依所描述的数据的,样本特性,，可将概,率分布分为,基本随机变量分布,与,抽样,分布,（,sampling distribution,）。,?,基本随机变量分布,是随机变量,各种不,同取值情况,的,概率分布,，,抽样分布,是,从同一总体内,抽取的,不同样本,的,统计,量,的,概率分布
9、,。,第二节,二项分布,?,二项分布,（,bionimal distribution,）是一种具有,广泛用途的,离散型随机变量,的,概率分布，,它是由,贝努里创始的，因此又称为,贝努里分布。,一、二项分布模型,（一）二项分布的概念,所谓分布的指,随机变量,的,概率分布,。,如果一次试验中只会发生,两种,结果，非,A,即,B,，,A,和,B,就是,对立事件,。发生,A,和,B,的概率,分别为,p,和,q,，显然,P,（,A,）,+P,（,B,）,=p+q=1,。,而且,重复多次,试验时，各次试验结果之间互,不影响，各次试验结果之间是,相互独立事件,，,则在,n,次试验中，,A,事件可能出现的次数
10、,k(k=0,1,n),是随机的，也就是有,n+1,个概率,值。,A,事件出现各种可能结果这一随机变量,的概率分布,就叫,二项分布,。二项分布中,A,事,件出现的,k,次的概率与二项展开式的各项相对,应。,1,二项试验,满足以下条件的试验称为,二项试验,：,?,一次试验只有,两种,可能的,结果,，即成功和失败；,?,各次试验相互,独立,，即各次试验之间互不影响；,?,各次试验中,成功,的概率相等，,失败,的概率也,相,等,。,2,二项分布函数,?,二项分布,是一种,离散型随机变量,的概,率分布。,?,用,n,次方的二项展开式,来表达在,n,次,二项试验中成功事件出现的不同次数,（,X,0,，,
11、1,）的概率分布，叫做,二,项分布函数。,二项式定理：,?,A,?,B,?,n,?,C,A,B,?,C,n,n,n,0,n,?,1,n,A,n,?,1,B,?,.,?,C,A,B,1,k,n,k,n,?,k,?,.,?,C,A,B,（,6.5,）,0,n,0,n,二项分布中,A,事件出现,k,次的概率与上式中各项对,应，通式为,P,?,k,?,?,C,p,q,k,n,k,n,k,n,k,n,?,k,(6.6),其中,C,为,n,次试验中,A,事件出现次数为,k,时的组合数,，,n,!,C,?,。,公式,(,6,.,5,),叫二项分布函数,。,k,!,(,n,?,k,)!,二项展开式的要点：,?
12、,?,项数：,二项展开式中共有,n,1,项。,方次：,p,的方次，从,n0,为,降幂,；,q,的方,次从,0n,为,升幂,。每项,p,与,q,方次之和等于,n,。,?,系数：,各项系数是成功事件次数的,组合数,。,例,3,凭猜测做五道是非题，答对的概率,p=1/2,答,错的概率,q=1/2,，问五题中答对,k,（,k=0,1,2,3,4,5),题的,概率各是多少？,解：根据二项式定理,?,p,?,q,?,5,?,C,p,q,?,C,p,q,?,C,p,q,?,C,p,q,?,C,p,q,?,C,p,q,5,5,5,0,4,5,4,1,3,5,3,2,2,5,2,3,1,5,1,4,0,5,0,
13、5,答对,5,题的,概率,1/32,答对,4,题的,概率,5/32,答对,3,题的,概率,10/32,答对,2,题的,概率,10/32,答对,1,题的,概率,5/32,答对,0,题的,概率,1/32,?,5,题中答对各种可能结果的,概率之和为,1,。所,以在二项分布中，,n+1,项的概率之和为,1,。若,p=q,则概率分布呈,对称性,，与两端等距的项,的,概率相等,。,若,p,q,n,较小时，概率分布不,对称，当,n,较大时（大于等于,30,或,50,），概,率分布逐步对称。,二项分布的性质,?,从概率直方图可以看到，二项分布有如,下性质：,?,当,p=q,时，图形是,对称,的。,?,当,pq
14、,时，直方图呈,偏态,。,p,q,与,p,q,时的,偏斜方向相反,。,（二）二项分布的平均数与标准差,二项分布的,平均数,：,随机变量,k,算术平均数，,以,k,为原始数据，以概率,p,为权数的加权算术,平均数）,?,?,np,（,6.7,）,二项分布的,标准差,：随机变量,k,的标准差,?,?,npq,（,6.8,）,二、二项分布的应用,?,二项分布函数除了用来求成,功事件恰好出现,X,次的概率,之外，在教育中主要用来,判,断试验结果的机遇性与真实,性的界限。,二、二项分布的应用,例,4,某个学生一次测验回答,20,道是非题，每题,1,分，他,得了,18,分，问（,1,）凭猜测得,18,分的
15、概率是多少？（,2,）,他的成绩若在,18,分以上，是否是凭猜测得到的？,解：（,1,）,p=0.5,q=0.5,n=20,k=18,代入公式（,6.6,）得,P,?,18,?,?,C,p,q,?,190,?,0,.,5,?,0,.,5,?,0,.,000181,即凭猜测得,18,分的可能性只有十万分之十八。,18,20,18,2,18,2,（,2,）依题意应首,先求该学生得,18,分，,19,分、,20,分,三种分数的概率之和是多少,，然后从这个概率的大,小,判断他是否是凭猜测得到这个分数,。,同样,P,（,19,）,=0.000019,P,（,20,）,=0.000000095,三者之和为
16、,0.000201,即凭猜测得,18,分以上,的概率只有万分之二，可以断定，他得,18,分以上,不是凭猜测得到的。,第三节,正态分布,?,正态分布（,normal distribution,）也称为,常,态分布,，是,连续型随机变量概率分布,的一种，,是在数理统计的理论与实际应用中占有最重,要地位的一种理论分布。,?,正态分布由,棣莫弗于,1733,年发现的。拉,普拉斯、高斯对正态分布的研究也做出了贡,献，故有时称,正态分布,为,高斯分布,。,第三节,一、正态分布的模型,（一）正态分布的概念,正态分布是指在一个,正态分布,概率分布,中，,中间频数多，,两端频数相对称地减少,，,形成一种,“钟”
17、,形对称的,理论概率分布,。,图,6-1,正态分布,在二项分布中，,当,p=q,当均数,np=5,n=10,时，,二项分布可看作正态分布的近似形,。,图,6-2,平均数、标准差相同的二项分布直条图和正态分布图,（二）正态分布曲线,图,6-1,为正态分布曲线，其方程为,Y,?,1,2,?,?,e,?,X,?,?,?,?,2,?,2,2,（,6.9,）,其中，,Y,为正态分布曲线的高度,，表示随机变量的,概率的大小或观测值出现的相对次数,，,X,为观测值,，,即,随机变量的可能取值,；,、分别为,X,的,平均数,和,标,准差,，,e=2.71828,=3.1416,。,从式,6.9,可看出，,Y,
18、的值与,离差,|X-,|,的绝对值,有关，它是,以,X=,这一点的纵线为对称轴的轴对称图形。它的位置,和形状由,平均数,和标准差决定,。在同一直角坐标系,中，,平均数的大小,决定,图形的位置左移或右移,，当,较小,时，图形向左移；当较大时，图形向右移,。见图,6-3,（,a),=0,=1,图,6-3,（,a,）,=5,=1,标准差的大小,决定,图形的陡峭平缓程度,，即决定,纵线高度的最,大值,。当,标准差较大,时，概率分布的,离中趋势较大,，观测值分,散在,较大范围内,，纵线高度的,最大值较小,，正态分布曲线,形状,较平缓,；当,标准差较小,时，概率分布的,离中趋势较小,，观测值,分散在,较小
19、范围内,，纵线高度的,最大值较大,，正态分布曲线,形,状较陡峭,。如图,6-3,（,b),=0.5,=1,=1.6,图,6-3,（,b),在无数条正态分布曲线中,有一条曲线,=0,，,=1,，这条曲线称为,标准正态曲线,，,见图,6-3,（,a,）中左侧的一条曲线。其方程,简化为,Y,?,1,2,?,?,e,1,2,?,Z,2,（,6.10,）,?,以为横坐标，以为纵,坐标，可绘制标准正态分,布曲线。,?,标准正态分布曲线的,纵线,高度为概率密度,，,曲线,下的面积为概率,。,二、标准正态分布曲线的特点,1,、曲线,最高点,为,Z=0,，,Y=0.3989,，曲,线下的,总面积即概率总和为,1
20、,，对称轴左右,各,0.5,。,2,、曲线是以过,Z=0,的纵线,为,对称轴,呈,钟,形的,轴对称图形,。,3,、标准正态分布的,平均数、中数、众,数,三点重合在,Z=0,这一点上。,4,、,曲线与对称轴交点处,Y,值最大,，即此处,观,测值的相对次数最大，概率最大,；曲线向两侧,先,快后慢,地下降，在,Z=,1,处有,两个拐点,；横轴是,标准正态曲线的水平渐近线,，曲线向两侧,逐渐接,近,横轴，,但永不相交,。,5,、标准正态分布曲线的,平均数,为，,标准差,为。从,3,至,3,之间几乎分布着全部,数据。,6,、曲线的,拐点,为正负一个标准差处。,三、正态分布表,1,标准正态分布表,?,利用
21、积分公式可求出正态曲线下任何区,间的面积，但需要计算，非常麻烦。,?,统计学家已编制好了标准正态分布表，,使其使用非常方便。,正态分布表的特点,：,?,表中仅列有标准正态曲线下的面积，,因此，查表前应先将原始变量转,换为。,X,?,X,Z,?,S,?,表中列出的数据，是从到右边某,一值之间的面积，查表时应注意合理,使用。,三、正态分布表,?,（一）正态分布表的结构,（,P240,）,?,?,它是通过,公式（,6.10,）,计算得到的。,表中第一列给出了从,0,到,3.99,的,Z,值，第二,列给出了与,Z,对应的过点,Z,的纵线的高度,Y,值，,第三列给出了曲线下面积,P,值是过,Z=0,的纵
22、,线与过表中某,Z,点人纵线所夹图形的面积比,率，即相应区间的随机变量的概率。,（二）正态分布表的使用,?,已知,Z,值,查出对应的,P,值,和,Y,值,；已知,P,值,查出,对应的,Z,值,和,Y,值,。,1,、已知,Z,值,，求,P,值,。,求,0,至某一值之间的概率：直接查表,求两个值之间的概率,?,两值符号相同：,PZ,1,Z,2,PZ,2,PZ,1,?,两值符号相反：,PZ,1,Z,2,PZ,2,PZ,1,求某一,Z,值以上的概率,?,Z,0,时，,P,Z,0.5,P,Z,?,Z,0,时，,P,Z,0.5,P,Z,求某一,Z,值以下的概率,?,Z,0,时，,P,Z,0.5,P,Z,?
23、,Z,0,时，,P,Z,0.5,P,Z,例,5,在正态分布表中：,（,1,）求,Z=-1,与,Z=1,之,间的,面积比率,。,解：查表，当,Z=1,时，,P1=0.34134,由它的,对称,性,，当,Z=-1,时，,P2=0.34134,，所以所求的面积,比率为：,P1+P2=0.68268,。,（,2,）求,Z=-2.58,与,Z=2.58,之间的,面积比率,。,解：查表，当,Z=2.58,时，,P1=0.49506,由它的,对称性，当,Z=-2.58,时，,P2=0.49506,，所以所,求的面积比率为：,P1+P2=0.99012,例,6,利用正态分布表求：,（,1,）正态曲线下,Z=1
24、.34,处,左,侧的面积。,(2),正态曲线下,Z=2.16,处,右,侧的面积。,（,3,）正态曲线下,Z=-1.64,处,左,侧的面积。,（,4,）正态曲线下,Z=-1.5,处,右,侧的面积。,解：（,1,）查表得，,Z=1.34,，,P=0.40988,由于,正态曲线对称轴,左,侧的面积为,0.5,所以所求面,积为,:,0.5+0.40988=0.90988,.,(2),z=2.16,p=0.48461,由于对称轴,右,侧的面,积为,0.5,故所求面积为,:,0.5-0.48461=0.01539,.,(3),查表得,Z=1.64,时,P=0.44950,所以,Z=-1.64,时,P=0.
25、44950,即它与,Z=0,所夹面积为,P=0.44950,故所求面积为,:,0.5-P=0.0505.,(4),当,Z=1.5,时,P=0.43319,所以当,Z=-1.5,时,P=0.43319,故所求面积为,:,0.5+P=0.93319.,2,、已知,面积（概率）,P,值，求,Z,值。,求,Z,0,以上或以下某一面积对应的,Z,值：,直接查表,?,求与正态曲线上端或下端某一面积,P,相,对应的,Z,值：先用,0.5,P,Z,，再查表,?,求与正态曲线下中央部位某一面积相对,应的,Z,值：先计算,P,2,，再查表,?,3,、已知概率或,Z,值，求概率密度,Y,?,直接查正态分布表就能得到
26、相应的概,率密度值。,?,如果由概率求值，要注意区分已,知概率是位于正态曲线的中间部分，,还是两尾端部分，才能通过查表求得,正确的概率密度。,?,例,7,利用正态分布表，求：,?,（,1,）求,中央,50%,的面积操作的,下限,Z,值,和,上限,Z,值,。,?,（,2,）求正态曲线,下右尾,20%,的面积的,下限,Z,值,。,?,（,3,）求正态曲线,下左侧,30%,的面积的,上限,Z,值。,解：（,1,）由于正态曲线的,对称性,，,中央,50%,的面积,为,对称轴左右两侧各,25%,的面,积的和,。所以,P=0.25,，查附表，表中,没有,恰等于,0.25,的,P,值,，可以,用误差最小的近
27、,似值,0.24857,作为,P,的近似值,，对应的,Z=0.67,，故,Z,的下限为,-0.67,，,Z,的上限为,0.67,。,（,2,）所要求的,Z,值是表中,P=0.5-0.2=0.3,处对,应的,Z,值，取,最近似的值,P=0.29955,，其对应,的,Z,值为,0.84,，故所求的,下限,Z,值为,0.84,。,（,3,）对称轴与过,Z,值点纵线所夹面积为,P=0.5-0.3=0.2,，表中,最近的,P,值为,0.19847,，,其对应的,Z=0.52,，它的对称点为,Z=-0.52,，故,正态曲线,下左侧,30%,的面积的,上限,Z,值,为,0.52,正态分布,在测验记分方面的应
28、用,1,以标准分数表示考试成绩,?,比较学生的考试成绩时，使用原始分,数有其不合理之处：,?,原始分制度没有提示考生成绩,在考生团体成绩中的位置。,?,由于各科命题难度不同，导致,各科原始分之间不能直接比较，造,成分数解释上的困难。,?,各科原始分相加不合理。,采用标准分数，有如下特点：,标准分的大小，既表明考生水平的高低，也表明,该生在考生团体中的位置的高低。,各科标准分都表示考生各科在同一团体中的位置，,可根据标准分大小直接比较考生的各科成绩水平。,各科标准分的参照点（平均分为,500,分）和单位,（,1,个标准差为,100,分）都一样，具有可加性,克服了,原始分的缺陷。,?,目前我国一些
29、省在高考中采用标准,分数表示考生的成绩，为了使分数,更适合一般习惯，对标准分数进一,步做转换：,T,?,500,?,100,Z,2,确定等级评定的人数,?,如要将某种能力的分数分成等距的,几个等级，在确定各等级人数时，,可将正态分布基线上,Z,3,至,Z,3,之间,6,个标准差的距离分成相等的,几份，然后查表求出各段,Z,值之间的,面积，再乘以总人数，即为各等级,人数。,3,品质评定数量化,在（心理与）教育研究中,常常遇到等级,评定的结果。但是不同评定者的评定,结果往往不一致，无法综合他们的评,定结果，而且等级分数不是等距数据，,不同事物的评定结果不能直接比较。,将品质评定的结果转化为数量结果
30、，,就可解决这些问题。,具体方法,?,根据各等级被评者的数目求各等级的人数比,率；,?,求各等级比率值的中间值；,?,求各等级中点以上（或以下）的累积比率；,?,用累积比率查正态分布表；,?,求被评者所得评定等级的数量化值的平均值。,四、正态曲线下面积的应用,?,（一）推求考试成绩中特定区间的人数,?,例,8,已知某年级,200,名学生考试成绩呈正态分,布，平均分为,85,分，标准差为,10,分，学生甲的,成绩为,70,分，问全年级成绩比学生甲低的学生人,数是多少？,?,解：属于已知,Z,值求,P,值问题。,一般分,3,步完成：,a),计算甲生成绩的,标准分数,；,b),根据,Z,值查表求得,
31、对称轴与过,Z,值纵线所夹,的面积,；再计算出,Z,值左侧的曲线面积,；,c),将,面积比率乘以总人数,，即可得,比甲生分,数低,的学生的实际人数。,Z,解：甲的,标准分数,：,/10,=-1.5,?,X,?,X,?,=,（,70-85,）,查表，,Z=1.5,时，,P=0.43319,故,Z=-1.5,左侧,的面积为：,0.5-0.43319=0.06681,。,200*0.06681=13,（人），所以全年级成绩,比学生甲低的学生人数是,13,人。,例,9,某次升学考试，学生成绩符合正态分布，,1000,名考生英语平均,60,分，标准差,15,分，试求：（,1,）,70-80,分之间有多少
32、人？（,2,）,90,分以上有多少人？,解：已知学生的分数，求某分数区间的实际人数。,属于,Z-P,问题,。,X,?,X,（,1,）,Z,1,=,（,70-60,）,/15=0.67,?,?,Z,2,=(80-60)/15=1.33,X,?,X,根据,Z,1,，,Z,1,查表，得,P,1,=0.24857,，,P,2,=0.40824,，,P=P,2,-P,1,=0.15967,，即分数在,70-80,之间的人数占总人数的,15.967%,，即,1000*0.15967=160,人。,(2)Z,3,=(90-60)/15=2,?,查表得,P=0.47725,，,90,分以上人数比率为：,X,?
33、,X,0.5-0.47725=0.02275,。,1000*0.02275=23,(,人）。,（二）推求考试成绩中某一特定人数比率的分数界限,例,10,某次招生考试，学生成绩符号正态分布，学生成,绩的平均分为,80,分，标准差为,10,分，要择优录取,25%,学,生进入高一级学校学习，问最低分数线是多少分？,解：它属于,P-Z,问题。根据,录取率,可,算出曲线下对应,的面积,，,查正态分布表,，可得,录取分数线对应的,Z,值,，,再根据,平均分，标准差,，算出录取分数线的,原始分数,X,值,。,由于,录取率为,25%,，则正态曲线下对称轴与过最低录取,线分数的纵线所夹面积为,0.5-0.25=
34、0.25,，查表，最近的,P=0.24857,，对应的,Z=0.67,。因为,Z,?,X,?,X,?,，,将它变为,X,?,X,?,Z,?,得,X=80+0.67*10=86.7,，因此这次考试的最低录取分,数线为,86.7,分。,例,11,某次数学竞赛，学生成绩呈正态分布，参赛学生,200,人，平均分,66.78,分，标准差为,9.19,分，（,1,）若表,扬前,20,名竞赛优胜者，其最低分应是多少？（,2,）某生,得,80,分，他在参赛中排第几名？,解：（,1,）已知优胜者人数为,20,人，总人数为,200,人，,可求出优胜者人数比率：,20/200=0.1,，下面属于,P-,Z,问题。,
35、正态曲线下,右侧面积比率为,0.10,表中,P,值应为,0.5-,0.1=0.4,查表，最近的,P,值为,P=0.39973,，对应的,Z,值,为,1.28,，所以,X,?,X,?,Z,?,?,66,.,78,?,1,.,28,*,9,.,19,=78.54,，所以优胜者最低分数应是,78.54,分,。,（,2,）求某生在参赛中排列的名次，就是求成绩等于,和高于他的人数占总人数的比率，进而求实际人数。,属于,Z-P,问题。,先求该生成绩的标准分数,Z,?,X,?,X,?,80,?,66,.,78,?,?,1,.,44,9,.,19,查正态分布表得，,P,1,=0.42507,，成绩等于和高于该
36、生,的人数比率即曲线下,右侧面积,，,P,2,=0.5-P1=0.07493,。,即,200*0.07493=15,（人）所以该生在参赛者中应排在,第,15,名。,（,三）确定按能力或成绩等级分组的各组人数,?,假设学生,成绩,呈,正态分布,，学生,能力,也,呈,正态分布,，按,成绩等级或能力进行分组,，,各组的人数,不应是均等,的，而应是,中等能力、,中等等级,的人数,多,高能力与低能力组,，,高成,绩与低成绩等级组,的人数,少,。可以利用,正态,分布理论,解决此类问题。,例,12,某年级进行数学能力测验后，拟按数学能力将学,生分成五个组。该次测验参加人数为,300,人，平均分为,60,分，
37、标准差为,13.2,分，问各组人数及原始分数区间,都是怎样的？,解：在,正态分布,下，,99.73%,的数据在,3,之间，,全距为,6,。若分成,五,个等级组，按各组距相等，应为,6,/5=1.2,，两端组可延至正负无穷，因此各组测,验成绩的标准分数区间界限依次为：,-1.8,以下,（第一,组），,-1.8,0.6,（第二组），,-0.6-0.6,（第三组），,0.6-1.8,（第四组），,1.8,以上（第五组）。,由标准分数查表得各等级对应的正态曲线下面积比,率分别为：,0.03593,，,0.23832,，,0.4515,，,0.23832,，,0.03593,。,根据正态分布的轴对称性，
38、第一组与第五组人数,相等，应为：,300*0.03593=11,（人）。第二组与第,四组人数相等：应为：,300*0,23832=71,（人）。第,三组人数为：,300*0.4515=136,（人）。,由标准分数计算原始分数界限，得,X,1,=60+13.2*(-1.8)=36.24,X,2,=60+13.2*(-0.6)=52.08,X,3,=60+13.2*0.6=67.92,X,4,=60+13.2*1.8=83.76,第一组至第五组原始分数区间依次是：,36.24,以下，,36.24-52.08,，,52.08-67.92,，,67.92-83.76,，,83.76,以上。,（四）将等
39、级评定结果转化为连续变量型分数,由于学生学习成绩或能力是服从正态分布的，如果要,将等级评定结果转化为,连续变量型分数,，可以利用,正,态分布模型,将,等级成绩,转换为,标准分数,，再进行,线性,转换,，转换为类似于,百分制,评分中的,连续变量型分数,。,例,13,某教师评全班,50,人的作文，有,8,人被评为优秀，,17,人评为良，,20,人评为中，,5,人被评为及格。求各等,级作文的标准分数和线性转换后的连续变量型分数。,解：先求出老师评定的各等级人数比率，再求出各等,级比率的中点值，计算出正态分布表中相应的面积比,率，通过查表得出标准分数，再转换为连续型分数,.,教师评定的各等级人数比率为
40、,优,8/50=0.16,良,17/50=0.34,中,20/50=0.40,及格,5/50=0.10,各等级人数比率的中点值为,：优,0.08,，良,0.17,，中,0,20,，及格,0.05,。,四个等级人数比率中点值对应的正态分布表中的,P,值,（即,Z=0,到各等级标准分数之间的面积比率）为,优,P,1,=0.5-0.08=0.42,良,P,2,=0.5-(0.16+0.17)=0.17,中,P,3,=0.5-(1-0.16-0.34-0.20)=0.5-0.3=0.2,及格,P,4,=0.5-0.05=0.45,查正态分布表得各级的标准分数为,Z,1,=1.41,，,Z,2,=0.4
41、4,，,Z,3,=-0.52,，,Z,4,=-1.64,如果把标准分数按照平均数为,80,，标准差为,10,进行,线性转换，则四个等级的标准分数分别可转换为连续,型分数。,优,X,1,?,X,?,Z,?,=80+10*1.41=94.1,良,X,2,=80+10*0,44=84.4,中,X,3,=80+10*,（,-0.52)=74.8,及格,X,4,=80+10*(-1.64)=63.6,练习与思考,?,第,110,页和,112,页的有关习题。,?,观察我们的生活，看看哪些现象是服从二项,分布规律的？正态分布还有哪些应用？,作业,?,1,、某次招聘考试，,856,人应聘，考试成绩呈,正态分布，平均,92,分，标准差,22,分，准备录,用,100,人，最低录取线应是多少分？,?,2,、已知某化学竞赛成绩呈近似正态分布，参,赛,300,人，平均分,65,分，标准差,19,分，问,60,分以下，,80,分以上各是多少人？,
